(共25张PPT)
§19.1 命题与定理
1.命题的相关概念
(1)定义:判断一件事情_____的句子,叫做命题.
(2)分类:_____的命题称为真命题,_____的命题称为假命题.
(3)组成: 命题是由_____(或已知条件)、_____两部分组成的.
命题常可写成“如果……,那么……”的形式.用“如果”开始
的部分就是_____,而用“那么”开始的部分就是_____.
真假
正确
错误
题设
结论
题设
结论
2.阅读相关材料,掌握公理和定理的概念及区别
(1)公理:数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出
来的,并把它们作为判断其他命题真假的原始依据,这样的真命
题叫做_____.
(2)定理: 数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻
辑推理的方法证明它们是正确的,并且可以进一步作为推断其他
命题真假的依据,这样的真命题叫做_____.
公理
定理
【归纳】命题→真命题→定理→公理的要求越来越严格.
【点拨】公理和定理都是真命题.
【预习思考】
1.一般语句和命题有什么不同？
提示：一般语句不能判断真假,而命题能判断真假.
2.如何区分公理和定理?
提示：公理的正确性不需要用推理来证明,而定理的正确性需
要由公理来证明.
命题的判定
【例1】判断下列命题的真假,并说明理由.
①如果两个角是对顶角,那么这两个角相等；
②三角形的内角和是180°；
③同位角相等；
④平行四边形的对角线相等；
⑤菱形的对角线相互垂直.
【解题探究】
1.根据命题的定义,正确的命题称为真命题,错误的命题称为假
命题,假命题能举出反例使原来的命题不成立.
2.根据命题的定义,写出哪些是真命题,并说明理由.
答:①②⑤都是正确的,是真命题；因为对顶角相等, 三角形的
内角和是180°,菱形的对角线相互垂直都是正确的.
3.如果命题是假命题,请举出反例说明.
答:(1)③为假命题；反例：当两直线不平行时,所得的同位角不
相等,所以命题③为假命题；
(2)④为假命题.反例:由平行四边形的性质得对角线不一定相等.
【规律总结】
真假命题的判定方法
方法一：在命题中的已知条件下，如果结论正确就是真命题，
如果结论错误就是假命题；
方法二：要判断一个命题是真命题，可以用逻辑推理的方法加
以论证；而要判断一个命题是假命题，只要举出一个反例，使
它符合条件，但不符合结论，说明该命题不成立即可.
注意：对一件事情作出判断的语句，不能因为这句话是错误
的，就说它不是命题.
【跟踪训练】
1.下列语句中是命题的是( )
(A)这个问题 (B)这只笔是黑色的
(C)你好吗 (D)画一条线段
【解析】选B.只有选项B是判断句,其余的不是判断句,所以只有
B项是命题.
2.下列命题:(1)两点之间,线段最短；(2)等边三角形是轴对称
图形；(3)两直线相交,对顶角相等；(4)两直线被第三条直线所
截,同位角相等.是假命题的是_______.(填序号)
【解析】命题(1)(2)(3)都是真命题,命题(4)不成立,是假命题.
答案：(4)
3.举出命题“能被3整除的数一定是奇数”是假命题的一个反
例.__________.
【解析】因为6能被3整除,而6是偶数,所以原命题是假命题.
答案：6(答案不唯一)
【变式备选】
用举反例的方法说明命题“一个锐角与一个钝角的和等于一个
平角”是假命题.
【解析】举出一个反例:60°角是锐角,100°角是钝角,但它们
的和不是180°,所以,原命题为假命题.
公理、定理的应用
【例2】(6分)在四边形ABCD中，给出下列论断：①AB∥DC；
②AD∥BC；③∠A=∠C.以其中两个作为条件，另外一个作为结
论，用“如果……那么……”的形式，写出一个你认为正确的
命题.
【规范解答】在四边形
ABCD中，如果AB∥DC，∠A=∠C，
那么AD∥BC，如图所示：
证明：∵AB∥DC，∴∠A+∠D=180°, …………………2分
又∵∠A=∠C，∴∠C+∠D=180°, ………………………4分
∴AD∥BC. …………………………………………………6分
易错提醒:证明AD∥BC,用到同旁内角互补，不要用错了角.
【规律总结】
公理与定理的联系和区别
(1)联系：公理与定理都是判断一件事情真假的句子，即都是命
题，并且都是真命题，都可以作为判断其他命题真假的依据；
(2)区别：公理不需要证明，而定理需要通过推理论证而得出.
【跟踪训练】
4.下列命题中正确的是( )
(A)矩形的对角线相互垂直
(B)菱形的对角线相等
(C)平行四边形是轴对称图形
(D)等腰梯形的对角线相等
【解析】选D.矩形的对角线相等,A项错误；菱形的对角线相互垂
直,B项错误；平行四边形是中心对称图形,C项错误；等腰梯形的
对角线相等,D正确,故选D.
5.证明：两条平行线被第三条直线所截，则它们的一对同位角
的角平分线互相平行.(要求画图，写出已知、求证、证明)
【解析】如图所示，已知：a∥b，AB，CD分别是∠EAC和∠FCG
的平分线，求证：AB∥CD.
证明：∵a∥b，
∴∠EAC=∠FCG，
∵AB，CD分别是∠EAC和∠FCG的平分线，
∴AB∥CD.
1.下列命题是假命题的是( )
(A)等角的补角相等
(B)内错角相等
(C)任意不等于0的数的零次幂都等于1
(D)两点确定一条直线
【解析】选B.根据平角的定义可以证明A项正确；只有两直线平
行,内错角才相等,B项错误；C项是0次幂的规定,正确；D项符合
确定直线的条件,D正确.故选B.
2.(2012·温州中考)下列选项中，可以用来证明命题“若
a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是( )
(A)a=-2 (B)a=-1
(C)a=1 (D)a=2
【解析】选A.如果a=-2，则a2＞1成立，但是a＞1不成立.
3.在命题“同位角相等,两直线平行”中,题设是:___________.
【解析】命题中,已知是“同位角相等”,所以“同位角相等”
是命题的题设部分.
答案：同位角相等
4.请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例:________.
【解析】例如α=50°,β=60°,α+β≥90°.
答案：两锐角分别是50°，60°，这两个锐角的和是110°，不
是锐角(答案不唯一)
5.在学习中，小明发现：当n=1，2，3时，n2-6n的值都是负数.
于是小明猜想：当n为任意正整数时，n2-6n的值都是负数.小明
的猜想正确吗?请简要说明你的理由.
【解析】不正确.
(利用反例说明)例如：当n=7时，n2-6n=7＞0.
【归纳整合】要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即
可；此题还有方法二：由n2-6n=n(n-6)，当n≥6时，n2-6n≥0
也可说明小明的猜想不正确.
(共32张PPT)
1.全等三角形的判定条件
2.边 角 边
1.全等三角形的判定条件
(1)对两个三角形来说，六个元素(三条边，三个角)中至少要有
_____元素分别对应相等，两个三角形才可能全等.
(2)两个三角形有3组对应相等的元素，那么所含有的四种情况
是：_____、_____、_________、_________.
三个
三边
三角
两边一角
两角一边
2.两边一角对应相等的两个三角形的关系
探究:(1)先任意画出一个△ABC,再画出一个△A′B′C′，使
AB=A′B′,CA=C′A′,∠A=∠A′(即使两边和它们的夹角对应
相等).把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等
吗？
(2)先任意画出一个△ABC,再画出△A1B1C1，使AB=A1B1,CA=C1A1,
∠B=∠B1,把画好的△A1B1C1剪下，放在△ABC上，它们全等吗？
若∠C=∠C1呢？
【归纳】两边和它们的夹角对应相等的两个三角形_____；两边
和其中一边的对角对应相等的两个三角形___________.
【点拨】两边一角对应相等的两个三角形，只有角是两边的夹
角时，才一定全等.
全等
不一定全等
3.“S.A.S.”判定方法
(1)内容：_____和它们的_____对应相等的两个三角形全等.简
写：“边角边”或“S.A.S.”.
两边
夹角
(2)书写格式：
在△ABC和△A′B′C′中，如图所示，∴△ABC≌____________(_______).
【点拨】角必须是两对应相等边的夹角，“S.S.A.”是不能判定
任意两个三角形全等的.
∠A′
△A′B′C′
S.A.S.
【预习思考】
要判定两个三角形全等,至少要满足几组条件?
提示：至少要满足3组条件对应相等.
应用“S.A.S.”判定三角形全等
【例1】(2011·柳州中考)如图,AB=AC,点E，F分别是AB，AC的
中点.求证:△AFB≌△AEC.
【解题探究】
1.当前学过证明三角形全等的依据是什么?
答:学过证明三角形全等的依据是“S.A.S.”.
2.分析条件:依据条件证明△AFB≌△AEC,具备了什么条件?还缺
少什么条件?
答:要证明△AFB≌△AEC,已具备了一边和一角对应相等,还缺少
夹角的另一边对应相等.
3.寻找条件:根据已知条件,寻找另一边对应相等:
∵点E，F分别是AB，AC的中点,
又∵AB=AC,∴AE=AF,
4.书写条件:在△AFB和△AEC中,
∴△AFB≌△AEC(S.A.S.).
【规律总结】
“S.A.S.”证明三角形全等的注意事项及证明方法
1.应用“S.A.S.”判定两个三角形全等的两点注意
(1)对应：“S.A.S.”包含“边”“角”两种元素，是两边夹一
角，而不是两边及一边的对角对应相等，一定要注意元素的“对
应”关系；
(2)顺序：在应用时一定要按边→角→边的顺序排列条件，绝不
能出现边→边→角的错误，因为边边角不能保证两个三角形全
等.
2.证明中重要的两种方法
(1)分析法：就是“执果索因”，从“未知”看“需知”(找可
知)，逐步追溯到已知条件.
(2)综合法：就是“由因导果”从“已知”看“可知”(找需
知)，逐步推出要解决的问题.
【跟踪训练】
1.如图，CO=BO,AD,BC相交于点O,要使△ABO≌△DCO,应添加的
条件是__________.
【解析】在△ABO和△DCO中,CO=BO,∠AOB=∠DOC,再添加条件
AO=DO,依据“S.A.S.”可证△ABO≌△DCO.
答案：AO=DO
【变式备选】
如图所示,AB=AC,可补充条件:_________
(写出一个即可)能使△ABE≌△ACE.
【解析】在△ABE和△ACE中,AB=AC,AE=AE(公共边),再添加条件
∠BAE=∠CAE,依据“S.A.S.”可证△ABE≌△ACE.
答案：∠BAE=∠CAE
2.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,D为BC的
中点,则△ADB≌△ADC,根据是_________.
【解析】由AD⊥BC,得∠ADB=∠ADC=90°；
D为BC的中点,所以BD=CD；在△ADB和△ADC中,AD=AD,∠ADB=∠ADC, BD=CD,依据“S.A.S.”,得
△ABD≌△ACD.
答案：S.A.S.
3.(2012·武汉中考)如图，CE=CB，CD=CA，∠DCA=∠ECB,求证：
DE=AB.
【证明】∵∠DCA=∠ECB,
∴∠DCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE,
即∠DCE=∠ACB.
在△DCE和△ACB中,
∴△DCE≌△ACB(S.A.S.)
∴DE=AB.
应用“S.A.S.”解决实际问题
【例2】(6分)如图所示，有一池塘,要测池塘两侧A，B的距离,
可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,
使CD=CA,连结BC并延长到E,使CE=CB,连结DE,那么量出DE的长就
是A，B的距离吗？为什么?
【规范解答】DE=AB,理由:
在△ABC和△DEC中，………………1分
∴△ABC≌△DEC(S.A.S.). ………5分
∴AB=DE. ……………………………………………………6分
特别提醒:线段AC和CD,CE和CB是对应线段.
【互动探究】
∠1=∠2的依据是什么? AB=DE的依据是什么?
提示：∠1=∠2的依据是“对顶角相等”, AB=DE的依据是“全
等三角形的对应边相等”.
【规律总结】
三角形全等证明中的四个步骤
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证明(公共边相等
可以直接应用，不必推理说明)；
(2)写出在哪两个三角形中；
(3)列出三个条件用大括号括起来(没有先后顺序)；
(4)写出全等结论.
【跟踪训练】
4.如图是人字型金属屋架的示意图,该
屋架由BC，AC，BA，AD四段金属材料焊
接而成,其中A，B，C，D四点均为焊接点,且AB=AC,D为BC的中点,
假设焊接所需的四段金属材料已截好,并已标出BC段的中点D,那
么,如果焊接工身边只有可检验直角的角尺,而又为了准确快速地
焊接,他应该首先选取的两段金属材料及焊接点是( )
(A)AD和BC,点D (B)AB和AC,点A
(C)AC和BC,点C (D)AB和AD,点A
【解析】选A.在D点,先应用角尺确定AD⊥BC,再把AD和BC两段金
属材料焊接在一起,然后再焊接AB和AC比较省事.理由:依据
“S.A.S.”,可得△ABD≌△ACD.
5.如图所示,有两个滑梯,左边滑梯的高AC与右边滑梯水平方向
的长度DF相等,左边滑梯的水平长度AB与右边滑梯垂直高度DE相
等,这两滑梯的长度有什么关系?
【解析】两段滑梯相等.理由:
在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(S.A.S.).
∴BC=EF.即两段滑梯的长度相等.
1.如图,已知AC和BD相交于点O,且BO=DO,AO=CO,下列判断正确的
是( )
(A)只能证明△AOB≌△COD
(B)只能证明△AOD≌△COB
(C)只能证明△AOB≌△COB
(D)能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB
【解析】选D.根据对顶角相等,依据“S.A.S.”判定方法,能证明△AOB≌△COD和△AOD≌△COB.
2.如图,AB=AC,AD=AE,欲证△ABD≌△ACE,可补充条件( )
(A)∠1=∠2 (B)∠B=∠C
(C)∠D=∠E (D)∠BAE=∠CAD
【解析】选A.由∠1=∠2,得∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,即
∠EAC=∠DAB,依据“S.A.S.”可以证明△EAC≌△DAB.
3.如图,已知AE=CF,∠A=∠C,要使△ADF≌△CBE,还需添加一个
条件___________(只需写一个).
【解析】由AE=CF可得AE+EF=CF+EF,即AF=CE.又已知∠A=∠C,
要使△ADF≌△CBE,可根据“S.A.S.”添加AD=CB.
答案：AD=CB
4.如图,AE=CF,BF=DE,BF∥DE.欲证∠B=∠D,可先运用等式的性
质证明AF=______,再用“S.A.S.”证明______≌______得到结
论.
【解析】由AE=CF,根据等式的性质,得AE+EF=CF+EF,即AF=CE.
再由BF∥DE,得∠BFA=∠DEC,且BF=DE,所以依据“S.A.S.”能
证明△AFB≌△CED.
答案：CE △AFB △CED.
5.如图所示,已知点A，E，F，D在同一条直线上,AE=DF,BF⊥AD,
CE⊥AD, 垂足分别为F，E,且BF=CE,求证:AB∥CD.
【证明】∵BF⊥AD,CE⊥AD,
∴∠AFB=∠DEC=90°.
∵AE=DF,
∴AE+EF=DF+EF,即AF=DE.
在△ABF和△DCE中,
∴△ABF≌△DCE(S.A.S.)∴∠A=∠D,
∴AB∥CD.
(共29张PPT)
3.角 边 角
一、两角一边对应相等的两个三角形的关系
两角一边对应相等的两个三角形_____.
【点拨】两个三角形仅满足两角和一边相等，这样的两个三角
形不一定全等，所以对应很重要.
全等
二、全等三角形的判定
1.A.S.A.
(1)内容：如果两个三角形有_______及其_____分别对应相等，
那么这两个三角形全等.
(2)简写：“_______”或“_______”.
(3)书写格式：如图所示.
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(_______).
两个角
夹边
角边角
A.S.A.
A.S.A.
2.A.A.S.
(1)内容：如果两个三角形有_______和其中一个角的_____分别
对应相等，那么这两个三角形全等.
(2)简写：“_______”或“_______”.
(3)书写格式：如上图所示，
在△ABC和△A′B′C′中，
∴△ABC≌△A′B′C′(_______).
【点拨】判定三角形全等的“A.S.A.”和“A.A.S.”定理可以
相互转化.
两个角
对边
角角边
A.A.S.
A.A.S.
应用“A.S.A.”判定三角形全等
【例1】(2011·汕头中考)已知:如图,E,F在AC上,AD∥CB且AD=CB,∠D=∠B.求证:AE=CF.
【解题探究】
1.应用“A.S.A.”判定三角形全等要注意什么?
答:注意边要在两角之间.
2.例题中要证AE=CF,需要证哪两个三角形全等?已知什么条件?
还缺少什么条件?
答:要证AE=CF,需要证△ADF≌△CBE；已知一角和一边对应相等,
还缺少夹边的另一角对应相等.
3.找条件:
∵AD∥CB,∴∠A=∠C.
4.给出证明：
在△ADF和△CBE中,
∴△ADF≌△CBE(A.S.A.)
∴AF=CE.
∴AF+EF=CE+EF,即AE=CF.
【互动探究】
例题中如果应用S.A.S.证明△ADF≌△CBE,需要改变什么条件?
提示：把例题中的条件AD∥CB变为DF=BE即可应用S.A.S.证明
△ADF≌△CBE.
【规律总结】
证明两三角形全等的思路
(1)若已知两边，可以考虑证明这两边的夹角相等；
(2)若已知两角，可以考虑两角的夹边或考虑其中一角的对边对
应相等；
(3)已知一边和一角，要分清已知边和角的位置关系，切忌出现
“S.S.A.”的错误思路.
【跟踪训练】
1.如图所示,∠1=∠2,∠3=∠4,若证得
BD=CD,则所用的判定两三角形全等的
依据是( )
(A)角角角 (B)角边角
(C)边角边 (D)角角边
【解析】选B.在△ABD和△ACD中,∠1=∠2,AD=AD,∠3=∠4,所
以,依据A.S.A.可判定△ABD≌△ACD.
2.如图,AB与CD交于点O,OA=OC,∠A=∠C,根
据________可得到△AOD≌△COB,从而可以
得到AD=________.
【解析】在△AOD和△COB中,∠A=∠C,OA=OC,
∠AOD=∠COB,所以,依据A.S.A.可判定△AOD≌△COB,从而可以
得到AD=CB.
答案：A.S.A. CB
3.如图,AB∥CD,AB=CD,点B，E，F，D在
一条直线上,∠A=∠C.求证:AE=CF.
【证明】∵AB∥CD,
∴∠B=∠D.
又∵AB=CD,∠A=∠C,
∴△ABE≌△CDF(A.S.A.),
∴AE=CF(全等三角形对应边相等).
应用“A.A.S.”判定三角形全等
【例2】(6分)如图,在△ABC中,AD是中线,分别过点B，C作AD及
其延长线的垂线BE，CF,垂足分别为点E，F.求证:BE=CF.
【规范解答】∵在△ABC中,AD是中线,
∴BD=CD. …………………………1分
∵CF⊥AD,BE⊥AD,
∴∠CFD=∠BED=90°. ……………2分
在△BED与△CFD中,
∵∠BED=∠CFD,∠BDE=∠CDF,
BD=CD,
∴△BED≌△CFD(A.A.S.) ……………5分
∴BE=CF. ………………………………6分
特别提醒:要正确应用隐含条件对顶角,快速解题.
【互动探究】
例题中的AD是中线,改为AD是∠BAC的平分线,其他条件不变,题
目的结论还成立吗?
提示：不成立.
【规律总结】
理解“A.S.A.”“A.A.S.”的两个要点
(1)①“A.S.A.”包含“角”和“边”两种元素，是两角夹一
边，而不是两角及其中一角的对边对应相等，特别注意“夹边”
与“对边”的区别；②在书写用“A.S.A.”证明两个三角形全
等的过程时，一定要把夹边相等写在中间，以突出边角的位置
关系.
(2)①“A.A.S.”判定方法可由“A.S.A.”判定方法推导出来；
②“A.A.S.”是指两角和其中一角的对边对应相等，不要误认
为是“两角和一边对应相等”.
【跟踪训练】
4.如图,已知直线AD,BC交于点E,且AE=BE,欲证明△AEC≌△BED,
需增加的条件可以是__________.(添加一个即可)
【解析】根据对顶角相等,得∠AEC=∠BED,且AE=BE.添加
∠A=∠B时,依据A.S.A.可证△AEC≌△BED；当∠C=∠D时,依据
A.A.S.可证△AEC≌△BED；当CE=DE时,依据S.A.S.可证
△AEC≌△BED.
答案：∠A=∠B(或∠C=∠D或CE=DE,答案不唯一)
5.如图,A,E,F,C四点共线,BF∥DE,AB=CD.请你添加一个条件,使
△DEC≌△BFA.
【解析】添加AB∥CD或(∠A=∠C)时,使△DEC≌△BFA.
证明:∵BF∥DE,∴∠BFA=∠DEC.
由AB∥CD,得∠A=∠C,
在△DEC和△BFA中,
∠A=∠C,∠BFA=∠DEC, AB=CD,
∴△DEC≌△BFA(A.A.S.).(答案不唯一)
1.已知AB=A′B′,∠A=∠A′,∠B=∠B′,则△ABC≌
△A′B′C′的根据是( )
(A)S.A.S. (B)S.S.A.
(C)A.S.A. (D)A.A.S.
【解析】选C.根据题干可知由A.S.A.得△ABC≌△A′B′C′.
2.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN
的条件是( )
(A)∠M=∠N (B)AB=CD
(C)AM=CN (D)AM∥CN
【解析】选C.条件A依据A.S.A.可证△ABM≌△CDN；条件B依据
S.A.S.可证△ABM≌△CDN；条件D可得∠A=∠NCD,依据A.A.S.
可证△ABM≌△CDN；条件C不能证△ABM≌△CDN.
3.如图,已知AB∥CD,欲证明△AOB≌△COD,可补充条件
__________.(填写一个适合的条件即可)
【解析】由AB∥CD,得∠A=∠C,∠B=∠D,根据对顶角相等,得
∠AOB=∠COD,添加条件AO=CO或BO=DO,可依据条件A.S.A.证明△AOB≌△COD；添加条件AB=CD,可依据条件A.A.S.(或A.S.A.)
证明△AOB≌△COD.
答案：AO=CO(或BO=DO或AB=CD)
4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D，E,AD，CE交
于点H,请你添加一个适当的条件:_________,使△ADB≌△CEB.
【解析】由AD⊥BC,CE⊥AB,得∠ADB=∠CEB=90°；又∠B=∠B,
添加条件AD=CE或AB=CB可依据A.A.S.证明△ADB≌△CEB；添加
条件BD=BE,可依据A.S.A.证明△ADB≌△CEB.
答案：AD=CE(或AB=CB或BD=BE)
5.如图,有一湖的湖岸在A，B之间呈一段圆弧状,A，B间的距离
不能直接测得.你能用已学过的知识或方法设计测量方案,求出
A，B间的距离吗?
【解析】要测量A，B间的距离,可用如下方法:
过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C，D,使CD=BC,再定出BF的
垂线DE,使A，C，E在一条直线上,根据“角边角”可知
△EDC≌△ABC.因此:DE=BA.即测出DE的长就是A，B之间的距离,
如图.(答案不唯一)
(共28张PPT)
4.边 边 边
1.探究
a.画图:已知一个三角形的三条边长分别为6 cm，8 cm，10 cm.
b.剪图：把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较.
c.交流:以小组为单位,把剪下的三角形重叠在一起,发现三角形
能够_____,这说明这些三角形都_____.
【归纳】如果两个三角形的三条边分别对应相等,那么这两个三
角形全等,简记为_______(或_______).
重合
全等
S.S.S.
边边边
2.一般三角形全等的判定方法
_______，_______，_______，_______.
【点拨】判定三角形的方法不同,书写的格式也不一样.
S.A.S.
A.S.A.
A.A.S.
S.S.S.
【预习思考】
1.如果两个三角形的三个角分别对应相等,那么这两个三角形
全等吗？
提示：不一定全等.
2.通过前面的学习,如果两个三角形全等，至少要保证什么条
件才可能实现?
提示：如果两个三角形全等至少要保证一组对应边对应相等才
可能实现.
S.S.S.的应用
【例1】如图,点B，C，D，F在同一直线上,
已知AB=EC,AD=EF,BC=DF,探索AB与EC的位
置关系，并说明理由.
【解题探究】
1.平面内,两直线的位置关系有几种?
答:平面内,两直线的位置关系有两种:平行或相交.
2.根据图形特点观察,AB与EC的位置可能是什么?依据什么来证
明这种关系?
答：根据图形特点观察,AB与EC的位置可能是平行,依据同位角
相等来证明这种关系.
3.通过什么方法寻找确定AB与EC的位置关系的依据?
答:根据三角形全等,证明对应角相等来确定直线的位置关系.
4.证明三角形全等
∵BC=DF,∴BD=CF.
在△ABD和△ECF中,
∴△ABD≌△ECF(S.S.S.).
∴∠B=∠ECF,∴AB∥EC.
【互动探究】
例题中由BC=DF得出BD=CF的依据是什么?如何进行变化的?
提示：变化的依据是等式的基本性质.由BC=DF,等式两边同时加
上CD,得BC+CD=DF+CD,即BD=CF.
【规律总结】
有两对对应角相等
任意一对对应边相等(A.A.S.或A.S.A.)
有两对对应边相等
(1)夹角相等(S.A.S.)
(2)第三边相等(S.S.S.)
有一边、一邻角对
应相等
有一边、一对角对
应相等
(1)夹角的另一对对应边相等(S.A.S.)
(2)任意一对对应角相等(A.S.A.)
或(A.A.S.)
任意一对角对应相等(A.A.S.)
条件 思路
【跟踪训练】
1.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,
则∠ACD的度数是( )
(A)120° (B)125°
(C)127° (D)104°
【解析】选C.在△ABC和△ADC中,AB=AD,CB=CD,AC=AC,依据
S.S.S.可得△ABC≌△ADC,即∠ACD=∠ACB=180°-∠B-
=180°-30° =127°.
2.如图所示,已知AB=AC,要判断△ABD≌
△ACD,还需要的条件是___________(写
出一个即可).
【解析】∵AB=AC,AD=AD,∴添加∠BAD=∠CAD利用S.A.S.判定
△ABD≌△ACD；添加BD=CD利用S.S.S.判定△ABD≌△ACD.
答案：∠BAD=∠CAD(或BD=CD)
【变式备选】
“三月三,放风筝”,如图是小明制作的风筝,他根据DE=DF,
EH=FH,不用度量,就知道∠DEH=∠DFH,小明是通过全等三角形的
识别得到的结论,请问小明用的识别方法是______(用字母表示).
【解析】因为DE=DF,EH=FH,DH=DH,依据S.S.S.可证
△DEH≌△DFH,即∠DEH=∠DFH.
答案：S.S.S.
3.如图,四边形ABCD中,AD=BC,AB=DC,试说明△ABC≌△CDA.
【解析】∵AD=CB,CD=AB,
又∵AC是公共边,
∴△ABC≌△CDA(S.S.S.).
三角形全等判定的综合应用
【例2】(10分)如图,AC=AD,∠BAC=∠BAD,点E在AB上.
(1)你能找出_______对全等的三角形；
(2)请写出一对全等三角形,并证明.
【规范解答】(1)3；…………3分
(2)△ABC≌△ABD. …………4分
证明：在△ABC和△ABD中，
∴△ABC≌△ABD(S.A.S.). ………………………………10分
或△AEC≌△AED.
特别提醒:先证明条件充足的全等三角形,再证明其他全等三角形.
证明：在△AEC和△AED中，
…………………………………………9分
∴△AEC≌△AED(S.A.S.). ……………………………10分
或△BCE≌△BDE.
证明：在△ABC和△ABD中，
…………………………………………5分
∴△ABC≌△ABD(S.A.S.). ………………………………6分
∴BC=BD,∠CBE=∠DBE. …………………………………7分
在△BCE和△BDE中，
∴△BCE≌△BDE(S.A.S.). ………………………………10分
【规律总结】
已知一边和边相邻的一角判定三角形全等的“三招”
一招去找边对角,判定定理角角边,
二招去找角邻边,判定定理边角边,
三招去找边邻角,判定定理角边角.
【跟踪训练】
4.下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是( )
(A)两条直角边对应相等
(B)两个锐角对应相等
(C)一条直角边和它所对的锐角对应相等
(D)一个锐角和锐角所对的直角边对应相等
【解析】选B.因为直角三角形已有一直角，所以选项A可以依据
S.A.S.判定两个直角三角形全等；选项C，D可以依据A.A.S.判
定两个直角三角形全等；选项B不能判定两个直角三角形全等.
5.某种雨伞的中截面如图所示，伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF，
当O沿AD滑动时，雨伞开闭.问雨伞开闭过
程中，∠BAD与∠CAD有何关系？说明理由.
【解析】雨伞开闭过程中二者关系始终是：∠BAD=∠CAD.
理由如下：
因为AB=AC,
所以AE=AF,在△AOE与△AOF中，
因为AE=AF，AO=AO，OE=OF,
所以△AOE≌△AOF(S.S.S.)，
所以∠BAD=∠CAD.
1.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“S.S.S.”可以判定
( )
(A)△ABD≌△ACD
(B)△BDE≌△CDE
(C)△ABE≌△ACE
(D)以上都不对
【解析】选C.在△ABE和△ACE中,AB=AC,BE=CE,AE=AE,依据
S.S.S.可以证明△ABE≌△ACE.
2.下列条件中能证明两个三角形全等的是( )
(A)有两条边对应相等的两个三角形
(B)有两个对应角相等的两个三角形
(C)有三条边对应相等的两个三角形
(D)有一个角和一条边对应相等的两个三角形
【解析】选C.A项有两条边对应相等的两个三角形不一定全等；
B项有两个对应角相等的两个三角形不一定全等；C项有三条边
对应相等的两个三角形全等；D项有一个角和一条边对应相等的
两个三角形不一定全等.
3.如图,AB=AC,BD=CD,∠1_______∠2.(填“＜”“＞”“=”)
【解析】在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,
所以△ABD≌△ACD,得∠ADB=∠ADC,所以∠1=∠2.
答案：=
4.如图,AB=DC,AC与BD相交于点O,要使△ABC≌△DCB,应添加条
件_____________.(添加一个条件即可)
【解析】添加∠ABC=∠DCB根据S.A.S.可证明△ABC≌△DCB；
添加AC=DB依据S.S.S.可证明△ABC≌△DCB.
答案：∠ABC=∠DCB(或AC=DB)
5.如图,在△ABC和△DCB中,AC与BD相交于点O.AB=DC,AC=BD.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)△OBC的形状是____________.(直接写出结论,不需证明)
【解析】(1)在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(S.S.S.)
(2)等腰三角形.
(共30张PPT)
5.斜边直角边
探究
1.在一般三角形中,由两组对应(边或角)条件相等的三角形___
全等.
2.在直角三角形中:
(1)两直角边对应相等的两个直角三角形_____,依据_______.
不
全等
S.A.S.
(2)一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形_____,依据
_______________.
(3)一直角边和一斜边对应相等的两个直角三角形,应用勾股定
理,可以转化为_________对应相等的两个直角三角形_____,依
据_______.
全等
A.A.S.或A.S.A.
两直角边
全等
S.A.S.
【归纳】如果两个直角三角形的斜边和一条_______分别对应相
等,那么这两个直角三角形全等.简记为H.L.(或___________).
【点拨】 H.L.定理只适合两直角三角形全等的判定.
直角边
斜边直角边
【预习思考】
1.一般三角形的判定方法适合直角三角形的判定吗?直角三角
形的判定比一般三角形多了个什么条件?
提示：适合.它比一般三角形多了直角相等.
2.有两组对应条件相等的两直角三角形全等吗?为什么?
提示：不一定.当两组角对应相等时，两个直角三角形不全等.
应用“H.L.”判定直角三角形全等
【例1】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,
BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
求证:△ABE≌△CDF.
【解题探究】
1.△ABE和△CDF是什么三角形?证明这样的三角形全等首先考虑
什么定理?
答:△ABE和△CDF是直角三角形.证明这样的三角形全等首先考
虑H.L.定理.
2.探求全等的条件:
(1)∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°,
(2)∵BF=DE,
∴BF-EF=DE-EF,即BE=DF,
3.证明全等:
在Rt△ABE和Rt△CDF中,
∵AB=CD,BE=DF,
∴Rt△ABE≌Rt△CDF(H.L.).
【规律总结】
应用“H.L.”应注意的三个问题
(1)“H.L.”是判定两个直角三角形全等的方法，对于一般的三
角形不成立，在使用时一定要注意其应用的范围.
(2)在书写格式上，三角形的前面必须注明“Rt”.
(3)在题设中，没有指明但又是直角三角形的，必须依照定义说
明或推证是直角三角形，否则不能直接应用“H.L.”.
【跟踪训练】
1.如图所示,在△ABC中,∠C=90°,
DE⊥AB于D,BC=BD,如果AC=3 cm,
那么AE+DE等于( )
(A)2 cm (B)3 cm (C)4 cm (D)5 cm
【解析】选B.∵DE⊥AB,∴∠BDE=90°.在Rt△BCE和Rt△BDE
中,BC=BD,BE=BE,
∴Rt△BCE≌Rt△BDE,即DE=EC,∴AE+DE=AE+EC=AC=3 cm.
2.如图,在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,若利用“A.A.S.”证
明△ABC≌△ABD,可添加条件_________；若利用“H.L.”证明
△ABC≌△ABD,则需要加条件_________.
【解析】在△ABC和△ABD中,∠C=∠D=90°,AB=AB,若利用
“A.A.S.”证明△ABC≌△ABD,可添加条件∠CAB=∠DAB或
∠CBA=∠DBA；若利用“H.L.”证明△ABC≌△ABD,则需要加条
件AC=AD或BC=BD.
答案：∠CAB=∠DAB或∠CBA=∠DBA AC=AD或BC=BD
3.如图，已知∠B=∠D=90°，BC=DC.
问AC是否平分∠BCD？为什么？
【解析】AC平分∠BCD.理由：
∵∠B=∠D=90°，
在Rt△ABC和Rt△ADC中,
∵AC=AC, BC=DC.
∴Rt△ABC≌Rt△ADC(H.L.),
∴∠ACB=∠ACD,即AC平分∠BCD.
【变式备选】
如图,∠B=∠D=90°,BC=DC,∠1=40°,
则∠2=______.
【解析】在Rt△ABC与Rt△ADC中,
∵BC=DC,AC=AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC,∴∠2=∠ACB.
在△ABC中,∠ACB=180°-∠B-∠1=50°,
∴∠2=50°.
答案：50°
直角三角形判定定理的综合应用
【例2】(10分)在△ABC中,AB=CB,
∠ABC=90°,F为AB延长线上一
点,点E在BC上,且AE=CF.
(1)求证:Rt△ABE≌Rt△CBF；
(2)若∠CAE=30°,求∠ACF的度数.
【规范解答】
(1)∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°. ………………2分
在Rt△ABE和Rt△CBF中,
∵AE=CF, AB=CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(H.L.)；……………………………5分
(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,
∴∠CAB=∠ACB=45°, ……………6分
又∵∠BAE=∠CAB-
∠CAE=45°-30°=15°,
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF,
∴∠BCF=∠BAE=15°, ……………………………………9分
∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=15°+45°=60°.
………………………………………………10分
特别提醒:应用△ABC是等腰直角三角形这一性质来解题
【互动探究】
若例题中的条件变为△ABC和△EBF为等腰直角三角形,且A，B，
F三点共线,题中的结论(1)还成立吗?
提示：成立.依据S.A.S.可证明Rt△ABE≌Rt△CBF.
【规律总结】
判定直角三角形全等的“四种思路”
(1)若已知条件中有一组直角边和一组斜边对应相等，直接应用
“H.L.”判定两直角三角形全等.
(2)若有一组锐角和一组斜边对应相等，则利用“A.A.S.”进行判
定两直角三角形全等.
(3)若有一组锐角和一组直角边对应相等,则分为两种情况:
①直角边是锐角的对边，用“A.A.S.”进行判定两直角三角形
全等；
②直角边是锐角的邻边，用“A.S.A.”进行判定两直角三角形
全等.
(4)若有两直角边对应相等，则用“S.A.S.”进行判定两直角三
角形全等.
【跟踪训练】
4.使两个直角三角形全等的条件是( )
(A)一个锐角对应相等 (B)两个锐角对应相等
(C)一条边对应相等 (D)两条边对应相等
【解析】选D.选项A:一个锐角对应相等,利用已知的直角相等,
可得出另一组锐角相等,但不能证明两三角形全等,故错误；选
项B:两个锐角相等,那么也就是三个对应角相等,但不能证明两
三角形全等,故错误；选项C:一条边对应相等,再加一组直角相
等,不能得出两三角形全等,故错误；选项D:两条边对应相等,若
是两条直角边相等,可利用S.A.S.证全等；若一直角边对应相等,
一斜边对应相等,也可证全等,故正确.
5.如图,在△ABC中,∠B=∠C,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,E,F
为垂足,求证:AD平分∠BAC.
【证明】∵DF⊥AC,DE⊥AB,
∴∠BED=∠CFD=90°.
∵D是BC的中点,∴BD=CD.
在△BDE和△CDF中,
∠B=∠C,∠BED=∠CFD,BD=CD,
∴△BDE≌△CDF,∴DE=DF.
在Rt△AED和Rt△AFD中,AD=AD,DE=DF,
∴Rt△AED≌Rt△AFD,∴∠BAD=∠CAD,即AD平分∠BAC.
1.如图,四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,
则∠BCD的度数为( )
(A)145° (B)130°
(C)110° (D)70°
【解析】选C.∵∠ABC=∠ADC=90°,∴在Rt△ADC和Rt△ABC
中,CB=CD,AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC,又∠ACB=90°-∠BAC=55°,
∴∠ACD=∠ACB=55°,∠BCD=110°.故选C.
2.下列条件中,不能判定两个直角三角形全等的是( )
(A)两个锐角对应相等
(B)一条直角边和一个锐角对应相等
(C)两条直角边对应相等
(D)一条直角边和一条斜边对应相等
【解析】选A.A项不正确,全等三角形的判定必须有边的参与；
B项正确,符合判定A.A.S.(或A.S.A.)；C项正确,符合判定
S.A.S.；D项正确,符合判定H.L.,故选A.
3.如图,已知AC⊥BD于点P,AP=CP,
请添加一个条件,使△ABP≌△CDP
(不能添加辅助线),你添加的条件
是________.
【解析】结合已知条件可得添加的条件是BP=DP或AB=CD或
∠A=∠C或∠B=∠D等.
答案：BP=DP(或AB=CD或∠A=∠C或∠B=∠D等，答案不唯一)
4.如图,△ABC中,AD⊥BC于D,要使△ABD≌△ACD,若根据“H.L.”
判定,还需要加条件__________,若加条件__________则可用
A.A.S.判定.
【解析】∵AD⊥BC,AD=AD,AB=AC,∴Rt△ABD≌Rt△ACD.已知
AD⊥BC于D,则AD=AD,若添加条件∠B=∠C,根据A.A.S.可判定
△ABD≌△ACD.
答案：AB=AC ∠B=∠C
5.如图,已知△ABC是等腰三角形,BD，CE 分别是△ABC两腰上
的高线,试说明BE=CD成立的理由.
【解析】∵△ABC是等腰三角形, ∴AB=AC.
又
∴CE=BD.
在Rt△BCE和Rt△CBD中,
BC=CB,
CE=BD,
∴Rt△BCE≌Rt△CBD(H.L.).
∴BE=CD.
(共30张PPT)
§19.3 尺规作图
1.尺规作图的定义
只使用无刻度的_____和_____作几何图形的方法称为尺规作图.
2.五种基本作图
(1)作一条线段等于已知线段；
(2)作一个___等于已知___；
(3)作已知___的平分线；
(4)经过一已知点作已知直线的_____；
(5)作已知线段的___________.
直尺
圆规
角
角
角
垂线
垂直平分线
【归纳】尺规作图中的直尺只能画线而不测量，圆规只画弧或圆.
【点拨】尺规作图时语言要规范,作图保留痕迹.
【预习思考】
1.几何中的画图和尺规作图有什么不同?
提示：画图是指画出某个图形,对画图工具不作要求；尺规作
图对工具有严格的限制.
2.用直角三角尺画一个直角,是尺规作图吗?
提示：不是.
基本尺规作图
【例1】(8分)如图,一张纸上有线段AB.(1)请用尺规作图,作出
线段的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法和证明)；
(2)若不用尺规作图,你还有其他的作法吗?请说明作法(不作图).
【规范解答】(1)如图:
…………………………………………………………5分
(2)对折,使点A与B重合,则折痕所在的直线为线段AB的垂直平分线. ………………………………………………………8分
【互动探究】
在中垂线上取两点C，D，使C，D关于AB所在直线对称.连结AC，
CB,BD,DA，则图中共有几个三角形，全等的有几对？
提示：8个 8对
【规律总结】
尺规作图的四步骤
(1)画出草图:画出草图心中有数,以便确定作法.
(2)确定作图步骤:按步骤作图不要遗漏.
(3)写出作图语言:根据要求写出规范的作图语言.
(4)写出作图结论.
【跟踪训练】
1.下面的说法,错误的是( )
(A)线段有且只有一条中垂线
(B)线段的中垂线平分线段
(C)线段的中垂线是一条直线
(D)经过线段中点的直线是线段的中垂线
【解析】选D.经过线段中点的直线如果不和线段垂直则不是线
段的中垂线,所以,选项D错误.
2.所谓尺规作图中的尺规是指:_____________________.
【解析】尺规作图中的尺规是指没有刻度的直尺和圆规.
答案：没有刻度的直尺和圆规
3.根据图形填空:
(1)连结_______两点；
(2)延长线段_______到点_______ ，使BC=_______；
(3)在_______AM上截取_______=_______；
(4)以点O为_______，以m为_______画_______交OA，OB分别于点C，D.
【解析】(1)连结A，B两点；(2)延长线段AB到点C，使BC=AB；
(3)在线段AM上截取AB=a；(4)以点O为圆心，以m为半径画圆弧
交OA，OB分别于点C，D.
答案：(1)A，B (2)AB C AB (3)线段 AB a
(4)圆心 半径 圆弧
【变式备选】
如图,在△ABC中,AB=AC,用尺规作图
作BC边上的中线AD(保留作图痕迹,不
要求写作法、证明).
【解析】如图.
利用尺规作图作三角形
【例2】(2011·青岛中考)已知:如图,线段a和h.
求作:△ABC,使AB=AC,BC=a,且BC边上的高AD=h.
【解题探究】
1.求作的三角形具备什么特点?应用三角形的什么性质作图?
答:求作的三角形是等腰三角形,根据等腰三角形的“三线合一”
的性质进行作图.
2.如何作三角形的高?
答:先作线段BC的垂直平分线,然后再在垂直平分线上截取高.
3.等腰三角形的高和底边确定后,等腰三角形唯一(填“唯一”或
“不唯一”).
4.尺规作图:如图所示:
结论:△ABC即为所求.
【互动探究】
例题能先作线段AC吗?
提示：不能.因为AC不是已知线段,所以不能先作.
【规律总结】
尺规作图四注意
第一,不能擅自增加圆规和直尺的功能；
第二,不能用“目测”替代圆规；
第三,不能用三角板的直角替代作垂直的过程；
第四,熟练课本上介绍的基本作图步骤.
【跟踪训练】
4.利用基本作图不可作的等腰三角形是( )
(A)已知底边及底边上的高
(B)已知底边上的高及腰
(C)已知底边及顶角
(D)已知两底角
【解析】选D.因为选项D没有边长,所以这样的三角形不可作.
5.把∠O四等分的步骤是:第一步:先把∠O________等分；第
步:把得到的两个角分别再________等分.
【解析】第一步:先把∠O两等分；第二步:把得到的两个角分别
再两等分,即可把∠O四等分.
答案：两 两
6.已知△ABC,如图所示.
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线MN(保留作图痕迹,不写作
法)；
(2)设MN交AC于点P,已知PC=2PA, ∠A=45°,求BC边的
长.
【解析】(1)如图所示.
(2)连结PB,∵MN垂直平分AB,∴PA=PB.
又∵∠A=45°,∴∠APB=∠BPC=90°,
而 ∴AP=BP=2,∴PC=2PA=4,
在Rt△BCP中,
1.只用无刻度直尺就能作出的是( )
(A)延长线段AB至C,使BC=AB
(B)过直线L上一点A作L的垂线
(C)作已知角的平分线
(D)从点O再经过点P作射线OP
【解析】选D.用无刻度直尺只能画直线,不能度量线段,不能度
量角度,所以选项A，B，C都不能作出,只有选项D正确.
2.用尺规作图,不能作出唯一三角形的是( )
(A)已知两角和夹边
(B)已知两边和其中一边的对角
(C)已知两边和夹角
(D)已知两角和其中一角的对边
【解析】选B.依据三角形的判定定理,选项B不能确定唯一的三
角形.
3.(2012·济宁中考)用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图
图所示,则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
(A)S.S.S.
(B)A.S.A.
(C)A.A.S.
(D)角平分线上的点到角两边距离相等
【解析】选A.由作图知,ON=OM,NC=MC,OC=OC,所以△ONC≌△OMC,
得到∠AOC=∠BOC.
4.如图,已知∠α,∠β,线段c.
求作:△ABC,使∠A=∠α,∠B=∠β,AB=c.
作法:(1)作线段AB=c；
(2)以A为顶点,以AB为一边作∠BAD=∠α；
(3)以B为顶点,以BA为一边,作∠ABE=∠β,AD,BE交于C点；
则△ABC就是所作的三角形,如图.作图依据是__________.
【解析】已知两角及夹边作三角形,所以作图依据是“A.S.A.”.
答案：A.S.A.
5.如图，已知线段a，b，c.
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a.
【解析】作法：(1)作一条线段BC=a；
(2)分别以B,C为圆心，c,b为半径画弧，两弧交于A点；
(3)连结AB，AC.则△ABC就是所作三角形,如图所示.
(共29张PPT)
1.互逆命题与互逆定理
2.等腰三角形的判定
1.在两个命题中,如果第一个命题的_____是第二个命题的结论,
而第一个命题的结论是第二个命题的_____,那么这两个命题叫
做_____命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题
就叫做它的___命题.
【点拨】每一个命题都有逆命题,原命题正确,它的逆命题不一
定正确.
题设
题设
互逆
逆
2.如果一个定理的逆命题也是_____,那么这两个定理叫做互逆
定理,其中的一个定理叫做另一个定理的_______.
3.如果一个三角形有两个角_____,那么这两个角所对的___也相
等.(简写成“___________”)
定理
逆定理
相等
边
等角对等边
4.如果三角形的一条边的_____等于另外两条边的_______,那么
这个三角形是_____三角形.
【归纳】等腰三角形的性质和判定,勾股定理和逆定理都是互逆
定理.
平方
平方和
直角
【预习思考】
1.定理一定有逆定理吗?
提示：不一定.
2.假命题的逆命题一定是假命题吗?
提示：不一定.例如“相等的角是对顶角”是假命题,但它的逆
命题“对顶角相等”是真命题,且是定理.
互逆命题
【例1】写出下列命题的逆命题,并判断这些命题的真假.
(1)如果∠α与∠β是邻补角,那么∠α+∠β=180°；
(2)如果一个三角形的两个内角相等,那么这两个内角所对的边
相等.
【解题探究】
1.如何写出命题的逆命题?
答:把原命题的题设和结论进行交换,就成了逆命题.
2.所有命题的逆命题都成立吗?
答:命题的逆命题并不都成立.
3.交换命题的题设和结论,并对逆命题进行判断:
(1)逆命题:如果∠α+∠β=180°,那么∠α与∠β是邻补角.这
是假命题.
(2)逆命题:如果一个三角形的两条边相等,那么这两条边所对的
内角相等.这是真命题.
【互动探究】
如何说明例题(1)的逆命题是假命题?
提示：说明一个命题是假命题,可以用举反例的方法说明，如当
两直线平行时,两同旁内角互补,但两角不是邻补角.
【规律总结】
求逆命题的“两步法”
【跟踪训练】
1.下列说法中,正确的是( )
(A)每一个命题都有逆命题
(B)假命题的逆命题一定是假命题
(C)每一个定理都有逆定理
(D)定理正确那么它的逆命题就正确
【解析】选A.因为假命题的逆命题不一定是假命题,所以选项B
错误；有些定理有逆定理, 有些定理没有逆定理,选项C错误；
定理正确，但它的逆命题不一定正确，故对顶角相等，所以选
项D错误；选项A正确.
2.命题“等边三角形的每个角都等于60°”的逆命题是_______,
逆命题_______ (填“正确”或“错误”).
【解析】逆命题:“每个角都等于60°的三角形是等边三角形”,
逆命题是正确的.
答案：每个角都等于60°的三角形是等边三角形 正确
3.举例说明命题的逆命题是错误的.
命题:如果一个整数的个位数字是5,那么这个整数能被5整除.
【解析】原命题的逆命题:如果一个整数能被5整除,那么这个整
数的个位数字是5.
举反例说明逆命题是假命题:10能被5整除,但个位数不是5.
等腰三角形的判定及性质的应用
【例2】(6分)(2011·扬州中考)已知:如
图,锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O,
且OB=OC.
求证:△ABC是等腰三角形.
【规范解答】
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB. …………1分
特别提醒:此题应用等腰三角形的判定定理，而不是直接证得两腰相等.
∵锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O,
∴∠BEC=∠BDC=90°. ………………………………3分
∵∠EOB=∠DOC,∴∠EBO=∠DCO.
∵∠OBC=∠OCB,
∴∠ABC=∠ACB, ………………………………………4分
∴AB=AC, ………………………………………………5分
∴△ABC是等腰三角形. ………………………………6分
【互动探究】
能否通过△AEC≌△ADB的方法得到AB=AC?为什么?
提示：不能.因为没有△AEC≌△ADB的条件.
【规律总结】
等腰三角形性质口诀
研究等腰三角形,两腰底角都相等,
分析顶角平分线,平分垂直于底边,
既是底边上的高,又是底边的中线.
【跟踪训练】
4.如果D是△ABC中BC边上一点,且△ADB≌△ADC,则△ABC是( )
(A)锐角三角形 (B)钝角三角形
(C)等腰三角形 (D)直角三角形
【解析】选C.由△ADB≌△ADC知，AB=AC,则△ABC是等腰三角形.
5.如图,∠A=36°,∠DBC=36°,∠C=72°,
则图中等腰三角形有_______个.
【解析】因为∠A=36°,∠C=72°,所以
∠ABC=72°.又∠C=72°,所以△ABC为等腰三角形；由
∠A=36°,∠ABD=∠ABC-∠DBC=36°,所以△ADB为等腰三角
形；由于∠BDC=2∠A=72°=∠C,所以△BDC为等腰三角形.
答案：3
6.已知:如图,D是△ABC的BC边上的中
点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别是E,F,
且BF=CE.
求证:△ABC是等腰三角形.
【证明】∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
又∵BD=CD,BF=CE,
∴Rt△BDF≌Rt△CDE,∴∠B=∠C.
∴△ABC是等腰三角形.
1.下列定理中,有逆定理的是( )
(A)四边形的内角和等于360°
(B)同角的余角相等
(C)全等三角形对应角相等
(D)在一个三角形中,等边对等角
【解析】选D.由题意得,选项D有逆定理,其余选项没有逆定理.
2.如图,已知AC∥BD,OA=OC,则下列结论不一定成立的是( )
(A)∠B=∠D (B)∠A=∠B
(C)OA=OB (D)AD=BC
【解析】选C.∵AC∥BD,
∴∠A=∠D,∠B=∠C,
又∵OA=OC,即∠A=∠C,
∴∠A=∠B=∠C=∠D,
故A，B正确.
∵∠B=∠D,∴OB=OD,
又∵OA=OC,∴OA+OD=OC+OB，
即AD=BC.
故D正确.
3.(2011·德州中考)下列命题中,其逆命题成立的是______(只
填写序号).
①同旁内角互补,两直线平行；
②如果两个角是直角,那么它们相等；
③如果两个实数相等,那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是
直角三角形.
【解析】①两直线平行,同旁内角互补,正确；②如果两个角相
等,那么它们是直角,错误；③如果两个实数的平方相等,那么这
两个实数相等,错误；④一个三角形是直角三角形,那么三角形
的三边长a,b,c,c为斜边,满足a2+b2=c2,正确.
答案：①④
4.如图,以△ABC的三边分别向外作正
方形,它们的面积分别是S1,S2,S3,如果
S1+S2=S3,那么△ABC的形状是_______三
角形.
【解析】∵S1+S2=S3且S1=AB2,S2=BC2,S3=AC2,
∴AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形.
答案：直角
5.已知点A和点B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一
共可以作出多少个等腰直角三角形?
【解析】当以AB为底边,有C1，C2两个点符合要求,如图(1)；当
以AB为腰,有C3，C4，C5，C6四个点符合条件,如图(2).所以一共
可作出6个等腰直角三角形.
(共31张PPT)
3.角平分线
1.如图1,已知：OQ平分∠AOB, QD⊥OA, QE⊥OB,点D，E为垂足,
则___=___.
图1
【归纳】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
QD
QE
2.如图2,已知：QD⊥OA, QE⊥OB,点D，E为垂足,且QD=QE，则点
Q在∠AOB的_______上.
图2
【归纳】到一个角的两边距离相等的点在这个角的_______上.
平分线
平分线
3.三角形三条角平分线交于_____.
一点
【预习思考】
1.角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么?
提示：角是轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.
2.使用角平分线的判定定理要注意什么问题？
提示：要注意不能见到垂直就得结论，还要满足到角的两边距
离相等,二者缺一不可.
角平分线性质定理和判定定理的应用
【例1】如图,AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交
于点P,作PE⊥AB于点E.若PE=2,则两平行线AD与BC间的距离为
_________.
【解题探究】
1.点P具备什么样的特点?
答:点P既在∠ABC的平分线上,又在∠BAD的平分线上.
2.根据点P具备的特点有什么样的性质?依据是什么?
答:根据角平分线的性质, 点P既到∠ABC的两边距离相等,又到
∠BAD的两边距离相等.
3.根据上面的分析,解答问题:
答:过点P作MN⊥AD,交AD于点M,交BC于点N,如图所示:
∵AD∥BC,∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P, PE⊥AB于点E,
又PM⊥AD,PN⊥BC,
∴PM=PE=2,PN=PE=2,∴MN=2+2=4.
答案：4
【互动探究】
1.例题中的PE在解题的过程中起到了什么作用?
提示：线段PE在解题的过程中起到了等量代换的作用.
2.改变∠ABC和∠BAD的大小(保持∠ABC+∠BAD=180°)而不改
变PE值的大小,两平行线AD与BC间的距离变化吗?
提示：不变.因为MN=2PE.与∠ABC和∠BAD的大小无关.
【规律总结】
角平分线性质及判定的区别
附：记忆口诀：
角平分线性质记忆口诀
图中有角平分线,可向两边作垂线；
也可将图对折看,对折以后关系现.
【跟踪训练】
1.在以下结论中,不正确的是( )
(A)平面内到角的两边距离相等的点一定在角平分线上
(B)角平分线上任一点到角的两边的距离一定相等
(C)一个角只有一条角平分线
(D)角的平分线有时是直线,有时是线段
【解析】选D.根据角平分线的判定及性质,选项A，B正确；根据
角平分线的定义,得选项C正确,选项D错误.
2.如图,OP是∠AOB的平分线,C是OP上
一点,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,
CE=6 cm,CF=_____cm,理由是________
______.
【解析】OP是∠AOB的平分线,CE⊥OA于点E,CF⊥OB于点F,根据
角平分线的性质,得CE=CF=6 cm,理由:角平分线上的点到角的两
边距离相等.
答案：6 角平分线上的点到角的两边距离相等
3.如图,已知BD是∠ABC的平分线,CD
是∠ACB的外角平分线,由D出发,作
点D到BC，AC和AB的垂线DE，DF和DG,
垂足分别为E，F，G,则DE，DF，DG的
关系是________.
【解析】因为BD是∠ABC的平分线, CD是∠ACB的外角平分线,且
DE⊥BC,DF⊥AC,DG⊥BA,所以,DE=DF,DE=DG,即DE=DF=DG.
答案：DE=DF=DG
【变式备选】
如图,P是∠AOB的平分线上的一个点,
PC⊥AO于点C,PD⊥OB于点D,写出图中
一组相等的线段__________(只需写出
一组即可).
【解析】因为P是∠AOB的平分线上的一个点,PC⊥AO,PD⊥OB,所
以PD=PC；根据H.L.定理,得△OPD≌△OPC,所以OD=OC.
答案：PD=PC (或OD=OC)
角平分线性质定理和判定定理的综合应用
【例2】(6分) 如图所示,在△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC交
AC于点D,过点D作DE∥BC交AB于点E,过点D作DF⊥AB于点F,说明
BC=DE+EF成立的理由.
【规范解答】
∵BD平分∠ABC,DF⊥AB,∠C是直角,
∴CD=DF,∠DBC=∠DBE,∠DFB=∠C,
…………………………………1分
∴△BCD≌△BFD,
∴BC=BF. ………………………………………………………3分
特别提醒:应是线段DC和DF相等，而不是DC和DE相等.
∵DE∥BC,
∴∠DBC=∠EDB,
又∵∠DBC=∠DBE,
∴∠EDB=∠DBE,
∴△BDE是等腰三角形, ………………………………………4分
∴BE=DE,
∴BF=BC=DE+EF. ………………………………………………6分
【互动探究】
例题中的△EBD具备什么特点?
提示：△EBD是等腰三角形.
【规律总结】
角平分线+平行线=等腰三角形
角平分线平行线,等腰三角形来添,
内错角加平分角,等角对应等线段.
基本图形：P是∠CAB的平分线上一点,PD∥AB,则有∠1=∠2=∠3,
所以AD=DP.
【跟踪训练】
4.如图,△ABC中BD，CD平分∠ABC，
∠ACB,过D作直线平行于BC,分别交
AB，AC于E，F,当∠A的位置及大小
变化时,线段EF和BE+CF的大小关系( )
(A)EF＞BE+CF (B)EF=BE+CF
(C)EF＜BE+CF (D)不能确定
【解析】选B.根据BD平分∠ABC、CD平分∠ACB,且EF∥BC,得
△BED和△CFD是等腰三角形,即ED=EB,FD=FC, 所以EF=BE+CF,与
∠A的位置及大小变化无关.
5.如图,△ABC中,∠ABC的平分线与
∠ACB外角的平分线交于点D,过D作
BC的平行线交AB，AC于E，F,求证:
EF=BE-CF.
【证明】∵BD平分∠ABC,ED∥BC,
∴BE=DE.
∵CD平分∠ACG,ED∥BC,
∴∠FCD=∠FDC,∴FD=FC,
∴EF=DE-DF=BE-CF.
1.如图,D是∠BAC的平分线AD上一点,
DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论中
不正确的是( )
(A)DE=DF (B)AE=AF
(C)△ADE≌△ADF (D)AD=DE+DF
【解析】选D.根据角平分线的性质,选项A正确；又AD=AD,依据
H.L.定理,得△ADE≌△ADF,即选项B,C正确；选项D不正确.
2.如图所示,已知∠AOB=40°,OM平分
∠AOB,MA⊥OA于A,MB⊥OB于B,则∠MAB
的度数为( )
(A)50° (B)40°
(C)30° (D)20°
【解析】选D.由OM平分∠AOB,MA⊥OA,MB⊥OB,得∠AOM=20°,
MA=MB,所以∠AMO=70°,即∠AMB=140°,所以∠MAB
故选D.
3.如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC∥OB,PD⊥OB,如果PC=6,
那么PD等于_________.
【解析】过P作PE⊥OA于点E,如图,则PD=PE.∵PC∥OB,
∴∠OPC=∠POD.
∵OP平分∠AOB,∠AOB=30°,∴∠ECP=30°.
在Rt△ECP中, ∴PD=PE=3.
答案：3
4.如图,已知∠CDA=∠CBA=90°,且CD=CB,则点C在∠_______的
平分线上,点A在∠_______的平分线上.
【解析】∵∠CDA=∠CBA=90°,且CD=CB,根据角平分线性质的
逆定理,则点C在∠BAD的平分线上,点A在∠BCD 的平分线上.
答案：BAD BCD
5.如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB,PF⊥AC,垂足分别为点
E,F,AE=AF.
求证：(1)PE=PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上.
【证明】(1)如图，连结AP，
∵PE⊥AB,PF⊥AC,
∴∠AEP=∠AFP=90°.
又AE=AF，AP=AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴PE=PF；
(2)∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP=∠FAP，
∴AP是∠BAC的平分线，
故点P在∠BAC的平分线上.
(共32张PPT)
4.线段的垂直平分线
1.线段的垂直平分线
(1)性质定理
①定理描述:线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的
_________.
②几何语言:如图,∵MN⊥AB,垂足为点C,AC=BC,∴______.
距离相等
PA=PB
(2)判定定理
①定理描述:到一条线段的两个_____的_____相等的点,在这条
线段的垂直平分线上.
②几何语言:如图,∵QA=QB,∴点Q在AB的垂直平分线上.
端点
距离
【归纳】线段的垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理.
2.三角形三边垂直平分线的性质定理
(1)定理描述:三角形三条边的垂直平分线相交于_____,并且该
点到三个顶点的_________.
(2)几何语言:如图,∵直线l，m，n分别是三角形三边的垂直平
分线,∴OA=OB=OC.
一点
距离相等
【点拨】三角形三条边的垂直平分线的交点和三角形三内角平
分线的交点不同.
【预习思考】
1.一条线段及线段的垂直平分线是轴对称图形吗?
提示：是.
2.是否存在一种三角形,有一点到三角形各边的距离和到三角
形各顶点的距离都相等?
提示：等边三角形内有一点到三角形各边的距离和到三角形各
顶点的距离都相等.
线段垂直平分线的性质和判定的应用
【例1】如图,点B，C在∠SAT的两边上,且AB=AC.
(1)请按下列语句用尺规画出图形
(不写画法,保留作图痕迹).
①AN⊥BC,垂足为N；
②∠SBC的平分线交AN延长线于M；
③连结CM.
(2)该图中有_________对全等三角形.
【解题探究】
1.(1)根据已知条件,△ABC是什么三
角形?过A点作的BC的垂线有什么特点?
答:∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,根
据等腰三角形的三线合一, 过A点作的BC的垂线是线段BC的垂直
平分线.
(2)∠SBC的平分线交AN延长线的交点M有什么特点?
答:因为点M既在线段BC的垂直平分线上,又在∠SBC的平分线上,
所以点M到B，C两点的距离相等,到直线AS，BC，AT的距离相等.
2.(1)连结CM后,△BMC是什么三角形?
答:△BMC是等腰三角形.
(2)寻找图中全等三角形,说出全等的依据:
答:△ABN≌△ACN(H.L.)；△MBN≌△MCN(H.L.)；△ABM≌△ACM(S.A.S.).
(3)答案：3
【规律总结】
线段垂直平分线口诀
遇见垂直平分线,引向两端把线连；
两条连线定相等,一般思路要记清.
要证线段倍与半，延长缩短可试验.
【跟踪训练】
1.如图,在△ABC中,BC=8 cm,AB的垂直
平分线交AB于点D,交AC于点E,△EBC的
周长等于18 cm,则AC的长等于( )
(A)6 cm (B)8 cm
(C)10 cm (D)12 cm
【解析】选C.因为DE是AB的垂直平分线,所以EA=EB.所以
AC=AE+EC=EB+EC.又因为EB+EC+BC=18,BC=8,所以EB+EC=
18-8=10，即AC=10.故应选C.
2.如图,AC=AD,BC=BD,AB与CD相交于O，
则AB与CD的关系是____________.
【解析】因为AC=AD,BC=BD,所以,AB是线段CD的垂直平分线,即
AB垂直平分CD.
答案：AB垂直平分CD
【变式备选】
如图,已知AE=CE,BD⊥AC.求证:AB+CD=AD+BC.
【证明】∵AE=CE,BD⊥AC,
∴BD是AC的垂直平分线,
即DA=DC,BA=BC,
∴AB+CD=AD+BC.
3.△ABC中,∠ABC=80°, ∠BAC=40°,
AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点
D，E.用圆规和直尺在图中作出AB的
垂直平分线DE.
【解析】如图所示:
线段垂直平分线的性质和判定的实际应用
【例2】(6分)为进一步打造“宜居重庆”,某区拟在新竣工的矩
形广场的内部修建一个音乐喷泉,要求音乐喷泉M到广场的两个
入口A，B的距离相等,且到广场管理处C的距离等于A和B之间距
离的一半,A，B，C的位置如图所示.请在
答题卷的原图上利用尺规作出音乐喷泉M
的位置.(要求:不写已知、求作、作法和
结论,保留作图痕迹,必须用铅笔作图).
【规范解答】如图所示:
(1)连结AB ………………………1分
(2)作出AB的垂直平分线 ………3分
(3)找出M点的位置………………5分
(4)标出字母M ………………………………………………6分
特别提醒:作M点时要以C为圆心,AB的一半为半径画弧交AB的垂直平分线于M.
【互动探究】
例题能否先以C为圆心,AB的一半为半径画弧,然后再作AB的垂直
平分线?
提示：不可.因为不先作出AB的垂直平分线,就找不到AB的一半,
无法以C为圆心画弧.
【规律总结】
线段垂直平分线性质及判定的应用
(1)线段的垂直平分线是证明线段相等的重要依据之一，在应用
时要注意分清条件与结论，防止混淆.
(2)线段垂直平分线的图形结构中含有全等三角形，但在应用
时，一般情况下不用三角形全等的方法来解决，以免给解题增加
麻烦.
【跟踪训练】
4.如图,A，B，C三个居民小区的位置
成三角形,现决定在三个小区之间修建
一个购物超市,使超市到三个小区的距
离相等,则超市应建在( )
(A)在AC，BC两边高线的交点处
(B)在AC，BC两边中线的交点处
(C)在AC，BC两边垂直平分线的交点处
(D)在∠A，∠B两内角平分线的交点处
【解析】选C.要使超市到三个小区的距离相等,即超市的位置在
以A，B，C三个居民小区的位置成三角形的三边垂直平分线上,
又因为三角形三边垂直平分线交于一点,所以选项C正确.
5.如图,△ABC中,DE垂直平分AC,与AC交于点E,与BC交于点D,
∠C=15°,∠BAD=60°,则△ABC是________三角形.
【解析】因为DE垂直平分AC,即DA=DC,所以∠DAC=∠C=15°,
∠ADB=15°+15°=30°.又因为∠BAD=60°，所以∠B=180°-
∠BAD-∠ADB=90°,即△ABC是直角三角形.
答案：直角
6.如图,八年级(1)班与八年级(2)班这两个班的学生分别在M，N
两处参加劳动,现要在道路AB，AC的交叉区域内设一个茶水供应
点P,使P到两条道路的距离相等,且使PM=PN,你能找出符合条件
的点P,并简要说明理由吗?
【解析】作∠BAC的角平分线AD,作线段MN的垂直平分线EF,AD
与EF交于点P,如图所示:
∵AD平分∠BAC,∴点P到两条道路AB，AC的距离相等,又∵点P
在线段MN的中垂线上,∴PM=PN.
1.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上,那么这
个三角形是( )
(A)锐角三角形 (B)直角三角形
(C)钝角三角形 (D)不能确定
【解析】选B.假设AB上的点D是两边
的垂直平分线的交点,那么DA=DC,
DB=DC,即∠A=∠DCA,∠B=∠DCB,因为
∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°,所以
∠DCA+∠DCB=∠ACB=90°,所以,
△ABC为直角三角形.
2.如图是一张直角三角形的纸片，直角边AC=6 cm，BC=8 cm，
现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为
( )
(A)4 cm (B)5 cm (C)6 cm (D)10 cm
【解析】选B.由勾股定理AB2=AC2+BC2=62+82=100，得AB=
10 cm，由题意知
3.如图,△ABC中,∠C=90°,DE是AB的垂直平分线,且
∠BAD∶∠CAD=4∶1,则∠B=__________.
【解析】因为DE是AB的垂直平分线,所以∠B=∠DAB.
由∠C=90°,得∠B+∠BAC=90°.根据∠BAD∶∠CAD=4∶1,设
∠DAC=x°,则x+4x+4x=90,解得x=10,即∠B=40°.
答案：40°
4.如图,AB=AD,BC=CD,AC，BD相交于点E.由这些条件可以得出
若干结论,请你写出其中三个正确结论_________________(不
要添加字母和辅助线,不要求证明).
【解析】因为AB=AD,BC=CD,所以AC是线段BD的垂直平分线,即
AC⊥BD,△ABD是等腰三角形,AC平分∠BAD,△ADC≌△ABC.
答案：AC⊥BD,△ABD是等腰三角形,AC平分∠BAD,
△ADC≌△ABC(答案不唯一)
5.如图,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 长为半径画
弧,两弧相交于点C，Q,连结CQ与AB相交于点D,连结AC,BC.那么:
(1)∠ADC=__________度；
(2)当线段AB=4,∠ACB=60°时,求△ABC的面积.
【解析】(1)根据题意,得QC是线段AB的垂直平分线，
∴∠ADC=90°.
(2)AC=BC,∠ACB=60°,
∴△ABC是等边三角形.CD⊥AB,根据勾股定理,得
(共46张PPT)
第19章 单元复习课
一、相关概念
1.定义的概念理解
在日常生活中，为了交流方便，我们就要对名称和术语的含义
加以描述，作出明确的规定，也就是给它们下定义.
(1)定义必须是严密的，要避免使用含糊不清的术语，比如：
“一些”“大概”“差不多”等不能在定义中出现.
(2)定义是几何推理的依据，要正确理解、熟练识记，为以后的
推理打好基础.比如：
若AB⊥CD于O，则∠AOC＝90°(垂直定义).
反过来，若∠AOC＝90°，则AB⊥CD(垂直定义).
定义既可以当性质用，也可以当判定用，是我们思考问题的出
发点和目标.
2.命题的概念理解
叙述一件事情的句子(陈述句)，如果要么是真的，要么是假
的，那么称这个陈述句是一个命题.即：命题是判断一件事情真
假的句子.各种形式的句子，只有构成为“是”或“不是”的形
式，才能称为命题.判定一个语句是否为命题，注意两条：
(1)命题必须是一个完整的句子，通常是陈述句(包括肯定句和
否定句).
(2)必须对某件事情作出肯定或者否定的判断.
命题的组成：每个命题都是由条件和结论组成的.条件是已知事
项，结论是由已知事项推断出的事项.
命题的特征：一般情况下，命题可以写成“如果……，那
么……”或“若……，则……”等形式.其中“如果”或“若”
引出的部分是条件，有时这些字样前面还有前提条件.这个前提
条件也属于条件，“那么”或“则”引出的部分是结论.对于条
件和结论不明显的命题，要经过分析，先把它改写成“如
果……，那么……”的形式，然后再确定条件和结论.
命题的分类：命题分为真命题、假命题两类.
3.命题与逆命题
将命题“若p，则q”中的条件和结论互换，便可以得到一个新
的命题“若q，则p”，我们称这样的两个命题为互逆的命题，
其中一个叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
4.能够完全重合的两个图形叫做全等形.能够完全重合的两个三
角形叫做全等三角形.两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做
对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应
角.夹边就是三角形中相邻两角的公共边.夹角就是三角形中有
公共端点的两边所成的角.
(1)“全等”用符号“≌”来表示，读作“全等于”.如：△ABC
和△A′B′C′全等，记作“△ABC≌△A′B′C′”.
(2)记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应
的位置上.
(3)因为能够重合的两条线段是相等的线段，能够重合的两个角
是相等的角，所以全等三角形的对应边相等，对应角相等.这是
全等三角形的性质.
5.垂直平分线
垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的
垂直平分线，也叫线段的中垂线.
(1)线段的垂直平分线是线段的对称轴.
(2)用集合的观点来描述线段的垂直平分线为：到线段两端点距
离相等的所有点的集合.
6.一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角
的平分线.
(1)角平分线是一条射线，不是直线也不是线段.
(2)角平分线用集合的观点描述为：到角两边距离相等的所有点
的集合.
二、性质和判定
1.真假命题的判定
命题真假判定，真命题需要依据公理、定理等推理证明，要说
明一个命题是假命题，先分清命题的题设和结论，然后可以举
出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论.这种
例子称为反例.
注意：对于假命题并不要求在题设成立时，结论一定错误.事实
上，只要你不能保证结论一定成立，这个命题就是假命题了.因
此，要说明一个命题是假命题，只要举出一个“反例”就可以
了.
2.三角形全等的识别方法
(1)三条边分别对应相等的两个三角形全等，简记为S.S.S..
(2)两边及这两边的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为
S.A.S..
(3)两个角及这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等，简记
为A.S.A..
(4)两个角及其中的一个角的对边对应相等的两个三角形全等，
简记为A.A.S..
(5)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那
么这两个直角三角形全等，简记为H.L..
3.线段中垂线的性质及判定
(1)性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的
距离相等.
(2)判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段
的垂直平分线上.
它们用几何语言表示为：
如图：若PC⊥AB,AC=BC,则PA=PB.反之：
若PA=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上.
说明：
①性质定理反映了线段垂直平分线上的点的纯粹性，判定定理
反映了线段垂直平分线上的点的完备性.性质定理主要应用于证
明线段的相等，判定定理用于证明两线垂直或一线段被某条线
段垂直平分，还可以确定具备某种性质的点的位置，从而作出
图形.
②对线段垂直平分线性质的理解，可以采用动手折叠的实验方
法，并通过变换的方法探究其性质，在探究的过程中，注意观
察操作与归纳推理相结合.
4.角平分线的性质定理和判定定理
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离
相等.
角平分线的判定定理：在一个角的内部，且到角的两边距离相
等的点，在这个角的平分线上.
用几何语言描述为：
OC平分∠AOB
PD⊥OA,PE⊥OB
PD⊥OA,PE⊥OB
PD=PE
?PD=PE
?OC平分∠AOB
全等三角形性质与判定
【相关链接】
全等三角形可从应用和判定两个角度分析
(1)应用:几何中有关线段和角相等的问题一般通过构建三角形
全等来解决.这是解决相等问题首先要考虑的方法.
(2)判定:全等三角形的判定要根据不同的条件灵活应用不同的
判定方法,在应用判定定理的时候,注意隐含条件的应用:如对顶
角相等、公共边(角)相等、直角相等的应用；如果是两个直角
三角形,首先要考虑H.L.定理的应用,然后再考虑一般判定定理
的应用.
【例1】(2011·漳州中考)如图,∠B=
∠D,请在不增加辅助线的情况下,添加
一个适当的条件,使△ABC≌△ADE,并
证明.
(1)添加的条件是__________；
(2)证明:
【思路点拨】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有
一组对应边相等，普通两个三角形全等共有四个定理，即
A.A.S.、A.S.A.、S.A.S.、S.S.S..由此可添加的条件有：
①AB=AD,②BC=DE,③AC=AE等.
【自主解答】(1)添加的条件是:AB=AD,(答案不唯一)；
(2)证明:在△ABC和△ADE中,
∴△ABC≌△ADE(A.S.A.).
线段垂直平分线与角平分线的应用
【相关链接】
应用线段垂直平分线与角平分线可以从以下三个方面考虑
(1)应用线段垂直平分线和角平分线,可以方便的证明线段相等
或角相等,这也是几何证明中常用的方法之一；
(2)线段及线段的垂直平分线,角及角的平分线都是轴对称图形,
图形里隐含全等或相等的关系,要加以总结；
(3)线段垂直平分线与角平分线的性质定理和判定定理是互逆
定理,在解题的时候要整体考虑,灵活选用.
【例2】(2011·乐山中考)如图,在
直角△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平
分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,
求∠B的度数.
【思路点拨】根据DE垂直平分AB,求证∠DAE=∠B,再利用角平分
线的性质和三角形内角和定理，即可求得∠B的度数.
【自主解答】∵在直角△ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交
BC于D,
∵DE垂直平分AB,∴AD=BD,
∴∠DAE=∠B,
∴3∠B=90°,∴∠B=30°.
答:若DE垂直平分AB,∠B的度数为30°.
尺规作图及应用
【相关链接】
尺规作图主要考查学生分析问题、解决问题和动手操作的能力.
尺规作图的作图步骤
(1)根据题意,画出草图；
(2)分清题意,选择步骤；
(3)按部就班,作出图形；
(4)保留痕迹,写出结论.
【例3】(2012·兰州中考)如图(1),矩形纸片ABCD,把它沿对角
线BD向上折叠.
(1)在图(2)中用实线画出折叠后得到的图形(要求尺规作图,保
留作图痕迹,不写作法)
(2)折叠后重合部分是什么图形?说明理由.
【思路点拨】(1)依据全等三角形的判定定理,可以由S.S.S.或
S.A.S.作出折叠的三角形；
(2)由等腰三角形的判定定理得出结论.
【自主解答】(1)作法参考(答案不唯一)
分别以点D，B为圆心,DC,BC为半径画弧,两弧交点为E,连结
DE,BE,则△DEB即为折叠后的图形.
(2)重合部分为等腰三角形.理由:
∵△DCB≌△DEB,∴∠FDB=∠CDB.
又∵AB∥DC,∴∠CDB=∠FBD.
∴∠FDB=∠FBD,∴FD=FB,
∴△FDB为等腰三角形.
【命题揭秘】
结合近年中考试题分析,全等三角形及其应用是中考的高频考
点,既有选择、填空题,也有中低档的证明题,在综合题中常要
用到全等证得线段或角的相等；因为线段垂直平分线与角平分
线可以方便的得出线段或角的相等,该部分知识一般作为解题
工具使用,一般不单独成题.
1.下列说法中,正确的是( )
(A)两腰对应相等的两个等腰三角形全等
(B)两锐角对应相等的两个直角三角形全等
(C)两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
(D)面积相等的两个三角形全等
【解析】选C.选项A两腰对应相等的两个等腰三角形,只有两边
对应相等,所以不一定全等；选项B两锐角对应相等的两个直角
三角形,缺少对应的一对边相等,所以不一定全等；选项C两角及
其夹边对应相等的两个三角形全等,符合A.S.A.；选项D面积相
等的两个三角形不一定全等.故选C.
2.(2012·乐山中考)下列命题是假命题的是( )
(A)平行四边形的对边相等
(B)四条边都相等的四边形是菱形
(C)矩形的两条对角线互相垂直
(D)等腰梯形的两条对角线相等
【解析】选C.矩形的两条对角线只能相等且互相平分,不能互相
垂直.
3.(2012·聊城中考)如图,四边形ABCD是平行四边形,点E在BC上.
如果点F是边AD上的点,那么△CDF与△ABE不一定全等的条件是
( )
(A)DF=BE (B)AF=CE
(C)CF=AE (D)CF∥AE
【解析】选C.结合平行四边形性质,如果DF=BE,则与∠B=∠D,
AB=CD,恰好满足(S.A.S.)全等条件,即△CDF≌△ABE；如果
AF=CE,因为AD=CB,所以DF=BE,结合选项A,能够判断△CDF≌ △ABE；如果CF=AE,判断两三角形全等条件不具备；如果CF∥AE,则四边形AECF是平行四边形,则有AE=CF,CE=AF,于是BE=DF,而AB=CD,所以具备三角形全等条件S.S.S..
4.如图,AC，BD相交于点O,∠A=∠D,请你再补充一个条件,使得
△AOB≌△DOC,你补充的条件是______________.
【解析】添加AO=DO或AB=DC或BO=CO后可分别根据A.S.A.、
A.A.S.、A.A.S.判定△AOB≌△DOC.
答案：AO=DO(或AB=DC或BO=CO.答案不唯一)
【归纳整合】根据已知，添加条件证明三角形全等，答案一般
不唯一.例如，已知一边和一角可添加另一边凑成两边夹角；或
添加一角凑成角角边；也可以改成添加平行线得到相等的角的
方法，总之，要根据条件灵活运用所学知识进行解答.
5.如图,△ABC中,D,E,F分别是AB,BC,AC
上的点,已知DF∥BC,EF∥AB,请补充一
个条件:_________使△ADF≌△FEC.
【解析】若添加AF=FC,已知DF∥BC,EF∥AB,得出∠ADF=∠ABC=
∠FEC,∠AFD=∠C,可以根据A.A.S.来判定其全等,添加DF=EC,利用A.S.A.,或AD=EF,可以利用A.A.S.来判定其全等.
答案：AF=FC(或DF=EC,或AD=EF)
6.(2012·绵阳中考)如图BC=EC,∠1=∠2,
要使△ABC≌△DEC,则应添加的一个条件
为________.(答案不唯一,只需填一个)
【解析】若根据S.A.S.证明时,则可以添加CD=CA；若根据A.A.S.
证明时,则可以添加∠A=∠D；若根据A.S.A.证明时,则可以添加
∠B=∠E.
答案：∠B=∠E(答案不唯一)
7.(2012·广州中考)如图,点D在AB上,
点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C.
求证:BE=CD.
【证明】在△ABE和△ACD中,
∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.
8.(2012·义乌中考)如图,在△ABC中,
点D是BC的中点,作射线AD,在线段AD及
其延长线上分别取点E,F,连接CE,BF.
添加一个条件,使得△BDF≌△CDE,
并加以证明.你添加的条件是___________.(不添加辅助线)
【解析】(1)添加的条件是:DE=DF(或CE∥BF或∠ECD=∠DBF或
∠DEC=∠DFB等).
(2)添加DE=DF时，证明如下：
在△BDF和△CDE中,
∴△BDF≌△CDE.
