2019-2020学年九年级第二学期开学数学试卷
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．某厂一月份生产某机器 300台，计划二、三月份共生产 980台．设二三月份每月的平均
增长率为 x，根据题意列出的方程是（ ）
A．300（1+x）2＝980
B．300（1+x）+300（1+x）2＝980
C．300（1﹣x）2＝980
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝980
3．如果关于 x的一元二次方程 k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么 k的取
值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞ 且 k≠0 C．k＜ D．k≥ 且 k≠0
4．已知二次函数 y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线 x＝﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当 x＜3时，y随 x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，
这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
6．已知两圆半径为 5cm和 3cm，圆心距为 3cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
7．如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，则∠CBD 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
8．如图，已知扇形 AOB 的半径为 6cm，圆心角的度数为 120°，若将此扇形围成一个圆锥，
则围成的圆锥的侧面积为（ ）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
二、填空题
9．如图，D、E分别是△ABC 的边 AB、AC上的中点，则 S△ADE：S△ABC＝ ．
10．若方程 x2﹣3x﹣1＝0的两根为 x1、x2，则 的值为 ．
11．在一个不透明的盒子里装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后
从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10
次摸到黑球，则估计盒子中大约有 个白球．
12．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且 EF∥MN，则 cos∠E＝ ．
13．如图，小明用长为 3m的竹竿 CD做测量工具，测量学校旗杆 AB的高度，移动竹竿，
使竹竿与旗杆的距离 DB＝12m，则旗杆 AB的高为 m．
14．如图，PA、PB 是⊙O的切线，切点分别是 A、B．若∠APB＝60°，PA＝3．则⊙O
的半径是 ．
三、解答题
15．解方程：x（2x+3）＝4x+6．
16．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点 A和点 C的坐标；
（2）画出△ABC绕点 A按逆时针方向旋转 90°后的△AB′C′；
（3）在（2）的条件下，求点 C旋转到点 C′所经过的路线长（结果保留π）．
17．如图，要利用一面墙（墙长为 25米）建羊圈，用 100米的围栏围成总面积为 400平方
米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC各为多少米？
18．如图，AB 为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为 AB延长线上的点，∠
APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 3cm，求图中阴影部分的面积．
19．如图，已知 A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数 y＝kx+b的图象与反比例函数
的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x的取值范围．
20．某旅游景点的门票价格是 20元/人，日接待游客 500人，进入旅游旺季时，景点想提高
门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高 5元，日接待游客人数就会减
少 50人．设提价后的门票价格为 x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为 y（人）．
（1）求 y与 x（x＞20）的函数关系式；
（2）已知景点每日的接待成本为 z（元），z 与 y 满足函数关系式：z＝100+10y．求 z
与 x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是
多少？（利润＝门票收入﹣接待成本）
21．四张扑克牌的牌面如图 1，将扑克牌洗匀后，如图 2背面朝上放置在桌面上，小明和小
亮设计了 A、B两种游戏方案：
方案 A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为 5时小明获胜；否则小亮获胜．
方案 B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮
获胜．
请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．
22．如图，禁渔期间，我渔政船在 A处发现正北方向 B处有一艘可疑船只，测得 A、B 两
处距离为 99海里，可疑船只正沿南偏东 53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东 27°方
向前去拦截，2小时后刚好在 C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈ ，cos27°≈ ，tan27°≈ ，sin53°≈ ，cos53°≈ ，
tan53°≈ ）
23．如图 1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为 A（2，0），C（0，2）．
（1）请你以 AC 的中点为对称中心，画出△AOC 的中心对称图形△ABC，此图与原图
组成的四边形 OABC的形状是 ，请说明理由；
（2）如图 2，已知 D（ ，0），过 A，C，D 的抛物线与（1）所得的四边形 OABC
的边 BC交于点 E，求抛物线的解析式及点 E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，一动点 P由抛物线上的点 A开始，沿四边形 OABC 的边从
A﹣B﹣C向终点 C运动，连接 OP交 AC 于 N，若 P运动所经过的路程为 x，试问：当
x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？
参考答案
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．某厂一月份生产某机器 300台，计划二、三月份共生产 980台．设二三月份每月的平均
增长率为 x，根据题意列出的方程是（ ）
A．300（1+x）2＝980
B．300（1+x）+300（1+x）2＝980
C．300（1﹣x）2＝980
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝980
【分析】等量关系为：二月份的生产量+三月份的生产量＝280．
解：二月份的生产量为 300×（1+x），三月份的生产量为 300×（1+x）（1+x），那么
300（1+x）+300（1+x）2＝980．
故选：B．
3．如果关于 x的一元二次方程 k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么 k的取
值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞ 且 k≠0 C．k＜ D．k≥ 且 k≠0
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于 k的不
等式，求出 k的取值范围．
解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞ 且 k≠0．
故选：B．
4．已知二次函数 y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线 x＝﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当 x＜3时，y随 x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．
解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线 x＝3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当 x＜3时，y随 x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共 1个．
故选：A．
5．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，
这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【分析】利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
②位似图形一定有位似中心，故②正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，
这两个图形是位似图形；，故③正确；
④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故④错误．
正确的选项为：②③．
故选：A．
6．已知两圆半径为 5cm和 3cm，圆心距为 3cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
【分析】已知两圆半径为 5cm 和 3cm，圆心距为 3cm，根据圆心距大于半径之差小于半
径之和进行作答．
解：∵两圆的半径分别是 3cm和 5cm，圆心距为 3cm，
5﹣3＝2，3+5＝8，
∴2＜3＜8，
∴两圆相交．
故选：A．
7．如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，则∠CBD 的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【分析】由 BD为⊙O的直径，可证∠BCD＝90°，又由圆周角定理知，∠D＝∠A＝30°，
即可求∠CBD．
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝90°﹣∠D＝60°．
故选：C．
8．如图，已知扇形 AOB 的半径为 6cm，圆心角的度数为 120°，若将此扇形围成一个圆锥，
则围成的圆锥的侧面积为（ ）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
【分析】扇形的面积公式＝ ，把相应数值代入求解即可．
解：圆锥的侧面积＝ ＝12πcm2，故选 D．
二、填空题．（每题 3分，共计 18分）
9．如图，D、E分别是△ABC 的边 AB、AC上的中点，则 S△ADE：S△ABC＝ 1：4 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 DE∥BC 且 DE
＝ BC，再求出△ADE 和△ABC 相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解
答．
解：∵D、E是边 AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且 DE＝ BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝（1：2）2＝1：4．
故答案为：1：4．
10．若方程 x2﹣3x﹣1＝0的两根为 x1、x2，则 的值为 ﹣3 ．
【分析】由方程 x2﹣3x﹣1＝0的两根为 x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系，即
可求得 x1+x2＝3，x1+x2＝﹣1，代入求解即可求得答案．
解：∵方程 x2﹣3x﹣1＝0的两根为 x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1+x2＝﹣1，
∴ ＝ ＝﹣3，
故答案为：﹣3．
11．在一个不透明的盒子里装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后
从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 40 次，其中 10
次摸到黑球，则估计盒子中大约有 12 个白球．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，
可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
解：∵共试验 40次，其中有 10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为 ＝ ，
设盒子中共有白球 x个，则 ＝ ，
解得：x＝12．
故答案为：12．
12．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且 EF∥MN，则 cos∠E＝ ．
【分析】连接 OM，OM 的反向延长线交 EF 于点 C，由直线 MN 与⊙O 相切于点 M，
根据切线的性质得 OM⊥MN，而 EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根
据垂径定理有 CE＝CF，再利用等腰三角形的判定得到 ME＝MF，易证得△MEF 为等
边三角形，所以∠E＝60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
解：连接 OM，OM的反向延长线交 EF于点 C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MN，
∵EF∥MN，
∴MC⊥EF，
∴CE＝CF，
∴ME＝MF，
而ME＝EF，
∴ME＝EF＝MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴cos∠E＝cos60°＝ ．
故答案为： ．
13．如图，小明用长为 3m的竹竿 CD做测量工具，测量学校旗杆 AB的高度，移动竹竿，
使竹竿与旗杆的距离 DB＝12m，则旗杆 AB的高为 9 m．
【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得 AB＝9．
故答案为：9．
14．如图，PA、PB 是⊙O的切线，切点分别是 A、B．若∠APB＝60°，PA＝3．则⊙O
的半径是 ．
【分析】连接 OA、OP，根据切线长定理即可求得∠OPA＝ ∠APB，在 Rt△OAP中利
用三角函数即可求解．
解：连接 OA、OP
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠OAP＝90°，∠APO＝ ∠APB＝30°
Rt△OAP中，
∵tan∠APO＝ ，
∴OA＝PA?tan30°＝3× ．故答案为： ．
三、解答题（共计 58分）
15．解方程：x（2x+3）＝4x+6．
【分析】先移项；然后提取公因式（2x+3）分解因式，利用因式分解法解方程．
解：x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，
∴（2x+3）（x﹣2）＝0，
∴2x+3＝0或 x﹣2＝0，
∴x1＝﹣ ，x2＝2．
16．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点 A和点 C的坐标；
（2）画出△ABC绕点 A按逆时针方向旋转 90°后的△AB′C′；
（3）在（2）的条件下，求点 C旋转到点 C′所经过的路线长（结果保留π）．
【分析】（1）结合直角坐标系可直接写出点 A和点 C的坐标．
（2）根据旋转中心为点 A、旋转方向是逆时针、旋转角度为 90°可找到各点的对应点，
顺次连接即可．
（3）所经过的路线是以点 A为圆心，以 AC为半径的 圆．
解：（1）点 A坐标为（1，3）；点 C坐标为（5，1）；
（2）
（3）所经过的路线是以点 A为圆心，以 AC为半径的 圆，
∴经过的路线长为： π×2× ＝ π．
17．如图，要利用一面墙（墙长为 25米）建羊圈，用 100米的围栏围成总面积为 400平方
米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长 AB，BC各为多少米？
【分析】设 AB的长度为 x米，则 BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公
式列出方程．
解：设 AB的长度为 x米，则 BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则 100﹣4x＝20或 100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即 AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长 AB，BC分别是 20米、20米．
18．如图，AB 为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为 AB延长线上的点，∠
APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为 3cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接 OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即
可；
（2）求出 OP、DP长，分别求出扇形 DOB和三角形 ODP面积，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接 OD，
∵∠ACD＝60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3cm，
∴OP＝6cm，由勾股定理得：DP＝3 cm，
∴图中阴影部分的面积 S＝S△ODP﹣S 扇形DOB＝ ×3×3 ﹣ ＝（ ﹣ π）
cm2
19．如图，已知 A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数 y＝kx+b的图象与反比例函数
的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x的取值范围．
【分析】（1）先把 A（﹣4，2）代入 y＝ 求出 m＝﹣8，从而确定反比例函数的解析式
为 y＝﹣ ；再把 B（n，﹣4）代入 y＝﹣ 求出 n＝2，确定 B点坐标为（2，﹣4），
然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察图象得到当﹣4＜x＜0 或 x＞2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下
方，即一次函数的值小于反比例函数的值．
解：（1）把 A（﹣4，2）代入 y＝ 得 m＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为 y＝﹣ ；
把 B（n，﹣4）代入 y＝﹣ 得﹣4n＝﹣8，解得 n＝2，
∴B点坐标为（2，﹣4），
把 A（﹣4，2）、B（2，﹣4）分别代入 y＝kx+b得 ，解方程组得 ，
∴一次函数的解析式为 y＝﹣x﹣2；
（2）﹣4＜x＜0或 x＞2．
20．某旅游景点的门票价格是 20元/人，日接待游客 500人，进入旅游旺季时，景点想提高
门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高 5元，日接待游客人数就会减
少 50人．设提价后的门票价格为 x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为 y（人）．
（1）求 y与 x（x＞20）的函数关系式；
（2）已知景点每日的接待成本为 z（元），z 与 y 满足函数关系式：z＝100+10y．求 z
与 x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是
多少？（利润＝门票收入﹣接待成本）
【分析】（1）根据门票价格每提高 5元，日接待游客人数就会减少 50人，可得价格与
人数的关系；
（2）根据成本与人数的关系式，可得函数解析式；
（3）根据二次函数的性质，a＜0，当自变量取﹣ 时，函数取最大值，可得答案．
解：（1）由题意得 y＝500﹣50× ，
即 y＝﹣10x+700；
（2）由 z＝100+10y，y＝﹣10x+700，得
z＝﹣100x+7100；
（3）w＝x（﹣10x+700）﹣（﹣100x+7100）
即 w＝﹣10x2+800x﹣7100，
当 x＝﹣ ＝﹣ ＝40时，景点每日获取的利润最大，
w 最大＝ ＝ ＝8900（元），
答：当门票价格为 40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是 8900元．
21．四张扑克牌的牌面如图 1，将扑克牌洗匀后，如图 2背面朝上放置在桌面上，小明和小
亮设计了 A、B两种游戏方案：
方案 A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为 5时小明获胜；否则小亮获胜．
方案 B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮
获胜．
请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．
【分析】由四张扑克牌的牌面是 5的有 2种情况，不是 5的也有 2种情况，可求得方案
A中，小亮获胜的概率；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再
利用概率公式即可求得答案；比较其大小，即可求得答案．
解：小亮选择 B方案，使他获胜的可能性较大．理由如下：
方案 A：∵四张扑克牌的牌面是 5的有 2种情况，不是 5的也有 2种情况，
∴P（小亮获胜）＝ ＝ ；
方案 B：画树状图得：
∵共有 12 种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有 4 种情况，不是偶数的有 8
种情况，
∴P（小亮获胜）＝ ＝ ；
∴小亮选择 B方案，使他获胜的可能性较大．
22．如图，禁渔期间，我渔政船在 A处发现正北方向 B处有一艘可疑船只，测得 A、B 两
处距离为 99海里，可疑船只正沿南偏东 53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东 27°方
向前去拦截，2小时后刚好在 C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈ ，cos27°≈ ，tan27°≈ ，sin53°≈ ，cos53°≈ ，
tan53°≈ ）
【分析】先过点 C作 CD⊥AB，垂足为点 D，设 BD＝x海里，得出 AD＝（99﹣x）海里，
在 Rt△BCD中，根据 tan53°＝ ，求出 CD，再根据 x＝ （99﹣x），求出 BD，
在 Rt△BCD中，根据 cos53°＝ ，求出 BC，从而得出答案．
解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB＝99海里，∠ABC＝53°，∠BAC＝27°，
过点 C作 CD⊥AB，垂足为点 D．
设 BD＝x海里，则 AD＝（99﹣x）海里，
在 Rt△BCD中，tan53°＝ ，
则 tan27°＝ ，
CD＝x?tan53°≈ x（海里）．
在 Rt△ACD中，则 CD＝AD?tan27°≈ （99﹣x），
则 x＝ （99﹣x），
解得，x＝27，
即 BD＝27．
在 Rt△BCD中，cos53°＝ ，
则 BC＝ ＝ ＝45，
45÷2＝22.5（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为 22.5海里/时．
23．如图 1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为 A（2，0），C（0，2）．
（1）请你以 AC 的中点为对称中心，画出△AOC 的中心对称图形△ABC，此图与原图
组成的四边形 OABC的形状是 正方形 ，请说明理由；
（2）如图 2，已知 D（ ，0），过 A，C，D 的抛物线与（1）所得的四边形 OABC
的边 BC交于点 E，求抛物线的解析式及点 E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，一动点 P由抛物线上的点 A开始，沿四边形 OABC 的边从
A﹣B﹣C向终点 C运动，连接 OP交 AC 于 N，若 P运动所经过的路程为 x，试问：当
x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？
【分析】（1）按照中心对称图形的定义作图即可，易知四边形 OABC为正方形；
（2）已知 A、C、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；由直线 BC：y
＝2，代入抛物线解析式解方程求得点 E的坐标；
（3）在点 P的运动过程中，△AON为等腰三角形的情形有三种，注意不要漏解．充分
利用正方形、等腰三角形的性质，容易求得点 P运动的路程 x．
解：（1）设 AC的中点为 E，连接 OE并延长至 B，使得 BE＝OE；连接 AC，AB，则
△ABC为所求作的△AOC的中心对称图形．
∵A（2，0），C（0，2），∴OA＝OC，
∵△ABC是△AOC的中心对称图形，∴AB＝OC，BC＝OA，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
∵∠COA＝90°，
∴四边形 OABC是正方形；
（2）设经过点 A、C、D的抛物线解析式为 y＝ax2+bx+c，
∵A（2，0），C（0，2），D（ ，0），
∴ ，解得 a＝﹣2，b＝3，c＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+3x+2；
由（1）知，四边形 OABC为正方形，∴B（2，2），
∴直线 BC的解析式为 y＝2，
令 y＝﹣2x2+3x+2＝2，解得 x1＝0，x2＝ ，
∴点 E的坐标为（ ，2）．
（3）在点 P的运动过程中，有三种情形使得△AON为等腰三角形，
如图②所示：
①△AON1．此时点 P与点 B重合，点 N1是正方形 OABC对角线的交点，且△AON1为
等腰直角三角形，
则此时点 P运动路程为：x＝AB＝2；
②△AON2．此时点 P位于 B﹣C段上．
∵正方形 OABC，OA＝2，∴AC＝2 ，
∵AN2＝OA＝2，∴CN2＝AC﹣AN2＝2 ﹣2．
∵AN2＝OA，∴∠AON2＝∠AN2O，
∵BC∥OA，∴∠AON2＝∠CP2N2，又∠AN2O＝∠CN2P2，
∴∠CN2P2＝∠CP2N2，
∴CP2＝CN2＝2 ﹣2．
此时点 P运动的路程为：x＝AB+BC﹣CP2＝2+2﹣（2 ﹣2）＝6﹣2 ；
③△AON3．此时点 P到达终点 C，P、C、N三点重合，△AON3为等腰直角三角形，
此时点 P运动的路程为：x＝AB+BC＝2+2＝4．
综上所述，当 x＝2，x＝6﹣2 或 x＝4时，△AON为等腰三角形．
2019-2020学年九年级第二学期开学数学试卷
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台．设二三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．300（1+x）2＝980
B．300（1+x）+300（1+x）2＝980
C．300（1﹣x）2＝980
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝980
3．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
4．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
6．已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
7．如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
8．如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
二、填空题
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC＝ ．
10．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则的值为 ．
11．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有 个白球．
12．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝ ．
13．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为 m．
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B．若∠APB＝60°，PA＝3．则⊙O的半径是 ．
三、解答题
15．解方程：x（2x+3）＝4x+6．
16．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）．
17．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
18．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
19．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
20．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）．
（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；
（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满足函数关系式：z＝100+10y．求z与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润＝门票收入﹣接待成本）
21．四张扑克牌的牌面如图1，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了A、B两种游戏方案：
方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜．
方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜．
请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．
22．如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
23．如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．
（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是 ，请说明理由；
（2）如图2，已知D（，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？
参考答案
一、选择题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
2．某厂一月份生产某机器300台，计划二、三月份共生产980台．设二三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．300（1+x）2＝980
B．300（1+x）+300（1+x）2＝980
C．300（1﹣x）2＝980
D．300+300（1+x）+300（1+x）2＝980
【分析】等量关系为：二月份的生产量+三月份的生产量＝280．
解：二月份的生产量为300×（1+x），三月份的生产量为300×（1+x）（1+x），那么300（1+x）+300（1+x）2＝980．
故选：B．
3．如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0
【分析】若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△＝b2﹣4ac＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．
解：由题意知，k≠0，方程有两个不相等的实数根，
所以△＞0，△＝b2﹣4ac＝（2k+1）2﹣4k2＝4k+1＞0．
又∵方程是一元二次方程，∴k≠0，
∴k＞且k≠0．
故选：B．
4．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1．下列说法：
①其图象的开口向下；
②其图象的对称轴为直线x＝﹣3；
③其图象顶点坐标为（3，﹣1）；
④当x＜3时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】结合二次函数解析式，根据函数的性质对各小题分析判断解答即可．
解：①∵2＞0，∴图象的开口向上，故本小题错误；
②图象的对称轴为直线x＝3，故本小题错误；
③其图象顶点坐标为（3，1），故本小题错误；
④当x＜3时，y随x的增大而减小，正确；
综上所述，说法正确的有④共1个．
故选：A．
5．下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
其中正确命题的序号是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．②③④
【分析】利用位似图形的定义与性质分别判断得出即可．
解：①相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，故①错误；
②位似图形一定有位似中心，故②正确；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；，故③正确；
④位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比，故④错误．
正确的选项为：②③．
故选：A．
6．已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内含 C．内切 D．外切
【分析】已知两圆半径为5cm和3cm，圆心距为3cm，根据圆心距大于半径之差小于半径之和进行作答．
解：∵两圆的半径分别是3cm和5cm，圆心距为3cm，
5﹣3＝2，3+5＝8，
∴2＜3＜8，
∴两圆相交．
故选：A．
7．如图，BD为⊙O的直径，∠A＝30°，则∠CBD的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．80°
【分析】由BD为⊙O的直径，可证∠BCD＝90°，又由圆周角定理知，∠D＝∠A＝30°，即可求∠CBD．
解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
∴∠D＝∠A＝30°，
∴∠CBD＝90°﹣∠D＝60°．
故选：C．
8．如图，已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥，则围成的圆锥的侧面积为（ ）
A．4πcm2 B．6πcm2 C．9πcm2 D．12πcm2
【分析】扇形的面积公式＝，把相应数值代入求解即可．
解：圆锥的侧面积＝＝12πcm2，故选D．
二、填空题．（每题3分，共计18分）
9．如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，则S△ADE：S△ABC＝ 1：4 ．
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE∥BC且DE＝BC，再求出△ADE和△ABC相似，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答．
解：∵D、E是边AB、AC上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC且DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝（1：2）2＝1：4．
故答案为：1：4．
10．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，则的值为 ﹣3 ．
【分析】由方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求得x1+x2＝3，x1+x2＝﹣1，代入求解即可求得答案．
解：∵方程x2﹣3x﹣1＝0的两根为x1、x2，
∴x1+x2＝3，x1+x2＝﹣1，
∴＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
11．在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有 12 个白球．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为＝，
设盒子中共有白球x个，则＝，
解得：x＝12．
故答案为：12．
12．如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝ ．
【分析】连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，由直线MN与⊙O相切于点M，根据切线的性质得OM⊥MN，而EF∥MN，根据平行线的性质得到MC⊥EF，于是根据垂径定理有CE＝CF，再利用等腰三角形的判定得到ME＝MF，易证得△MEF为等边三角形，所以∠E＝60°，然后根据特殊角的三角函数值求解．
解：连接OM，OM的反向延长线交EF于点C，如图，
∵直线MN与⊙O相切于点M，
∴OM⊥MN，
∵EF∥MN，
∴MC⊥EF，
∴CE＝CF，
∴ME＝MF，
而ME＝EF，
∴ME＝EF＝MF，
∴△MEF为等边三角形，
∴∠E＝60°，
∴cos∠E＝cos60°＝．
故答案为：．
13．如图，小明用长为3m的竹竿CD做测量工具，测量学校旗杆AB的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB＝12m，则旗杆AB的高为 9 m．
【分析】根据△OCD和△OAB相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：由题意得，CD∥AB，
∴△OCD∽△OAB，
∴＝，
即＝，
解得AB＝9．
故答案为：9．
14．如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别是A、B．若∠APB＝60°，PA＝3．则⊙O的半径是 ．
【分析】连接OA、OP，根据切线长定理即可求得∠OPA＝∠APB，在Rt△OAP中利用三角函数即可求解．
解：连接OA、OP
∵PA、PB是⊙O的切线
∴∠OAP＝90°，∠APO＝∠APB＝30°
Rt△OAP中，
∵tan∠APO＝，
∴OA＝PA?tan30°＝3×．故答案为：．
三、解答题（共计58分）
15．解方程：x（2x+3）＝4x+6．
【分析】先移项；然后提取公因式（2x+3）分解因式，利用因式分解法解方程．
解：x（2x+3）﹣2（2x+3）＝0，
∴（2x+3）（x﹣2）＝0，
∴2x+3＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2．
16．已知△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）分别写出图中点A和点C的坐标；
（2）画出△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后的△AB′C′；
（3）在（2）的条件下，求点C旋转到点C′所经过的路线长（结果保留π）．
【分析】（1）结合直角坐标系可直接写出点A和点C的坐标．
（2）根据旋转中心为点A、旋转方向是逆时针、旋转角度为90°可找到各点的对应点，顺次连接即可．
（3）所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的圆．
解：（1）点A坐标为（1，3）；点C坐标为（5，1）；
（2）
（3）所经过的路线是以点A为圆心，以AC为半径的圆，
∴经过的路线长为：π×2×＝π．
17．如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
【分析】设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程．
解：设AB的长度为x米，则BC的长度为（100﹣4x）米．
根据题意得 （100﹣4x）x＝400，
解得 x1＝20，x2＝5．
则100﹣4x＝20或100﹣4x＝80．
∵80＞25，
∴x2＝5舍去．
即AB＝20，BC＝20．
答：羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米．
18．如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD＝60°，P为AB延长线上的点，∠APD＝30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【分析】（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可；
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和三角形ODP面积，即可求出答案．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵∠ACD＝60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠ACD＝120°，
∴∠DOP＝180°﹣120°＝60°，
∵∠APD＝30°，
∴∠ODP＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
∴OD⊥DP，
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线；
（2）解：∵∠P＝30°，∠ODP＝90°，OD＝3cm，
∴OP＝6cm，由勾股定理得：DP＝3cm，
∴图中阴影部分的面积S＝S△ODP﹣S扇形DOB＝×3×3﹣＝（﹣π）cm2
19．如图，已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）是一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象的两个交点．
（1）求此反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围．
【分析】（1）先把A（﹣4，2）代入y＝求出m＝﹣8，从而确定反比例函数的解析式为y＝﹣；再把B（n，﹣4）代入y＝﹣求出n＝2，确定B点坐标为（2，﹣4），然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；
（2）观察图象得到当﹣4＜x＜0或x＞2 时，一次函数的图象都在反比例函数图象的下方，即一次函数的值小于反比例函数的值．
解：（1）把A（﹣4，2）代入y＝得m＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
把B（n，﹣4）代入y＝﹣得﹣4n＝﹣8，解得n＝2，
∴B点坐标为（2，﹣4），
把A（﹣4，2）、B（2，﹣4）分别代入y＝kx+b得，解方程组得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x﹣2；
（2）﹣4＜x＜0或x＞2．
20．某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x（元/人）（x＞20），日接待游客的人数为y（人）．
（1）求y与x（x＞20）的函数关系式；
（2）已知景点每日的接待成本为z（元），z与y满足函数关系式：z＝100+10y．求z与x的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？（利润＝门票收入﹣接待成本）
【分析】（1）根据门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人，可得价格与人数的关系；
（2）根据成本与人数的关系式，可得函数解析式；
（3）根据二次函数的性质，a＜0，当自变量取﹣时，函数取最大值，可得答案．
解：（1）由题意得y＝500﹣50×，
即y＝﹣10x+700；
（2）由z＝100+10y，y＝﹣10x+700，得
z＝﹣100x+7100；
（3）w＝x（﹣10x+700）﹣（﹣100x+7100）
即w＝﹣10x2+800x﹣7100，
当x＝﹣＝﹣＝40时，景点每日获取的利润最大，
w最大＝＝＝8900（元），
答：当门票价格为40元时，景点每日获取的利润最大，最大利润是8900元．
21．四张扑克牌的牌面如图1，将扑克牌洗匀后，如图2背面朝上放置在桌面上，小明和小亮设计了A、B两种游戏方案：
方案A：随机抽一张扑克牌，牌面数字为5时小明获胜；否则小亮获胜．
方案B：随机同时抽取两张扑克牌，两张牌面数字之和为偶数时，小明获胜；否则小亮获胜．
请你帮小亮选择其中一种方案，使他获胜的可能性较大，并说明理由．
【分析】由四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，可求得方案A中，小亮获胜的概率；
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小亮获胜的情况，再利用概率公式即可求得答案；比较其大小，即可求得答案．
解：小亮选择B方案，使他获胜的可能性较大．理由如下：
方案A：∵四张扑克牌的牌面是5的有2种情况，不是5的也有2种情况，
∴P（小亮获胜）＝＝；
方案B：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，两张牌面数字之和为偶数的有4种情况，不是偶数的有8种情况，
∴P（小亮获胜）＝＝；
∴小亮选择B方案，使他获胜的可能性较大．
22．如图，禁渔期间，我渔政船在A处发现正北方向B处有一艘可疑船只，测得A、B两处距离为99海里，可疑船只正沿南偏东53°方向航行．我渔政船迅速沿北偏东27°方向前去拦截，2小时后刚好在C处将可疑船只拦截．求该可疑船只航行的速度．
（参考数据：sin27°≈，cos27°≈，tan27°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
【分析】先过点C作CD⊥AB，垂足为点D，设BD＝x海里，得出AD＝（99﹣x）海里，在Rt△BCD中，根据tan53°＝，求出CD，再根据x＝（99﹣x），求出BD，在Rt△BCD中，根据cos53°＝，求出BC，从而得出答案．
解：如图，根据题意可得，在△ABC中，AB＝99海里，∠ABC＝53°，∠BAC＝27°，
过点C作CD⊥AB，垂足为点D．
设BD＝x海里，则AD＝（99﹣x）海里，
在Rt△BCD中，tan53°＝，
则tan27°＝，
CD＝x?tan53°≈x（海里）．
在Rt△ACD中，则CD＝AD?tan27°≈（99﹣x），
则x＝（99﹣x），
解得，x＝27，
即BD＝27．
在Rt△BCD中，cos53°＝，
则BC＝＝＝45，
45÷2＝22.5（海里/时），
则该可疑船只的航行速度约为22.5海里/时．
23．如图1，在直角坐标系中，已知△AOC的两个顶点坐标分别为A（2，0），C（0，2）．
（1）请你以AC的中点为对称中心，画出△AOC的中心对称图形△ABC，此图与原图组成的四边形OABC的形状是 正方形 ，请说明理由；
（2）如图2，已知D（，0），过A，C，D的抛物线与（1）所得的四边形OABC的边BC交于点E，求抛物线的解析式及点E的坐标；
（3）在问题（2）的图形中，一动点P由抛物线上的点A开始，沿四边形OABC的边从A﹣B﹣C向终点C运动，连接OP交AC于N，若P运动所经过的路程为x，试问：当x为何值时，△AON为等腰三角形（只写出判断的条件与对应的结果）？
【分析】（1）按照中心对称图形的定义作图即可，易知四边形OABC为正方形；
（2）已知A、C、D三点的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式；由直线BC：y＝2，代入抛物线解析式解方程求得点E的坐标；
（3）在点P的运动过程中，△AON为等腰三角形的情形有三种，注意不要漏解．充分利用正方形、等腰三角形的性质，容易求得点P运动的路程x．
解：（1）设AC的中点为E，连接OE并延长至B，使得BE＝OE；连接AC，AB，则△ABC为所求作的△AOC的中心对称图形．
∵A（2，0），C（0，2），∴OA＝OC，
∵△ABC是△AOC的中心对称图形，∴AB＝OC，BC＝OA，
∴OA＝AB＝BC＝OC，
∵∠COA＝90°，
∴四边形OABC是正方形；
（2）设经过点A、C、D的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，
∵A（2，0），C（0，2），D（，0），
∴，解得a＝﹣2，b＝3，c＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+3x+2；
由（1）知，四边形OABC为正方形，∴B（2，2），
∴直线BC的解析式为y＝2，
令y＝﹣2x2+3x+2＝2，解得x1＝0，x2＝，
∴点E的坐标为（，2）．
（3）在点P的运动过程中，有三种情形使得△AON为等腰三角形，
如图②所示：
①△AON1．此时点P与点B重合，点N1是正方形OABC对角线的交点，且△AON1为等腰直角三角形，
则此时点P运动路程为：x＝AB＝2；
②△AON2．此时点P位于B﹣C段上．
∵正方形OABC，OA＝2，∴AC＝2，
∵AN2＝OA＝2，∴CN2＝AC﹣AN2＝2﹣2．
∵AN2＝OA，∴∠AON2＝∠AN2O，
∵BC∥OA，∴∠AON2＝∠CP2N2，又∠AN2O＝∠CN2P2，
∴∠CN2P2＝∠CP2N2，
∴CP2＝CN2＝2﹣2．
此时点P运动的路程为：x＝AB+BC﹣CP2＝2+2﹣（2﹣2）＝6﹣2；
③△AON3．此时点P到达终点C，P、C、N三点重合，△AON3为等腰直角三角形，
此时点P运动的路程为：x＝AB+BC＝2+2＝4．
综上所述，当x＝2，x＝6﹣2或x＝4时，△AON为等腰三角形．
