高中数学苏教版选修2 2-2第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用作业（1）（Word版）

导数在研究函数中的应用　作业（1）
1．(2016·盐城质检)函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________.



2．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．



3．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________.



4．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c＝________．



5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．



6．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为________．






7．已知等比数列{an}中，a1＝1，a9＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a9)＋2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为________．




8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．





9．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________．





10．已知函数f(x)＝m－2ln x(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)


二、解答题
11．已知f(x)＝x3＋mx2－x＋2（m∈R）．
（1）如果函数的单调减区间恰为(－，1)，求函数f(x)的解析式；
（2）若f(x)的导函数为f (x)，对任意x∈(0，＋∞)，不等式f (x)≥2xlnx－1恒成立，求实数m的取值范围．





















12．已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c．
（1）若f(x)有极值，求b的取值范围；
（2）若f(x)在x＝1处取得极值时， ①当x∈[－1，2]时f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围；
②证明：对[－1，2]内的任意两个值x1，x2都有| f(x1)－f(x2)|≤．


导数在研究函数中的应用　作业（1）答案
一、填空题
1．(2016·盐城质检)函数y＝x＋2cos x在区间上的最大值是________.
【解析】　∵y′＝1－2sin x，x∈，令y′＝0，得x＝.由于f(0)＝2，f＝＋，f＝，∴函数的最大值为＋.
2．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间为________．(0，1]
解析　由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由f′(x)＝x－≤0，解得03．函数f(x)＝ex(sin x＋cos x)在区间上的值域为________.
【解析】　∵x∈，∴f′(x)＝excos x≥0，∴f(0)≤f(x)≤f，即≤f(x)≤·e.
4．已知函数f(x)＝ax3＋c，且f′(1)＝6，函数在[1，2]上的最大值为20，则c＝________．4
解析　∵f′(x)＝3ax2，∴f′(1)＝3a＝6，∴a＝2．
当x∈[1，2]时，f′(x)＝6x2>0，即f(x)在[1，2]上是增函数，∴f(x)max＝f(2)＝2×23＋c＝20，∴c＝4．
5．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值为________．9
解析　依题意知f′(x)＝12x2－2ax－2b，∴f′(1)＝0，即12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴ab≤2＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，∴ab的最大值为9.
6．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)<0的解集为________．∪
解析　xf′(x)<0?或当x∈时，f(x)单调递减，此时f′(x)<0.当x∈(－∞，0)时，f(x)单调递增，此时f′(x)>0.
7．已知等比数列{an}中，a1＝1，a9＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a9)＋2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为________．－512
解析　因为等比数列{an}中，a1＝1，a9＝4，所以a5＝＝2.又f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a9)＋x[(x－a1)(x－a2)…(x－a9)]′，所以f′(0)＝(－a1)(－a2)…(－a9)＝－a＝－29＝－512.
8．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是______．(，2)
解析　由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得9．已知a，b为正实数，函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，则f(x)在[－1,0]上的最小值为________．－
解析　因为函数f(x)＝ax3＋bx＋2x在[0,1]上的最大值为4，所以函数g(x)＝ax3＋bx在[0,1]上的最大值为2，而g(x)是奇函数，所以g(x)在[－1,0]上的最小值为－2，故f(x)在[－1,0]上的最小值为－2＋2－1＝－.
10．已知函数f(x)＝m－2ln x(m∈R)，g(x)＝－，若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f(x0)【解析】　由题意，不等式f(x)二、解答题
11．已知f(x)＝x3＋mx2－x＋2（m∈R）．
（1）如果函数的单调减区间恰为(－，1)，求函数f(x)的解析式；
（2）若f(x)的导函数为f (x)，对任意x∈(0，＋∞)，不等式f (x)≥2xlnx－1恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）f (x)＝3x2＋2mx－1．由题意，f (x)＝3x2＋2mx－1＜0的解集是(－，1)，即3x2＋2mx－1＝0的两根分别为－，1，将x＝1或－代入方程3x2＋2mx－1＝0得m＝－1．∴f(x)＝x3－x2－x＋2．
（2）由题意知3x2＋2mx－1≥2xlnx－1在x∈(0，＋∞)恒成立，即m≥lnx－x在x∈(0，＋∞)恒成立．
设h(x)＝lnx－x，则h'(x)＝－，令h(x)＝0得x＝．当0＜x＜时，h(x)＞0；当x＞时，h'(x)＜0．
∴当x＝时，h(x)取得最大值为ln－1＝ln2－ln3e，∴m≥ln2－ln3e．∴m的取值范围是[ln2－ln3e，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c．
（1）若f(x)有极值，求b的取值范围；
（2）若f(x)在x＝1处取得极值时，
①当x∈[－1，2]时f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围；
②证明：对[－1，2]内的任意两个值x1，x2都有| f(x1)－f(x2)|≤．
解：（1）f (x)＝3x2－x＋b， 令f (x)＝0，由△＞0得1-12b＞0即b＜．
（2）∵f(x)在x＝1处取得极值，∴f (1)＝0，∴3－1＋b=0，∴b＝－2，
令f (x)＝0，得x1＝－，x2＝1， 可以算得f(x)max＝2＋c，
所以2＋c＜c2，得到c＞2或c＜－12．
（3）可以计算得到f(x)max＝2＋c，f(x)min＝－＋c，
∴对[－1，2]内的任意两个值x1，x2，都有| f(x1)－f(x2)|≤2＋c－(－＋c)＝．
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