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8.5.1 直线与直线平行 教案
课题 直线与直线平行 单元 第八单元 学科 数学 年级 高二
教材分 析 本节内容是空间直线平面平行的第一课时，由常见立体图形导入，进而引出本节要学的内容。
教 学目标与核心素养 1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察直线与直线平行关系。2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。
重点 空间中平行线的传递性
难点 等角定理
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行，在空间中是否还有这样的类似的结论？ 学生思考问题，引出本节新课内容。 利用已学知识引出本节新课内容。
讲授新课 如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，DC//AB,A’B’//AB,DC与A’B’平行吗？观察你所在教室，你能找到类似的实例吗？可以发现DC//A’B’.教室中黑板边所在直线AA’和门框所在直线CC’都平行于墙的交线BB’,那么CC’//AA’。经过前面的讨论我们得到一个基本事实基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行（用来判断空间中两条直线是否平行）2.例一 如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。证明：连接BD∵EH是△ABD的中位线∴EH//BD,且EH=1/2BD同理FG//BD,且FG=1/2BD∴EH//FG且EH=FG∴四边形EFGH为平行四边形在例一中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形 菱形分析：在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。4.练习一如图，在三棱柱中，E,F分别是AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则EF与位置关系是_______5.练习二如图，E，F分别是长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1，的中点．求证：四边形B1EFD为平行四边形．总结：证明空间中两条直线平行的方法(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．(2)利用基本事实：即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b. 6. 思考：在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立？与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置。对于图一，我们可以构造两个全等三角形进行证明。如图，分别在∠BAC和∠B’A’C’的两边上截取DA,AE和A’D’,A’E’使得AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形∴DE=D’E’∴△ADE≌△A’D’E’∴∠BAC=∠B’A’C’对于第二种情况我们可以参照第一种，如图，延长C’A’分别在∠BAC和∠B’A’C”的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形∴DE=D’E’∴△ADE≌△A’D’E’∴∠BAC=∠B’A’C”所以∠BAC与∠B’A’C’互补，这样我们得到如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（等角定理）7.练习三：在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.8.练习一、下列命题中，其中正确的是( )A .若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行B.若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行C.若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行D.若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行二、如图，设E,F,G,H依次是空间四边形，ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点，且AE/AB=AH/AD=λ，CF/CB=CG/CD=μ，则下列结论不正确的是（ ）A 当λ=μ时，四边形EFGH是平行四边形B 当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形C 当λ=μ=1/2时，四边形EFGH是平行四边形D 当λ=μ≠1/2时，四边形EFGH是梯形 根据实例观察空间中的平行线给出基本事实4学生独立思考例一小组讨论练习一并给出答案学生独立完成练习二小组讨论探究并回答问题学生独立思考练习三学生独立完成练习 通过具体立体图形体会空间中平行线的传递性加深学生对基本事实4的理解段炼学生解决问题能力段炼学生独立解决问题能力加深对知识的掌握段炼学生团队协作能力段炼学生对于新知识的掌握段炼学生独立解决问题能力
课堂小结 1，空间中平行线的传递性2，等角定理 学生对本节内容进行总结。 学生对于新知建立系统结构。
板书 目标1，空间中平行线的传递性2，等角定理精讲 习题 1，空间中平行线的传递性2，等角定理
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数学人教版 必修二
8.5 空间直线、平面的平行
新知导入
我们知道，在同一平面内，不相交的两条直线是平行直线，并且当两条直线都与第三条直线平行时，这两条直线互相平行，在空间中是否还有这样的类似的结论？
A
D’
C’
B’
A’
D
C
B
如图，在长方体ABCD-A’B’C’D’中，DC//AB,A’B’//AB,DC与A’B’平行吗？观察你所在教室，你能找到类似的实例吗？
新知讲解
可以发现DC//A’B’.教室中黑板边所在直线AA’和门框所在直线CC’都平行于墙的交线BB’,那么CC’//AA’。
经过前面的讨论我们得到一个基本事实
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行
（用来判断空间中两条直线是否平行）
例一
如图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB,BC,CD,DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。
证明：连接BD
∵EH是△ABD的中位线
∴EH//BD,且EH=1/2BD
同理FG//BD,且FG=1/2BD
∴EH//FG且EH=FG
∴四边形EFGH为平行四边形
在例一中，如果再加上条件AC=BD，那么四边形EFGH是什么图形
E
H
F
G
A
B
C
D
分析：
在例题2的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。
菱形
练习一
如图，在三棱柱中，E,F分别是AB,AC上的点，且AE:EB=AF:FC,则EF与位置关系是_______
解：平行
由平行线分线段成比例定理的性质得EF//BC,从而可判断结论。
在△ABC中∵AE:EB=AF:FC∴EF//BC
又BC// ,所以EF//
练习二
如图，E，F分别是长方体ABCD A1B1C1D1的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF为平行四边形．
证明：如图，设Q是DD1的中点，连EQ、QC1.
∵E是 AA1的中点∴ EQ//A1D1 EQ=A1D1
又在矩形 A1B1C1D1 中，B1C1//A1D1, B1C1//A1D1 ，
∴ EQ//B1C1,EQ=B1C1 (平行公理）
∴四边形EQB1C1为平行四边形
∴B1E//C1Q,B1E=C1Q又∵Q、F是矩形DD1CC1
的两边的中点，∴ QD//C1F,QD=C1F ,
∴四边形DQC1F是平行四边形
∴DF//C1Q,DF=C1Q
∵B1E//C1Q,B1E=C1Q
∴B1E//DF,B1E=DF,
∴四边形B1EDF是平行四边形
总结：证明空间中两条直线平行的方法
(1)利用平面几何的知识(三角形与梯形的中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)来证明．
(2)利用基本事实：即找到一条直线c，使得a∥c，同时b∥c，由基本事实4得到a∥b.
思考：
在平面内，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，在空间中，这一结论是否仍然成立？
与平面中的情况类似，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有如图所示的两种位置。对于图一，我们可以构造两个全等三角形进行证明。
如图，分别在∠BAC和∠B’A’C’的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’
∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形
∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’
∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形∴DE=D’E’
∴△ADE≌△A’D’E’∴∠BAC=∠B’A’C’
对于第二种情况我们可以参照第一种，如图，延长C’A’分别在∠BAC和∠B’A’C”的两边上截取AD,AE和A’D’,A’E’使得AD=A’D’,AE=A’E’。连接AA’,DD’,EE’,DE,D’E’
∵AD//A’D’且AD=A’D’∴四边形ADD’A’是平行四边形
∴AA’//DD’且AA’=DD’同理可证AA’//EE’且AA’=EE’
∴DD’//EE’且DD’=EE’∴四边形DD’E’E是平行四边形∴DE=D’E’
∴△ADE≌△A’D’E’∴∠BAC=∠B’A’C”
所以∠BAC与∠B’A’C’互补，这样我们得到
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补（等角定理）
C’
练习三：
在三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N，P分别为A1C1，AC和AB的中点．求证：∠PNA1＝∠BCM.
证明:：因为P、N分别为AB,AC的中点，所以PN//BC，PN=BC
又因为M、N分别为A1C1、AC中点，所以 A1M//NC,A1M=NC所以四边形 A1NCM为平行四边形,于是A1N//MC,A1N=MC，
且∠BCM与 ∠PNA1 对应边方向相同，所以∠PNA1＝∠BCM.
一、下列命题中，其中正确的是( )
A .若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行
B.若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行
C.若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
D.若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行
课堂小验
C
二、如图，设E,F,G,H依次是空间四边形，ABCD的边AB,BC,CD,DA上除端点外的点，且AE/AB=AH/AD=λ，CF/CB=CG/CD=μ，则下列结论不正确的是（ ）
A 当λ=μ时，四边形EFGH是平行四边形
B 当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形
C 当λ=μ=1/2时，四边形EFGH是平行四边形
D 当λ=μ≠1/2时，四边形EFGH是梯形
D
解：如图，连接BD
∵AE/AB=AH/AD=λ，∴EH//BD,且EH=λBD
同理，FG//BD,且FG=μBD∴EH//FG
∴当λ=μ时，EH=FG∴四边形EFGH是平行四边形∴A,C正确，D错
当λ≠μ，EH≠FG,四边形EFGH是梯形∴B正确
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