沪教版数学高二下春季班：第九讲旋转体 同步学案（教师版）

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沪教版数学高二下春季班第九讲
课题 旋转体 单元 第十五章 学科 数学 年级 十一
学习 目标 1．掌握圆柱和圆锥的有关概念，理解祖暅原理和图形割补等思想方法； 2．会求柱体和锥体的表面积和体积．
重点 1．圆柱、圆锥的有关概念、表面积和体积的计算公式； 2．旋转体的有关几何问题．
难点 旋转体的有关几何问题

教学安排
版块 时长
1 知识梳理 30
2 例题解析 60
3 巩固训练 20
4 师生总结 10
5 课后练习 30









1、旋转体的概念
（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴；
（2）圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在直线叫做圆柱的轴；
线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线；
圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高


（3）圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点；
直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
斜边叫做圆锥侧面的一条母线；
圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．

（4）球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．


2、侧面积、表面积和体积
圆柱，圆锥的侧面积：
，其中，分别为圆柱的底面半径、周长，为母线长；
，其中，分别为圆锥的底面半径、周长，为母线长.
圆柱、圆锥的体积
，其中为底面积，为高，为底面半径；
，其中为底面积，为高，为底面半径。




1、旋转体的概念
【例1】有下列命题:
①在圆柱的上?下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线；
②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；
③过球面上任意两点和球心有且只有一个大圆；
④圆柱的任意两条母线所在直线是互相平行的.
其中正确的是( )
.①②； .②③； .①③； .②④.
【难度】★
【答案】

【例2】下列命题中的真命题是（ ）
A．以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；
B．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱；
C．圆柱、圆锥的底面都是圆；
D．圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径．
【难度】★
【答案】C

【例3】用一个平面去截一个几何体，得到的截面是四边形，这个几何体可能是 （ ）
、圆锥 、圆柱 、球体 、以上都有可能
【难度】★
【答案】

【巩固训练】
1．用一张长、宽分别为的矩形纸张卷成一个没有底面的圆柱筒，则圆柱的底面积为 ．
【难度】★
【答案】

2．轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱。若一个等边圆柱的轴截面面积为，则它的底面积为 ．
【难度】★★
【答案】

3．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的，现用一个平面去截这个几何体，若这个平面垂直于圆柱底面所在的平面，那么所截得的图形可能是图中的_______．






【难度】★
【答案】（1）（3）


2、旋转体的侧面展开
【例4】如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，若这只蚂蚁要先爬到上口边沿再爬到点处取得米粒，则它所需经过的最短路程为 ．
【难度】★★
【答案】
【解析】此类求曲面上最短路程问题通常考虑侧面展开。
侧面展开后得矩形，其中问题转化为在上找一点使最短
作关于的对称点，连接，令与交于点则得的最小值为。

【例5】如图，一竖立在水平对面上的圆锥形物体的母线长为，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点处，则该小虫爬行的最短路程为，则圆锥底面圆的半径等于（??）

A. B. C. D.
【难度】★★
【答案】C

【例6】已知顶点为的圆锥的母线长为，底面半径为，是底面圆周上的两点，为底面中心，且，求在圆锥侧面上由点到点的最短路线长．
【难度】★★
【答案】
【解析】用侧面展开图，沿母线剪开圆锥侧面并展开成扇形，在等腰三角形中，，因而由余弦定理得，，即在圆锥侧面上由点到点的最短路线长。

【巩固训练】
1．圆锥底面半径为10，母线长为60，底面圆周上一点B沿侧面绕两周回到B点，求这个最短距离．
【难度】★★
【答案】

2．有一根长为cm,底面半径为的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多少？
【难度】★★
【答案】把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形（如图），

由题意知=，=，点与点分别是铁丝的起、止位置，故线段的长度即为铁丝的最短长度。=，故铁丝的最短长度为。

3．已知圆锥的底面半径，母线，由底面圆周上一点出发绕其侧面一周的最短路线的长度是多少？最短路线上的点到底面的距离最大是多少？
【难度】★★
【答案】

3、旋转体的侧面积、表面积和全面积
【例7】已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径与高均是，那么圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为
【难度】★★
【答案】

【例8】圆锥的轴截面为正三角形，母线长为8，圆锥的内接圆柱的高为x，当内接圆柱的侧面积S最大时，x的值为 ．
【难度】★★
【答案】

【例9】如图，已知圆锥底面半径，点为半圆弧的中点，点为母线的中点，与所成的角为．求：
（1）圆锥的全面积；
（2）两点在圆锥侧面上的最短距离．

【难度】★★★
【答案】；
【解析】（1）过作于，则，。
过作于，则。
，，。
，
（2）将侧面沿母线展开，点落在位置，弧。，。
在中，。
故两点在圆锥侧面上的最短距离为


【巩固训练】
1．若圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则该圆锥的侧面积为 ．
【难度】★
【答案】

2．若圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的底面圆的半径是 ．
【难度】★★
【答案】

3．若圆锥侧面积为全面积的，则侧面展开图的圆心角为 （ ）
A．　　　　B．　　　　　　C．　　　　　　D．以上都不对
【难度】★
【答案】B

4、旋转体的体积
【例10】⑴若一个圆柱的高扩大为原来的2倍，底面积扩大为原来的3倍，则体积扩大为原来的 倍；⑵若一个圆锥的高不变，要使体积扩大为原来的5倍，则底面半径应扩大为原来的 倍．
【难度】★
【答案】6；

【例11】甲乙两人分别利用一张长20厘米，宽15厘米的纸，用两种不同的方法围成一个圆柱体（接头处不重叠），那么围成的圆柱（ ）
A．体积相等 B．用20厘米作为高的体积大
C．用15厘米作为高的体积大 D．无法比较
【难度】★
【答案】C

【例12】如图，圆锥形封闭容器，高为h，圆锥内水面高为若将圆锥倒置后，圆锥内水面高为
【难度】★★
【答案】





【例13】由曲线，，， 围成图形绕轴旋转一周所得为旋转体的体积为，满足，， 的点组成的图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积为，则 （ ）
A、 B、 C、
【难度】★★
【答案】C
【解析】如图，两图形绕y轴旋转所得的旋转体夹在两相距为的平行平面之间，用任意一个与y轴垂直的平面截这两个旋转体，设截面与原点距离为，则所得截面面积
∵,
S2=(42-y2)-[4-(2-|y|)2]
∴
由祖暅原理知，两个几何体体积相等。故选。


【巩固训练】
1．若一个圆柱的高是，它的侧面展开图中母线与对角线的夹角是，则此圆柱的体积为____．
【难度】★
【答案】


2．圆锥母线长为l，侧面展开圆心角为240°，该圆锥的体积是( )
A．π B．π C．π D．π
【难度】★
【答案】C


3．设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为4，圆锥 顶点到 直线AB的距离为2，AB和圆锥的轴的距离为2，则该圆锥的体积为________．
【难度】★★
【答案】π
【解析】如图O为底面圆心，OC⊥AB于C.
由OA=OB得C为AB中点，
由SA=SB，C为AB中点得SC⊥AB于C.
∴OC=2,SC=2,AC=CB=2,
SO==2，
OB==2 .
∴V=π·OB2·SO=π.

4．把一个圆柱切削成一个最大的圆锥，已已知削去部分的体积比圆锥体积大3.6立方分米，那么圆锥的体积是 立方分米．
【难度】★
【答案】3.6

5、旋转体中的线面关系
【例14】如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面圆周上，点在上，且，若圆柱的底面积与的面积之比等于。
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正切值。

【难度】★★
【答案】（Ⅰ）证明：因为，所以。又，所以，所以,故??????? ??????
（Ⅱ）过点作，垂足为。因为平面平面，所以。连结，则为直线与平面所成的角设圆柱的底半径为，则其底面积为,,由已知,则,所以点为圆柱底面的圆心。在直角中，,在中，，故直线与平面ABCD所成角的正切值为.

【例15】圆锥SO的轴截面是等腰直角三角形，AB是⊙O的直径，Q是圆周上不同于A、B的点
（1）若∠ AOQ=，SO=h，求底面中心O到平面SQB的距离；
（2）若 二面角Q-SA-B等于，求SQ与轴截面SAB所成角的大小 .
【难度】★★
【答案】①设C是QB的中点，连OC，SC，可证平面SQB⊥平面SOC，作OH⊥SC，则OH⊥平面SQB，OH 是O到平面SQB的距离，易知SO=h，OC=，则OH=h.
②作QP⊥AB，∵平面SAB⊥底面ABQ，∴QP⊥平面SAB，作PR⊥SA，连QP，则∠QRP是二面角Q- SA-B的平面角.∠QRP=60°，连SP，可知∠QSP是SQ和轴截面SAB所成的角，设SQ=l，PR=a， 则PQ=a，PQ=2a，AR=a，SR=l-a，由SQ2=SR2+RQ2得l2=(l-a)2+ (2a)2，化简得l=a，sin∠QSP==，SQ与轴截面SAB成角为arcsin.

【巩固训练】
1．如图所示，正四面体棱长为，内接一个圆柱，使圆柱下底在底面上,上底与底面、面、面相切。
求侧面积最大时内接的圆柱侧面积；
在用平面截下的正四面体内部作一个侧面积最大的内接的圆柱，如此无限继续，求所有内接的圆柱侧面积的和
【难度】★★
【答案】（1）（2）







2．如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9．6米铁丝．骨架将圆柱底面8等分．再用平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面（不安装上底面）．
（1）当圆柱底面半径取何值时，取得最大值？并求出该最大值（精确到0．01平方米）；
（2）在灯笼内，以矩形骨架的顶点为端点，安装一些霓虹灯．当灯笼底面半径为0．3米时，求图中两根直线型霓虹灯所在异面直线所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
【难度】★★
【答案】（1） 设圆柱形灯笼的母线长为l，则l1.22r (0所以当r0.4时，S取得最大值约为1.51平方米；
（2） 当r0.3时，l0.6，建立空间直角坐标系，可得，
，设向量与的夹角为，则，
所以A1B3、A3B5所在异面直线所成角的大小为





圆锥与圆锥
图形
定义
有关线 轴 直线 直线
母线
有关面 底面 圆 圆
截面 圆 圆
轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形
侧面及展开图
表面积 其中分别是底面半径和母线长
体积 其中为圆锥的高






1．圆锥的侧面展开图为扇形，若其弧长为cm，半径为cm，则该圆锥的体积为 .
【难度】★
【答案】

2．将一个半圆面围成圆锥的侧面,则其任意两条母线间夹角的最大值为_________.

【难度】★
【答案】


3．用一个半径为10厘米的半圆纸片卷成一个最大的无底圆锥，放在水平桌面上，被一阵风吹倒，如图，则它的最高点到桌面的距离为???????．


【难度】★
【答案】cm
【解析】由题意知圆锥的最高点到桌面的距离即为圆锥的高，由题意得最大圆锥的半径为5cm，则高为cm

4．一个圆柱与一个圆锥等底等高，如果高要使它们的体积相等，则圆锥的高要 ，或者把圆柱的高 ；也可以把圆锥的底面积 ，或者把圆柱的底面积 ．
【难度】★★
【答案】扩大3 倍,缩小3 倍,扩大3 倍,缩小3 倍




5．如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6米，高4米，那么至少需要 平方米的帆布.
【难度】★★
【答案】


6．如图，圆柱的轴截面是正方形，点在底面的圆周上，，是垂足．
（1）求证：；
（2）如果圆柱与三棱锥的体积的比等于，求直线与平面所成的角．
【难度】★★
【答案】（1）平面，∴，又，∴平面，
???∴是直线在平面内的射影，由E及三垂线定理，知．
?（2）过作，是垂足，连结，由平面平面，知平面，则为直线与平面所成的角．
????设圆柱底面半径为，则，于是，??

????依题意：得，
????可知是圆柱底面的圆心，∴，则 ,
????∴，故所求角为．



7．如图，用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 该容器最多盛水多少？（结果精确到0.1 cm3）





【难度】★★
【答案】设铁皮扇形的半径和弧长分别为，圆锥形容器的高和底面半径分别为，则由题意得，由得
由得
由得
由
所以该容器最多盛水

8．如图，已知点在圆柱的底面圆上，为圆的直径，圆柱的表面积为，，。
（1）求三棱锥的体积。
（2）求异面直线与所成角的大小；
（结果用反三角函数值表示）
【难度】★★
【答案】 （1）由题意，解得.
在中，，所以
在中，，所以


（2）取中点，连接，，则，
得或它的补角为异面直线 与所成的角.
又，，得，，
由余弦定理得，
得异面直线 与所成的角为.







旋转体

知识梳理

【性质】根据圆柱的形成过程易知：
圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；
圆柱有两个相互平行的底面.

【性质】根据圆锥的形成过程易知：
圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；
每条母线与轴的夹角都相等.

【补充】
球心到球面上任意点的距离都相等；
② 任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.

例题解析









C

P

S

Q

A

O

B

E



y

x

x

y

o

o

4

4

4

4

-4

-4

-4

-4

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

B1

B2

B3

B4

B5

B6

B7

B8

反思总结

课后练习






















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