2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第2章2.32.3.1　平面向量基本定理Word版含解析

2.3　向量的坐标表示
2.3.1　平面向量基本定理
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义．(重点)
2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量．(重点)
3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．(难点)
通过学习本节内容提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养.
一、平面向量基本定理
1．定理：如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
2．基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考1：如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？
[提示]　能．依据是数乘向量和平行四边形法则．
思考2：如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？
[提示]　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示．
二、平面向量的正交分解
一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量a的分解．当e1，e2所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解．
思考3：一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G，可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直作用于斜面的力F2.类比力的分解，平面内任一向量能否用互相垂直的两向量表示？
[提示]　能，互相垂直的两向量可以作为一组基底．
1．思考辨析
(1)同一平面内只有不共线的两个向量可以作为基底．(　　)
(2)0能与另外一个向量a构成基底．(　　)
(3)平面向量的基底不是唯一的．(　　)
[解析]　平面内任意一对不共线的向量都可以作为基底，故(2)是错误的．(1)，(3)正确．
[答案]　(1)√　(2)×　(3)√
2．已知向量a与b是一组基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y＝________.
3　[由原式可得解得
所以x－y＝3.]
3．如图，在△ABC中，P为BC边上一点，且＝.
(1)用，为基底表示＝________；
(2)用，为基底表示＝________.
＋　＋　[(1)∵＝＋，
＝＝，＝－，
∴＝＋＝＋－＝＋.
(2)＝＋＝＋.]
对向量基底的理解
【例1】　如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，则下列说法正确的是(　　)
A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0
B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，这里λ1，λ2为实数
C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在该平面内
D．对平面内任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对
思路点拨：根据有关概念及定理，逐一分析．
A　[平面α内任一向量都可写成e1与e2的线性组合形式，而不是空间内任一向量，故B不正确；对任意实数λ1，λ2，向量λ1e1＋λ2e2一定在平面α内，故C不正确；而对平面α内的任一向量a，实数λ1，λ2是唯一的，故D不正确．]
考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来．
1．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
[解]　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.
由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．
用基底表示向量
【例2】　如图所示，在△ABC中，点M是AB的中点，且＝，BN与CM相交于点E，设＝a，＝b，试用基底a，b表示向量.
思路点拨：本题可过N作AB的平行线，交CM于D，利用平行线的性质结合向量的线性表示求解，也可利用三点共线的条件结合平面向量定理的唯一性求解．
[解]　法一：由已知，在△ABC中，＝，且＝，已知BN与CM交于点E，过N作AB的平行线，交CM于D，如图所示．
在△ACM中，＝＝，
所以＝＝＝，
所以＝，
＝＋＝＋
＝＋(＋)
＝＋
＝＋＝a＋b.
法二：易得＝＝b，＝＝a，
由N，E，B三点共线知存在实数m，满足
＝m＋(1－m)＝mb＋(1－m)a.
由C，E，M三点共线知存在实数n，满足
＝n＋(1－n)＝na＋(1－n)b.
所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b.
因为a，b为基底，所以
解得所以＝a＋b.
将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直到用基底表示为止；另一种是通过列向量方程，利用基底表示向量的唯一性求解.
2．如图所示，已知?ABCD的边BC，CD上的中点分别为K，L，且＝e1，＝e2，试用e1，e2表示，.
[解]　设＝a，＝b，则
由得
∴
∴＝－＝(2e1－e2)，
∴＝e2－e1；＝＝e2－e1.
平面向量基本定理与向量共线定理的应用
[探究问题]
1．平面内的任一向量都可以表示成两个不共线向量的线性组合吗？
提示：是的．
2．若e1，e2不共线，且λe1＋μe2＝0，则λ，μ满足什么关系？
提示：λ＝μ＝0.
【例3】　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，N在AC上且AN＝2NC，AM与BN交于点P，求AP∶PM的值．
思路点拨：选取基底，→表示，→设＝λ，＝μ→由＝＋求λ，μ的值．
[解]　设＝a，＝b，
则＝(a＋b)，＝－a＋b.
∵A，P，M共线，∴设＝λ，
∴＝(a＋b)．
同理设＝μ，∴＝－μa＋μb.
∵＝＋，∴a＝(a＋b)－，
∴a＝b.
∵a与b不共线，∴
∴λ＝，μ＝，∴＝，＝，
∴AP∶PM＝4∶1.
1．充分挖掘题目中的有利条件，本题中两次使用三点共线，注意方程思想的应用．
2．用基底表示向量也是用向量解决问题的基础，应根据条件灵活应用，熟练掌握．
3．如图，平行四边形ABCD中，H为CD的中点，且AH与BD交于I，求AI∶IH的值．
[解]　设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
设＝λ，＝μ，
∴＝λ＝a＋λb，
又＝＋＝b＋μ(a－b)＝μa＋(1－μ)b，
故∴λ＝1，∴λ＝.
∴AI∶IH＝2∶1.
教师独具
1．本节课的重点是平面向量基本定理及其应用，难点是平面向量基本定理的应用．
2．本节课要重点掌握以下两个问题
(1)正确理解基底向量的概念．
(2)用平面向量基本定理解决相关问题．
1．下列关于基底的说法正确的是(　　)
①平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底；
②基底中的向量可以是零向量；
③平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的．
A．①③　　　B．②　　　C．①　　　 D．②③
A　[零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故②错，①③正确．]
2．如图所示，△ABC中，若D，E，F依次是AB的四等分点，则以＝e1，＝e2为基底时，＝________.
e1＋e2　[＝e1，＝e2，∴＝e1－e2.
∵＝，∴＝(e1－e2)，
∴＝＋＝e2＋(e1－e2)＝e1＋e2.]
3．设一直线上三点A，B，P满足＝m(m≠－1)，O是直线所在平面内一点，则用，表示为________．
＝＋　[由＝m，得－＝m(－)，
∴＋m＝＋m，∴＝
＝＋.]
4．已知梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，设＝a，＝b，试以a，b为基底表示，，.
[解]　如图所示，连结FD，
∵DC∥AB，AB＝2CD，E，F分别是DC，AB的中点，
∴DC綊FB，
∴四边形DCBF为平行四边形．
∴＝＝＝b，＝＝－＝－＝a－b，＝－＝－－＝－－＝－－×b＝b－a.