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第7章 一次方程组
7.1 二元一次方程组和它的解
1.了解二元一次方程及二元一次方程组的概念.
2.理解二元一次方程的解及二元一次方程组的解的概念.
3.会判断一组数是不是二元一次方程组的解.
夏季来临，天气逐渐炎热起来．某商店将某种碳酸饮料每
瓶的价格上调了10%，将某种果汁饮料每瓶的价格下调了
5%．已知调价前买这两种饮料各一瓶共花费7元，调价后
买上述碳酸饮料3瓶和果汁饮料2瓶共花费17.5元，问这两
种饮料在调价前每瓶各多少元？
解法一：设调价前碳酸饮料每瓶x元，果汁饮料每瓶（7-x）
元，依题意得：3（1+10%）x+2（1-5%）（7-x）=17.5
解法二：设调价前碳酸饮料每瓶x元，果汁饮料每瓶y元，
依题意得：x+y=7①
3（1+10%）x+2（1-5%）y=17.5②
有两个未知数，并且含未知数项的次数都是1,像这
样的方程，叫做二元一次方程.
x+y=7 ①
3（1+10%）x+2(1-5%)y=17.5 ②
未知数的个数和次数与方程3（1+10%）x+2(1-5%)(7-x)
=17.5有什么不一样？
把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元
一次方程组.
要点:（1）方程组中只有两个未知数.
（2）含未知数的项的次数都是一次．
x+y=7 ①
3（1+10%）x+2(1-5%)y=17.5 ②
2.若x(m-3)-8y(n+2)=0 是关于x,y的二元一次方程, 则m=____,n=_______.
4
1.判断下列哪一个方程是二元一次方程.
（1） +2y=1. (2)x+ = -7. (3)8ab=5.
（4）2x2-x+1=0. (5)2(x+y)-3(x-y)=1.
(1)(5)
－1
试一试
3.下列方程组中是二元一次方程组的有__________.
3x-y=0
y=2x+1
5x-y=0
3x+z=1
x=1
y=4
x+y=3
xy+3=1
(1)
(2)
(3)
(4)
（１）（３）
满足方程x+y=22且符合实际意义的x，y的值有哪些？
上表中哪对x,y的值是方程2x+y=40的解？
从中你体会到二元一次方程有＿＿＿个解
无数
问题探究
x … 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 …
y … 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 …
一般地，使二元一次方程组中两个方程的左右两边的
值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.
概念学习
【例】检测下列各对数是不是方程组
x=2
y=1
x=3
y=-1
x=4
y=
【解析】(1)把x=2,y=1分别代入方程①②,发现不满足
②,所以 不是方程组的解.
(2)把x=3， y=-1代入方程①②,发现不满足①,所以
不是方程组的解.
x=2
y=1
x=3
y=-1
【例题】
(3)把x=4，y= 代入方程①②,发现能使方程
①②左右两边相等，所以 是方程组的解.
1.把下列方程组的解和相应的方程组用线段连起来：
x=1
y=2
x=3
y=-2
x=2
y=1
y=3-x
3x+2y=8
y=2x
x+y=3
y=1-x
3x+2y=5
【跟踪训练】
2.已知2x+3y=4，当x=y 时，x,y 的值均为___，当x+y=0时,
x=_____，y=_____.
3.已知 是方程2x-4y+2a=3的一个解，则a=____.
4.若方程2x2m+3=3y3n-7是关于x,y的二元一次方程，则
m=______，n=____.
-4
4
-1
1.关于二元一次方程3x+2y=11的解的说法正确的是 ( )
A.任何一对有理数都是它的解
B.只有一个解
C.只有两个解
D.有无穷多个解
【解析】选D.使3x+2y=11成立的x，y有无数组.
2.（益阳·中考）二元一次方程x-2y=1有无数多个
解，下列四组值中不是该方程的解的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】选B.把B项代入方程，左边为-1，右边为1，不
能使方程成立.所以其不是方程的解.
3.（苏州·中考）方程组 的解是( )
A． B． C． D．
【解析】选D.把 代入方程组 成立.
4.关于x，y的方程ax2+bx+2y=3是一个二元一次方程，则
a，b的值为（ ）
A.a=0且b=0 B.a=0或b=0
C.a=0且b≠0 D.a≠0且b≠0
【解析】选C.需满足方程中的ax2=0且bx≠0，所以a=0且
b≠0 .
5.若 是方程 - -k=0的解，则k的值为( )
A.- B. C. D.-
【解析】选B.根据题意把s,t代入方程可得到
所以k= .
概念
二元一次方程组
概念
应用
二元一次方程
二元一次方程的解
二元一次方程组的解
通过本课时的学习，需要我们掌握：
成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约.
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7.2 二元一次方程组的解法
第1课时
1.掌握代入消元法解二元一次方程组的步骤.
2.了解解二元一次方程组的基本思路.
3.初步体会化归思想在数学学习中的运用.
解法二：设胜x场，负(22-x)场，则
2x+(22-x)=40.
篮球联赛中,每场都要分出胜负,每队胜一场得2分,负一
场得1分,某队为了争取较好的名次,想在全部的22场比赛
中得到40分,那么这个队胜负数应该分别是多少?
以上的方程组与方程有什么联系？
①
②
③是一元一次方程，求解当然容易了!
再将②中的y换为
就得到了③.
想一想
上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程,将一个未
知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个
方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.即
通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一
次方程来解的，这种解法叫做代入消元法，简称代入法.
归 纳
【例1】解方程组：
3x+2y=14 ①
x=y+3 ②
【解析】将②代入① ，得3（y+3）+2y=14，
3y+9+2y=14，
5y=5，
y=1，
将y=1代入②，得x=4，
所以原方程组的解是
【例题】
【解析】由② ，得x=13-4y ③
将③代入① ，得 2（13-4y）+3y=16，
26–8y+3y=16，-5y=-10，y=2.
将y=2代入③，得 x=5.
所以原方程组的解是
主要步骤：
基本思路:
写解
求解
代入
消去一个元
分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
变形
用含一个未知数的代数式
表示另一个未知数
消元: 二元
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
2.用代入法解方程的步骤是什么？
一元
归 纳
下列是用代入法解方程组
①
②
的开始
步骤，其中最简单、正确的是（ ）
A.由①，得y=3x-2 ③，把③代入②，得3x=11-2(3x-2)
B.由①，得 ③，把③代入②，得
C.由②，得 ③，把③代入①，得
D.把②代入①，得11-2y-y=2，把3x看作一个整体
D
【跟踪训练】
-3
【解析】根据题意，得方程组
解方程组即可得出x，y的值.
答案：
2.（江西·中考）方程组
的解是 ．
答案：
【解析】把（2）式变形为x=7+y，然后代入
（1）式，求得y=-3，然后再求出x=4.
【解析】
由②得 x=4+y ③，
把③代入①得 12+3y+4y=19，
解得 y=1.
把y=1代入③得，x=5.
所以原方程组的解为
3.（青岛·中考）解方程组：
y=2x
⑴
x+y=12
⑵
x= —
y-5
2
4x+3y=65
4.解方程组：
【解析】
①
②
①
②
5.若方程5x2m+n + 4y3m-2n = 9是关于x,y的二元一次方程，
求m,n 的值.
【解析】根据题意得
解得
1.用代入法解二元一次方程组.
主要步骤：①变形——用含一个未知数的代数式表示
另一个未知数；
②代入——消去一个元；
③求解——分别求出两个未知数的值；
④写解——写出方程组的解.
2.体会解二元一次方程组的基本思想——“消元”.
3.体会化归的思想（化未知为已知）的应用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
你可以选择这样的“三心二意”：信心、恒心、决心；创意、乐意.
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7.2 二元一次方程组的解法
第2课时
1.掌握用加减消元法解二元一次方程组的步骤．
2.熟练运用消元法解简单的二元一次方程组．
3.培养学生的分析能力，能迅速在所给的二元一次
方程组中，选择一种简单的方法解方程组.
基本思路:
消元: 二元
1.解二元一次方程组的基本思路是什么？
一元
2.用代入法解方程的步骤是什么？
写解
求解
代入
变形
怎样解下面的二元一次方程组呢？
①
②
议一议
把②变形得：
代入①，不就消去x了！
把②变形得
可以直接代入①呀！
小明
和
互为相反数……
按小丽的思路，你能消去
一个未知数吗？
小丽
（3x ＋ 5y）+（2x － 5y）＝ 21 + (－11)
分析：
①
②
①左边 + ② 左边 = ① 右边 + ②右边
2x-5y = -11
3x + 5y = 21
把x＝2代入①，得y＝3
的解是
所以方程组
x＝2
3x+5y +2x－5y＝10
5x+0y＝10
5x=10
参考小丽的思路，怎样解下面的二元一次方程组呢？
分析：观察方程组中的两个方程，未知数x的系数相等，
都是2．所以把这两个方程两边分别相减，就可以消去未
知数x，同样得到一个一元一次方程．
想一想
【解析】②－①得:8y＝－8
y＝－1
把y ＝－1代入①，得
2x－5×（－1）＝7
解得:x＝1
所以原方程组的解是
上面这些方程组的特点是什么?
解这类方程组的基本思路是什么？主要步骤有哪些？
主要步骤：
特点:
基本思路:
写解
求解
加减
二元
一元
消元:
消去一个未知数
分别求出两个未知数的值
写出原方程组的解
同一个未知数的系数相同或互为相反数
加减消元法：通过将两个方程的两边分别相加（或相减）
消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程来解.这种
解法叫做加减消元法，简称加减法.
归纳
【例】用加减法解方程组:
当方程组中两方程不具备
上述特点时，必须用等式
性质来改变方程组中方程
的形式，即得到与原方程
组同解的且某未知数系数
的绝对值相等的新的方程
组，从而为用加减消元法
解方程组创造条件．
①×3得：
所以原方程组的解是
①
②
分析：
③-④得: y=2
把y＝2代入①，
解得: x＝3
②×2得：
6x+9y=36 ③
6x+8y=34 ④
【例题】
用加减消元法解方程组：
【解析】由①×6，得
2x+3y=4 ③
由②×4，得
2x - y=8 ④
由③-④得:4y=-4,y= -1
把y= -1代入② ，
解得:
所以，原方程组的解是
【跟踪训练】
只要两边______________就可以消去未知数____.
分别相加
y
1.已知方程组 两个方程
分别相减
2.已知方程组
两个方程
x
只要两边______________就可以消去未知数____.
3.（泉州·中考）已知x,y满足方程组
则x－y的值为 .
【解析】方程①-②得x-y=1.
答案：1
4.（芜湖·中考）方程组
的解是 ．
【解析】先观察，再用①+②得：3x=15，x=5.最后把
x=5代入①得：y= -1.
答案：
【解析】由①+②,得3x=45
x=15
把x=15代入①，得 15+y=20
y=5
所以这个方程组的解是
5.（潼南·中考）解方程组
通过本课时的学习，需要我们掌握：
1.解二元一次方程组的基本思路是消元.
2.消元的方法有：代入消元和加减消元.
3.解二元一次方程组的一般步骤：消元、求解、写解.
把每一件简单的事做好就不简单，把每一件平凡的事做好就不平凡.
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7.2 二元一次方程组的解法
第3课时
1.学会用二元一次方程组解决实际问题.
2.归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
3.初步体会列方程组解决实际问题的步骤，将实际
问题转化成二元一次方程组的数学模型.
列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么 ？
⑴设：用字母表示题目中的一个未知数.
一般情况下,问什么设什么(直接设未知数法).
当然还有“间接设未知数法”“设辅助未知数法”.
⑵列：根据所设未知数和找到的等量关系列方程.
⑶解：解方程，求未知数的值.
⑷答：检验所求解，写出答案.
利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?
与同伴交流一下.
审 清题意,找出等量关系;
设 未知数x,y;
列 出二元一次方程组;
解 方程组;
检 验;
答 题.
等量关系：
【例1】养牛场原来有30只大牛和15只小牛，1天约需用饲
料675 kg；一周后又购进12只大牛和5只小牛，这时1天约
需要饲料940 kg．饲养员李大叔估计平均每只大牛1天约
需要饲料18～20 kg，每只小牛1天约需要7～8 kg．你能
否通过计算检验他的估计？
（1）30只大牛1天所需饲料＋15只小牛1天所需饲料＝原来
1天的饲料总量；
（2）42只大牛1天所需饲料＋20只小牛1天所需饲料＝后来
1天的饲料总量．
【例题】
【解析】设平均每天每只大牛和每只小牛各需饲料约
x kg，y kg,则可列方程组
解这个方程组得
答：平均每只大牛1天约需饲料20 kg，每只小牛1天约
需饲料５kg.饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，
对小牛的食量估计偏高.
某校环保小组成员收集废电池,第一天收集了一号电池4
节，五号电池5节，总重为460克，第二天收集一号电池2
节，五号电池3节，总重为240克，一号电池和五号电池
每节分别重多少克？
【解析】设一号电池和五号电池每节分别重x克，y克,
则可列方程组
解这个方程组得
答：一号电池和五号电池每节分别重90克、20克.
【跟踪训练】
【例2】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品,每
克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质,每克乙原料含0.7单位
蛋白质和0.4单位铁质, 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单
位铁质, 那么每餐甲、乙原料各多少克恰好满足病人的需要?
【解析】设每餐甲、乙原料各x，y克. 则有下表:
0.5x
x
0.7y
0.4y
35
40
【例题】
甲原料x克 乙原料y克 所配的营养品
其中所含蛋白质
其中所含铁质
根据题意,得方程组
化简,得
①- ②,得 5y=150，
y=30，
把y=30代入①,得x=28.
答：每餐需甲原料28克,乙原料30克.
一、二班共有100名学生,他们的体育达标率(达到标准
的百分率)为81﹪,如果一班学生的体育达标率为87.5﹪,
二班学生的体育达标率为75﹪,那么一、二班的学生数
各是多少?
【解析】设一、二班的学生分别为x名，y名.
x
y
100
87. 5﹪x
75﹪y
81﹪×100
【跟踪训练】
一班 二班 两班总和
学生数
达标学生数
根据题意,得方程组
解得
答：一、二班的学生分别为48名和52名.
【解析】选D.根据（1）班与（5）班得分比为6:5得
5x=6y;根据（1）班得分比（5）班得分的2倍少40分得
x=2y-40.
1.（丹东·中考）某校春季运动会比赛中，八年级（1）班、
（5）班的竞技实力相当，关于比赛结果，甲同学说：（1）
班与（5）班得分比为6:5；乙同学说：（1）班得分比（5）
班得分的2倍少40分．若设（1）班得x分，（5）班得y分，根
据题意所列的方程组应为（ ）
A. B. C. D.
2.（巴中·中考）巴广高速公路在5月10日正式通车，
从巴中到广元全长约126 km，一辆小汽车、一辆货车同
时从巴中、广元两地相向开出，经过45分钟相遇，相遇
时小汽车比货车多行6 km，设小汽车和货车的速度分别
为x km/h，y km/h，则下列方程组正确的是（ ）
【解析】选D.45分钟= 小时，等量关系为：
小汽车所走路程+货车所走路程=126 km；
小汽车所走路程－货车所走路程=6 km.可得
3.一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿，现有蛐蛐和蜘蛛共
10只，共有68条腿，若设蛐蛐有x只，蜘蛛有y只，则列
出方程组为___________．
【解析】根据蛐蛐和蜘蛛共10只，可得ｘ＋ｙ＝10;由蛐
蛐和蜘蛛共有68条腿，可得６ｘ＋８ｙ＝68.
答案：
4.（内江·中考）某电脑经销商计划同时购进一批电脑机
箱和液晶显示器，若购进电脑机箱10台和液晶显示器8
台，共需资金7 000元；若购进电脑机箱2台和液晶显示器
5台，共需资金4 120元．每台电脑机箱和液晶显示器进价
各多少元？
【解析】设每台电脑机箱和液晶显示器进价分别为x，y元，
则 解得
答：每台电脑机箱和液晶显示器进价分别是60元、800元．
5.A市至B市的航线长1 200 km，一架飞机从A市顺风飞往
B市需2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分.求飞
机的平均速度与风速.
顺风速度=飞机的速度+风速
逆风速度=飞机的速度-风速
【解析】设飞机的平均速度为xkm/h,风速为y km/h, 根
据题意可列方程组
解得：
答：飞机的平均速度为420 km/h，风速为60 km/h.
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们
往往可以借助列方程(组)的方法来处理这些问题.
2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样的，
应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
自信是长期坚持的一种生活习惯，它会让你精神饱满地迎接每一天升起的太阳.
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*7.3 三元一次方程组及其解法
1.经历探索三元一次方程组的解法的过程.
2.会解三元一次方程组.
3.能利用三元一次方程组解决简单的实际问题.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸
币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4
倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共
计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1
元、2元、5元纸币各多少张.
【解析】 （1）这个问题中包含有 个未知数:
1元、2元、5元纸币的张数
（2）这个问题中包含有 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币 的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元纸币的金额＋2元纸币的金额＋5元纸币的金额＝22元
三
三
交流探索
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
①
②
③
你能根据等量关系列出方程吗?
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
①
②
③
观察方程①、③你能得出什么？
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都
是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
概念学习
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我
们把这三个方程合在一起，写成
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数
的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方
程组叫做三元一次方程组.
如何解三元一次方程组呢？
是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二
元，再把二元化为一元呢？
议一议
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的
基本思路一样，即
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
归纳
【例】解三元一次方程组
【分析】方程①中只含x,z,因此，
可以由②③消去y，得到一个只含
x，z的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
【例题】
②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，三元一次方程组的解为
3x＋4z=7 ①
2x＋3y＋z=9 ②
5x－9y＋7z=8 ③
【解析】
解三元一次方程组
①
②
③
【答案】
【跟踪训练】
1.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，
则z＝_______.
【解析】把x=-1,y=-2代入方程中，即
可求出z的值.
答案：4
2.解方程组 ,则x＝_____，
y＝______，z＝_______.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +
②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代
入任何一个方程求出x即可.
答案：6 8 3
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的
值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.通过观察未知数的系数，可采取两个方程
相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
4.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2
时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0 ①
4a＋2b＋c=3 ②
25a＋5b＋c=60 ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1
4a＋b=10
a=3
b=-2
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3
b=-2
｛
c=-5
a=3
b=-2
c=-5
因此
答：a=3, b=-2, c=-5.
5.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、
棉花和蔬菜，已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及
投入的资金如下表：
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种农作物
的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资
金正好够用？
农作物品种 每公顷所需劳动力 每公顷投入资金
水稻 4人 1万元
棉花 8人 1万元
蔬菜 5人 2万元
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、
z公顷种蔬菜.
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜.
1.三元一次方程组的解法
2.三元一次方程组的应用
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握：
速度就是一切，它是竞争不可或缺的因素.
(共24张PPT)
7.4 实践与探索
1.会用二元一次方程组解决实际问题.
2.体会列方程组解决实际问题的步骤，将实际
问题转化成二元一次方程组的数学模型.
利用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的?
与同伴交流一下.
审 清题意,找出等量关系;
设 未知数x,y;
列 出二元一次方程组;
解 方程组；
检 验；
答 题.
要用20张白卡纸做包装盒,每一张白卡纸可以做盒身
2个,或是做盒底盖3个.如果一个盒身和2个盒底盖可以做
成一个包装盒,那么能否把这些白卡纸分成两部分,一部
分做盒身,另一部分做盒底盖,使做成的盒身和盒底盖正
好配套?
【思路点拨】设用x张白卡纸做盒身,y张白卡纸做盒底盖.
(1)做盒身的白卡纸张数与做盒底盖的白卡纸张数的和等
于20.
(2)盒底盖总数是盒身总数的2倍,正好配套.
x+y=20
3y=2x×2
由于解是分数,所以若白卡纸不套裁,则最多能做成16个
包装盒;若可套裁,用8张做盒身,11张做盒底盖,另一张套
裁出1个盒身,1个盒底盖,则共可做盒身17个,盒底盖34个,
正好配成17个包装盒,较充分地利用了材料.
【解析】设用x张白卡纸做盒身,y张白卡纸做盒底盖,则
【例1】以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四
折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
题目大意是：用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等
份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一
份绳长比井深多1尺.问绳长、井深各是多少尺？
解法一：等量关系：
绳长的 -井深=5
绳长的 -井深=1
【例题】
①-②,得
【解析】设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
x =48.
将x=48代入①，得y=11.
答：绳长48尺，井深11尺.
【解析】设绳长x尺，井深y尺，则由题意得
答：绳长48尺，井深11尺.
解法二：
等量关系：（井深+5）×3=绳长
（井深+1）×4=绳长
某市为更有效地利用水资源,制定了用水收费标准:
如果一户三口之家每月用水量不超过M m3,按每立方米水
1.30元收费;如果超过M m3,超过部分按每立方米水2.90元
收费,其余仍按每立方米水1.30元收费.小红一家三口,1月
份共用水12 m3,支付水费22元.问该市制定的用水标准M为
多少?小红一家超标使用了多少立方米的水?
【跟踪训练】
【解析】设用水标准M为x m3,小红一家超标使用了y m3，
的水,则
答:用水标准M为8 m3,小红一家超标使用了4 m3 的水.
【例2】如图,长青化工厂与A，B两地由公路、铁路相连，
这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制
成每吨8 000元的产品运到B地，公路运价为1.5元/
（吨·千米），铁路运价为1.2元/（吨·千米），这两次
运输共支出公路运费15 000元，铁路运费97 200元，这批
产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？
【例题】
【分析】根据题意填写下表：
20x·1.5
110x·1.2
8 000x
10y·1.5
120y·1.2
1 000y
15 000
97 200
【解析】根据图表，列出方程组
20x·1.5
10y·1.5
15 000，
+
=
110x·1.2
120y·1.2
97 200，
+
=
解方程组得
8 000x-1 000y-15 000-97 200
=8 000×300-1 000×400-15 000-97 200
=1 887 800
答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多
1 887 800元.
某车间每天能生产甲种零件600个，或乙种零件300个，
或丙种零件500个，甲、乙、丙三种零件各1个就可以配
成一套，要在63天内的生产中,使生产的零件全部成套，
问甲、乙、丙三种零件各应生产几天？
【解析】设甲零件生产x天，乙零件生产y天，则丙零
件生产（63-x-y)天，根据题意，得
所以63-x-y=18.
答：甲、乙、丙三种零件分别生产15天、30天和18天.
解得
【跟踪训练】
1.（嘉兴·中考）根据以下对话，可以求得小红所买的
笔和笔记本的价格分别是（ ）
A.0.8元/支，2.6元/本 B.0.8元/支，3.6元/本
C.1.2元/支，2.6元/本 D.1.2元/支，3.6元/本
【解析】选D.设一支笔x元，一本笔记本y元，
由题意得
解得
2.长风乐园的门票价格规定如下表所列.某校初一(1)、
(2)两个班共104人去游长风乐园,其中(1)班人数较少,不
到50人,(2)班人数较多,有50多人.经估算,如果两班都以
班为单位分别购票，则一共应付1 240元；如果两班联合
起来,作为一个团体购票,则可以节省不少钱.问两班各有
多少名学生?
购票人数 1～50人 51～100人 100人以上
每人门票价 13元 11元 9元
【解析】设初一(1)班有x 人，初一(2)班有y人，则
答:初一(1)班有48人，初一(2)班有56人.
【解析】设安排x个工人生产圆形铁片，y个工人生产长
方形铁片.由题意得
答：安排24个工人生产圆形铁片，18个工人生产长方形铁片，
才能使每天生产的铁片正好配套.
3.一个工厂共42名工人，每个工人平均每小时生产圆形
铁片120片或长方形铁片80片.已知两片圆形铁片与一片
长方形铁片可以组成一个圆柱形密封的铁桶.你认为如何
安排工人的生产，才能使每天生产的铁片正好配套?
4.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分钟600
米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑
路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的
长度.
【解析】设自行车路段的长度为x米，长跑路段的长度为
y米，可得方程组
解得
答：自行车路段和长跑路段的长度分别为3 000米和
2 000米.
1.在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此
我们往往可以借助列方程（组）的方法来处理这些问题.
? 2.这种处理问题的过程可以进一步概括为：
3.要注意的是，处理实际问题的方法往往是多种多样
的，应根据具体问题灵活选用.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成的.
