4.1.1 三角形的内角和
1.如图中三角形的个数是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形,这两个三角形不可能( )
A.都是直角三角形 B.都是钝角三角形
C.都是锐角三角形 D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
3.三角形中至少有( )
A.一个锐角 B.两个锐角 C.三个锐角 D.两个或三个锐角
4.在△ABC 中,如果∠A=60°,∠B=45°,那么∠C 等于( )
A.115° B.105° C.75° D.45°
5.一个三角形三个内角的度数之比为 4:5:6,这个三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
6.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=2:4:6,则△ABC 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定
7.若一个三角形三个内角度数的比为 2:8:5,那么这个三角形是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
8.在下列条件中,不能确定△ABC 是直角三角形的条件是( )
A.∠A=∠B=∠C B.∠A=2∠B﹣3∠C
C.∠A=∠B=∠C D.∠A=2∠B=2∠C
9.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点
E.若∠A=54°,∠B=48°,则∠CDE 的大小为( )
A.38° B.39°
C.40° D.44°
10.如图,在△ABC 中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D 的度数是( )
A.110° B.120°
C.130° D.140°
11.如图,点 D 在△ABC 内,且∠BDC=120°,∠1+∠2=55°, 则∠A 的度数为( )
A.50° B.60° C.65° D.75°
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12.如图,△ABC 中 BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB,∠BDC=120°,则∠A 的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
13.如图所示,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点 O,若∠BOC=140°,则∠A 的度数是( )
A.40° B.90° C.100°
(第 12 题) (第 13 题) (第 14 题)
14.如图,将一个直角三角形纸片 ABC(∠ACB=90°),沿线段 CD 折叠,使点 B 落在 B′处,若∠ACB′=
72°,则∠ACD 的度数为( )
A.9° B.10° C.12° D.18°
15.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠A=30°,CD 平分∠ACB,CE⊥AB 于点 E,则∠DCE 的度数是( )
A.5° B.8° C.10° D.15°
16.如图,已知△ABC 中,∠B=α,∠C=β,(α>β)AD 是 BC 边上的高,AE 是∠BAC 的平分线,则∠DAE
的度数为( )
A.α﹣β B.2(α﹣β) C.α﹣2β D.(α﹣β)
(第 15 题) (第 16 题) (第 17 题)
17.如图,把△ABC 纸片沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 内部时,则∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系 始终保持不变,试着找一找这个规律,你发现的规律是( )
A.∠1+∠2=2∠A B.∠1+∠2=∠A
C.∠A=2(∠1+∠2) D.∠1+∠2=∠A
18.如图,以点 A 为顶点的三角形有 个,分别是 .
19.观察图中有三角形的个数,并按规律填空.
20.如图,共有 个三角形.
21.如图,共有 个三角形.
(第 20 题) (第 21 题) (第 22 题)
22.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,如果∠A=40°,那么∠1+∠2 的大小为 .
23.在△ABC 中,已知∠A=∠B=∠C,按角判断△ABC 的形状.
24.如图,在△ABC 中,∠CAE=20°,∠C=40°,∠CBD=30°,求∠AFB 的度数.
25.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点 D 在 AB 边上,将△CBD 沿 CD 折叠,使点 B 恰好落 在 AC 边上的点 E 处,求∠CDE 的度数.
26.如图,D 是△ABC 内部任意一点,连接 BD, CD, 你能否找出∠A,∠1,∠2 与∠BDC 的关系,并证明.
27.如图,已知在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 P.
(1)当∠A=40°,∠ABC=60°时,求∠BPC 的度数;
(2)当∠A=α°时,求∠BPC 的度数.(用α的代数式表示)
1.如图中三角形的个数是( )
4.1.1 三角形的内角和
参考答案与试题解析
A.6 B.7 C.8 D.9
【解答】解:∵图中三角形有:△ECA,△EBD,△FBA,△FCD,△AFD,
△ABD,△ACD,△AED,
∴共 8 个. 故选:C.
2.将一个三角形纸片剪开分成两个三角形,这两个三角形不可能( )
A.都是直角三角形 B.都是钝角三角形 C.都是锐角三角形
D.是一个直角三角形和一个钝角三角形
【解答】解:如图,沿三角形一边上的高剪开即可得到两个直角三角形.
如图,钝角三角形沿虚线剪开即可得到两个钝角三角形. 如图,直角三角形沿虚线剪开即可得到一个直角三角形和一个钝角三角形.
因为剪开的边上的两个角是邻补角,不可能都是锐角,故这两个三角形不可能都是锐角三角形. 综上所述,将一个三角形剪成两三角形,这两个三角形不可能都是锐角三角形.
故选:C.
3.三角形中至少有( )
A.一个锐角 B.两个锐角 C.三个锐角 D.两个或三个锐角
【解答】解:若三角形只有一个锐角,则三角形的内角和大于 180°,
∴三角形至少有两个锐角,最多三个锐角, 故选:B.
4.在△ABC 中,如果∠A=60°,∠B=45°,那么∠C 等于( )
A.115° B.105° C.75° D.45°
【解答】解:∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°﹣60°﹣45°=75°, 故选:C.
5.一个三角形三个内角的度数之比为 4:5:6,这个三角形一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形
【解答】解:∵三角形三个内角的度数之比为 4:5:6,
∴这个三角形的内角分别为 180°×=48°,180°×=60°,180°×=72°,
∴这个三角形是锐角三角形, 故选:C.
6.在△ABC 中,若∠A:∠B:∠C=2:4:6,则△ABC 是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.形状不确定
【解答】解:由题意可以假设∠A=2x.∠b=4x,∠c=6x,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴2x+4x+6x=180°, 解得 6x=90°,
∴∠C=90°,
∴△ABC 是直角三角形. 故选:B.
7.若一个三角形三个内角度数的比为 2:8:5,那么这个三角形是( )
A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.等边三角形
【解答】解:设其三个内角分别是 2k°,8k°,5k°. 根据三角形的内角和定理,得:
2k+8k+5k=180, 解得:k=12,
∴8k°=96°,
∴这个三角形是钝角三角形, 故选:A.
8.在下列条件中,不能确定△ABC 是直角三角形的条件是( )
A.∠A= ∠B= ∠C B.∠A=2∠B﹣3∠C
C.∠A=∠B=∠C D.∠A=2∠B=2∠C
【解答】解:A、由∠A=∠B=∠C,可以推出∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°,所以本选项不符合 题意.
C、由∠A=∠B=∠C,可以推出∠C=90°,∠A=∠B=45°,所以本选项不符合题意.
D、由∠A=2∠B=2∠C,可以推出∠A=90°,∠B=∠C=45°,∠A=2∠B=2∠C,所以本选项不符合题 意,
故选:B.
9.如图,在△ABC 中,CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D,过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E.若∠A=54°,∠B=
48°,则∠CDE 的大小为( )
A.38° B.39° C.40° D.44°
【解答】解:∵CD 平分∠ACB,
∴∠BCD=∠ACB,
∵∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣54°﹣48°=78°,
∴∠BCD=39°,
∵DE∥BC,
∴∠CDE=∠BCD=39°, 故选:B.
10.如图,在△ABC 中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D 的度数是( )
A.110° B.120° C.130° D.140°
【解答】解:∴∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2=130°﹣30°﹣40°=60°,
∴∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=120°, 故选:B.
11.如图,点 D 在△ABC 内,且∠BDC=120°,∠1+∠2=55°,则∠A 的度数为( )
A.50° B.60° C.65° D.75°
【解答】解:∵∠D=120°,
∴∠DBC+∠DCB=60°,
∵∠1+∠2=55°,
∴∠ABC+∠ACB=60°+55°=115°,
∴∠A=180°﹣115°=65°, 故选:C.
12.如图,△ABC 中 BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB,∠BDC=120°,则∠A 的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.75°
【解答】解:∵BD、CD 分别平分∠ABC、∠ACB,
∴∠ABC+∠ACB=2(∠DBC+∠DCB),
∵∠BDC=120°,
∴∠DBC+∠DCB=60°,
∴∠ABC+∠ACB=120°
∴∠A=180°﹣(∠ABC+ACB)=180°﹣120°=60°, 故选:C.
13.如图所示,在△ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点 O,若∠BOC=140°,则∠A 的度数是( )
A.40° B.90° C.100° D.140°
【解答】解:∵BO 平分∠ABC,CO 平分∠ACB,
∴∠ABC=2∠1,∠ACB=2∠2,
∵∠BOC=140°,
∴∠1+∠2=180°﹣140°=40°,
∴∠ABC+∠ACB=2×40°=80°,
∴∠A=180°﹣80°=100°, 故选:C.
14.如图,将一个直角三角形纸片 ABC(∠ACB=90°),沿线段 CD 折叠,使点 B
落在 B′处,若∠ACB′=72°,则∠ACD 的度数为( )
A.9° B.10° C.12° D.18°
【解答】解:∵∠ACB′=72°,∠ACB=90°,
∴∠BCB′=162°,
由翻折的性质可知:∠DCB=∠BCB′=81°,
∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB=90°﹣81°=9°, 故选:A.
15.如图,在△ABC 中,∠B=50°,∠A=30°,CD 平分∠ACB,CE⊥AB 于点 E,则∠DCE 的度数是( )
A.5° B.8° C.10° D.15°
【解答】解:∵∠B=50°,CE⊥AB,
∴∠BCE=40°, 又∵∠A=30°,CD 平分∠ACB,
∴∠BCD=∠BCA=×(180°﹣50°﹣30°)=50°,
∴∠DCE=∠BCD﹣∠BCE=50°﹣40°=10°, 故选:C.
16.如图,已知△ABC 中,∠B=α,∠C=β,(α>β)AD 是 BC 边上的高,AE 是∠BAC 的平分线,则∠DAE
的度数为( )
A.α﹣β B.2(α﹣β) C.α﹣2β D.(α﹣β)
【解答】解:∵在△ABC 中,∠B=α,∠C=β,
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣α﹣β,
∵AE 是∠BAC 的平分线,
∴∠EAC=∠BAC=90°﹣(α+β), 在直角△ADC 中,∠DAC=90°﹣∠C=90°﹣β,
∴∠DAE=∠DAC﹣∠EAC=90°﹣β﹣90°+(α+β)=(α﹣β),
故选:D.
17.如图,把△ABC 纸片沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 内部时,则∠A 与∠1+∠2 之间有一种数量关系 始终保持不变,试着找一找这个规律,你发现的规律是( )
A.∠1+∠2=2∠A B.∠1+∠2=∠A
C.∠A=2(∠1+∠2) D.∠1+∠2= ∠A
【解答】解:如图,延长 BD 和 CE 交于 A′,
∵把△ABC 沿 DE 折叠,当点 A 落在四边形 BCDE 内部,
∴∠ADE=∠A′DE,∠AED=∠A′ED,
∴2∠ADE=180°﹣∠1,2∠AED=180°﹣∠2,
∴∠ADE=90°﹣∠1,∠AED=90°﹣∠2,
∵在△ADE 中,∠A=180°﹣(∠AED+∠ADE),
∴∠A=∠1+∠2, 即 2∠A=∠1+∠2.
故选:A. 二.填空题(共 5 小题)
18.如图,以点 A 为顶点的三角形有 4 个,它们分别是 △ABC,△ADC,△ABE,△ADE .
【解答】解:以点 A 为顶点的三角形有 4 个,它们分别是△ABC,△ADC,△ABE,△ADE. 故答案为:4,△ABC,△ADC,△ABE,△ADE.
19.观察图中有三角形的个数,并按规律填空.
【解答】解:第 1 个图形中三角形的个数为 1; 第 2 个图形中三角形的个数为 1+2=3;
第 3 个图形中三角形的个数为 1+2+3=6;
…
第 n 个图形中三角形的个数为 1+2+3+…+n=n(n+1). 故答案为:n(n+1).
20.如图,共有 12 个三角形.
【解答】解:上半部分:单个的三角形有 3 个,复合的三角形有 2+1=3 个, 所以上半部分三角形的个数为 3+3=6 个, 同理考虑横截线的三角形的个数也是 6 个.
故共有 12 个三角形.
21.如图所示,图中共有 22 个三角形.
【解答】解:图中三角形的个数是 22 个. 故答案是:22.
22.如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,如果∠A=40°, 那么∠1+∠2 的大小为 220° .
【解答】解:∵∠1=∠A+∠ADE,∠2=∠A+∠AED,
∴∠1+∠2
=∠A+∠ADE+∠A+∠AED
=∠A+(∠ADE+∠A+∠AED)
=40°+180°
=220°. 故答案为:220°.
23.在△ABC 中,已知∠A=∠B=∠C,按角判断△ABC 的形状.
【解答】解:∵∠A=∠B=∠C,
∴∠B=3∠A,∠C=5∠A,
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠A+3∠A+5∠A=180°,
∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°,
∴△ABC 是钝角三角形.
24.如图,在△ABC 中,∠CAE=20°,∠C=40°,∠CBD=30°,求∠AFB 的度数.
【解答】解:∵∠AEB=∠C+∠CAE,∠C=40°,∠CAE=20°,
∴∠AEB=60°.
∵∠CBD=30°,
∴∠BFE=180°﹣30°﹣60°=90°,
∴∠AFB=180°﹣∠BFE=90°.
25.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠A=30°,点 D 在 AB 边上,将△CBD 沿 CD 折叠,使点 B 恰好落
在 AC 边上的点 E 处,求∠CDE 的度数.
【解答】解:由折叠可得∠ACD=∠BCD,∠BDC=∠CDE,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=45°,
∵∠A=30°,
∴∠BDC=∠A+∠ACD=30°+45°=75°,
∴∠CDE=75°.
26.如图,D 是△ABC 内部任意一点,连接 BD, CD, 你能否找出∠A,∠1,∠2 与∠BDC 的关系,并证明.
解:∠A+∠1+∠2=∠BDC,理由如下: 在△ABC 中,
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°,
∴∠A+∠1+∠3+∠2+∠4=180°
在△BCD 中,
∵∠3+∠4+∠BDC=180°, 3 4
∴∠A+∠1+∠3+∠2+∠4=∠3+∠4+∠BDC
∴∠A+∠1+∠2=∠BDC
27.如图,已知在△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 P.
(1)当∠A=40°,∠ABC=60°时,求∠BPC 的度数;
(2)当∠A=α°时,求∠BPC 的度数.(用α的代数式表示)
【解答】解:(1)∵∠A=40°,∠ABC=60°,
∴∠ACB=80°,
∵∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 P,
∴∠2=∠ABC=30°,∠4=∠ACB=40°,
∴∠BPC=180°﹣∠2﹣∠4=180°﹣30°﹣40°=110°;
(2)∵∠A=α,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣α,
∵∠ABC 与∠ACB 的角平分线相交于 P,
∴∠PBC+∠PCB=(∠ABC+∠ACB)=×(180°﹣α),
在△PBC 中,∠BPC=180°﹣(∠PBC+∠PCB)=180°﹣×(180°﹣α)=90°+ α
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