沪教版数学高二下春季班：第十二讲期中复习 同步学案（教师版）
文档属性
| 名称 | 沪教版数学高二下春季班：第十二讲期中复习 同步学案（教师版） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-09 11:42:53 | ||
图片预览
文档简介
中小学教育资源及组卷应用平台
沪教版数学高二下春季班第十二讲
课题
期中复习
单元
第章
学科
数学
年级
十一
学习目标
熟练复数相关公式并会灵活运用；掌握立体几何的常见题型解法；掌握空间向量及三视图的应用．
重点
1、立体几何中常见角与距离的计算；2、立体几何中的证明问题；3、立体几何的综合问题．
难点
立体几何的综合问题．
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
复数
1、复数的有关概念
（1）称为虚数单位,规定；
（2）形如()的数叫复数，其中分别是它的实部real
part（缩写Re）和虚部imaginary
part（缩写Im）．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．
（3）共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为，那么与对应复平面上的点关于实轴对称，且，，，
与共轭 (，)．
2、复数相等，复数的几何意义111]
（1）复数的相等设复数，那么的充要条件是：．特别.
（2）复数的模：向量的模叫做复数
()的模，记作或，即.
（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面轴叫做实轴，轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.
复数的几何表示：复数
()可用平面直角坐标系内点来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集与复平面上全体点集是一一对应的．
（4）复数的几何意义1
①复数复平面内的点().
②复数
().
（5）复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：
①是正常数）轨迹是一个圆.
②是复常数）轨迹是一条直线.
③是复常数，是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在.
④是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在.
3、复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设,,则
①加法：；
②减法：；
③乘法：；
④除法：
（2）复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.
（3）复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何
及
，有：；
（4）复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数对应的向量共线且同向（反向）时取等号.
4、几个重要的结论：
⑴；⑵；⑶若为虚数,则.
5、常用计算结论：
⑴；⑵,；⑶；
⑷；，，，.
空间中的直线与平面
平面的基本性质
（1）点、线、面的符号表示：
点：
线：
面：
（2）点、线、面之间关系的符号表示：
点在直线上：
点不在直线上：
点在平面上：
点不在平面上：
直线与直线平行：∥
直线与直线相交于点：
直线与平面平行：∥
直线与平面相交于点：
直线与平面垂直：
直线在平面内（平面经过直线）：
平面与平面平行：∥
平面与平面相交于直线：
平面与平面垂直：
（3）三个公理、三个推论：
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.
即：
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
即：
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
推论3：两条平行直线确定一个平面.
空间直线与直线的位置关系
（1）两条直线的位置关系
空间两条异面直线的画法：
异面直线的判定
：不平行、不相交的直线.
（2）公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行.
（3）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）
相等.
（4）异面直线定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
（5）异面直线所成的角及两条异面直线间的距离
①
异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.为了简便，点通常取在异面直线的一条上.
异面直线所成的角的范围：.
②
异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作.
③
求异面直线所成的角的方法：
（1）范围：；
（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
④
异面直线公垂线的概念：
（i）和两异面直线都垂直相交的直线为异面直线的公垂线.
（ii）公垂线是唯一存在的.
（iii）两条异面直线间的公垂线段的长度即为两异面直线间的距离.
⑤
求异面直线距离的方法：
（i）公垂线法：找出或作出两异面直线的公垂线，再计算公垂线段的长度.
（ii）线面平行法：过其中一直线作和另一直线平行的平面，则异面直线的距离转化为线到面的距离.
（iii）面面平行法：作出过两异面直线的两个平行平面，则异面直线的距离转化为两平行平面的距离.
空间直线与平面的位置关系
∥
（1）直线与平面平行：
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，即，，∥.
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.，即，∥.
（2）直线与平面垂直：
定义：一般地，如果一条直线与平面上的任何直线都垂直，那么我们就说直线与平面垂直，记作：⊥，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，与面的交点叫做垂足.
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，即.
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
即∥.
（3）直线与平面所成的角：
如图，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角.
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角.
直线与平面所成角求解方法：
第一步：作出斜线在平面上的射影，找到斜线与射影所成的角θ；
第二步：解含θ的三角形，求出其大小.
射影长定理：
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短.
4．空间平面和平面的位置关系
（1）平面与平面平行：
平面和平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，若，，,且∥，∥，则∥.
平面和平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，若∥，
，则∥.
（2）二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；
二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则
叫做二面角的平面角.
（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角.
（3）平面与平面垂直：
平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，若，则.
平面和平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面，若，，则.
5．空间有关点、线、面间的距离：
（1）点到直线的距离
（2）点到平面的距离
（3）异面直线的距离
（4）直线到平面的距离
（5）平面到平面的距离.
6．空间向量
（1）
空间向量的坐标表示
①已知空间两点，，则；；；若，的夹角为，则．
②若直线垂直平面，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量；
③若直线的方向向量，平面的法向量，则；
④若平面的法向量，平面的法向量，则
（2）
空间向量在度量中的应用
Ⅰ：空间的角
①若异面直线的方向向量为，；与所成的角为，则
②已知直线的方向向量为，平面的法向量，与平面的夹角为，则；
③已知二面角的两个面和的法向量分别为，，则与该二面角相等或互补；
Ⅱ：空间的距离
①一个点到它在一个平面内射影的距离，叫做点到这个平面的距离；
②已知直线平行平面，则上任一点到的距离都相等，且叫做到的距离；
③和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两平行平面的任意两条公垂线段的长度都相等，公垂线段的长度叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离；
④若平面的一个法向量为，P是平面外一点，A是内任一点，则点P到平面的距离
简单几何体
1．多面体的概念
（1）由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体；
构成多面体的各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面；
其相邻多边形（或三角形）的公共边叫做多面体的棱；
棱与棱的交点叫做多面体的顶点．
（2）棱柱：如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱；
棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面；
棱柱的侧面都是平行四边形；
不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱；
两个底面间的距离叫做棱柱的高．
（3）特殊的棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱
名称
定义
图形
性质
平行六面体
底面是平行四边形的四棱柱
（1）相对的面是全等的平行四边形（2）对角面是平行四边形
直平行六面体
侧棱垂直于底的平行六面体
（1）侧面、对角面都是矩形（2）底面是平行四边形
长方体
底面是矩形的直平行六面体
（1）六个面、对角面都是矩形（2）（3）
正四棱柱
底面是正方形的长方体
（1）侧面、对角面都是矩形（2）底面是正方形
正方体
长、宽、高相等的长方体
（1）六个面都是全等的正方形（2）
（4）棱锥：如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱锥；
棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥侧面都是三角形；
不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱；侧棱的公共点叫做棱锥的顶点；
顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高．
（5）特殊的棱锥
正棱锥：棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面
在解正棱锥问题时，如果能够记住正多边形的边长与外接圆半径、内切圆半径和面积之间的关系，将会给计算带来很大的便利，如下表：
图形
正三角形
正方形
正六边形
2．多面体的直观图
斜二测画图法：画直观图时，规定在铅垂方向和左右方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在前后方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一，根据这样的规定，我们可以画出空间图形的直观图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法．
3．旋转体的概念
（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴；
（2）圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在直线叫做圆柱的轴；
线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线；
圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高
（3）圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点；
直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
斜边叫做圆锥侧面的一条母线；
圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．
（4）球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．
4．几何体的表面积
（1）直柱体的表面积：（分别为直棱柱的高和底面周长）
圆柱的表面积：（分别为圆柱的高和底面半径）
（2）锥体的表面积：
正锥体的表面积：（分别为斜高和底面周长）
圆锥的表面积：（分别为母线长和底面半径）
（3）球的表面积：（是球的半径）
5．几何体的体积
（1）柱体的体积：（为柱体的高）
圆柱的体积：（分别为圆柱的高和底面半径）
（2）锥体的体积：（为锥体的高）
圆锥的体积：（分别为圆锥的高和底面半径）
（3）球的体积：（是球的半径）
6．三视图
1．三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形．
视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用
正投影法绘制出来该图形称为视图．
结论：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
2．常用的三视图
（1）常见旋转体的三视图
（2）常见多面体的三视图原则
常用原则就是在绘制三视图时，务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．具体在安排方法时，正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．具体图形如下：
1、长方体
2、圆锥
3、圆柱
4、四棱锥
5、三棱锥
7．球面距离
概念：球面上联结两点最短路径的长度就是球面上两点的球面距离；
一、复数
【例1】判断下列命题的真假：
命题1：若则
命题2：若则
命题3：若是纯虚数
命题4：若
【答案】命题1，命题2，命题3均为假命题，命题4为真命题．
【解析】命题1中则不成立，命题2中则不成立，命题3中则不成立．
【例2】求同时满足下列两个条件的所有复数．
（1），且；（2）的实部与虚部都是整数．
【答案】设
则
因为，所以。所以。
当时，，又，所以，而，所以在实数范围内无解。
当时，则。由
因为为正整数，所以的值为
1，或2，或3。
当当；当。
则．
【例3】已知等比数列，其中，，（）．
（1）求的值；
（2）试求使的最小正整数；
（3）对（2）中的正整数，求的值．
【解析】（1）直接计算可得，（2）中利用等比数列求和公式可得，（3）中．
【例4】关于的方程有实根，且一个根的模是2，求实数、的值．
【答案】设是方程的一实根，则．则
（1）当时，此方程为．
①有实根，即或．
当根为2时，．得．
当根为时，．得．
②有一对共轭虚根即．模为2，即有（舍）．
（2）当时，则，此时．又因为模为2，所以．
所以或或或
【例5】在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①；
②若，，则；
③若，则，对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中真命题的序号为
(
)
A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【解析】若，则④不成立．
【巩固训练】
1、已知为复数，为纯虚数，，且．求复数．
【答案】设，则=为纯虚数，所以，
因为，所以；又．解得
所以．
2、若复数满足.则在复平面上对应点集合的面积为
【解析】，令，则，即
3、已知满足等式．
（1）计算；；；
（2）求证：对任意复数，有恒等式；
（3）计算：，．
【解析】令，则（1）计算可得；（2）中
；
（3）中利用的性质计算可得．
4、关于的二次方程中，，，都是复数，且，设这个方程的两个根、满足，求的最大值和最小值．
【答案】根据韦达定理有
∵
∴．
∴，即，
这表明复数在以为圆心，7为半径的圆周上，
∴，．
当即．
5、已知：复数,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．
（1）求角的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）∵
∴----①,----②
由①得------③
在△ABC中,由正弦定理得
∵
∴
∴,∵
∴
（2）∵,由余弦定理得,--④
由②得-⑤
由④⑤得，∴=.
二、空间中的直线与平面
【例6】判断下列命题的真假。
（1）可画一个平面，是它的长为4,宽为2.
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把一个空间分成两部分。
（3）平面与平面只有一个公共点。
（4）经过平面内的任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面
【答案】（1）假
（2）真
（3）假
（4）真
【解析】（1）平面是无限的，（3）两个平面不可能只有一个公共点
【例7】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（
）.
（A）若
，则//
（B）若
，则
（C）若
，则//或
（D）若
//
，则
【答案】D
【解析】可能不垂直
【例8】如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点分别在和上，且，平面，求线段的长.
【答案】作交于，连，∵平面，平面.
∴平面平面，
而平面分别与此两平行平面相交于，.
∴.
∵,∴＝.∴＝＝,＝＝＝.
∴,又.∴
在Δ中由余弦定理得
【例9】正四棱柱中，，点在上且．
证明：平面；
【难度】★★
【答案】依题设知，．（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，．
在平面内，连结交于点，
由于，故，，
与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面．
【巩固训练】
1、在空间中，设、是不同的直线，、是不同的平面，且，，则下列命题正确的是
（
）
A．若，则
B．若、异面，则、平行
C．若、相交，则、相交
D．若，则
【答案】C【解析】若，则与可能相交；若、异面，则与可能相交；若，则可能相交．
2、给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的
(
)．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】B【解析】直线l与平面α相交也会出现直线l与平面α内的无数条直线都垂直的情况．
3、如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
【答案】(1)
∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则，若ACα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNα，∴AC∥α，
又AC
α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证:．
【答案】证明：连接FO．
∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1．
又A1O 平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．
∵tan∠AA1O=,tan∠FOC=,∴∠AA1O=∠FOC，
则∠A1OA+∠FOC=90°．∴A1O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A1O⊥平面FBD．
5、下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是
.（写出所有符合要求的图形序号）
【答案】①④
【解析】①中可证l⊥MP，l⊥MN；④中可证l⊥MP，l⊥MN．
三、空间中的角与距离的计算
【例11】是正三角形所在平面外一点，且∠=
∠=∠=，、分别是、的中点，求异面直线SM与所成的角．
【答案】取CM中点P，则NP//SM，
从而∠PNB为SM与BN所成的角．
设SA=SB=SC=a,则AB=BC=AC=a,所以
又
所以．
∴异面直线与所成的角是．
【例12】四面体ABCS中，SA,SB,SC
两两垂直，∠SBA=45°,
∠SBC=60°,
M
为
AB的中点，
求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
【解析】SC垂直于面SAB，所以C点在平面SAB上的射影恰好是S点，所以所成角就是，SC与平面ABC不是垂直的，因此S点在平面上的射影直接是看不出来的，那要做垂线的话也不知道射影的位置，考虑到底面SAB是一个等腰直角
三角形，所以取AB的中点M，连接SM,CM，得到AB垂直于平面SCM，因此要找S点在平面ABC中的射影，只需要过S做CM的垂线即可，所成角就是，设SB=1，,
【例13】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=
AD=a,
∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a．
(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为．
【答案】
(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC，AE为所求
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a
∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=
∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一点F，使PC⊥CF
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F．
【例14】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，
，点M在侧棱上，=60°
（I）证明：M在侧棱的中点
（II）求二面角的大小。
【答案】（I）略；（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，过F点在平面ASM内作，GF交AS于G，连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，∴AM⊥SC，
GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵为AM的中点，∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角..
∵，则，又∵，∴,
∵，∴△是等边三角形，∴,
在△中，，，，∴
,∴二面角的大小为
【例15】如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,
BC=CD=2,
AA=2,
E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
(1)证明：直线EE//平面FCC；
(2)求二面角B-FC-C的余弦值。
【答案】（1）略（2）因为AB=4,
BC=CD=2,
、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角,
在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中,
△OPF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF
中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
【巩固训练】
1．已知四面体中，两两互相垂直，且，是中点，异面直线与所成的角大小为，求的长．
【解析】过引的平行线，交的延长线于，连结，则是异面直线与所成的角。
∴。∵是的中点，∴是的中点，。
设，则，又，所以。
中，由余弦定理，，即的长为4．
2．如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分是上的点，且，过点作的平行线交于．求与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）在中，，,而PD垂直底面ABCD，
，中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即
3．如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等
【答案】(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1
∴BB1⊥平面A1EF
即面A1EF⊥面BB1C1C
在Rt△A1EB1中，
∵∠A1B1E=45°，A1B1=a
∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a
同理A1F=a,又EF=a
∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°
过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1
即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离
∴A1N=
又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为
∴a=2，∴所求距离为2
(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形
∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N
∴B1C1⊥平面ADD1A1
∴BC⊥平面ADD1A1
得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，
若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°
∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件
4．在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
【答案】如图 PA⊥平面BD BD⊥AC
BD⊥BC过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a, PB·BC=S△PBC=PC·BH,
则BH==DH， 又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝
又0＜∠BHD＜π
则∠BHD= ，二面角B-PC-D的大小是。
5．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
【答案】（Ⅰ）证略解:
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知,平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
【解析】本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。
四、三视图、几何体表面积与体积
【例16】如图所示，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)
【解析】由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
【例17】三棱锥O–ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45，则三棱锥O–ABC体积的最大值是
．
【答案】【解析】当OA⊥平面BOC时，三棱锥体积最大．
【例18】在矩形中，为边的中点，，，
分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、
及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为
.
【答案】
【解析】形成的几何体体积可通过矩形ABCD绕AD旋转所形成的圆柱体积减去两个半球的体积计算．
【例19】在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________.
【答案】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．
【例20】已知半径为的球面上有三点，已知与间的球面距离都是，间的球面距离为，过三点作球的截面，求球心到截面的距离．
【答案】
【解析】由已知条件可得，，此时所在的球的截面圆半径为，然后计算可得．
【巩固训练】
1．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 （
）
【答案】
2．在棱长为的正方体中,是的中点,
若都是上的点,
且，是上的点,
则四面体的体积是
【解析】
3．三角形中，，，，现将三角形绕旋转一周，所得简单组合体的体积为（
）
A．
B．
C．12
D．
【解析】利用割补法，将三角形延长CB到D，使三角形ADC成为直角三角形，D为直角顶点，所求的几何体体积为大圆锥体积减去小圆锥体积。【答案】C
4．在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积是________.
【解析】此四面体为正三棱锥，底面边长为4，侧棱长为，计算可得【答案】
5．球的半径为1,
三点都在球面上,两两互相垂直，若分别是大圆弧与中点，则点在该球面上的球面距离为
(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】由已知条件可求得【答案】B
五、空间向量
【例21】如图，直三棱柱，底面△中，，，棱，、分别、是的中点.
(1)
求的长；
(2)
求的值；
(3)
求证：⊥.
【答案】以为原点建立空间直角坐标系.
[来
（1）依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
.
（3）证明：依题意得C1（0，0，2），N.
．
【例22】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角．
【答案】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系（图略），由得，，，,;
因为，所以．
（2）因为
，
所以，
又，故平面，即是平面的法向量．
设与平面所成的角为，又,设与夹角为，
则，
又，故，故与平面所成的角是．
【例23】如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且．
（1）求异面直线与的夹角；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求二面角的平面角的余弦值；
（4）求点到平面的距离．
【答案】（1）建立如图所示的空间直角坐标系：，，，，
，，设与的夹角为，则。
（2）设平面的一个法向量为，，，
不妨设，得
，设与的夹角为，则，所求线面角为。
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，
，，
所以，，,．
因为,所以,同法可得．
故﹤﹥为的二面角∴﹤﹥＝
故所求二面角的平面角的余弦值为．
（4）设为平面的一个法向量，
则由得
故可取．
设与的夹角为，
则．
所以到平面的距离为．
【巩固训练】
1．如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
【答案】(1)以G点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，
故E(1，1，0)，＝(1，1，0)，
＝(0，2，4)。
，
∴GE与PC所成的余弦值为．
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0)
.
∵，
∴点D到平面PBG的距离为n
|＝.
(3)设F(0，y，z)，则。
∵，∴，
即，
∴
,
又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)，
∴z=1，
故F(0，，1)
，，
∴
2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，
，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证：依题设，在以为直径的球面上，
则．
因为平面，则，
又，所以⊥平面，则，
因此有⊥平面，所以平面⊥平面．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设平面的一个法向量，由可得：，
令，则，即．
设所求角为，
则，所求角的大小为．
（3）设所求距离为，由，,
得：
3．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面射影恰好为，又
（1）求异面直线与所成角的余弦值
（2）求二面角的大小
（3）设点在棱上，且，问为何值时，平面．
【答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系．
,
所以两异面直线所成的角为,
（2）求的平面的一个法向量，平面的一个法向量为,
，二面角的大小为
（3）由条件可得，设，，得,
,由，此时平面．
【解析】
一、复数
1.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数Z与点Z(a，b)相对应。
2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)＝b－ai；
(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
3．对于实系数一元二次方程的问题，第一考虑方程的根的判别式，第二考虑韦达定理，第三考虑已知条件；对于已知条件中有两数和、两数积的条件，可以构造相应的方程，从而求解．
二、立体几何
1．求异面直线所成的角：
2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足
3求二面角的平面角
4．关于组合体体积的计算问题。
有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。
构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。
因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。
5．割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。
6．
空间直角坐标系通常是按右手系建立．
7．当两直线的夹角及线面角，用向量法求夹角当余弦值为负值时，应取补角．
8．计算线面角时，如果平面的法向量与直线的方向向量夹角为锐角，所得的角应为线面角的余角．
9．求二面角时，注意看图，判断二面角与两向量的夹角相等或互补．
1、有下列4个命题：
①若是复数，且，则；
②若，则；
③若，则是实数；
④若分别对应点A、B（O为坐标原点）且，则，
上述命题中正确的是
．（写出所有正确命题的序号）
【答案】②③④
2、已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是
（写出所有正确结论的编号）
【答案】①②④
3、若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是
．
【答案】
4、满足+=2n的最小自然数为(
）
A．
1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
5、有一种多面体的饰品，其表面由个正方形和个正三角形组成（如图），与所成角的大小是
．
【答案】
6、如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（
）
A．75°
B．60°
C．50°
D．45°
【解析】过C作CH⊥AB于H，显然CD⊥CH时DH有最大值，∴面ABC与地面所成角为50°。
7．设二面角的大小为
，若平面
内一点到平面的距离为8
，则点在平面内的射影到平面的距离为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
8、如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
【答案】D
9、如图,已知三棱锥的底面是直角△,直角边长分别为和,过直角顶点的侧棱长为,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是
(
)
【答案】B
10、已知复数，则的最大值是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
11、如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,
则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
A．
B．
C．
D．
【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的表面积为若，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为。【答案】D
12、在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，异面直线AB、CD所成角大小是，求线段MN的长．
【答案】取棱AD的中点，连结MP、NP，
则MP，PN，
若，则，
若，则，
∴．
13、E，F分别是空间四边形ABCD的AC，BD的中点，过E，F且平行于AD的平面分别交AB，CD于G，H．求证：BC平面EGFH．
【答案】
同理，，
又因为EF分别为AC，BD中点，GF、EH分别为所在三角形中位线
，
可知G、H为AB、CD中点，可知
14、已知复数，满足条件，，是否存在非零实数，使得和同时成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】据题意，得，即，故，是方程的两个根．
（1）当△即且时，，，记，
则，，解得．
（2）当△，即时，、为一对共轭虚数，则，由，得，所以．
综上，当或时，和同时成立．
15、如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
【答案】连接BD，∵⊥平面
平面
∴AC⊥SD
又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴AC
⊥平面SBD
∴AC⊥SB.
（2）设的中点为，连接、，
∵SD=AD，CS=CA,
∴DE⊥SA，
CE⊥SA.
∴是二面角的平面角.
计算得：DE＝，CE＝，CD＝2，则CD⊥DE.
,
所以所求二面角的大小为
.
16、如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）.平面交于点，于点.
（1）设，将长表示为的函数；
（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）在△中，，；
其中；
在△中，，
在△中，，
（2）当时，最小，此时．
因为在底面中，，所以，又，
为异面直线与所成角的平面角，
在△中，为直角，，所以，
异面直线与所成角的大小（或等）
期中复习
知识梳理
【注意】平面的特征：无限延展，无厚度.
【注意】搞清楚公理及其推论的基本应用：
公理1是判定直线在平面内的依据；
公理2是判定两个平面相交的依据，同时应注意其内容的完整性，即当两个平面有一个公共点时，首先可得到这两个平面相交，其次是这两个平面有且只有一条公共直线（即交线），还有就是这个公共点在公共直线上或称公共直线经过公共点；
公理3以及三个推论都是确定平面的依据，应注意由于三点共线时，经过他们可以作无数个平面，因此公理3中“三点不共线”的条件必不可少.
.
【注意】证明两条直线异面一般采用反证法.
【注意】空间直线与直线垂直，是不平行的两条直线的特殊位置情况，这时这两条直线所成的角等于，而它们可能是相交直线，也可能是异面直线.
【规定】
（1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角；
（2）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是的角.
【注意】
（1）直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关；
（2）直线和平面所成角的范围是；
（3）斜线和平面所成角的范围是.
【说明】
（1）二面角的平面角范围是；
（2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直；
（3）二面角的求法：①
几何法；②
向量法.
【注意】空间平面的法向量的求解方法：
在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量.由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到.
【注意】：
空间二面角在用空间向量的方法求解时，选取法向量要适当，即使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角.
【注意】区分正棱锥中的角：
①
侧棱与底边所成的角
②
侧棱与底面所成的角
③
侧面与底面所成的角
④
相邻侧面所成的角
【补充】三棱锥顶点在底面上射影的位置
已知在三棱锥中，顶点在底面上的射影为（在△内部）
若，或与底面成等角，则是△的外心；
②
若三棱锥的三个侧面与底面成等角，或到底面三边等距离，则是△的内心；
③
若两两互相垂直，或有两组对棱互相垂直，则是垂心.
如左图，是一个用斜二测方法画的正方体的直观图，轴与轴方向上的长度等于正方体边长，轴方向上的长度等于边长一半
【注意】“斜二测”画图法有两条重要性质：
①
平行直线的直观图仍是平行直线；
②
线段及其线段上定比分点的直观图保持原比例不变.
【性质】根据圆柱的形成过程易知：
圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；
圆柱有两个相互平行的底面.
【性质】根据圆锥的形成过程易知：
圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；
每条母线与轴的夹角都相等.
【补充】
球心到球面上任意点的距离都相等；
②
任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.
【补充】求体积的常见方法有：①直接法（公式法）；②割补法；③转化法（等体积法）；割补思想和转化思想是解决体积问题的常用技巧.
其中，等体积法还经常用来求点到平面的距离或几何体的高.
（1）从前面向后面投射所得的视图称主视图—能反映物体的前面形状；
（2）从上面向下面投射所得的视图称俯视图—能反映物体的上面形状；
（3）从左面向右面投射所得的视图称左视图—能反映物体的左面形状.
三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称.
1．圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；
2．圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心；
3．球的三视图都是圆.；
·
【补充】在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离；所以，求两点之间的球面距离，首先要找到经过这两点的大圆，然后求大圆的劣弧长，而这往往需要求出两点之间的线段距离.
例题解析
B
A
D
C
P
N
Q
M
F
G
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
A
B
C
E
D
P
P
A
G
B
C
D
F
E
反思总结
课后练习
3
4
4
4
4
3
4
5
E
B
C
D
A
F
GF\
H
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
沪教版数学高二下春季班第十二讲
课题
期中复习
单元
第章
学科
数学
年级
十一
学习目标
熟练复数相关公式并会灵活运用；掌握立体几何的常见题型解法；掌握空间向量及三视图的应用．
重点
1、立体几何中常见角与距离的计算；2、立体几何中的证明问题；3、立体几何的综合问题．
难点
立体几何的综合问题．
教学安排
版块
时长
1
知识梳理
30
2
例题解析
60
3
巩固训练
20
4
师生总结
10
5
课后练习
30
复数
1、复数的有关概念
（1）称为虚数单位,规定；
（2）形如()的数叫复数，其中分别是它的实部real
part（缩写Re）和虚部imaginary
part（缩写Im）．若，则为实数；若，则为虚数；若且，则为纯虚数．
（3）共轭复数：复数称为复数的共轭复数，记为，那么与对应复平面上的点关于实轴对称，且，，，
与共轭 (，)．
2、复数相等，复数的几何意义111]
（1）复数的相等设复数，那么的充要条件是：．特别.
（2）复数的模：向量的模叫做复数
()的模，记作或，即.
（3）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面轴叫做实轴，轴除去原点叫做虚轴.实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示虚数.
复数的几何表示：复数
()可用平面直角坐标系内点来表示．这时称此平面为复平面，这样，全体复数集与复平面上全体点集是一一对应的．
（4）复数的几何意义1
①复数复平面内的点().
②复数
().
（5）复平面内复数z对应的点的几个基本轨迹：
①是正常数）轨迹是一个圆.
②是复常数）轨迹是一条直线.
③是复常数，是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为椭圆；b)当时，轨迹为一条线段；c)当时，轨迹不存在.
④是正常数）轨迹有三种可能情形：a)当时，轨迹为双曲线；b)当时，轨迹为两条射线；c)当时，轨迹不存在.
3、复数的运算
（1）复数的加、减、乘、除运算法则
设,,则
①加法：；
②减法：；
③乘法：；
④除法：
（2）复数加法的运算定律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任何，有，.
（3）复数的乘法不仅满足交换律与结合律，实数集R中整数指数幂的运算律，在复数集C中仍然成立，即对任何
及
，有：；
（4）复数集内的三角形不等式是：，其中左边在复数对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数对应的向量共线且同向（反向）时取等号.
4、几个重要的结论：
⑴；⑵；⑶若为虚数,则.
5、常用计算结论：
⑴；⑵,；⑶；
⑷；，，，.
空间中的直线与平面
平面的基本性质
（1）点、线、面的符号表示：
点：
线：
面：
（2）点、线、面之间关系的符号表示：
点在直线上：
点不在直线上：
点在平面上：
点不在平面上：
直线与直线平行：∥
直线与直线相交于点：
直线与平面平行：∥
直线与平面相交于点：
直线与平面垂直：
直线在平面内（平面经过直线）：
平面与平面平行：∥
平面与平面相交于直线：
平面与平面垂直：
（3）三个公理、三个推论：
公理1：若一条直线上有两个点在一个平面内，则该直线上所有的点都在这个平面内.
即：
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
即：
公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面.
推论2：两条相交直线确定一个平面.
推论3：两条平行直线确定一个平面.
空间直线与直线的位置关系
（1）两条直线的位置关系
空间两条异面直线的画法：
异面直线的判定
：不平行、不相交的直线.
（2）公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行.
（3）等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补.推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）
相等.
（4）异面直线定理：
连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
（5）异面直线所成的角及两条异面直线间的距离
①
异面直线所成的角：已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，所成的角的大小与点的选择无关，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）.为了简便，点通常取在异面直线的一条上.
异面直线所成的角的范围：.
②
异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线垂直，记作.
③
求异面直线所成的角的方法：
（1）范围：；
（2）求法：计算异面直线所成角的关键是平移（中点平移，顶点平移以及补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，以便易于发现两条异面直线间的关系）转化为相交两直线的夹角。
④
异面直线公垂线的概念：
（i）和两异面直线都垂直相交的直线为异面直线的公垂线.
（ii）公垂线是唯一存在的.
（iii）两条异面直线间的公垂线段的长度即为两异面直线间的距离.
⑤
求异面直线距离的方法：
（i）公垂线法：找出或作出两异面直线的公垂线，再计算公垂线段的长度.
（ii）线面平行法：过其中一直线作和另一直线平行的平面，则异面直线的距离转化为线到面的距离.
（iii）面面平行法：作出过两异面直线的两个平行平面，则异面直线的距离转化为两平行平面的距离.
空间直线与平面的位置关系
∥
（1）直线与平面平行：
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行，即，，∥.
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.，即，∥.
（2）直线与平面垂直：
定义：一般地，如果一条直线与平面上的任何直线都垂直，那么我们就说直线与平面垂直，记作：⊥，直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，与面的交点叫做垂足.
直线和平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，即.
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行.
即∥.
（3）直线与平面所成的角：
如图，是平面的一条斜线，点是斜足，是上任意一点，是的垂线，点是垂足，所以直线（记作）是在内的射影，（记作）是与所成的角.
定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角.
直线与平面所成角求解方法：
第一步：作出斜线在平面上的射影，找到斜线与射影所成的角θ；
第二步：解含θ的三角形，求出其大小.
射影长定理：
从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：
（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；
（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；
（3）垂线段比任何一条斜线段都短.
4．空间平面和平面的位置关系
（1）平面与平面平行：
平面和平面平行的判定定理:
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，若，，,且∥，∥，则∥.
平面和平面平行的性质定理:
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行，若∥，
，则∥.
（2）二面角：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为，两个面分别为的二面角记为；
二面角的平面角：
（1）过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条垂线，则
叫做二面角的平面角.
（2）一个平面垂直于二面角的棱，且与两半平面交线分别为为垂足，则也是的平面角.
（3）平面与平面垂直：
平面和平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，若，则.
平面和平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面，若，，则.
5．空间有关点、线、面间的距离：
（1）点到直线的距离
（2）点到平面的距离
（3）异面直线的距离
（4）直线到平面的距离
（5）平面到平面的距离.
6．空间向量
（1）
空间向量的坐标表示
①已知空间两点，，则；；；若，的夹角为，则．
②若直线垂直平面，取直线的方向向量，则向量叫做平面的法向量；
③若直线的方向向量，平面的法向量，则；
④若平面的法向量，平面的法向量，则
（2）
空间向量在度量中的应用
Ⅰ：空间的角
①若异面直线的方向向量为，；与所成的角为，则
②已知直线的方向向量为，平面的法向量，与平面的夹角为，则；
③已知二面角的两个面和的法向量分别为，，则与该二面角相等或互补；
Ⅱ：空间的距离
①一个点到它在一个平面内射影的距离，叫做点到这个平面的距离；
②已知直线平行平面，则上任一点到的距离都相等，且叫做到的距离；
③和两个平行平面同时垂直的直线，叫做两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的公垂线段，两平行平面的任意两条公垂线段的长度都相等，公垂线段的长度叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离；
④若平面的一个法向量为，P是平面外一点，A是内任一点，则点P到平面的距离
简单几何体
1．多面体的概念
（1）由平面多边形（或三角形）围成的封闭体叫做多面体；
构成多面体的各平面多边形（或三角形）叫做多面体的面；
其相邻多边形（或三角形）的公共边叫做多面体的棱；
棱与棱的交点叫做多面体的顶点．
（2）棱柱：如果一个多面体有两个全等的多边形的面互相平行，且不在这两个面上的棱都相互平行，那么这个多面体叫做棱柱；
棱柱的两个相互平行的面叫做棱柱的底面，其他的面叫做棱柱的侧面；
棱柱的侧面都是平行四边形；
不在底面上的棱叫做棱柱的侧棱；
两个底面间的距离叫做棱柱的高．
（3）特殊的棱柱
平行六面体：底面是平行四边形的棱柱有六个面，且六个面都是平行四边形
直棱柱：侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱
名称
定义
图形
性质
平行六面体
底面是平行四边形的四棱柱
（1）相对的面是全等的平行四边形（2）对角面是平行四边形
直平行六面体
侧棱垂直于底的平行六面体
（1）侧面、对角面都是矩形（2）底面是平行四边形
长方体
底面是矩形的直平行六面体
（1）六个面、对角面都是矩形（2）（3）
正四棱柱
底面是正方形的长方体
（1）侧面、对角面都是矩形（2）底面是正方形
正方体
长、宽、高相等的长方体
（1）六个面都是全等的正方形（2）
（4）棱锥：如果一个多面体有一个多边形的面，且不在这个面上的棱都有一个公共点，那么这个多面体叫做棱锥；
棱锥的多边形的面叫做棱锥的底面，其他的面叫做棱锥的侧面，棱锥侧面都是三角形；
不在底面上的棱叫做棱锥的侧棱；侧棱的公共点叫做棱锥的顶点；
顶点与底面之间的距离叫做棱锥的高．
（5）特殊的棱锥
正棱锥：棱锥的底面是正多边形，且底面中心与顶点的连线垂直于底面
在解正棱锥问题时，如果能够记住正多边形的边长与外接圆半径、内切圆半径和面积之间的关系，将会给计算带来很大的便利，如下表：
图形
正三角形
正方形
正六边形
2．多面体的直观图
斜二测画图法：画直观图时，规定在铅垂方向和左右方向上线段的长度与其表示的真实长度相等，而在前后方向上，线段的长度是其表示的真实长度的二分之一，根据这样的规定，我们可以画出空间图形的直观图，这样的画图方法简称“斜二测”画图法．
3．旋转体的概念
（1）平面上一条封闭曲线所围成的区域绕着它所在平面上的一条定直线旋转而形成的几何体叫做旋转体，该定直线叫做旋转体的轴；
（2）圆柱：将矩形绕其一边所在直线旋转一周，所形成的的几何体叫做圆柱；所在直线叫做圆柱的轴；
线段和旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；
线段旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；叫做圆柱侧面的一条母线；
圆柱的两个底面间的距离（即的长度）叫做圆柱的高
（3）圆锥：将直角三角形（及其内部）绕其一条直角边所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做圆锥；所在直线叫做圆锥的轴；点叫做圆锥的顶点；
直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；
斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；
斜边叫做圆锥侧面的一条母线；
圆锥的顶点到底面间的距离叫做圆锥的高．
（4）球：将圆心为的半圆绕其直径所在直线旋转一周，所形成的几何体叫做球；半圆的圆弧所形成的曲面叫做球面，把点称为球心，把原半圆的半径和直径分别称为球的半径和球的直径．
4．几何体的表面积
（1）直柱体的表面积：（分别为直棱柱的高和底面周长）
圆柱的表面积：（分别为圆柱的高和底面半径）
（2）锥体的表面积：
正锥体的表面积：（分别为斜高和底面周长）
圆锥的表面积：（分别为母线长和底面半径）
（3）球的表面积：（是球的半径）
5．几何体的体积
（1）柱体的体积：（为柱体的高）
圆柱的体积：（分别为圆柱的高和底面半径）
（2）锥体的体积：（为锥体的高）
圆锥的体积：（分别为圆锥的高和底面半径）
（3）球的体积：（是球的半径）
6．三视图
1．三视图：三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形．
视图：将人的视线规定为平行投影线，然后正对着物体看过去，将所见物体的轮廓用
正投影法绘制出来该图形称为视图．
结论：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高．
2．常用的三视图
（1）常见旋转体的三视图
（2）常见多面体的三视图原则
常用原则就是在绘制三视图时，务必做到正视图、侧视图高平齐，正视图、俯视图长对正，俯视图、侧视图宽相等．具体在安排方法时，正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方．具体图形如下：
1、长方体
2、圆锥
3、圆柱
4、四棱锥
5、三棱锥
7．球面距离
概念：球面上联结两点最短路径的长度就是球面上两点的球面距离；
一、复数
【例1】判断下列命题的真假：
命题1：若则
命题2：若则
命题3：若是纯虚数
命题4：若
【答案】命题1，命题2，命题3均为假命题，命题4为真命题．
【解析】命题1中则不成立，命题2中则不成立，命题3中则不成立．
【例2】求同时满足下列两个条件的所有复数．
（1），且；（2）的实部与虚部都是整数．
【答案】设
则
因为，所以。所以。
当时，，又，所以，而，所以在实数范围内无解。
当时，则。由
因为为正整数，所以的值为
1，或2，或3。
当当；当。
则．
【例3】已知等比数列，其中，，（）．
（1）求的值；
（2）试求使的最小正整数；
（3）对（2）中的正整数，求的值．
【解析】（1）直接计算可得，（2）中利用等比数列求和公式可得，（3）中．
【例4】关于的方程有实根，且一个根的模是2，求实数、的值．
【答案】设是方程的一实根，则．则
（1）当时，此方程为．
①有实根，即或．
当根为2时，．得．
当根为时，．得．
②有一对共轭虚根即．模为2，即有（舍）．
（2）当时，则，此时．又因为模为2，所以．
所以或或或
【例5】在实数集中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”．类似的，我们在复数集上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”．定义如下：对于任意两个复数，（），当且仅当“”或“且”．
按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：
①；
②若，，则；
③若，则，对于任意，；
④对于复数，若，则.
其中真命题的序号为
(
)
A．①②④
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【解析】若，则④不成立．
【巩固训练】
1、已知为复数，为纯虚数，，且．求复数．
【答案】设，则=为纯虚数，所以，
因为，所以；又．解得
所以．
2、若复数满足.则在复平面上对应点集合的面积为
【解析】，令，则，即
3、已知满足等式．
（1）计算；；；
（2）求证：对任意复数，有恒等式；
（3）计算：，．
【解析】令，则（1）计算可得；（2）中
；
（3）中利用的性质计算可得．
4、关于的二次方程中，，，都是复数，且，设这个方程的两个根、满足，求的最大值和最小值．
【答案】根据韦达定理有
∵
∴．
∴，即，
这表明复数在以为圆心，7为半径的圆周上，
∴，．
当即．
5、已知：复数,,且，其中、为△ABC的内角，、、为角、、所对的边．
（1）求角的大小；
（2）若，求△ABC的面积．
【答案】（1）∵
∴----①,----②
由①得------③
在△ABC中,由正弦定理得
∵
∴
∴,∵
∴
（2）∵,由余弦定理得,--④
由②得-⑤
由④⑤得，∴=.
二、空间中的直线与平面
【例6】判断下列命题的真假。
（1）可画一个平面，是它的长为4,宽为2.
（2）一条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把一个空间分成两部分。
（3）平面与平面只有一个公共点。
（4）经过平面内的任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面
【答案】（1）假
（2）真
（3）假
（4）真
【解析】（1）平面是无限的，（3）两个平面不可能只有一个公共点
【例7】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下面四个命题中错误的是（
）.
（A）若
，则//
（B）若
，则
（C）若
，则//或
（D）若
//
，则
【答案】D
【解析】可能不垂直
【例8】如图，正四棱锥的底面边长为，侧棱长为，点分别在和上，且，平面，求线段的长.
【答案】作交于，连，∵平面，平面.
∴平面平面，
而平面分别与此两平行平面相交于，.
∴.
∵,∴＝.∴＝＝,＝＝＝.
∴,又.∴
在Δ中由余弦定理得
【例9】正四棱柱中，，点在上且．
证明：平面；
【难度】★★
【答案】依题设知，．（Ⅰ）连结交于点，则．
由三垂线定理知，．
在平面内，连结交于点，
由于，故，，
与互余．于是．与平面内两条相交直线都垂直，
所以平面．
【巩固训练】
1、在空间中，设、是不同的直线，、是不同的平面，且，，则下列命题正确的是
（
）
A．若，则
B．若、异面，则、平行
C．若、相交，则、相交
D．若，则
【答案】C【解析】若，则与可能相交；若、异面，则与可能相交；若，则可能相交．
2、给定空间中的直线l及平面，条件“直线l与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的
(
)．
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充要条件
D．非充分非必要条件
【答案】B【解析】直线l与平面α相交也会出现直线l与平面α内的无数条直线都垂直的情况．
3、如图，已知M、N、P、Q分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．
求证：(1)线段MP和NQ相交且互相平分；(2)AC∥平面MNP，BD∥平面MNP．
【答案】(1)
∵M、N是AB、BC的中点，∴MN∥AC，MN＝AC．
∵P、Q是CD、DA的中点，∴PQ∥CA，PQ＝CA．
∴MN∥QP，MN＝QP，MNPQ是平行四边形．
∴□MNPQ的对角线MP、NQ相交且互相平分．
(2)由(1)，AC∥MN．记平面MNP(即平面MNPQ)为α．显然ACα．
否则，若ACα，
由A∈α，M∈α，得B∈α；
由A∈α，Q∈α，得D∈α，则A、B、C、D∈α，
与已知四边形ABCD是空间四边形矛盾．
又∵MNα，∴AC∥α，
又AC
α，∴AC∥α，即AC∥平面MNP．
同理可证BD∥平面MNP．
4、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，为底面ABCD的中心,F为CC1的中点,求证:．
【答案】证明：连接FO．
∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1．
又A1O 平面A1ACC1，∴A1O⊥DB．
∵tan∠AA1O=,tan∠FOC=,∴∠AA1O=∠FOC，
则∠A1OA+∠FOC=90°．∴A1O⊥OF．
∵OF∩DB=O，∴A1O⊥平面FBD．
5、下列五个正方体图形中，是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是
.（写出所有符合要求的图形序号）
【答案】①④
【解析】①中可证l⊥MP，l⊥MN；④中可证l⊥MP，l⊥MN．
三、空间中的角与距离的计算
【例11】是正三角形所在平面外一点，且∠=
∠=∠=，、分别是、的中点，求异面直线SM与所成的角．
【答案】取CM中点P，则NP//SM，
从而∠PNB为SM与BN所成的角．
设SA=SB=SC=a,则AB=BC=AC=a,所以
又
所以．
∴异面直线与所成的角是．
【例12】四面体ABCS中，SA,SB,SC
两两垂直，∠SBA=45°,
∠SBC=60°,
M
为
AB的中点，
求（1）BC与平面SAB所成的角。（2）SC与平面ABC所成的角。
【解析】SC垂直于面SAB，所以C点在平面SAB上的射影恰好是S点，所以所成角就是，SC与平面ABC不是垂直的，因此S点在平面上的射影直接是看不出来的，那要做垂线的话也不知道射影的位置，考虑到底面SAB是一个等腰直角
三角形，所以取AB的中点M，连接SM,CM，得到AB垂直于平面SCM，因此要找S点在平面ABC中的射影，只需要过S做CM的垂线即可，所成角就是，设SB=1，,
【例13】如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=,AB=
AD=a,
∠ADC=arccos,PA⊥面ABCD且PA=a．
(1)求异面直线AD与PC间的距离；
(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为．
【答案】
(1)∵BC∥AD,BC面PBC,∴AD∥面PBC
从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离
过A作AE⊥PB，又AE⊥BC
∴AE⊥平面PBC，AE为所求
在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=a
∴AE=a
(2)作CM∥AB，由已知cosADC=
∴tanADC=,即CM=DM
∴ABCM为正方形，AC=a,PC=a
过A作AH⊥PC,在Rt△PAC中，得AH=
下面在AD上找一点F，使PC⊥CF
取MD中点F，△ACM、△FCM均为等腰直角三角形
∴∠ACM+∠FCM=45°+45°=90°
∴FC⊥AC,即FC⊥PC∴在AD上存在满足条件的点F．
【例14】如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，
，点M在侧棱上，=60°
（I）证明：M在侧棱的中点
（II）求二面角的大小。
【答案】（I）略；（II）：利用二面角的定义。在等边三角形中过点作交于点，则点为AM的中点，过F点在平面ASM内作，GF交AS于G，连结AC，∵△ADC≌△ADS，∴AS-AC，且M是SC的中点，∴AM⊥SC，
GF⊥AM，∴GF∥AS，又∵为AM的中点，∴GF是△AMS的中位线，点G是AS的中点。则即为所求二面角..
∵，则，又∵，∴,
∵，∴△是等边三角形，∴,
在△中，，，，∴
,∴二面角的大小为
【例15】如图，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，AB=4,
BC=CD=2,
AA=2,
E、E、F分别是棱AD、AA、AB的中点。
(1)证明：直线EE//平面FCC；
(2)求二面角B-FC-C的余弦值。
【答案】（1）略（2）因为AB=4,
BC=CD=2,
、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角,
在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中,
△OPF∽△CC1F,∵∴,
在Rt△OPF
中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.
【巩固训练】
1．已知四面体中，两两互相垂直，且，是中点，异面直线与所成的角大小为，求的长．
【解析】过引的平行线，交的延长线于，连结，则是异面直线与所成的角。
∴。∵是的中点，∴是的中点，。
设，则，又，所以。
中，由余弦定理，，即的长为4．
2．如图所示，四棱锥的底面是半径为的圆的内接四边形，其中是圆的直径，，，垂直底面，，分是上的点，且，过点作的平行线交于．求与平面所成角的正弦值；
【答案】（1）在中，，,而PD垂直底面ABCD，
，中，,即为以为直角的直角三角形。设点到面的距离为,由有,即
3．如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F
(1)求点A到平面B1BCC1的距离；
(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等
【答案】(1)∵BB1⊥A1E，CC1⊥A1F，BB1∥CC1
∴BB1⊥平面A1EF
即面A1EF⊥面BB1C1C
在Rt△A1EB1中，
∵∠A1B1E=45°，A1B1=a
∴A1E=a,同理A1F=a,又EF=a，∴A1E=a
同理A1F=a,又EF=a
∴△EA1F为等腰直角三角形，∠EA1F=90°
过A1作A1N⊥EF，则N为EF中点，且A1N⊥平面BCC1B1
即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离
∴A1N=
又∵AA1∥面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为
∴a=2，∴所求距离为2
(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形
∵B1C1⊥D1D,B1C1⊥A1N
∴B1C1⊥平面ADD1A1
∴BC⊥平面ADD1A1
得平面ABC⊥平面ADD1A1，过A1作A1M⊥平面ABC，交AD于M，
若A1M=A1N，又∠A1AM=∠A1D1N，∠AMA1=∠A1ND1=90°
∴△AMA1≌△A1ND1,∴AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件
4．在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=a，求B-PC-D的大小。
【答案】如图 PA⊥平面BD BD⊥AC
BD⊥BC过BD作平面BDH⊥PC于HPC⊥DH、BH∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，因PB=a,BC=a,PC=a, PB·BC=S△PBC=PC·BH,
则BH==DH， 又BD=在△BHD中由余弦定理，得：cos∠BHD＝
又0＜∠BHD＜π
则∠BHD= ，二面角B-PC-D的大小是。
5．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.
（Ⅰ）证明：平面PBE⊥平面PAB;
（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小.
【答案】（Ⅰ）证略解:
（Ⅱ）延长AD、BE相交于点F，连结PF.
过点A作AH⊥PB于H，由（Ⅰ）知,平面PBE⊥平面PAB,所以AH⊥平面PBE.
在Rt△ABF中，因为∠BAF＝60°，所以，AF=2AB=2=AP.
在等腰Rt△PAF中，取PF的中点G，连接AG.
则AG⊥PF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PF⊥HG.所以∠AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.
在等腰Rt△PAF中，
在Rt△PAB中，
所以，在Rt△AHG中，
故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的大小是
【解析】本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。
四、三视图、几何体表面积与体积
【例16】如图所示，E，F分别是正方体的面ADD1A1，面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)
【解析】由正投影的定义，四边形BFD1E在面AA1D1D与面BB1C1C上的正投影是图③；其在面ABB1A1与面DCC1D1上的正投影是图②；其在面ABCD与面A1B1C1D1上的正投影也是②，故①④错误．
【例17】三棱锥O–ABC中，OA=OB=OC=2，且∠BOC=45，则三棱锥O–ABC体积的最大值是
．
【答案】【解析】当OA⊥平面BOC时，三棱锥体积最大．
【例18】在矩形中，为边的中点，，，
分别以、为圆心，为半径作圆弧、（在线段上）.由两圆弧、
及边所围成的平面图形绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积为
.
【答案】
【解析】形成的几何体体积可通过矩形ABCD绕AD旋转所形成的圆柱体积减去两个半球的体积计算．
【例19】在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为D，如图中阴影部分．记D绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为__________.
【答案】根据提示，一个半径为1，高为的圆柱平放，一个高为2，底面面积的长方体，这两个几何体与放在一起，根据祖暅原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为．
【例20】已知半径为的球面上有三点，已知与间的球面距离都是，间的球面距离为，过三点作球的截面，求球心到截面的距离．
【答案】
【解析】由已知条件可得，，此时所在的球的截面圆半径为，然后计算可得．
【巩固训练】
1．如图，已知三棱锥的底面是直角三角形，直角边长分别为3和4，过直角顶点的侧棱长为4，且垂直于底面，该三棱锥的主视图是 （
）
【答案】
2．在棱长为的正方体中,是的中点,
若都是上的点,
且，是上的点,
则四面体的体积是
【解析】
3．三角形中，，，，现将三角形绕旋转一周，所得简单组合体的体积为（
）
A．
B．
C．12
D．
【解析】利用割补法，将三角形延长CB到D，使三角形ADC成为直角三角形，D为直角顶点，所求的几何体体积为大圆锥体积减去小圆锥体积。【答案】C
4．在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积是________.
【解析】此四面体为正三棱锥，底面边长为4，侧棱长为，计算可得【答案】
5．球的半径为1,
三点都在球面上,两两互相垂直，若分别是大圆弧与中点，则点在该球面上的球面距离为
(
)
A．
B．
C．
D．
【解析】由已知条件可求得【答案】B
五、空间向量
【例21】如图，直三棱柱，底面△中，，，棱，、分别、是的中点.
(1)
求的长；
(2)
求的值；
(3)
求证：⊥.
【答案】以为原点建立空间直角坐标系.
[来
（1）依题意得B（0，1，0），M（1，0，1）．.
（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）.
.
（3）证明：依题意得C1（0，0，2），N.
．
【例22】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，垂直于底面，，分别为的中点．
（1）求证：；
（2）求与平面所成的角．
【答案】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系（图略），由得，，，,;
因为，所以．
（2）因为
，
所以，
又，故平面，即是平面的法向量．
设与平面所成的角为，又,设与夹角为，
则，
又，故，故与平面所成的角是．
【例23】如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且．
（1）求异面直线与的夹角；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求二面角的平面角的余弦值；
（4）求点到平面的距离．
【答案】（1）建立如图所示的空间直角坐标系：，，，，
，，设与的夹角为，则。
（2）设平面的一个法向量为，，，
不妨设，得
，设与的夹角为，则，所求线面角为。
（3）建立如图所示的空间直角坐标系，则，,，
，，
所以，，,．
因为,所以,同法可得．
故﹤﹥为的二面角∴﹤﹥＝
故所求二面角的平面角的余弦值为．
（4）设为平面的一个法向量，
则由得
故可取．
设与的夹角为，
则．
所以到平面的距离为．
【巩固训练】
1．如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PG⊥平面ABCD，垂足为G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝GC＝2，E是BC的中点．
(1)求异面直线GE与PC所成的角的余弦值；
(2)求点D到平面PBG的距离；
(3)若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，求的值．
【答案】(1)以G点为原点，为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，
故E(1，1，0)，＝(1，1，0)，
＝(0，2，4)。
，
∴GE与PC所成的余弦值为．
(2)平面PBG的单位法向量n＝(0，±1，0)
.
∵，
∴点D到平面PBG的距离为n
|＝.
(3)设F(0，y，z)，则。
∵，∴，
即，
∴
,
又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)，
∴z=1，
故F(0，，1)
，，
∴
2．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，
，．以的中点为球心、为直径的球面交于点．
（1）求证：平面⊥平面；
（2）求直线与平面所成的角；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证：依题设，在以为直径的球面上，
则．
因为平面，则，
又，所以⊥平面，则，
因此有⊥平面，所以平面⊥平面．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系，
则，，，
，，，
设平面的一个法向量，由可得：，
令，则，即．
设所求角为，
则，所求角的大小为．
（3）设所求距离为，由，,
得：
3．如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面射影恰好为，又
（1）求异面直线与所成角的余弦值
（2）求二面角的大小
（3）设点在棱上，且，问为何值时，平面．
【答案】（1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立直角坐标系．
,
所以两异面直线所成的角为,
（2）求的平面的一个法向量，平面的一个法向量为,
，二面角的大小为
（3）由条件可得，设，，得,
,由，此时平面．
【解析】
一、复数
1.处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．由于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，由它的实部与虚部唯一确定，故复数Z与点Z(a，b)相对应。
2．记住以下结论，可提高运算速度
(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)＝b－ai；
(5)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N).
3．对于实系数一元二次方程的问题，第一考虑方程的根的判别式，第二考虑韦达定理，第三考虑已知条件；对于已知条件中有两数和、两数积的条件，可以构造相应的方程，从而求解．
二、立体几何
1．求异面直线所成的角：
2求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足
3求二面角的平面角
4．关于组合体体积的计算问题。
有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。
构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。
因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。
5．割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。
6．
空间直角坐标系通常是按右手系建立．
7．当两直线的夹角及线面角，用向量法求夹角当余弦值为负值时，应取补角．
8．计算线面角时，如果平面的法向量与直线的方向向量夹角为锐角，所得的角应为线面角的余角．
9．求二面角时，注意看图，判断二面角与两向量的夹角相等或互补．
1、有下列4个命题：
①若是复数，且，则；
②若，则；
③若，则是实数；
④若分别对应点A、B（O为坐标原点）且，则，
上述命题中正确的是
．（写出所有正确命题的序号）
【答案】②③④
2、已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点，则在上面的结论中，正确结论的编号是
（写出所有正确结论的编号）
【答案】①②④
3、若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是
．
【答案】
4、满足+=2n的最小自然数为(
）
A．
1
B．2
C．3
D．4
【答案】C
5、有一种多面体的饰品，其表面由个正方形和个正三角形组成（如图），与所成角的大小是
．
【答案】
6、如图，△ABC是简易遮阳棚，A，B是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角应为（
）
A．75°
B．60°
C．50°
D．45°
【解析】过C作CH⊥AB于H，显然CD⊥CH时DH有最大值，∴面ABC与地面所成角为50°。
7．设二面角的大小为
，若平面
内一点到平面的距离为8
，则点在平面内的射影到平面的距离为
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
8、如图是正方体或四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点不共面的一个图是( )
【答案】D
9、如图,已知三棱锥的底面是直角△,直角边长分别为和,过直角顶点的侧棱长为,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是
(
)
【答案】B
10、已知复数，则的最大值是（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
11、如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变,
则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为
A．
B．
C．
D．
【解析】蛋巢的底面是边长为1的正方形，所以过四个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1.鸡蛋的表面积为若，所以球的半径为1，所以球心到截面的距离为.而截面到底面的距离即为三角形的高，所以球心到底面的距离为。【答案】D
12、在空间四边形ABCD中，AB=CD=8，M、N分别是对角线BD、AC的中点，异面直线AB、CD所成角大小是，求线段MN的长．
【答案】取棱AD的中点，连结MP、NP，
则MP，PN，
若，则，
若，则，
∴．
13、E，F分别是空间四边形ABCD的AC，BD的中点，过E，F且平行于AD的平面分别交AB，CD于G，H．求证：BC平面EGFH．
【答案】
同理，，
又因为EF分别为AC，BD中点，GF、EH分别为所在三角形中位线
，
可知G、H为AB、CD中点，可知
14、已知复数，满足条件，，是否存在非零实数，使得和同时成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】据题意，得，即，故，是方程的两个根．
（1）当△即且时，，，记，
则，，解得．
（2）当△，即时，、为一对共轭虚数，则，由，得，所以．
综上，当或时，和同时成立．
15、如图，四棱锥的底面是正方形，⊥平面，
（1）求证：；
（2）求二面角的大小.
【答案】连接BD，∵⊥平面
平面
∴AC⊥SD
又四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∴AC
⊥平面SBD
∴AC⊥SB.
（2）设的中点为，连接、，
∵SD=AD，CS=CA,
∴DE⊥SA，
CE⊥SA.
∴是二面角的平面角.
计算得：DE＝，CE＝，CD＝2，则CD⊥DE.
,
所以所求二面角的大小为
.
16、如图，长方体中，，，点为面的对角线上的动点（不包括端点）.平面交于点，于点.
（1）设，将长表示为的函数；
（2）当最小时，求异面直线与所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）在△中，，；
其中；
在△中，，
在△中，，
（2）当时，最小，此时．
因为在底面中，，所以，又，
为异面直线与所成角的平面角，
在△中，为直角，，所以，
异面直线与所成角的大小（或等）
期中复习
知识梳理
【注意】平面的特征：无限延展，无厚度.
【注意】搞清楚公理及其推论的基本应用：
公理1是判定直线在平面内的依据；
公理2是判定两个平面相交的依据，同时应注意其内容的完整性，即当两个平面有一个公共点时，首先可得到这两个平面相交，其次是这两个平面有且只有一条公共直线（即交线），还有就是这个公共点在公共直线上或称公共直线经过公共点；
公理3以及三个推论都是确定平面的依据，应注意由于三点共线时，经过他们可以作无数个平面，因此公理3中“三点不共线”的条件必不可少.
.
【注意】证明两条直线异面一般采用反证法.
【注意】空间直线与直线垂直，是不平行的两条直线的特殊位置情况，这时这两条直线所成的角等于，而它们可能是相交直线，也可能是异面直线.
【规定】
（1）一条直线垂直于平面，定义这直线与平面所成的角是直角；
（2）一条直线和平面平行，或在平面内，定义它和平面所成的角是的角.
【注意】
（1）直线与平面所成的角的大小与点在上的取法无关；
（2）直线和平面所成角的范围是；
（3）斜线和平面所成角的范围是.
【说明】
（1）二面角的平面角范围是；
（2）二面角平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直；
（3）二面角的求法：①
几何法；②
向量法.
【注意】空间平面的法向量的求解方法：
在给定的空间直角坐标系中，设平面的法向量[或，或]，在平面内任找两个不共线的向量.由，得且，由此得到关于的方程组，解此方程组即可得到.
【注意】：
空间二面角在用空间向量的方法求解时，选取法向量要适当，即使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角的平面角.
【注意】区分正棱锥中的角：
①
侧棱与底边所成的角
②
侧棱与底面所成的角
③
侧面与底面所成的角
④
相邻侧面所成的角
【补充】三棱锥顶点在底面上射影的位置
已知在三棱锥中，顶点在底面上的射影为（在△内部）
若，或与底面成等角，则是△的外心；
②
若三棱锥的三个侧面与底面成等角，或到底面三边等距离，则是△的内心；
③
若两两互相垂直，或有两组对棱互相垂直，则是垂心.
如左图，是一个用斜二测方法画的正方体的直观图，轴与轴方向上的长度等于正方体边长，轴方向上的长度等于边长一半
【注意】“斜二测”画图法有两条重要性质：
①
平行直线的直观图仍是平行直线；
②
线段及其线段上定比分点的直观图保持原比例不变.
【性质】根据圆柱的形成过程易知：
圆柱有无穷多条母线，且所有母线都与轴平行；
圆柱有两个相互平行的底面.
【性质】根据圆锥的形成过程易知：
圆锥有无穷多条母线，且所有母线相交于圆锥的顶点；
每条母线与轴的夹角都相等.
【补充】
球心到球面上任意点的距离都相等；
②
任意平面与球面的交线都是圆；当平面通过球心时，所得交线是大圆；当平面不通过球心时，所得交线是小圆.
【补充】求体积的常见方法有：①直接法（公式法）；②割补法；③转化法（等体积法）；割补思想和转化思想是解决体积问题的常用技巧.
其中，等体积法还经常用来求点到平面的距离或几何体的高.
（1）从前面向后面投射所得的视图称主视图—能反映物体的前面形状；
（2）从上面向下面投射所得的视图称俯视图—能反映物体的上面形状；
（3）从左面向右面投射所得的视图称左视图—能反映物体的左面形状.
三视图就是主视图、俯视图、左视图的总称.
1．圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是圆；
2．圆锥的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是圆和圆心；
3．球的三视图都是圆.；
·
【补充】在联结球面上两点的路径中，通过该两点的大圆劣弧最短，因此该弧的长度就是这两点的球面距离；所以，求两点之间的球面距离，首先要找到经过这两点的大圆，然后求大圆的劣弧长，而这往往需要求出两点之间的线段距离.
例题解析
B
A
D
C
P
N
Q
M
F
G
E
A
B
C
F
E1
A1
B1
C1
D1
D
F1
O
P
F
C
P
G
E
A
B
图5
D
A
B
C
E
D
P
P
A
G
B
C
D
F
E
反思总结
课后练习
3
4
4
4
4
3
4
5
E
B
C
D
A
F
GF\
H
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://www.21cnjy.com/"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)