2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第3章章末复习课Word版含解析

求值问题
　已知tan α＝4，cos(α＋β)＝－，α，β均为锐角，求cos β的值．
思路点拨：由tan α求sin α，由cos(α＋β)求sin(α＋β)，再利用cos β＝cos[(α＋β)－α]展开求解．
[解]　因为α，β均为锐角，
所以0＜α＋β＜π，又cos(α＋β)＝－，
所以＜α＋β＜π，
且sin(α＋β)＝.因为tan α＝4，
所以sin α＝，cos α＝.
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝.
三角函数求值主要有三种类型，即
?1?“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，观察发现题中的角与特殊角都有着一定的关系，如和或差为特殊角，必要时运用诱导公式.
?2?“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角，要注意角的范围.
?3?“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.
1．已知sinsin＝，α∈，求的值．
[解]　∵sinsin＝，
∴sincos＝，
sin＝，即cos 2α＝.
又α∈，2α∈(π，2π)，
∴sin 2α＝－
＝－＝－.
∴＝
＝＝－.
化简与证明
　求证：＝.
思路点拨：先对原式进行等价变形，同时注意应用“二倍角”的正弦、余弦、正切公式．
[证明]　证明原不等式成立，即证明
1＋sin 4θ－cos 4θ＝tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)成立．
∵tan 2θ(1＋sin 4θ＋cos 4θ)
＝(2cos22θ＋2sin 2θcos 2θ)
＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)
＝2sin 2θcos 2θ＋2sin22θ
＝sin 4θ＋1－cos 4θ.
∴＝.
三角函数式的化简与证明要遵循“三看”原则
?1?一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式.
?2?二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”.
?3?三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向.
2．化简：.
[解]　原式＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝＝2.
三角恒等变换的综合应用
　设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
思路点拨：分别表示两向量的模，利用相等求解x的值；利用数量积运算及辅助角公式化为一个角的一种函数求解．
[解]　(1)由|a|2＝(sin x)2＋sin2 x＝4sin2x，
|b|2＝cos2x＋sin2x＝1，及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin xcos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
1．进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．
2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．
3．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝，求sin 2α的值．
[解]　(1)f(x)＝cos2－sincos－＝(1＋cos x)－sin x－＝cos.
所以f(x)的最小正周期为2π，值域为.
(2)由(1)知f(α)＝cos＝，
所以cos＝.
所以sin 2α＝－cos
＝－cos
＝1－2cos2＝1－＝.
转化与化归思想在三角变换中的应用
【例4】　已知tan α＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．
思路点拨：先求tan(2α－β)的值，再结合2α－β的范围求2α－β的值．
[解]　∵tan α＝＞0，
∴α∈，2α∈(0，π)，
∴tan 2α＝＝＝＞0，
∴2α∈，
又∵tan β＝－＜0，β∈(0，π)，
∴β∈，
∴tan(2α－β)＝
＝＝1，
又∵2α∈，β∈，
∴2α－β∈(－π，0)，∴2α－β＝－π.
在三角函数的化简、求值中，常常对条件和结论进行合理的变换，通过转化沟通已知与未知的关系，角的转化、函数名称的转化、常数代换、幂的升降变换、结构变化等技巧在解题中经常用到，应熟练掌握.
4．已知＜α＜，0＜β＜，cos＝，sin＝，求sin(α＋β)的值．
[解]　∵＜α＜，0＜β＜，
∴－＜－α＜0，＜＋β＜π，
∴sin＝－
＝－＝－，cos
＝－＝－，
∴sin(α＋β)＝－cos
＝－cos
＝－cos＋βcos－α＋sin＋β·sin－α
＝－＝.