(共14张PPT)
问题提出
1.在平面直角坐标系中，两点确定一条
直线，一点和倾斜角也确定一条直线，
那么在什么条件下可以确定一个圆呢？
2.直线可以用一个方程表示，那么怎样建立圆的方程呢?
圆心和半径
知识探究一：圆的标准方程
平面上到一个定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
P={M||MC|=r}.
思考2:设圆心坐标为C(a，b)，圆半径
为r(r>0)，M(x，y)为圆上任意一点，根据圆的定义x，y应满足什么关系？
O
C
y
x
设M(x , y)为圆上任意点
P = { M | |MC| = r }
x
y
O
C
M(x,y)
圆心C(a,b),半径r
特别地,若圆心为O(0，0),半径r的圆的方程为：
三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.
圆的标准方程
求曲线方程的一般步骤：
(1) (x-3)2+(y+2)2 =4
(2) (x+4)2+(y-2)2 = 7
(3) x2+(y+1)2 = 16
(4) 2x2+2y2=8
(3,-2) r=2
(0,-1) r=4
(0,0) r=2
练习1:(口答):求圆的圆心及半径
(1)圆心在原点,半径是3.
x2+y2=9
(x-3)2+(y-4)2=5
练习2：写出下列圆的方程
例题、已知两点A(4，9)、B(6，3),求以AB为 直径的圆的方程.
(x-5)2+(y-6)2=10
知识探究二：点与圆的位置关系
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置关系？
OAOA>r
OA=r
点M在圆上
点M在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M在圆外
(1)圆的标准方程的结构特点.
(2)点与圆的位置关系的判定.
(3)求圆的标准方程的方法：
①代入法；②待定系数法
小结
课后思考题
《圆的标准方程》的说课稿
各位老师、同学们，大家好！
今天我说课的题目是《圆的标准方程》，按大纲要求《圆的方程》这一节共分三课时，我今天要说的是第一课时的内容——圆的标准方程.下面我将从三个方面来阐述我对这节课的教学认识，分别是，教学背景分析、教法学法分析、以及具体的教学过程与设计.
首先，我对本节课的教学背景进行一些分析：在这里我分四小点进行说明.
【一】教学背景分析
1． 教材结构分析
《圆的方程》安排在高中数学第二册（上）第七章第六节.在新课表实验教材中，被安排在必修二的平面解析几何初步中，我们知道，圆作为常见的简单几何图形，在实际生活和生产实践中有着广泛的应用.而圆的方程属于解析几何学的基础知识，是研究二次曲线的开始，对接下来直线与圆的位置关系、圆锥曲线等内容的学习，无论在知识上还是方法上都有着积极的意义，所以本节内容在整个解析几何中起着承前启后的作用.
2.学情分析：圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的.但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.
根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：
3．教学目标
(1)知识目标：①掌握圆的标准方程；
②会由圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标，能根据条件写出圆的标准方程；
③利用圆的标准方程解决简单的实际问题.
(2)能力目标：①进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；
②加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；
③增强学生用数学的意识.
(3)情感目标：①培养学生主动探究知识、合作交流的意识；
②在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
根据以上对教材、教学目标及学情的分析，我确定如下的教学重点和难点：
4.教学重点与难点
(1)重点:圆的标准方程的求法及其应用.
(2)难点：①会根据不同的已知条件求圆的标准方程；
②选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.
为使学生能达到本节设定的教学目标，我再从教法和学法上进行分析：
【二】教法学法分析
1．教法分析为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“启发式”问题教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.另外我恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设实际问题的情境既能激发学生的学习兴趣，又直观的引导学生通过建模来解决问题
2．学法分析通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求的过程.
下面我就对具体的教学过程和设计加以说明：
【三】教学过程与设计
整个教学过程是由七个问题组成的问题链驱动的，共分为五个环节：
创设情境启迪思维 深入探究获得新知 应用举例巩固提高
反馈训练形成方法 小结反思拓展引申
下面我详细叙述我的教学程序与设计意图.
首先：纵向叙述教学过程
（一）创设情境——启迪思维
问题一已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？
通过对这个实际问题的探究，把学生的思维由用勾股定理求线段CD的长度转移为用曲线的方程来解决.一方面帮助学生回顾旧知——求轨迹方程的一般方法，另一方面，在得到汽车不能通过的结论的同时学生自己推导出了圆心在原点，半径为4的圆的标准方程，从而很自然的进入了本课的主题。
用实际问题创设问题情境，让学生感受到问题来源于实际，应用于实际，激发了学生的学习兴趣和学习欲望.这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移.
通过对问题一的探究，抓住了学生的注意力，把学生的思维引到用坐标法研究圆的方程上来，此时再把问题深入，进入第二环节.
（二）深入探究——获得新知
问题二1．根据问题一的探究能不能得到圆心在原点，半径为的圆的方程？
2．如果圆心在，半径为时又如何呢？
这一环节我首先让学生对问题一进行归纳，得到圆心在原点，半径为4的圆的标准方程后，引导学生归纳出圆心在原点，半径为r的圆的标准方程.然后再让学生对圆心不在原点的情况进行探究.我预设了三种方法等待着学生的探究结果，分别是：坐标法、图形变换法、向量平移法.
得到圆的标准方程后，我设计了由浅入深的三个应用平台，进入第三环节.
（三）应用举例——巩固提高
I．直接应用内化新知
问题三1．写出下列各圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径为3；
（2）经过点，圆心在点.
2．写出圆的圆心坐标和半径.
在这里，我设计了两个小问题，第一题是直接或间接的给出圆心坐标和半径求圆的标准方程，第二题是给出圆的标准方程求圆心坐标和半径，这两题比较简单，可以安排学生口答完成，目的是先让学生熟练掌握圆心坐标、半径与圆的标准方程之间的关系，为后面探究圆的切线问题作准备.
II．灵活应用提升能力
问题四1．求以点为圆心，并且和直线相切的圆的方程.
2．求过点，圆心在直线上且与轴相切的圆的方程.
3．已知圆的方程为，求过圆上一点的切线方程.
你能归纳出具有一般性的结论吗？
已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是什么？
我设计了三个小问题，第一个小题有了刚刚解决问题三的基础，学生会很快求出半径，根据圆心坐标写出圆的标准方程.第二个小题有些困难，需要引导学生应用待定系数法确定圆心坐标和半径再求解，从而理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.第三个小题解决方法较多，我预设了四种方法再一次为学生的发散思维创设了空间.最后我让学生由第三小题的结论进行归纳、猜想，在论证经过圆上一点的切线方程的过程中，又一次模拟了真理发现的过程，使探究气氛达到高潮.
III．实际应用回归自然
问题五如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱的长度（精确到0.01m）.
我选用了教材的例3，它是待定系数法求出圆的三个参数的又一次应用，同时也与引例相呼应，使学生形成解决实际问题的一般方法，培养了学生建模的习惯和用数学的意识.
（四）反馈训练——形成方法
问题六1．求过原点和点，且圆心在直线上的圆的标准方程.
2．求圆过点的切线方程.
3．求圆过点的切线方程.
接下来是第四环节——反馈训练.这一环节中，我设计三个小题作为巩固性训练，给学生一块“用武”之地，让每一位同学体验学习数学的乐趣，成功的喜悦，找到自信，增强学习数学的愿望与信心.另外第3题是我特意安排的一道求过圆外一点的圆的切线方程，由于学生刚刚归纳了过圆上一点圆的切线方程，因此很容易产生思维的负迁移，另外这道题目有两解，学生容易漏掉斜率不存在的情况，这时引导学生用数形结合的思想，结合初中已有的圆的知识进行判断，这样的设计对培养学生思维的严谨性具有良好的效果.
（五）小结反思——拓展引申
1．课堂小结
把圆的标准方程与过圆上一点圆的切线方程加以小结，提炼数形结合的思想和待定系数的方法
①圆心为，半径为r的圆的标准方程为：；
圆心在原点时，半径为r的圆的标准方程为：.
②已知圆的方程是，经过圆上一点的切线的方程是：.
2．分层作业（A）巩固型作业：教材P81-82：（习题7.6）1，2，4.
（B）思维拓展型作业：
试推导过圆上一点的切线方程.
3．激发新疑
问题七1．把圆的标准方程展开后是什么形式？
2．方程表示什么图形？
在本课的结尾设计这两个问题，作为对这节课内容的巩固与延伸，让学生体会知识的起点与终点都蕴涵着问题，旧的问题解决了，新的问题又产生了.在知识的拓展中再次掀起学生探究的热情.另外它为下节课研究圆的一般方程作了重要的准备.
以上是我对这节课的教学预设，具体的教学过程还要根据学生在课堂中的具体情况适当调整，向生成性课堂进行转变.谢谢大家！
C
D
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圆的标准方程练习题
1、 选择题
1． 以点（2，-2）为圆心，以为半径的圆的标准方程是 ( )
A. B.
C. D.
2． .方程 表示圆的圆心与半径分别是 ( )
A．（1,0）,4 B.(-1,0),4 C.(-1,0),2 D.(1,0),2
3． 点（1,1）与圆的位置关系是 ( )
A.点在圆上 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D.不能确定
4.过点A（1,-1），B（-1,1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是 （ ）
A. B.
C. D.
二、填空题
5.自点（-1， 4）作圆的切线，则切线长为-------------------------.
6.圆关于直线x+y=0对称的圆的方程为------------------------------------.
7.已知正三角形的两个顶点是（0,0）,(6,0),则它的外接圆方程为----------------------------------.
8. 已知一圆的圆心是（2,-3），它的一条直径的两个端点分别在x轴和 y轴上，则此圆的方
程为----------------------------------.
三、解答题
9.已知一个圆和y轴相切，在直线y=x上截得的弦长为2，且圆心在直线x-3y=0上，求圆的方程.
10.一条光线从点A（-1，1）出发，经x轴反射到圆C：上，求光线的最短路程和最长路程.
答案：
一、1.B 2..C 3.B 4.C
二、5. 3
6.
7. 或
8.
三、9. 或
10.最短路程 4 ， 最长路程 6
圆的标准方程教学设计
教材分析
本节内容位于曲线的方程和方程之后，是求具体曲线的方程。同时，本节课的研究方法为以后学习椭圆、双曲线、抛物线提供了一个基本模式，因此，可以把圆看作是圆锥曲线的前奏曲。
学情分析
圆的方程是学生在初中学习了圆的概念和基本性质后，又掌握了求曲线方程的一般方法的基础上进行研究的. 但由于学生学习解析几何的时间还不长、学习程度较浅，且对坐标法的运用还不够熟练，在学习过程中难免会出现困难.另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识等方面有待加强.
教法分析
为了充分调动学生学习的积极性，本节课采用“问题－探究”教学法，用环环相扣的问题将探究活动层层深入，使教师总是站在学生思维的最近发展区上.
学法分析
通过推导圆的标准方程，加深对用坐标法求轨迹方程的理解.通过求圆的标准方程，理解必须具备三个独立的条件才可以确定一个圆.通过应用圆的标准方程，熟悉用待定系数法求解的过程.
根据上述分析，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我制定如下教学目标：
教学目标
基础目标：（1）理解圆的标准方程的推导；
（2）掌握圆的标准方程。会根据圆的方程，求圆心和半径；反之，会根据圆心和半径写圆的标准方程；
（3）根据不同条件建立圆的标准方程,以及运用圆的标准方程解决一些简单的实际问题；
（4）进一步熟悉求曲线方程的方法。
提高目标：培养学生数形结合，由特殊到一般的数学思想；加深对待定系数法的理解；促进学生自主的、创造性的学习。
体验目标：通过利用已学知识学会分析、解决问题，品尝成功的喜悦，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心。
教学重点与难点
(1)重点: 圆的标准方程的求法及其应用.
(2)难点：会根据不同的已知条件求圆的标准方程
教学过程
一、 复习引入
1、课前复习填写学案（学案见附录）
教师设问：①求曲线方程的一般步骤
②圆的定义
③两点间的距离公式
学生回答问题，为圆的标准方程的推导作好准备。
2、创设情景引入新课
教师准备一圆拱模型和卡车模型，作卡车穿过拱桥的实验。
教师设问：装有货物的卡车能否穿过拱桥？与那些因素有关？
学生通过观察，找到与圆拱有关，引入新课：研究圆的方程
二、探究学习
（1） 圆的标准方程
1、教师预设：让学生画圆
学生活动：学生各画一个圆并比较，让学生亲身感知决定圆的要素，说明圆心和半径确定一个圆；
2、 教师预设：学生画出以（2，3）为圆心，2为半径的圆；圆确定了，圆的方
程也就确定了。
学生推导该圆的方程
教师在学生基础上梳理思路，强调建立方程的依据。
3、 由特殊到一般，得出以（a, b）为圆心，半径为r的圆的标准方程
（x-a）2+（y-b）2=r2
教师引导学生观察方程，分析、归纳出方程的特征。
方程特征：（1）二元二次方程，x,y的系数均为1；
（2）含有a,b,r三个参数；
（3）已知方程可以找出圆心和半径。
4、 随堂练习
教师预设：练习1 找出下列圆的圆心和半径
（1）x2+(y+1)2=16
（2）(2x-2)2+(2y+4)2=4
（3）(x+1)2+(y+2)2=m2
学生练习，根据圆的方程找圆心和半径，完成后，学生作答。
教师据学生情况点评。
教师预设：练习2 写出下列各圆的方程
（1）、圆心在原点，半径为r
（2）、经过在点（5，1），圆心在点（8，-3）
学生完成练习并自评，初步体验求圆的标准方程，关键是找到圆心和半径。
（2） 例题分析
教师预设：在练习2基础上巩固提高，根据不同条件求圆的标准方程
例1 写出圆心在点（1，3），且与x轴相切的圆的方程。
学生先独立思考，教师在作提示，强调数形结合的思想。
教师口头作简单变式，将X轴改为Y轴。学生说出答案，再由特殊到一般。
变式：求以C（1，3）为圆心，和3x-4y-7=0相切的圆。
学生独立完成变式，师作简要点评。
教师预设：已知切线可求圆的方程，反之，已知圆的方程，如何来求切线的方程呢？
例2 已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（3,4）的切线方程。
学生活动：学生先独立思考，再和其他同学讨论，看能找出几种解法。
教师活动：教师巡视，了解学生情况，参与到学生的讨论中。
教师请学生展示各自解法，并对学生的解法作出评价，从中提炼出渗透的数学思想和方法，如：数形结合，待定系数等。
教师预设：一题多变，改变点的位置，若点在坐标轴上。
变式1： 已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆上一点M（5,0）的切线方程。
学生活动：作图直接写出切线的方程
教师预设：由特殊到一般，根据以上两问启发学生分类讨论。
变式2 ：已知圆的方程是x2+y2= r2，求经过圆上一点M（x0,y0）的切线方程。
学生活动：写出切线方程。
教师归纳分类讨论的依据。
教师预设：若圆上的点改在圆外，切线有几条？怎样求？
变式3 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（1,7）的切线方程。
变式4 ：已知圆的方程是x2+y2=25，求经过圆外一点M（5,3）的切线方程。
学生活动：思考问题
师强调，待定系数时注意斜率存在。
课后思考题：解决本节引入提出的问题
三、小结：1、掌握圆的标准方程
2、运用圆的标准方程解决一些简单问题
四、课堂练习
1、 圆(2x-2)2+(2y-4)2=（-3）2的圆心为——————————,半径为———————————————.
2、 圆心在x轴上且与y轴相切，半径为2的圆的标准方程为————————————
3、 圆心为（1，2）且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为——————————————
4、 由动点P向圆x2+y2=1引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，∠APB=60°，则动点P的轨迹方程是————————————————
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