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第10章 轴对称、平移与旋转
10.1 轴对称
1 生活中的轴对称
1.理解轴对称和成轴对称的有关概念.
2.能够明确轴对称和成轴对称的区别与联系.
3.会画轴对称和成轴对称图形的对称轴.
中国古代的建筑举世闻名,我们看看以下建筑
有什么共同特征 ?
你发现下列窗花有什么特点?
观 察
要仔细观察哦！
要仔细观察哦！
如果一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全
重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做这个图形
的对称轴.
嗨!对称轴在这儿呢!
下面这些图形是不是轴对称图形？
是
是
是
不是
想一想
下面这些图形是轴对称图形吗？如果是，有几条对称轴？
1条
2条
4条
无数条
（1）有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的
轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形
的对称轴甚至有无数条.
（2）对称轴通常画成虚线，是直线，不能画成线段.
归 纳
国旗是国家的一个象征，观察下面的国旗,
哪些是轴对称图形？试找出它们的对称轴.
加拿大
瑞典
以色列
试一试
A′
A
B
C
B′
C′
观察下面的每对图形有
什么共同特点?
议一议
把______________沿着某一条直线翻折过去,如果
它能够与_________图形_____,那么就说这两个图形
___________.这条直线就是_______.
两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的
点）叫做_______.
一个图形
另一个
重合
成轴对称
对称轴
对称点
轴对称图形的基本特征：轴对称图形（或成轴对称的
两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，
对应角（对折后重合的角）相等.
概念学习
欣赏生活中的轴对称
一
两
完全重合
对称轴
成轴对称
轴对称图形
比较归纳
轴对称图形 两个图形成轴对称
区别 ＿个图形 ＿个图形
联系 １．沿一条直线对折,直线两旁的部分能够
＿＿＿＿．
２．都有＿＿＿＿．
３．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条直线__________.如果把两个成轴对称的图形看成一个图形，那么这个图形就是___________．
1.（日照·中考）已知以下四个汽车标志图案，其中是轴
对称图形的图案是 （只需填入图案代号）．
【解析】根据轴对称图形的概念可以得出①③是轴对称
图形.
答案：①③
2.（福州·中考）下面四个中文艺术字中，不是轴对
称图形的是（ ）
【解析】选C.只有“千”字不是轴对称图形，上面的撇
不对称.
A B C D
3.下列图案中是轴对称图形的是( )
A B C D
【解析】选D.把图案D沿中间一条直线折叠，直线两旁
的部分可以完全重合，故图案D为轴对称图形.
4.把一圆形纸片两次对折后，得到右
图，然后沿虚线剪开，得到两部分，其
中一部分展开后的平面图形是( )
A
B
C
D
【解析】选B.可动手操作或根据轴对称想象.
5.如图所示，轴对称图形有 个，成轴对称的有 个.
【解析】根据轴对称图形与成轴对称的区别与联系解决
本题.第1,3,4,6个是轴对称图形，第2，5个是成轴对称
图形.
答案：4 2
6.如图所示，下面四个图形中，从几何图形的性质考虑，
哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并简述你的理
由.
【解析】图形②与其他三个不同.因为图形①③④是
轴对称图形，而图形②不是.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.如果一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全
重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做这个
图形的对称轴.
2.把一个图形沿着某一条直线翻折过去,如果它能够与另
一个图形重合,那么就说这两个图形成轴对称.我们把这条
直线叫做对称轴.两个图形中的对应点（即两个图形重合
时互相重合的点）叫做对称点.
人生伟业的建立 ，不在能知，乃在能行.
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2 轴对称的再认识
3 画轴对称图形
4 设计轴对称图案
1.理解线段的垂直平分线的概念.
2.掌握线段垂直的性质及角平分线的性质.
3.会作已知图形关于已知直线对称的图形.
什么叫轴对称图形？
把一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重
合，这样的图形称为轴对称图形.
看看线段OA和OB是否可以重合？
显然线段OA和OB是可以重合的.
A
B
O
C
D
O为AB中点
所以线段是轴对称图形.
1.线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线
称为这条线段的垂直平分线.
2.结论：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端
点的距离相等.
3.如果一个图形是轴对称图形，那么连结对称点的线段
的垂直平分线就是该图形的对称轴．
结 论
【例1】△ABC中，BC＝10，边
BC的垂直平分线分别交AB，BC
于点E，D,BE＝6，求△BCE的周
长.
【解析】∵ED是BC的垂直平分线（已知），
∴EC＝EB=6
（线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距
离相等）.
∴△BCE的周长=BC＋CE＋EB＝10＋6＋6=22.
答：△BCE的周长为22.
【例题】
如下图，草原上两个居民点A，B在河流的同旁.一汽车
从点A出发到点B，途中需要到河边加水.汽车在哪一点
加水，可使行驶的路程最短？在图中作出该点，并说
明理由.
A
B
河
C
D
【跟踪训练】
A
B
【解析】已知：直线CD和CD同侧两点A，B．
求作：CD上一点M，使AM＋BM最小．
作法：①作点A关于CD的对称点A′；
②连结A′B交CD于点M.
则点M即为所求的点．
A′
河
M
C
D
E
在半透明的纸上画∠AOB，对折，使角的两条边完全
重合，然后用直尺画出折痕OM.
从上面试验可以看出，角是轴对称图形，对称轴是
它的角平分线所在的直线.
A
B
O
M
结论：角是轴对称图形.
角平分线上的点到角两边距离的探索
在以上试验的基础上，同学们在射线OM上任取一点P，
过P点分别作OA和OB的垂线PC和PD，而后沿着OM折叠，观察
PC和PD是否重合?再取一点，按上述同样的方法试验.
关系：PC与PD是能够互相重合的，即PC=PD.
结论：角平分线上的点到角两边的距离相等．
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
（1）角平分线上存在到这个角的两边距离不相等的点（ ）
（2）到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上（ ）
×
√
二、如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分
∠BAC,BC=30,BD:CD=3:2,则点D到AB 的
距离是( )
A.18 B.12
C.15 D.不能确定
B
练一练
1.圆是轴对称图形吗？如果是，那么它的对称轴是什么？
圆是轴对称图形，它的对称轴是过圆心的直线.
2.使用刻度尺和量角器，在三角形中找一点，使其到△ABC
的三个顶点的距离相等.
三边垂直平分线的交点.
议一议
如图所示，方格纸内的两图形都是成轴对称的，请画
出它们的对称轴．
【例2】如图，点A和点A′关于某条直线成轴对称，你能
画出这条直线吗？
作法：
（1）连结点A和点A′；
（2）作线段AA′的垂直平分线l.则直线l为所求作的直线.
l
【例题】
图中的一些虚线，哪些是图
形的对称轴，哪些不是？
【解析】②④⑥是对称轴，
①③⑤不是对称轴。
【跟踪训练】
请同学们尝试解决以下的问题：
如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，请
画出已知图形的轴对称图形．
画一画
在格点图中，大家会很容易画出已知图形的轴对称
图形，如果没有格点图，我们还能比较准确地画出
已知图形的轴对称图形吗？
议一议
画完之后，请同学们思考下面两个问题：
（1）你可以通过什么方法来验证你画得是否正确？
（2）和其他同学比较一下，你的方法是最简单的吗？
已知对称轴l和一个点A，如何画
出点A关于l的对称点A′?
A
l
作法:过点A作直线l的垂线，在垂线
上截取OA′=OA,垂足为点O，点A′就
是点A关于直线l的对称点.
合作探究
如何画线段AB关于
直线l 的对称线段A′B′?
A
B
作法：
1.过点A作直线l的垂线，垂
足为点O，在垂线上截OA′
=OA，点A′就是点A关于直
线l的对称点；
2.类似地，作出点B关于直
线l的对称点B′；
3.连结A′B′.
O
l
试一试
如图，已知△ABC和直线l，怎样作出与△ABC
关于直线l对称的图形呢？
【解析】△ABC可以由三个
顶点的位置确定，只要能分
别作出这三个顶点关于直线l
的对称点，连结这些对称
点，就能得到要作的图形.
l
∴△A′B′C′即为△ABC关于直线l对称的图形.
A′
B′
C′
O
议一议
作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:
1.找点
2.画点
3.连线
（确定图形中的一些特殊点）；
（画出特殊点关于已知直线的对称点）；
（连结对称点）.
归 纳
设计轴对称图案的步骤：
（1）画出对称轴；
（2）画出图形的基本形状的部分线条；
（3）按照其中一条对称轴画出基本形状的对称图形；
（4）按照另一条对称轴继续画对称图形；
（5）完成对称图案设计.
1.（无锡·中考）一名同学想用正方形和圆设计一个图
案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么
下列图案中不符合要求的是 ( )
A B C D
【解析】选D.本题可以通过操作完成，沿对角线折叠观察
即可.
2.（济宁·中考）如图，△ABC的周长为30 cm，把
△ABC的边AC对折，使顶点C和点A重合，折痕交BC边于
点D，交AC边于点E，连结AD，若AE=4 cm，则△ABD的
周长是（ ）
A.22 cm B.20 cm
C.18 cm D.15 cm
E
D
C
A
B
【解析】选A.由折叠知EC=AE=4 cm,AD=DC,∴△ABD的周
长是30-4×2=22（cm）.
3.如图,在△ABC中,∠C=90°，点D在AC上，将△BCD沿着
直线BD翻折，使点C落在斜边AB上的点E处，DC=5cm，则
点D到斜边AB的距离是_________cm.
【解析】由轴对称的性质可知，点
D到斜边AB的距离为DE的长度，即
DC的长.
答案：5
4.如图所示，点A，B表示两个城市，CD，ED是交叉的两
条公路，为了方便向两城市供应物资，某开发公司打算
在∠CDE内建一个中间物资供应站P，要求P到两公路的
距离相等，而且PA=PB，有人设计了下面方案：先作AB
的垂直平分线MN，再作∠CDE的平分线DQ，交MN于P点，
则P就是供应站的位置，你能说明其中的道理吗？
【解析】能.因为射线DQ是∠CDE的平分线，P在DQ上，
根据角平分线的性质得出P到DC，DE的距离相等；又因
为直线MN是AB的垂直平分线，P在MN上，根据线段垂直
平分线的性质得出PA=PB.所以点P就是供应站的位置.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平
分线.
2.线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离
相等.
3.角平分线上的点到角两边的距离相等．
4.作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤:找
点、画点、连线.
含泪播种的人一定能含笑收获.
(共24张PPT)
10.2 平移
3.掌握有关画图的操作技能，学会平移作图，掌握作图技
巧.
1.认识平移、理解平移的基本内涵.
2.理解平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应
线段平行且相等，对应角相等的性质.
升国旗
小狗拉着盒子在平整的地面上跑.
辘轳上的水桶
关窗门
平面图形在它所在的平面上的平行移动，简称为平移.
1.图中线段AE，BF，CG，DH有怎样的位置关系？
2.图中每对对应线段之间有怎样的位置关系？
3.图中有哪些相等的线段、相等的角？
平移后的图形与原来图形的
对应线段平行且相等，对应
角相等，图形的形状与大小
不变.平移后对应点所连的
线段平行并且相等.
想一想
【例】如图所示，
△ABE沿着射线XY的
方向平移一定的距离
后，成为△CDF.找出
图中存在的平行且相
等的三条线段.
X
Y
C
D
F
【解析】AB CD,BE DF,AE CF（答案不唯一）
【例题】
1.下列哪幅图可以通过（1）平移而
得？（ ）
A
B
C
D
(1)
B
【跟踪训练】
2.将的小船向右平移4格
3.下列运动中是平移的有哪些？
(1)急刹车的小汽车在地面上的运动；（ ）
(2)自行车轮子的运动；（ ）
(3)时钟的分针的运动；（ ）
(4)高层建筑内的电梯的运动；（ ）
(5)小球从高空中自由下落.（ ）
√
×
×
√
√
【规律方法】平移的性质：
对应点所连的线段平行且相等；
对应线段平行且相等，对应角相等.
【说明】1.决定平移的因素是平移的方向和距离；
2.平移只改变图形的位置，图形的形状和大小不变.
A
B
1.点的平移作法
将A点沿着射线XY方向平移3 cm.
X
Y
【作法】
① 过点A作射线AZ∥XY;
② 在射线AZ上截取线段AB，使 AB=3 cm；
③B点即为所求作点.
Z
简单的平移作图
A
C
2.线段的平移作法
将线段AB沿着射线XY方向平移3 cm.
X
Y
【作法一】
①将线段的端点A平移，得点C;
②将线段的端点B平移，得点D；
③连结CD,线段CD即为所求作线段.
B
D
【反思】本作法运用了平移的什么性质？
A
C
将线段AB沿着射线XY方向平移3 cm.
X
Y
【作法二】
①将线段的端点A平移，得点C;
②过C点作线段AB的平行线CZ；
③在射线CZ上截取线段CD,使CD=AB，
则线段CD即为所求作线段.
B
D
Z
【反思】本作法运用了平移的什么性质？
如图所示，经过平移，线段AB的端点A移到了点D，你
能作出线段AB平移后的图形吗？
A
B
D
【解析】
∴线段DE就是线段AB平移后的图形.
①连结AD；
②过点B作BE平行
且等于AD；
③连结DE.
【跟踪训练】
3.图形的平移作法
如果经过平移，△ABC的顶点A移到了点D.你会作出平
移后的三角形吗?
1.将线段BC沿AD方向平移AD长
距离，得线段EF;
2.连结DE, DF；
3.△DEF即为所求作图形.
B
【反思】本作法运用了平移的什么性质？
C
A
D
E
F
如果经过平移，△ABC的顶点A移到了点D.你会作出平移
后的三角形吗?想一想：还有其他作法吗？
B
C
A
D
E
F
M
N
【规律方法】如何进行平移作图?
关键在于按要求(方向和距离)作出对应点.
然后，顺次连结对应点即可.
如图，将字母A按箭头所指的方向平移3 cm，作出平
移后的图形.
【作法】
1.选择5个控制点;
2.将5个控制点分别平移；
3.连结平移后的5个控制点，
得字母A平移后的图形.
3 cm
【规律方法】由局部平移实现整体平移.
【反思】本作法运用了平移的什么性质？
【跟踪训练】
1．（潼南·中考）如图，△ABC经过怎样的平移得到
△DEF( )
A．把△ABC向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B．把△ABC向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C．把△ABC向右平移4个单位，再向上平移2个单位
D．把△ABC向左平移4个单位，再向上平移2个单位
C
2．（济南·中考）如图所示，△DEF是△ABC 沿水平方
向向右平移后的对应图形，若∠B=31°，∠C=79°，则
∠D的度数是 度．
【解析】根据三角形的内角和为180°，得∠A=70°，根
据平移的性质，平移后对应角相等，∠D=70°.
答案：70
3. 将图中的字母N沿水平方向向右平移3 cm，作出平移后
的图形.
【解析】
1. 选择4个控制点;
2. 将4个控制点分别平移；
3. 连结平移后的4个控制点，
得字母N平移后的图形.
3 cm
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.平移的基本性质，对应点所连的线段平行且相等；对
应线段平行且相等，对应角相等.
2.应用平移性质作一些简单平面图形平移后的图形.
3.掌握“以局部代整体”的平移作图方法.
人要学会走路，也得学会摔跤，而且只有经过摔跤才能学会走路.
——马克思
(共24张PPT)
10.3 旋转
1 图形的旋转
3．通过观察、操作等探索过程，发展学生的推理能力.
2．能分析简单的平面图形旋转后的图形.
1．通过具体实例认识图形的旋转变换.
请您欣赏
观 察
把一个图形绕着某一定点O 转动一个角度的图形
变换叫做________．这个定点O 叫_________，转动
的角叫做______．
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这
两个点P和P′叫做这个旋转的_________.
旋转
旋转中心
旋转角
对应点
O
P′
P
定 义
1.下列现象中属于旋转的有( )个.
①地下水位逐年下降； ②传送带的移动；
③方向盘的转动； ④水龙头的转动；
⑤钟摆的运动； ⑥荡秋千.
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选C.由旋转的定义知，符合要求的有③④⑤⑥.
【跟踪训练】
2.时钟的时针在不停地转动，从上午6时到上午9时，时
针旋转了多少度？从上午9时到上午10时呢？
【解析】（１）时针匀速旋转一周是360°，上午6时到上
午9时，因此旋转3小时，时针旋转的角度为90°.
（２）时针匀速旋转一周需要360°，上午９时到上午10
时，因此旋转1小时，时针旋转的角度为30°.
3.如图，杠杆绕支点转动撬起重物，杠杆的旋转中心
在哪里？旋转角是哪个角？
【解析】（1）旋转中心是点O.
（2）旋转角等于∠AOA′=∠BOB′.
4.如图，如果正方形CDEF旋转后能与正方形ABCD重合,那
么图形所在的平面上可以作为旋转中心的点共有____个.
答案：３
【例】如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D.试
确定顶点B的对应位置,以及旋转后的三角形.
A
B
C
D
分析：
1.明确旋转中心、旋转的方向与大小；
2.假设顶点B的对应点为点E,则
∠BCE ，∠ACD 都是旋转角，
且∠BCE =∠ACD ，CE=CB ，
CD=CA.
E
【例题】
A
B
C
D
【解析】作法一：（1）连结CD；
（2）以CB 为一边作∠BCF,使
得∠BCF=∠ACD；
E
（3）在射线CF上截取CE=CB，
点E即为B的对应点；
（4）连结DE .
则△DEC就是△ABC绕C点旋转后的图形.
【例】如图,△ABC绕C点旋转后,顶点A的对应点为点D.试确
定顶点 B 的对应位置，以及旋转后的三角形.
F
A
B
C
D
E
（1）以点C为圆心、CB长为半径画弧.
（2）以点D为圆心、AB长为半径画弧.
（3）两弧的交点E即为点B的
对应点.
（4）连结 CE ，ED，DC.
作法二:
则△DEC就是△ABC绕C点旋转后的图形.
A
B
C
D
在旋转过程中,确定一个三角形旋转后的位置，除需要
原来的位置外，还需要什么条件？
(1)旋转中心.
(2)旋转角.
【解析】
在下图中，将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向
旋转 90? ，作出旋转后的图案.
【跟踪训练】
1.在图中，正方形ABCD与正
方形EFGH边长相等，这个图
案可以看成是哪个“基本图
案”通过旋转得到的？
【解析】方法一：整个图形
可以看成是图形的八分之一
(一组大小不等的三个“角”)
绕中心位置，按照同一方向
连续旋转45°，90°，
135°，180°，225°，
270°，315°，前后的图形
共同组成的.
方法二：整个图形也可以看成是图形的四分之一(两组相邻的
“角”)绕中心位置连续旋转90°,180°，270°，前后的图形
共同组成的.
方法三：整个图形还可
以看成是图形的二分之
一(四组相邻的“角”)绕
中心位置旋转180°，前
后的图形共同组成的.
2.如图，小明坐在秋千上，秋千旋转了80°．请在图
中小明身上任意选一点P，利用旋转性质，标出点P的对
应点．
P′.
P.
3.如图，用左面的三角形经过怎样旋转，可以得到右面
的图形．
【解析】绕点O旋转2次，每次旋转的角度都是120°.
O .
1.对比平移、轴对称两种变换的区别.
2.旋转变换与另两种变换有哪些共性与区别？
我们应该有恒心，尤其要有自信心.
——居里夫人
(共23张PPT)
2 旋转的特征
1．认识图形的旋转变换，掌握它的基本性质.
2.培养学生创造图案的设计能力.
请大家在硬纸板上，挖一个三角形洞，再挖一个小洞
O作为旋转中心，硬纸板下面放一张白纸．先在纸上描出
这个挖掉的三角形洞（△ABC），然后围绕O转动硬纸板，
再描出这个挖掉的三角形洞（△A′B′C′）,移开硬纸板．
请大家运用刻度尺和量角器度量线段和有关角，
并探索旋转的性质．
图形的旋转是由旋转中心和旋转的角度决定.
图形中每一点都绕着旋转中心按同一旋转方向旋转了同
样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对应线
段相等，对应角相等，图形的形状与大小不变.
旋转的特征
【例1】如图，E是正方形ABCD中CD边上任
意一点，以点A为中心，把△ADE顺时针旋
转90°，画出旋转后的图形.
分析：关键是确定△ADE三个顶点
的对应点，即它们旋转后的位置.
【例题】
设点E的对应点为点E′，则 ∠ABE′=∠ADE=90°，
BE′=DE .
因为点A是旋转中心，所以它的对
应点是它本身.
在正方形ABCD中，AD=AB,
∠DAB=90°，所以旋转后点D与点B重合.
因此，在CB的延长线上取点E′,使BE′=DE，
则△ABE′为旋转后的图形.
【解析】
E'
D
C
A
B
E
如图，它可以看成是由一个菱形绕某一点旋转一个角度
后，顺次按这个角度同向旋转而得的，
①请你在图中用字母O 标注出这一点；
②每次旋转了_______度；
③一共旋转了_______次．
.o
5
60
【跟踪训练】
观察图形讨论:秒针
的运动与风车的运动
有什么共同的特点?
特征：绕着某个点旋转.
【例2】如图是△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°所得的.
OA=_____.
OB=_____.
AB=_________.
∠AOB= .
∠A=______.
∠B=______.
OA′
OB′
A′B′
∠A′OB′
∠A′
∠B ′
旋转前后,对应线段相等,对应角相等.
【例题】
【例3】如图,旋转中心在△ABC的外面点O处，转动
60°，将整个△ABC旋转到△A′B′C′的位置.
OA＝
OB＝
OC＝
OA′
OB′
OC′
对应点到旋转中心距离相等.
香港区徽可以看成是什么“基本图案”通过怎样的旋转
而得到的？
【跟踪训练】
【解析】可以看成是一个花瓣连续4次旋转所形成
的，每次旋转的角度均等于72°.
1. 如图，在等腰直角△ABC中∠B
＝90°，将△ABC绕顶点A逆时针方
向旋转60°后得到△A B′C′，则
∠BAC′等于( )
A.60° B.105°
C.120° D.135°
【解析】选B.将△ABC绕顶点A逆时针方向旋转60°，
则∠CAC′=60°，∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠BAC=45°, ∴∠BAC′= ∠CAC′+ ∠BAC=105°.
2.（天津·中考）如图，已知正方
形ABCD的边长是3，E为CD边上一
点，DE=1，以点A为中心，把△ADE
顺时针旋转90°得到△ABE′，连结
EE′,则EE′的长等于 .
【解析】△ADE顺时针旋转90°得△ABE′,∴E′B=DE=1.
∵E′C=E′B+BC=4，EC=DC-DE=2，∴EE′2= E′C2+ EC2=20,
∴ EE′=
3.（上海·中考）已知正方形ABCD中，点E在边DC上,DE =
2,EC = 1（如图所示）.把线段AE绕点A旋转，使点E落在
直线BC上的点F处,则F,C两点的距离为_____.
【解析】题目里只说“旋转”，
并没有说顺时针还是逆时针，
而且说的是“直线BC上的点”，
所以有两种情况如图所示：顺
时针旋转得到F1C=1，逆时针旋
转得到F2，则F2B=DE=2，
F2C=F2B+BC=5.
答案：1或5
4.观察如图所示图形，若它是以红色部分为基本图形旋转而
生成的，则需要旋转几次，每次旋转多少度？
【解析】旋转3次，每次旋转90°.
【解析】可以看成是由一个菱形旋转5次，每次旋转60°而
得到的.
5.下图可以看成是由什么“基本图案”通过怎样的旋转而
得到的？
【解析】可以看成是
由一片花瓣旋转7
次，每次旋转45°而
得到的.
6.下图可以看成是由什么“基本图案”通过怎样的旋转而得
到的？
7.本图案可以看成是一个菱形通过几次旋转得到的？每次
旋转了多少度？
也可以看成是两个相邻菱形通过几次
旋转得到的？每次旋转了多少度？
思考：还有其他方法吗?
3个菱形 1次 180°
【解析】 2次 120°
【解析】5次 60°
3个菱形 1次 60°
1.旋转的三个特征.
图形中的每一点都绕着旋转中心按同一个旋转方向旋
转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离相等，对
应线段相等，对应角相等，图形的形状与大小不变.
2.有些图形可以看成是由其中的某个基本图形，绕某一点
按一定的角度旋转若干次而生成的.
我们预定的目标，不是享受，也不是受苦，而是使每一天都更进一步.
——居里夫人
(共21张PPT)
3 旋转对称图形
2.认识和欣赏这些图形的旋转变换在现实生活中的应用，体
会数学与实际生活的密切联系，经历对生活中与旋转现象有
关的图形进行观察、分析、欣赏、交流等活动，发展初步的
审美能力，增强对图形欣赏的意识.
1．认识旋转对称图形，理解旋转对称图形的概念，重视对
学生自行设计旋转对称图形能力的培养，并能够按要求作出
简单的平面图形旋转后的图形.
⑵旋转的特征:
①旋转不改变图形的大小和形状;
②旋转图形的对应线段相等, 对应角相等;
③对应点到旋转中心的距离相等;
⑴旋转的概念:在平面内，将一个图形绕着一定点沿某个
方向转动一个角度的运动叫做旋转.
④每一点都绕旋转中心按同一方向旋转同样大小的角度.
一个图形绕着一个定点，按照一定的角
度，从一个位置旋转到另一个位置，叫
做图形旋转.
B
A
C
O
A
B
C
图形的一种变换
图形的一种特性
O
·
定 义
一个图形绕着一个定点旋转一定角
度后能与自身重合的图形就称为旋
转对称图形.
这个角度必须小于周角.
【例1】香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5个相
同的花瓣组成，它可以由其中一瓣经过4次旋转而得到.
它是旋转对称图形吗? 若是,其旋转角是多少度?
【例题】
【解析】香港特别行政区区旗中央的紫荆花图案由5
个相同的花瓣组成，它可以由其中一瓣经过4次旋转
而得到.它是旋转对称图形，其旋转角是72°.
【例2】试确定下列旋转图形的旋转中心和旋转角度.
O
A
【解析】旋转中心和旋转角分别为点O，点A.
90°，120°
1.下列各图形是不是旋转对称图形？如果是，请找出旋
转中心在何处.旋转角度至少是多少度？这些图形是轴
对称图形吗？
【跟踪训练】
120°
┍
90°
【解析】正三角形是旋转对称图形, 它的旋转中心是两条高线的交点, 旋转角度是120°.它也是轴对称图形.
【解析】正方形是旋转对称图形, 它的旋转中心是两条对角线的交点, 旋转角度是90°.它也是轴对称图形.
2.观察下图，判断它是不是旋转对称图形？如果是，请
找出旋转中心在何处，旋转角度是多少？另外该图形是
轴对称图形吗？
【解析】这个图形是旋转对称图形,旋转中心是外框正方形
对角线的交点,旋转角度是90°,但它不是轴对称图形.
·
O
3.试确定图形的旋转中心，并指出这一图形是由哪个基本
图形旋转多少度、旋转几次生成的.
【解析】旋转中心是十字形的交点O,
O
·
基本图形如图所示，分别旋转了90°，180°，270°三
次生成的.
4.请利用如图所示的图案，通过旋转变换，
设计出美丽的图案.
1.（徐州·中考）如图，在6×4方格纸中，格点三角形甲
经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（ ）
A.点M B.格点N C.格点P D.格点Q
答案：B
2．（十堰·中考）如图，将△ABC绕点C顺时针方向旋转
40°得△A′CB′，若AC⊥A′B′，则∠BAC等于（ ）
A.50° B.60°
C.70° D.80°
答案：A
3.△ABC是△DEF旋转得到
的，你能找到它的旋转中
心吗？若能请画出来.
O
·
A
B
C
D
E
F
4.如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三
角形即△ABD，△BCE，△ACF,请找出经过△ABC旋转能够得
到的三角形 .
【解析】△ABC经过旋转
得到△DBE，△FEC.
A
B
C
l1
┗
A′
B′
C′
甲
乙
【解析】图形甲与图形乙称之为关于直线l1轴对称.
l2
A″
B″
C′
′
关于两条平行直线连续2次轴对称可以看成是一次平移.
5.如图，画△ABC关于平行直线l1,l2 连续两次对称的图形,
并观察与原图形的关系.
【规律方法】正n边形既是旋转对称图形，又是轴对称图
形，所以旋转中心就是对称轴的交点，并且旋转角度就等
于360°除于n所得的商.
1.绕着某一点转动一定角度后，能与自身重合的图形称
为旋转对称图形, 其中这一点就是旋转中心，这个角度
的最小值就是旋转角.
2.如果一个图形既是旋转对称图形，又是轴对称图形，
那么它的旋转中心就是对称轴的交点.
心灵开朗的人，面孔也是开朗的.
——席勒
(共24张PPT)
10.4 中心对称
1．通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理
解“连结对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心
平分”这一基本性质.
3．对学生进行旋转变换思想的渗透.
2．理解中心对称图形是旋转角度为180°的特殊的旋转对
称图形.
哪些图形绕某点旋转180°后能与原图形重合？
找一找
一个图形绕着中心旋转180°后能与自身重合，我们把这种
图形叫做中心对称图形，这个中心叫做对称中心.
归 纳
1.如图，把其中一个图案绕点O旋转
180°，你有什么发现？
【解析】两个图案能够完全重合在一起.
O
探 究
2.如图，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，把
△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？
A
B
O
C
D
【解析】△OCD绕点O旋转180°能与△OAB重合.
A
B
O
C
D
例如：图中△OCD和△OAB关于点O对称，
点C与点A是关于点O的对称点.
像这样，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够和另
一个图形重合，那么，我们就说这两个图形成中心对称，这个点
叫做对称中心.这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点.
定 义
C
A
B
C′
A′
B′
O
如图,旋转三角板,画关于点O对称的两个三角形：
第一步,画出△ABC；
第二步,以三角板的一个顶点O为中心,把三角板旋转180°,
画出△A′B′C′；
第三步，移开三角板.
这样画出的△ABC与△A′B′C′关于点O对称.
分别连结对称点A和A′、B和B′、C和C′.点O在线段AA′上吗？如果在，在什么位置？ △ABC与△A′B′C′有什么关系？
C
A
B
C′
A′
B′
O
证明：OA绕点O旋转180°得到线段OA ′,所以点O在
线段AA′上,且OA=OA′,
C
A
B
C′
A′
B′
O
【解析】点O在线段AA′上，且点O是线段AA′的中点.
同理：点O也是线段BB′和CC′的中点.
同理：△ABC与△A′B′C′能够完全重合.
在成中心对称的两个图形中，连结对称点的线段都经
过对称中心，并且被对称中心平分.
如果两个图形的所有对应点连成的线段都经过某一
点，并且都被该点平分，那么这两个图形关于这一点成
中心对称.
结 论
1.如图，选择点O为对称中心，画出点A关于点O
的对称点A′.
【解析】如图，连结AO，在AO的延长线上截取
OA′= OA，即求得点A关于点O的对称点A′.
A
A′
A
O
O
【跟踪训练】
A
B
C
O
2.如图，选择点O为对称中心，画出△ABC关于点O
的对称图形△ A′B′ C′.
【解析】如图，作出点A，点B，点C关于点O的对称点
A′，B′，C′，依次连结A′B′，B′C′，C′A′，就
可以得到与△ABC关于点O对称的图形△A′B′C′.
A
B
C
O
C′
A′
B′
答案：D
1.（哈尔滨·中考）下列图形中，是中心对称图形的
是（ ）
A B C D
2.（珠海·中考）现有如图1所示的四张牌，若只将其中一
张牌旋转180°后得到图2，则旋转的牌是（ ）
答案：B
A B C D
3.分别画出下列图形关于点O对称的图形.
O
4.图形中的两个四边形关于某点对称,找出它们的对称中心.
【规律方法】中心对称图形一定要扣住旋转180°这一特
点，对称中心平分对称点连线.对应线段相等，角相等.
通过这节课的学习，你有哪些体会和收获？
4.中心对称图形的应用.
1.中心对称图形和成中心对称的定义.
2.中心对称图形和成中心对称的性质.
3.我们所学过的多边形中有哪些是中心对称图形.
从来没有人读书，只有人在书中读自己，发现自己或检查自己.
——罗曼·罗兰
(共22张PPT)
10.5 图形的全等
1.掌握全等图形、全等多边形、全等三角形的概念和性质.
3.培养学生动手操作能力.培养学生观察、探索、分析、归
纳等能力.
2.能找出全等多边形、全等三角形的对应元素，会利用图
形的全等解决一些简单的问题.
4.在学生动手操作的过程中，激发学生学习几何的积极
性，培养学生主动探索、敢于实践的科学精神，培养学生
合作交流的能力和创新意识.
图形的全等
我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图
形的三种基本变换，图形经过这样的变换， 发生
了改变，但变换前后两个图形的对应线段 ，对应
角 ，图形的 并没有改变．
位置
相等
相等
形状和大小
能够完全重合的两个图形叫做全等图形.
下列图形是否可以通过轴对称、平移和旋转等变换，把
两个图形叠合在一起（是否完全重合）.
【解析】 能完全重合的有
（3）和（6）.
（2）和（4）,
一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到
的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图
形经过上述变换后是否一定能够互相重合？
【解析】变换后一定能够互相重合．
思 考
观察下图的两对多边形，每对中的其中一个可以经过怎样
的变换和另一个图形重合?
A B
C D
B′
D′
A′ C′
A
B E
C D
A′
E′ B′
D′ C′
（1）多边形经过___________________ 变换而重合，
称为全等多边形．
（2）经过变换而重合，相互重合的顶点叫做 ，
相互重合的边叫做 ，相互重合的角叫做 ．
轴对称、平移和旋转
对应顶点
对应边
对应角
定 义
两个全等的多边形表示方法
如下图中的两个五边形是全等的，记作
五边形ＡＢCDE≌五边形A′B′C′D′E′
（这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”)．
点A与________、点B与_______、点C与 、
点D与 、点E与 分别是对应顶点．
A′
B′
C′
D′
E′
全等多边形的对应边、对应角分别相等．
全等多边形的性质．
反过来，边、角分别对应相等的两个多边形全等．
全等多边形的性质:
（1）对应边分别相等.
（2）对应角分别相等．
三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的
分别相等．
同样，如果两个三角形的 分别对应相等，那
么这两个三角形全等．
对应边、对应角
边、角
【例】△ＡＢＣ≌△DEF，且∠A＝∠D，∠B＝∠E．
你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗?
【解析】对应顶点：
对应边：
对应角：
点A与点D、
点B与点E、
点C与点F
∠C＝∠F
AB与DE，
AC与DF，
BC与EF
【例题】
图中所示的是两个全等的五边形，AB＝8， AE＝5， DE＝
11， HI＝12，IJ＝10， ∠C＝90°, ∠G＝115°，点B与
点H、点D与点J分别是对应顶点，指出它们之间其他的对
应顶点、对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，d，
e，α，β各字母所表示的值．
【跟踪训练】
a=12，
b=10，
c=8，
d=5，
e=11，
α=90°，
β=115°.
【解析】其他的对应顶点为A与G、E与F、C与I，
对应边为BC与HI,CD与IJ、DE与JF、EA与FG、AB与GH.
对应角为∠EAB与∠FGH、∠ABC与∠GHI、∠BCD与
∠HIJ、∠CDE与∠IJF、∠DEA与∠JFG.
1．（铜仁·中考）如图，△ABC≌△DEF，BE=4，AE=1，
则DE的长是（ ）
A．5 B．4
C．3 D．2
答案：A
2. 在如图所
示的方格图中
画出两个全等
的四边形和两
个全等的三角
形．
A
B
D
C
C′
B′
D′
A′
G
G′
F′
E
E′
F
3.你能把一个正方形分成4个全等的三角形吗?
若是要求把它分成全等的四块呢?
D
E
F
A′
B′
(C′)
A
B
C
D
E
F
A′
B′
(C′)
4.如图，△ABC≌△DEF,你能通过平移、旋转或翻折
使它们重合吗？
A
B
C
D
E
F
5.如图,△ABC≌△ADE, BC的延长线交DE于F,
∠B=25°,∠AED=105°,∠DAC=10° ,求∠DFB.
【解析】∵△ABC≌△ADE,
∴∠DAB=∠CAB+∠CAD=60°,即∠DFB=60°.
∴∠DFB=∠DAB,
∴∠B=∠D，∠ACB=∠AED,
【规律方法】全等多边形的特征：对应边分别相等、
对应角分别相等.它是求线段、角相等及和、差、倍、
分的重要手段.
1.什么是全等图形？
2.多边形全等的特征：
能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特别是研究多边形(三角形)的全等.
对应边相等、对应角相等.
如果两个多边形的边都对应相等、角都对应相等，
那么这两个多边形全等.
3.识别多边形全等的方法：
每一颗心都有自己的太阳，每一颗太阳都有照耀的领域.
