复数问题的类型与解法学案（答案不全）

复数问题的类型与解法
大家知道，复数问题是近几年高考的热点问题之一，基本上每卷必有一个五分小题。从题型来看是，属于选择题或填空题，难度系数都比较低。纵观近几年高考试题，复数问题归结起来主要包括：①复数的概念问题；②复数的运算问题；③复数几何意义的问题；④给定一定的条件，求参数的值（或潜在范围）的问题等几种类型。各种类型结构上具有一定的特征，解答方法也各不相同。那么在解答复数问题时，如何抓住问题的特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、复数Z=（2+i）（1+i）的共轭复数为（ ）
A 3-3i B 3+3i C 1+3i D 1-3i
【解析】
【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用复数运算的法则和方法对圆锥复数进行运算，根据共轭复数的定义与性质就可作出选择。
【详细解答】Z=（2+i）（1+i）=2+2i+i+=1+3i，=1-3i，D正确，选D。
2、已知复数Z=2+i，则Z. =（ ）
A B C 3 D 5
【解析】
【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质。
【解题思路】运用共轭复数的性质，得到共轭复数，根据复数的运算法则和方法通过运算就可作出选择。
【详细解答】Z=2+i，=2-i， Z. =（2+i）（2-i）=4-=4+1=5，D正确，选D。,
3、设复数Z满足i（Z+1）=-3+2i(i是虚数单位),则Z的实部是 ；
【解析】
【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi, i（Z+1）= i（a+bi +1）=ai+b+i=-b+（a+1）i=-3+2i，
-b=-3，a+1=2，a=1，b=3， Z=1+3i, Z的实部是1。
4、（1）若复数Z=（其中a ∈R，i为虚数单位）的虚部为-1，则a= ；
（2）复数Z=（i为虚数单位）的虚部为 ；
【解析】
【知识点】①复数运算法则与方法；②复数虚部的定义与确定方法；③一元一次方程的定义与解法。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数虚部的定义得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式，根据分式虚部的定义就可得出结果。
【详细解答】（1） Z== = = + i的虚部为-1，=-1，
a=-2；（2） Z====1+i，复数Z的虚部为1。
5、（1）设有下列四个命题：：若复数Z满足∈R，则Z∈R；：若复数Z满足∈R，则Z∈R；：若复数，满足∈R，则=；：若复数Z∈R，则∈R。其中的真命题为（ ）
A ， B ， C ， D ，
（2）下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）
A i B （1-i） C D i(1+i)
【解析】
【知识点】①复数运算法则与方法；②共轭复数的定义与性质；③纯虚数的定义与性质；④命题真假判断的基本方法。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，结合命题真假判断的基本方法，分别对各命题的真假进行判断就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法对各选项通过运算，结合纯虚数的定义就可得出结果。
【详细解答】（1）对，设Z=a+bi, ====
-i∈R，=0，b=0，Z∈R，是真命题，可以排除C，D；对，
复数，满足∈R，复数，互为共轭复数，=正确，为真命题，A正确，选A。（2） i =i（1+2i+）=2=-2是实数，A错误；（1-i）=+i=-1+i不是纯虚数，B错误； =1+2i+=2i是纯虚数，C正确，选C。
6、设复数Z满足（1+i）Z=2i，则|Z|=（ ）
A B C D 2
【解析】
【知识点】①复数运算法则与方法；②复数模的定义与求法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算结果与条件的结果比较求出a，b的值，得到复数的代数表示式，根据复数模的运算方法通过运算就可作出选择。
【详细解答】设Z=a+bi, （1+i）Z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b=（a-b）+(1+b)i=2i，
a-b=0，1+b=2，a=b=1，Z=1+i，|Z|==，C正确，选C。
7、i是虚数单位，复数z满足（1+i）z=2，则z的实部为 ；
【解析】
【知识点】①复数的定义与代数表示法；②复数实部的定义与确定方法；③复数的运算法则和方法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数实部的定义得到该复数的实部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi, （1+i）z=（1+i）z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b=（a-b）+(1+b)i=2，
a-b=2，1+b=0，a=3，b=-1，Z=3-i，复数Z的实部为3。
8、若（1+i）+（2-3i）=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），则a，b的值分别等于（ ）
A 3， -2 B 3，2 C 3，-3 D -1，4
【解析】
【知识点】①复数运算的法则和方法；②两个复数相等的充分必要条件；③二元一次方程组的定义与解法。
【解题思路】运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到关于a，b的方程组，求解方程组就可得出结果。
【详细解答】（1+i）+（2-3i）=3-2i= a+bi，a=3，b=-2，A正确，选A。
9、若复数Z满足：（3-4i）Z=|4+3i|，则Z的虚部为（ ）
A -4 B - C 4 D
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数虚部的定义与确定方法；③复数模的定义与求法。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式，根据复数虚部的定义得到该复数的虚部就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi, （3-4i）Z=（3-4i）（a+bi）=3a+3bi-4ai-4b=（3a+4b）+(-4a+3b)i=
|4+3i|==5，3a+4b=5，-4a+3b=0，a=，b=，Z=+i，复数Z的虚部为，D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与复数的概念相关的问题，主要涉及复数的实部、虚部的定义，复数的分类，复数相等的充要条件，复数的模和共轭复数等问题，解决这类问题应该弄清如下问题：①复数实部与虚部的定义；②复数的分类；③复数相等的充要条件；④复数模的定义与计算方法；⑤共轭复数的定义与性质；
（2）处理有关复数概念的问题，首先要注意复数标准的代数表示形式，如果复数不是标准的代数形式，则应通过代数运算把复数化成标准的代数形式，再根据定义解题。
〔练习1〕解答下列问题：
1、若=（+m+1）+（+m-4）i（m∈R），=3-2i，则“m=1”是“=”的（ ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2、已知a∈R，复数=2+ai，=1-2i，若为纯虚数，则复数的虚部为（ ）
A 1 B i C D 0
3、如果复数是实数，则实数m等于（ ）
A -1 B 1 C - D
4、 设a、b∈R，且b≠0，若复数是实数，则（ ）
A =3 B =3 C =9 D =9
5、设是复数，=-i（其中表示的共轭复数），已知的实部是-1，则的虚部为 ；
6、复数的虚部为 ；
7、复数Z=a+bi，a、b∈R，且b≠0，若-4bZ是实数，则有序实数对（a，b）可以是
，（写出一个有序实数对即可）
8、若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）
A -2 B - C D 2
【典例2】解答下列问题：
1、若Z（1+i）=2i，则Z=（ ）
A -1-i B -1+i C 1-i D 1+i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数相等的充分必要条件；③复数代数表示式。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，通过运算把结果与条件的结果相比较，得到a，b的值，从而得出复数Z的代数表示式就可得出结果。
【详细解答】设Z=a+bi, （1+i）Z=（1+i）（a+bi）=a+bi+i+b=（a-b）+(1+b)i=2i，
a-b=0，1+b=2，a=b=1，Z=1+i，D正确，选D。
2、（1）=（ ）
A 1+2i B 1-2i C 2+i D 2-i
（2）（1+i）（2+i）=（ ）
A 1-i B 1+3i C 3+i D 3+3i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式。
【解题思路】（1）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法通过运算得到复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（1）===2-i，D正确，选D；（2）
（1+i）（2+i）=2+i+2i+=1+3i，B正确，选B。
3、设i为虚数单位，则复数等于（ ）
A 0 B 2 C 2i D 2+2i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式。
【解题思路】运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】=1+2i+=2i，C正确，选C。
4、设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|等于（ ）
A 1 B C D 2
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数标准代数表示式；③复数相等的充分必要条件；④复数模的定义与求法。
【解题思路】运用复数运算法则和方法通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出x，y的值，从而得到复数的代数表示式，根据分式模的计算方法通过计算就可得出选项。
【详细解答】（1+i）x=x+xi=1+yi，x=1，x=y，x=y=1，|x+yi|=|1+i|==，
B正确，选B。
5、若z=1+2i，则等于（ ）
A 1 B -1 C i D -i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②共轭复数的定义与性质；③复数代数表示式。
【解题思路】运用复数运算法则和方法，结合共轭复数的性质通过运算就可得出选项。
【详细解答】 z=1+2i，===i，C正确，选C。
6、+ = ；
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法。
【解题思路】运用复数运算法则和方法，通过运算就可得出选项。
【详细解答】+ =+
=+=-1+i，+ =-1+i。
7、若复数z满足2z+=3-2i，其中i为虚数单位，则z等于（ ）
A 1+2i B 1-2i C -1+2 i D -1 -2i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②共轭复数的定义与性质；③复数下底的充分必要条件；④复数的代数表示式。
【解题思路】设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法，结合共轭复数的性质通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出a，b的值就可得出选项。
【详细解答】设Z=a+bi, 2z+=2（a+bi）+ a-bi=3a+bi=3-2i，3a=3，b=-2，a=1，b=-2，Z=1-2i，B正确，选B。
8、若z=4+3i，则等于（ ）
A 1 B -1 C + i D - i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②共轭复数的定义与性质；③复数模的定义与求法。
【解题思路】运用复数运算法则和方法，结合共轭复数的性质和复数模的计算方法，通过运算就可得出选项。
【详细解答】 z=4+3i，== - i，D正确，选D。
9、（1）设复数Z满足=i，则|Z|=（ ）
A 1 B C D 2
（2）已知复数Z满足（Z-1）i=i+1，则Z=（ ）
A -2-i B -2+i C 2-i D 2+i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②共轭复数的定义与性质；③复数模的定义与求法。
【解题思路】（1）设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出a，b的值，得到复数的代数表示式，根据复数模的计算方法通过计算就可得出选项；（2）设Z=a+bi,运用复数运算法则和方法通过运算，把结果与条件的结果相比较，求出a，b的值，得到复数的代数表示式就可得出选项。
【详细解答】（1）设Z=a+bi, ===
==i，=0，
=1，a=0，b=1，或a=1，b=0，Z=i或Z=1，|Z|=1，A正确，选A；（2）设Z=a+bi, （Z-1）i=(a-1+bi)i=（a-1）i+b=-b+（a-1）i= i+1，a-1=1，-b=1，a=2，b=-1，Z=2-i，C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是与复数运算相关的问题，解答这类问题需要理解复数加法、减法的定义和几何意义，乘法、除法的定义，掌握复数加法、减法、乘法、除法的运算法则；
（2）复数乘法类似于多项式与多项式的乘法，除法采用的方法主要是分母实数化，即分子，分母同乘以分母的共轭复数，类似于分母有理化的方法；但要注意两点：①出现时必须用-1代替；②复数问题实数化是解决复数问题的基本思想；
（3）复数问题实数化是解决复数问题的基本思想，其依据是复数相等的充要条件和复数的模的运算与性质；运用复数的实数化还可以解决求复数方程的实数解，求负平面上动点的轨迹问题。
〔练习2〕按要求解答下列问题：
1、若复数满足=i，其中i为虚数单位，则Z=（ ）
A 1-i B 1+i C -1-i D -1+i
2、= ；
3、+ = ；
4、设复数Z满足=i，则Z=（ ）
A -2+i B -2-i C 2-i D 2+i
5、= ；
6、复数等于（ ）
A 4i B -4i C 2i D -2i
7、已知复数=1-i，. =1+i，则复数= ；
8、i是虚数单位，= ；
9、复数的值是（ ）
A 0 B 1 C -1 D i
【典例3】解答下列问题：
1、复数z= （i是虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法。
【解题思路】运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数的几何意义和在复平面的坐标的确定方法就可得出选项。
【详细解答】 z= = =1-2i， z=（1，-2），复数z在复平面内对应的点位于第四象限，D正确，选D。
2、（1）设复数Z满足|Z-i|=1,Z在复平面内对应的点为（x，y），则（ ）
A + =1 B + =1 C + =1 D + =1
（2）设Z=，则|Z|=（ ）
A 2 B C D 1
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法；④复数模的定义与求法。
【解题思路】（1）由题意设Z=x+yi，运用复数模的计算方法通过运算就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数Z的代数表示式，根据复数模的计算方法通过计算就可得出选项。
【详细解答】（1）由题意设Z=x+yi， |z-i|=|x+（y-1）i|= =1，=1，C正确，选C；（2） Z== =
= - i，|Z|==，C正确，选C。
3、（1）设Z=-3+2i，则在复平面内其对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
（2）设Z=i（2+i），则=（ ）
A 1+2i B -1+2i C 1-2i D -1-2i
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法。
【解题思路】（1）根据复数的几何意义，运用确定复数在复平面的坐标的方法就可得出选项；（2）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数Z的代数表示式，根据共轭复数的性质就可得出选项。
【详细解答】（1）Z=-3+2i，复数Z在复平面内对应的坐标为（-3，2），复数Z在复平面内对应的点位于第二象限，B正确，选B；（2）Z= i（2+i）=2i+=-1+2i，
=-1-2i，D正确，选D。
4、若复数=a+i（a ∈R），=1-i，且为纯虚数，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法；④纯虚数的定义与性质；⑤复数代数表示式。
【解题思路】运用复数运算法则和方法通过运算，结合纯虚数的性质，得到复数的代数表示式，根据复数的几何意义和在复平面的坐标的确定方法就可得出选项。
【详细解答】复数=a+i（a ∈R），=1-i，===
=为纯虚数，a-1=0，a=1，=1+i，在复平面内所对应的点位于第一象限，A正确，选A。
5、如图所示，平行四边形OABC，顶点O， y B
A，C分别表示0，3+2i，-2+4i，试求：
（1），所表示的复数； C A
（2）对角线所表示的复数；
（3）B点对应的复数。 O x
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面坐标的定义与确定方法；④向量坐标的定义与坐标运算的基本方法；⑤平行四边形的定义与性质。
【解题思路】（1）根据复数的几何意义，运用确定复数在复平面的坐标的方法得到点O，A，C的坐标，从而求出的坐标，结合平行四边形的性质得到的坐标就可得出结果；（2）运用向量坐标运算的基本方法，得到向量的坐标就可得出结果；（3）设B（x，y），表示出向量，，运用平行四边形的性质求出x，y的值，得到点B的坐标就可得出结果。
【详细解答】（1） O，A，C分别表示0，3+2i，-2+4i， O（0，0），A（3，2），C（-2，4），=（-3，-2），四边形OABC是平行四边形，==（-3，-2），，所表示的复数为Z=-3-2i；（2）=（5，-2），对角线所表示的复数为Z=5-2i；
（3）设B（x，y），=（-3，-2），=（-2-x，4-y），四边形OABC是平行四边形，
=-2-x=-3，4-y=-2，x=1，y=6， B（1，6）， B点对应的复数为Z=1+6i。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与复数的几何意义相关的问题，解答这类问题需要明确：①复数z= a+bi（a，b∈R）∈C与复平面的点是一一对应的，从而复数的几何问题可以转化为平面直角坐标系内点的坐标问题；②复数z= a+bi（a、b∈R）∈C与复平面内所有以原点为起点的向量组成的集合是一一对应的，所以复数的几何问题也可以转化为平面向量的问题；
（2）运用复数的几何意义解答问题，注意分清问题是与复平面内的点相关还是与复平面内的向量相关，再结合相应的图形，从图形上去寻找解答的方法。
〔练习3〕按要求解答下列问题：
1、设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2、复数Z= （i是虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
3、在复平面内，复数对应的点的坐标为 ；
4、若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示 y 2------|E
复数z，则表示复数的点是（ ） F|---------------1 ----|----------|Z A E B F C G D H | | |
5、在复平面内，复数Z=i(1+2i)对应的点位于（ ） -3 | -2 -1 0 1 |2 3 x
G |-------------------------|H
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
6、在复平面内，复数Z=sin2+icos2对应的点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
7、在复平面内，复数Z= 对应的点位于（ ）（2007全国高考陕西卷）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
【典例4】按要求解答下列问题：
1、（1）已知复数Z= ，a∈R，若Z为纯虚数，则a= ；
（2）已知复数Z= ，则|Z|= ；
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②纯虚数的定义与性质；③复数模的定义与求法。
【解题思路】（1）运用复数运算的法则和方法通过运算，结合纯虚数的性质就可求出a的值；（2）运用复数运算法则和方法通过运算，得到复数Z的代数表示式，根据复数模的求法通过计算就可得出结果。
【详细解答】（1） Z= ===为纯虚数，
a+1=0，a=-1；（2） Z= = =2-i，|Z|==。
2、若复数（1-i）（a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是（ ）
A （- ，1） B （- ，-1） C （1，+ ） D （-1，,+ ）
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数的几何意义；③复数在复平面对应点坐标的确定方法；④一元一次不等式组的定义与解法。
【解题思路】运用复数运算的法则和方法通过运算，得到复数的代数表示式，根据复数在复平面对应点坐标的确定方法确定复数的坐标，结合问题条件得到关于a的一元一次不等式组，求解一元一次不等式组就可得出结果。
【详细解答】Z=（1-i）（a+i）=a+i-ai-=（a+1）-(a-1)i，Z=（a+1，1- a），复数Z在复平面内对应的点在第二象限，a+1<0且1-a>0，a<-1，B正确，选B。
3、已知Z=（m+3）+（m-1）i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是（ ）
A （-3，1） B （-1，3） C （1，+ ） D （- ，-3）
【解析】
【知识点】①复数的几何意义；②复数在复平面对应点坐标的确定方法；③一元一次不等式组的定义与解法。
【解题思路】根据复数在复平面对应点坐标的确定方法确定复数的坐标，结合问题条件得到关于m的一元一次不等式组，求解一元一次不等式组就可得出结果。
【详细解答】Z=（m+3）+（m-1）i ，Z=（m+3，m- 1），复数Z在复平面内对应的点在第四象限，m+3>0且m-1<0，-34、若a为实数，且=3+i，则a=（ ）
A -4 B -3 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①复数运算法则和方法；②复数相等的充分必要条件。
【解题思路】运用复数运算的法则和方法通过运算，把结果与问题结果进行比较就可求出a的值。
【详细解答】====3+i，1+=3，且-1+=1，a=4，D正确，选D。
『思考问题4』
（1）【典例4】是已知复数满足某个条件，求其中的参数（实数）的值（或取值范围）的问题，解答这类问题需要通过复数的运算，再结合复数的概念、复数相等的条件得出结果；
（2）两个复数相等的充要条件条件是：①实部与实部相等；②虚部与虚部相等；
（3）一个复数是实数的条件是虚部等于零；一个复数是虚数的条件是虚部不等于零；一个复数是纯虚数的条件是实部等于零，虚部不等于零。
〔练习4〕按要求解答下列问题：
1、已知=2i，其中i是虚数单位，那么实数= ；
2、若复数（-3a+2）+(a-1)i是纯虚数，则实数a的值为（ ）
A 1 B 2 C 1或2 D - 1
3、设a是实数，且是实数，则a=（ ）
A B 1 C D 2
4、若a为实数，，则a等于（ ）
A B - C 2 D - 2
5、设a∈R，且i为正实数，则a=（ ）（2008全国高考I卷）
A 2 B 1 C 0 D -1
6、若复数（1+bi）(2+i)是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=（ ）
A -2 B - C D 2