华师大版八年级数学下册 16.1 分式及其基本性质 综合提升讲义（含答案）

16.1 分式及其基本性质 综合提升讲义
一、分式的定义
针对分式的定义可以提出多种类型的问题。比如：如何区分整式与分式；分式何时有意义、无意义；分式取值情况等。其中分式的取值情况又包括：①分式值为0的条件；②分式的值何时为正；③分式的值何时为负等．
解题要领是：
分式有意义 分母不等于0
分式无意义 分母等于0
分式值为0 分子等于0，分母不等于0
分式值为正 分子、分母同号
分式值为负 分子、分母异号






二、分式的基本性质及其应用
1．分式的基本性质
（1）分式的基本性质由六部分组成：
①分式的分子与分母；②都乘以（或除以）；③同一个；④不等于0的；⑤整式；⑥分式的值不变．
（2）类比思想是学习本章的重要思想方法．学习分式的基本性质可与分数的基本性质类比进行，可以按照下面的顺口溜记：
分数分式不相同，分数上下数值型；分式分母含字母，分数分式要分清；分式上下同除乘，除乘整式要非零；分式之值不改变，分式分母不为零．
2．分式基本性质的应用
分式的基本性质是分式变形的重要依据．主要用于以下几个方面：
（1）将分子、分母中各项的系数化为整数；
（2）改变分式的分子、分母中部分项的符号（比如：改变分式的首项系数的符号，改变分式的最高次项的符号等）；
（3）符号化简：分式的分子、分母与分式本身的符号，任意改变其中的两个，分式的值不变；
（4）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去．
老师：约分是化简分式的一种手段，怎样进行分式的约分?
小刚：有些分式的分子与分母都是单项式，而有些分式的分子与分母中出现了多项式，约分时步骤应有所不同．
小明：分子与分母都是单项式时，分子与分母的系数约去最大公约数，字母则约去分子与分母中相同字母的最低次幂．
小勇：若分子与分母中有多项式，不方便直接约分，这时先将多项式分解因式，转化为乘积的形式，再约分．
老师：约分后，分式的分子与分母应没有公因式，化成最简形式．
三、探究活动
问题：分式何时不能约分?
探究：学习了分式及其基本性质以后，
感受到分式的约分为我们带来了很大的方便，但分式并不是在什么情况下都能约分，下面从以下几个方面来探究：
1．判断分式概念时不能约分。比如：判断是整式还是分式，若将其约分。根据x-1是整式，因而判断也是整式是错误的．因为判断一个代数式是否是分式，应根据分式的定义，分母中有没有字母是判断分式的关键，本题所给的式子分母中有字母，直接判断为分式·
2．确定分式有、无意义及值为零的条件时不能约分.比如：x为何值时，有意义?
有些同学按下面的解法错解成：，由分母x-l≠0，得x≠1，即当x≠1时，有意义。
事实上，由于约分使分式分母中的取值范围扩大，由原来的x≠O且x≠1扩大为x≠1.
3．判断两个分式是否相等时不能约分．比如：判断与是否相等。若按下面的方法约分后再判断是不对的：
∵ ∴与值相等·
事实上，这两个分式的字母取值范围不同，一定是不同的分式．
结论：一般的说，分式的分子与分母约去的如果是一个具体的数，在很多情况下可以约分，如果分子、分母约去的是一个含有字母的整式，有些问题可以约分，有些则不能．

【点石成金】
例1、若分式的值为0，必须分子为0，即x2－x＝0，解得，x＝0，x＝1。
但当x=1时，分母-1=0，所以x≠1；
当x=0时，分母-1=0－1≠0，
因此使分式的值为0的x的值是0．
答案:0
点拨：要使一个分式的值为0，需满足两个条件：
（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件同时成立．这类题有两种解法：（1）解这个不等式；（2）先求分子=0的x值，再代入分母中验证．
例2、（1）当x_________时，分式的值为正；
（2）当x________时，分式的值为负；
（3）当x_________时，分式的值为-1．
分析：在（1）、（2）两个问题中，可根据有理数相除的符号法则“同号得正，异号得负”解决；（3）分式值为-1，说明分式的分子、分母互为相反数．
解：（1）∵6与2x－4同号，
∴2x-4>0．∴x>2．
（2）5x2+4>0，
∴x-l<0．∴x<1．
（3）由题意得：x-1＝-（3x-2），
x＝。
点拨：分式的值为正，要求a,b 同号；分式的值为负，要求a，b异号；分式=l要求a=b≠0；分式＝-l要求a＝-b≠0．
例3、不改变分式的值，使分式的分子、分母都不含有负号：
（1）；（2）-。
分析：因为这两个分式的分子、分母都有负号，可以分子、分母同乘以-l；此外由于分式（两式相除）中也适用有理数相除的符号法则“同号得正，异号得负”，因而也可以利用符号法则化简符号．
解：（1）；（2）-
点拨：分式符号变化规律可以简记为：“分子分母双其反，分式符号不会变；若是其中之一变，分式符号定取反．”
例4：约分：．
分析： 分式中的（m-3）与3-m互为相反数，即m-3=-（3-m），所以约分后要改变符号．
解：
点拨：在进行分式的约分时，要注意约分前后符号的变化，约分时也可先确定分式的符号．
例5、下列分式从左到右的变形是否正确?
（1）；（2）。
解析： （1）从左到右的变形是分子、分母同乘以x，因为x有可能是0．因此变形错误；（2）是将（1）的变形倒过来，从左到右分子、分母同除以x，可是已知分式,即x2－3x≠0。因而x≠0，符合分式的基本性质，是正确的。
答案（1）错误；（2）正确．
点拨：利用分式的性质对分式进行变形时，如果分子、分母同乘（或除以）的整式含有字母．那么这个整式可能是0，因此用性质时应加以注意．
例6、若分式的值为整数。求整数a的值．如果求正整数a，应如何求解?
分析： 由于，当分式的值为整数时，分母应是分子的约数．
解： 因为，所以a+1是3的约数a＋1=l或-1或3或-3，
解得，a=0或-2或2或-4．并且对于a的这四个值原分式总有意义（分母不等于0），若a是正整数，a=2．
点拨：一个分式的值为整数时，分母是分子的约数．
例7、写出三个最简分式，使它们的分母都是6x2y。
这类题不仅考查了分式的基本性质，最简分式、约分等方面的知识，而且考查了学生的逆向思维，是近年来中考题中，颇受青睐的一种题型。
解：；；。
点拨：这类题答案较多，写出的答案只要符合条件：（1）最简分式；（2）分母都是6x2y即可。

【基础练习】
1．判断下列有理式中哪些是整式，哪些是分式?
，，，，.

2．认真分析下表：
时间（小时） 路程（千米）
提速前 2 s
提速后 m n＋p
（1）用含有字母的式子，表示列车提速前后的速度；
（2）上面所得到的两个式子有什么共同点?又有什么不同点?
（3）这两个式子哪个是整式?哪个是分式?

3．梯形的面积为s，上底是a，下底是b，则高可表示为________；当s=10，a=2，b=3时，它的高是________。
4．x取何值时，分式有意义?

5．“x取何值时，分式的值为0”。学习了分式后，小明采取了下面的做法：
解：∵分式=0，∴x2一1=0 ∴x＝1或x＝－1。
请你分析一下，有错误吗?


6．利用分式的基本性质，可将分式在值不变的情况下进行变形．请你根据分式的基本性质填空：
（1）；（2）；（3）
7．将下列分式约分：
（1）； （2）.


参考答案：
1．整式式有，，;分式有，。
本题主要是考查分式的定义，分母中有字母是判断分式的关键，注意：π是数不是字母．
2．（1）提速前：千米／小时；提速后：千米/小时。
（2）共同点：都是形如的式子；不同点：的分母中不含字母，的分母中含有字母。
（3）是整式，是分式。
3． 4
4．当x+5≠0，即x≠一5时，分式有意义。
判断一个分式是否有意义，看其分母是否为零
5．判断一个分式的值为0，不仅要求分子为0．而且还要求分母不为0．小明在做题时，只考虑了分子为0，没有考虑分母不为0，所以是错误的．
6．（1） 2b 根据分式基本性质分子、分母同除以a。
（2）a－b 根据分式基本性质分子、分母同除以（a＋b）。
（3）2nx 根据分式基本性质分子、分母同乘以n；且n≠0。
7．（1）；（2）