8.6.1 直线与直线垂直 教案
课题
直线与直线垂直
单元
第八单元
学科
数学
年级
高二
教材分 析
本节内容是空间直线与直线垂直，由常见立体图形导入，进而引出本节要学的内容。
教 学
目标与核心素养
1.数学抽象：通过将实际物体抽象成空间图形并观察直线与直线垂直关系。
2.逻辑推理：通过例题和练习逐步培养学生将理论应用实际的。
3.数学建模：本节重点是数学中的形在讲解时注重培养学生立体感及逻辑推理能力，有利于数学建模中推理能力。
4.空间想象：本节重点是考查学生空间想象能力。
重点
直线与直线垂直，异面直线夹角
难点
直线与直线垂直判定，求异面直线夹角
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
前面我们认识了空间直线的平行关系，那么空间中的垂直又是什么样的呢?
学生思考问题，引出本节新课内容。
问题导入引出新知。
讲授新课
1.探究：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线A’C’与直线AB,直线A’D’与直线AB都是异面直线，直线A’C’与A’D’相对于直线AB的位置关系相同吗？
根据实例观察体会线线垂直
段炼学生空间想象能力
讲授新课
不同
2.异面直线夹角：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a，b’//b,我们把a’与b’所成角叫做异面直线a与b所成角（或夹角）
3.如果两条异面直线夹角为90°，那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作a⊥b当两条直线平行时规定所成角为0°。所以异面直线所成角范围0°≤α≤90°
4.想一想：在平面几何中，垂直于同一直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗？
不成立反例如图。
5.练习一
1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( )
2.异面直线a与b所成角可以是0°.( )
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( )
注意： 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
当直线a与b所成角是0°时，两直线平行，即共面.
例一：如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’
（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？
（2）求直线BA’与CC’所成角的大小
（3）求直线BA’与AC所成角的大小
解（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直。
因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°，所以直线BA’与CC’所成角等于45°。
（3）如图，连接A’C’,因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形，所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。
求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
6.例二：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，O’为底面A’B’C’D’的中心，求证：AO’⊥BD
证明：如图，连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体
∴BB’//DD’,BB’=DD’
∴四边形BB’DD’是平行四边形
∴B’D’//BD
∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角
连接AB’,AD’易证AB’=AD’
又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点
∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD
7.例三
如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.
解：取BC中点O,连接OE,OF，如图。
∵E,F分别是AB,CD的中点，∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE与OF所成的锐角就是AC与BD所成的角
∵BD,AC所成角为60°，∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,
∴OE=OF=1当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=1,当∠EOF=120°时，取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM= ,∴EF=2EM=
8.练习二
如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为（ ）
A．相交 B．平行 C．既不相交，也不平行 D．不能确定
解：由题,则正方体的直观图如图所示,
易知, AB与CD既不平行,也不相交,
故选:C
9.练习三
四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______
解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60°
10.利用勾股定理证直线与直线垂直
在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角
解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB
∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角
MF=ME=2，EF=
∴MF2+ME2=EF2
∴∠EMF=90°
∴异面直线AB和CD的夹角是90°。
11.练习四
如图，在正方体中，N,M,P分别是A1B1 ,CC1，AD的中点，则异面直线D1N 与MP所成角的大小是（ ）
A 90° B 60° C 45° D 30°
课堂练习
一、已知长方体ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1则异面直线A1B1与AC1所 成 角 的 余 弦 值 为________
二、已知点M、N分别为正方体ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’与AA’的中点，平面DNM与平面ABCD的交线记为l,则l与C’M所成角的大小为______
三、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线AC’与B’D’的夹角是多少？
探究异面直线夹角
学生独立完成练习一
学生独立思考例一
让学生总结求异面直线夹角的步骤
学生独立思考例二
小组讨论例三并给出答案
做一做
独立完成练习
掌握异面直线所成角范围
段炼学生解决问题能力，培养其空间想象能力
段炼学生空间想象能力
段炼学生总结能力，有助有数学建模
加深对知识的掌握
培养其逻辑推理能力
通过练习逐步培养学生将理论应用实际的。
加深对本节新知的掌握
课堂小结
1 异面直线夹角
2 平面与平面平行性质
3.求异面直线夹角
学生对本节内容进行总结。
学生对于新知建立系统结构。
板书
目标
1 异面直线夹角
2 平面与平面平行性质
求异面直线夹角
精讲 习题
1 异面直线夹角
2 平面与平面平行性质
3.求异面直线夹角
课件21张PPT。数学人教版 必修二8.6 空间直线、平面的垂直新知导入前面我们认识了空间直线的平行关系，那么空间中的垂直又是什么样的呢?AD’C’B’A’DCBYOUR SITE HERE探究：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线A’C’与直线AB,直线A’D’与直线AB都是异面直线，直线A’C’与A’D’相对于直线AB的位置关系相同吗？新知讲解不同异面直线夹角：已知两条异面直线a,b,经过空间任意一点O分别作a’//a，b’//b,我们把a’与b’所成角叫做异面直线a与b所成角（或夹角）
如果两条异面直线夹角为90°，那我们就说这两条异面直线互相垂直。记作a⊥b当两条直线平行时规定所成角为0°。所以异面直线所成角范围0°≤α≤90°想一想：在平面几何中，垂直于同一直线的两直线互相平行，在空间中这个结论还成立吗？不成立反例如图。练习一
1.异面直线所成的角的大小与O点的位置有关，即O点位置不同时，这一角的大小也不同.( )
2.异面直线a与b所成角可以是0°.( )
3.如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( )
X√X注意： 1.异面直线所成的角的大小与O点的位置无关.
2.当直线a与b所成角是0°时，两直线平行，即共面.
例一：如图，已知正方体ABCD-A’B’C’D’
（1）哪些棱所在直线与直线AA’垂直？
（2）求直线BA’与CC’所成角的大小
（3）求直线BA’与AC所成角的大小解（1）棱AB,BC,CD,DA,A’B’,B’C’,C’D’,D’A’所在直线分别与AA’垂直。
（2）因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以BB’//CC’,因此∠A’BB’为直线BA’与CC’所成的角。又因为∠A’BB’=45°，所以直线BA’与CC’所成角等于45°。（3）如图，连接A’C’,因为ABCD-A’B’C’D’是正方体，所以AA’//CC’且AA’=CC’,从而四边形AA’CC’是平行四边形，所以AC//A’C’。于是∠BA’C’为异面直线BA’与AC所成的角。连接BC’,易知△A’BC’是等边三角形，所以∠BA’C’=60°。从而异面直线BA’与AC所成角等于60°。求两条异面直线所成的角的一般步骤
(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角.
(2)计算角：求角度，常利用三角形.
(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.例二：如图在正方体ABCD-A’B’C’D’中，O’为底面A’B’C’D’的中心，求证：AO’⊥BD 证明：如图，连接B’D’,∵ABCD-A’B’C’D’是正方体
∴BB’//DD’,BB’=DD’
∴四边形BB’DD’是平行四边形
∴B’D’//BD
∴直线AO’与B’D’所成角即为直线AO’与BD所成角
连接AB’,AD’易证AB’=AD’
又O’为底面A’B’C’D’的中心∴O’为B’D’的中点
∴AO’⊥B’D’,AO’⊥BD，O’例三
如图所示，四面体A－BCD中，E，F分别是AB，CD的中点.若BD，AC所成的角为60°，且BD＝AC＝2.求EF的长度.解：取BC中点O,连接OE,OF，如图。
∵E,F分别是AB,CD的中点，∴OE//AC且OE=1/2AC,OF//AC且OF=1/2BD,∴OE与OF所成的锐角就是AC与BD所成的角
∵BD,AC所成角为60°，∴∠EOF=60°或120°∵BD=AC=2,
∴OE=OF=1当∠EOF=60°时，EF=OE=OF=1,当∠EOF=120°时，取EF的中点M,连接OM,则OM⊥EF,且∠EOM=60°∴EM= ,∴EF=2EM=??练习二
如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中AB与CD的位置关系为（ ）
A．相交 B．平行 C．既不相交，也不平行 D．不能确定
解：由题,则正方体的直观图如图所示,
易知, AB与CD既不平行,也不相交,
故选:C练习三
四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为_______解：画出图如图所示，将AP平移到BE的位置，连接DE，则角DBE即是两条异面直线所成的角.由于三角形BDE为等边三角形，故两条异面直线所成的角为60° 。利用勾股定理证直线与直线垂直
在棱长为4的正四面体ABCD中，求异面直线AB和CD所成的角解：取BC中点E,AC中点M,AD中点F,连接EM,MF,FE,FB,FC.MF//CD,EM//AB
∴∠EMF即异面直线AB和CD所成的角或其补角
MF=ME=2，EF=
∴MF2+ME2=EF2
∴∠EMF=90°
∴异面直线AB和CD的夹角是90°。?练习四
如图，在正方体中，N,M,P分别是A1B1 ,CC1，AD的中点，则异面直线D1N 与MP所成角的大小是（ ）
A 90° B 60° C 45° D 30°解：取BB1中点K,连接A1K,则A1K//D1N,取B1K的中点Q,连接MQ,PQ,则MQ//A1K,所以MQ//D1N,所以∠PMQ即为所求夹角。如图，设正方体棱长为4，由勾股定理易知，PQ2=PB2+BQ2=29，PM2=24，MQ2=5，所以PQ2=PM2+MQ2，所以∠PMQ=90°。一、已知长方体ABCD- A1B1C1D1,AB=1,AD=2, AA1=1则异面直线A1B1 与AC1所 成 角 的 余 弦 值 为________
课堂小验二、已知点M、N分别为正方体ABCD-A’B’C’D’的棱A’B’与AA’的中点，平面DNM与平面ABCD的交线记为l,则l与C’M所成角的大小为______0?三、在正方体ABCD-A’B’C’D’中，直线AC’与B’D’的夹角是多少？解：连接A’C’与B’D’交于点E,取AA’中点F,连接EF,FE’.
在△AA’C’中，EF//AC’
∴∠FED’即为异面直线AC’和B’D’所成的角或其补角，
设正方体棱长为a,则EF=1/2AC’= ,ED’= ,
FD’=
∴EF2+ED’2=FD’2，∴∠FED’=90°
∴直线AC’和B’D’的夹角是90°???FEYOUR SITE HERE1，异面直线夹角2，空间中直线垂直关系3，异面直线夹角求法课堂总结板书设计 目标
1、异面直线夹角
2、空间中两条直线垂直关系
3、求异面直线夹角
精讲 习题
1、异面直线夹角
2、空间中两条直线垂直关系
3、求异面直线夹角
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