2020中考数学几何专题突破
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模块一：圆中常见辅助线添加技巧
例1．（2019·安徽中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
【答案】
【解析】
【分析】
连接OA，OC，根据∠COA=2∠CBA=90°可求出AC=，然后在Rt△ACD中利用三角函数即可求得CD的长.
【详解】
解：连接OA，OC，
∵∠COA=2∠CBA=90°，
∴在Rt△AOC中，AC=，
∵CD⊥AB，
∴在Rt△ACD中，CD=AC·sin∠CAD=，
故答案为.
【点睛】
本题考查了圆周角定理以及锐角三角函数，根据题意作出常用辅助线是解题关键.
例2．（2019·辽宁中考真题）如图1，四边形内接于圆，是圆的直径，过点的切线与的延长线相交于点．且
（1）求证：；
（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求圆的半径．（垂径定理辅助线添加）
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC=90°，根据圆周角定理得到∠ADC=90°，得到∠DBC=∠DCB，得到DB=DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；
（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE=FC=3，根据射影定理计算即可．
【详解】
（1）证明：作于，连接，
∵是圆的切线，
∴，即，
∵是圆的直径，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴经过点，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵经过点，，
∴，
在和中，
，
∴≌
∴，
∵，，
∴，
则，
∴，
∴圆的半径为．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
【答案】B
【解析】
【分析】
连接FB，由邻补角定义可得∠FOB=140°，由圆周角定理求得∠FEB=70°，根据等腰三角形的性质分别求出∠OFB、∠EFB的度数，继而根据∠EFO＝∠EBF-∠OFB即可求得答案.
【详解】
连接FB，
则∠FOB=180°-∠AOF=180°-40°=140°，
∴∠FEB＝∠FOB=70°，
∵FO＝BO，
∴∠OFB＝∠OBF=(180°-∠FOB)÷2=20°，
∵EF＝EB，
∴∠EFB＝∠EBF=(180°-∠FEB)÷2=55°，
∴∠EFO＝∠EBF-∠OFB=55°-20°=35°，
故选B.
【点睛】
本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2．（2019·四川中考真题）如图，为⊙的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点,
（1）求证：
（2）若，，求⊙的半径；
【答案】（1）见解析；（2）⊙的半径为；
【解析】
【分析】
（1）连接，根据圆心角的性质即可求解；
（2）根据圆的性质求得，求出AC，再根据勾股定理进行求解；
【详解】
（1）连接，
，
.
,
.
，
，
.
（2）连接.
，
.
，
.
.
.
为⊙的直径，
.
在中，由勾股定理，得.
⊙的半径为.
【点睛】
此题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟知圆心角定理、切线的性质及相似三角形的判定与性质及勾股定理的应用.
3．（2019·宁夏中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
【答案】．
【解析】
【分析】
连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．
【详解】
解：解：连接OA，设半径为x，
将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，
，，
，
，
，
解得，．
故答案为．
【点睛】
本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．
4. （2018?安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
【答案】C
【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．
【解答】解：连接AC，AO，
∵⊙O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm，OD=OC=5cm，
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM===3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC===4cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5﹣3=2cm，
在Rt△AMC中，AC===2cm．
故选：C．
5. （2018?烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ．
【答案】（﹣1，﹣2）
【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点O的坐标即可．
【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：
在CB的垂直平分线上找到一点D，
CD═DB=DA=，
所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，
即D的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
6．（2019·安徽中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
【答案】6.64米
【解析】
【分析】
通过垂径定理求出AD，再通过三角函数解直角三角形，求出AO和OD的值，从而得到点C到弦AB所在直线的距离.
【详解】
解：如图：连接CO并延长，交AB于点D，
∵OD⊥AB，AB=6，
∴AD=AB=3，
在Rt△OAD中, ∠OAB=41.3°，cos∠OAD=，
∴AO=，
∵sin∠OAD=,
∴OD=AO·sin∠OAD=2.64，
∴CD=OC+OD=AO+OD=4+2.64=6.64米，
答：点C到弦AB所在直线的距离是6.64米.
【点睛】
本题为圆中计算的典型考题，考查了垂径定理和三角函数的应用，通过垂径定理求出AD的值是解题关键.
例1．（2019·江苏中考真题）如图，的半径为5，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
连接并延长交于，连接，根据圆周角定理得到，，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】
如图，连接并延长交于，连接，则，，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵的半径为5，，，，
∴，∴..
故答案为：．
【点睛】
本题考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练】
已知⊙O中，弦AB垂直弦CD于E．
（1）如图1，若AE=DE，求证：CE=BE；
（2）如图2，若∠AOD=140°，求∠BOC的度数；
（3）如图3，若点M为AC的中点，求证：ME⊥BD
（4）如图4，若ON⊥BD于N，求证：ON=
证明：（1）连接AD、BC，如图1，
∵AE=DE，
∴∠A=∠D，
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠C=∠B，
∴CE=CB；
（2）连接BC，如图2，
∵AB⊥CD，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠AOC=2∠ABC，∠BOD=2∠BCD，
∴∠AOC+∠BOD=2（∠ABC+∠BCD）=2×90°=180°，
∴∠AOD+∠BOC=360°-180°=180°，
∴∠BOC=180°-140°=40°；
（3）延长ME交BD于H，如图3，
∵AB⊥CD，
∴∠AEC=90°，
∵M点AC的中点，
∴AM=ME=MC，
∴∠A=∠MEA，
而∠MEA=∠BEH，
∴∠A=∠BEH，
∵∠C=∠B，∠A+∠C=90°，
∴∠BEH+∠B=90°，
∴EH⊥BD，
即ME⊥BD；
（4）作OP⊥AC于P，连接OA、OC、OB、OD，如图4，
∵OP⊥AC，ON⊥BD，
∴∠AOP=
∠AOC，AP=CP，∠DON=∠BOD，
由（2）得∠AOC+∠BOD=180°，
∴∠AOP+∠DON=
（∠AOC+∠BOD）=90°，
而∠AOP+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠DON，
在△OAP和△DON中，
∠OPA＝∠DNO ∠OAP＝∠DON OA＝DO
∴△OAP≌△DON（AAS），
∴AP=ON，
∴AP=PC=ON，
∴ON=AC．
例1．（2019·陕西中考真题）如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB=BE；
（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.
【答案】(1)见解析；(2) AD＝。
【解析】
【分析】
(1)由切线的性质可得∠BAE＋∠MAB＝90°，进而得∠AEB＋∠AMB＝90°，由等腰三角形的性质得∠MAB＝∠AMB，继而得到∠BAE＝∠AEB，根据等角对等边即可得结论；
(2)连接BC，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ABC＝90°，利用勾股定理可求得BC=8，证明△ABC∽△EAM，可得∠C＝∠AME，，可求得AM＝，再由圆周角定理以及等量代换可得∠D＝∠AMD，继而根据等角对等边即可求得AD＝AM＝.
【详解】
(1)∵AP是⊙O的切线，
∴∠EAM＝90°，
∴∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEB＋∠AMB＝90°，
又∵AB＝BM，
∴∠MAB＝∠AMB，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE；
(2)连接BC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°
在Rt△ABC中，AC＝10，AB＝6，
∴BC＝=8，
由(1)知，∠BAE＝∠AEB，
又∠ABC=∠EAM=90°，
∴△ABC∽△EAM，
∴∠C＝∠AME，，
即，
∴AM＝，
又∵∠D＝∠C，
∴∠D＝∠AMD，
∴AD＝AM＝.
【点睛】
本题考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理等知识，准确识图，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
例2．（2019·宁夏中考真题）如图在中，，以为直径作圆交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过点作圆的切线，交于点，若，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
【分析】
由等边对等角可知，，再由同位角相等，可证得平行；
连接BD，由得，由切线得，由，得，再利用三角函数可求得CD与BE的比值．
【详解】
（1）证明∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）如图，连接，
∵
∴
∵为圆的切线，
∴
∵
∴
∴
∵为圆的直径
∴，
∴
∴
∴
∴
∴
【点睛】
本题属于圆的综合题，考查了平行线的判定，切线的性质，三角函数等知识点，综合性较强，难度中等略大．
【变式训练】
1．（2019·湖北中考真题）如图，中，，平分交于点，是上一点，经过、两点的分别交、于点、，，，则劣弧的长为_______________
【答案】
【解析】
【分析】
连接DF，OD，根据圆周角定理得到∠ADF=90°，根据三角形的内角和得到∠AOD=120°，根据三角函数的定义得到CF==4，根据弧长个公式即可得到结论．
【详解】
连接DF，OD，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CDF=90°，
∵∠ADC=60°，∠A=90°，
∴∠ACD=30°，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴∠DCF=30°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=30°，
∴∠COD=120°，
在Rt△CAD中，CD=2AD=2，
在Rt△FCD中，CF===4，
∴⊙O的半径=2，
∴劣弧的长==π，
故答案为：π．
【点睛】
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，弧长的计算，作出辅助线构建直角三角形是本题的关键．
2. （2018?宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
【答案】（1）见解析；（2）8π
【分析】（1）根据对角线相互平分的四边形是平行四边形，证明是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）设CD=x，连接BD．利用勾股定理构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
∵AE=EF，
∴四边形ABFC是平行四边形，
∵AC=AB，
∴四边形ABFC是菱形．
（2）设CD=x．连接BD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∴AB2﹣AD2=CB2﹣CD2，
∴（7+x）2﹣72=42﹣x2，
解得x=1或﹣8（舍弃）
∴AC=8，BD==，
∴S菱形ABFC=8．
∴S半圆=?π?42=8π．
例1. （2018?福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
【答案】（1）见解析；（2）20°或40°
【分析】（1）根据等边对等角得：∠PCB=∠PBC，由四点共圆的性质得：∠BAD+∠BCD=180°，从而得：∠BFD=∠PCB=∠PBC，根据平行线的判定得：BC∥DF，可得∠ABC=90°，AC是⊙O的直径，从而得：∠ADC=∠AGB=90°，根据同位角相等可得结论；
（2）先证明四边形BCDH是平行四边形，得BC=DH，根据特殊的三角函数值得：∠ACB=60°，∠BAC=30°，所以DH=AC，分两种情况：
①当点O在DE的左侧时，如图2，作辅助线，构建直角三角形，由同弧所对的圆周角相等和互余的性质得：∠AMD=∠ABD，则∠ADM=∠BDE，并由DH=OD，可得结论；
②当点O在DE的右侧时，如图3，同理作辅助线，同理有∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，得结论．
【解答】（1）证明：如图1，∵PC=PB，
∴∠PCB=∠PBC，
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∵∠BCD+∠PCB=180°，
∴∠BAD=∠PCB，
∵∠BAD=∠BFD，
∴∠BFD=∠PCB=∠PBC，
∴BC∥DF，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，
∴∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，
∵BG⊥AD，
∴∠AGB=90°，
∴∠ADC=∠AGB，
∴BG∥CD；
（2）由（1）得：BC∥DF，BG∥CD，
∴四边形BCDH是平行四边形，
∴BC=DH，
在Rt△ABC中，∵AB=DH，
∴tan∠ACB==，
∴∠ACB=60°，∠BAC=30°，
∴∠ADB=60°，BC=AC，
∴DH=AC，
①当点O在DE的左侧时，如图2，作直径DM，连接AM、OH，则∠DAM=90°，
∴∠AMD+∠ADM=90°
∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
∴∠BDE+∠ABD=90°，
∵∠AMD=∠ABD，
∴∠ADM=∠BDE，
∵DH=AC，
∴DH=OD，
∴∠DOH=∠OHD=80°，
∴∠ODH=20°
∵∠AOB=60°，
∴∠ADM+∠BDE=40°，
∴∠BDE=∠ADM=20°，
②当点O在DE的右侧时，如图3，作直径DN，连接BN，
由①得：∠ADE=∠BDN=20°，∠ODH=20°，
∴∠BDE=∠BDN+∠ODH=40°，
综上所述，∠BDE的度数为20°或40°．
例1．（2019·福建中考真题）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆周角定理构造它所对的弧所对的圆心角，即连接OA，OB，求得∠AOB＝110°，再根据切线的性质以及四边形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：连接OA，OB，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA⊥OA，PB⊥OB，
∵∠ACB＝55°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠APB＝360°?90°?90°?110°＝70°．
故选：B．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和定理，切线的性质，圆周角定理的应用，关键是求出∠AOB的度数．
例2．（2019·浙江中考真题）如图，在中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切与点B，与OC相交于点D．
（1）求的度数．
（2）如图，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若，求的度数．
【答案】（1）45?；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接OB，证明△AOB是等腰直角三角形，再求得，由此即可求得的度数；（2）连结OE，过点O作于点H,设，由垂径定理可得，再由平行四边形的性质可得．由是等腰直角三角形，可求得⊙O的半径．在中，由勾股定理求得．在中，由，即可得．
【详解】
（1）连结OB，
∵BC是⊙O的切线，
．
∵四边形OABC是平行四边形，
．
∴是等腰直角三角形．
，
，
的度数为45?．
（2）连结OE，过点O作于点H,设，
，
．
∵四边形OABC是平行四边形，
．
∵是等腰直角三角形，
∴⊙O的半径．
在中，．
在中，．
【点睛】
本题考查了切线和平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件证得△AOB是等腰直角三角形是解决问题的关键．
【变式训练】
1．（2019·黑龙江中考真题）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
【答案】D
【解析】
【分析】
连接.，由切线的性质可知，由四边形内角和可求出的度数，根据圆周角定理（一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半）可知的度数.
【详解】
解：连接.，
∵.分别与相切于.两点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了圆的切线性质及圆周角定理，灵活应用切线性质及圆周角定理是解题的关键.
2．（2019·天津中考真题）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和等于360°计算；
（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．
【详解】
解：（Ⅰ）如图，连接．
∵是的切线，
∴，．
即．
∵，
∴在四边形中，．
∵在中，，
∴．
（Ⅱ）如图，连接．
∵为的直径，
∴．
由（Ⅰ）知，，
∴．
∴．
∵在中，，
∴．
又是的一个外角，有，
∴．
【点睛】
本题考查的是切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键
3．（2019·甘肃中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；
（2）首先证明AC=2DE=10，在Rt△ADC中，DC=6，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+62，在Rt△ABC中，BC2=（x+8）2-102，可得x2+62=（x+8）2-102，解方程即可解决问题．
【详解】
（1）证明：连接，
是切线，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：连接．
，
，
是⊙的直径，，
是⊙的切线，
，
，
，
，
在中，，
设，在中，，在中，，
，
解得，
【点睛】
本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
4. （2018?重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
【答案】A
【分析】直接利用切线的性质得出∠PDO=90°，再利用相似三角形的判定与性质分析得出答案．
【解答】解：连接DO，
∵PD与⊙O相切于点D，
∴∠PDO=90°，
∵∠C=90°，
∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴===，
设PA=x，则=，
解得：x=4，
故PA=4．
故选：A．
例1．（2019·江西中考真题）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，根据切线的性质得到，推出四边形是平行四边形，得到，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，于是得到结论；
【详解】
（1）证明：连接，
为半圆的切线，为半圆的直径，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
是半圆的切线；
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
例2．（2019·青海中考真题）如图，在中，点分别是半径、弦的中点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）见解析；（2）的半径长为．
【解析】
【分析】
连接，如图，利用的中位线得到．则可判断，即可证得结论；
连接，如图，利用垂径定理得到，再在中利用正弦定义计算出，接着证明．从而在中有，设，则，利用勾股定理可计算出，从而得到，然后解方程求出即可得到的半径长．
【详解】
连接，如图，
点分别是半径、弦的中点，
，即，
，
，
是的切线；
连接，如图，
，
，
，
在中，，
，
，
．
在中，，
设，则，
，
即，解得，
，
即的半径长为．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用以及解直角三角形，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019·湖北中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：是的切线；
【答案】（1）见解析
【解析】
【分析】
（1）连接OC，可证得∠CAD=∠BCD，由∠CAD+∠ABC=90°，可得出∠OCD=90°，即结论得证；
【详解】
（1）连，
∵，
∴，
又，，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
，
∴，且过半径的外端点，
∴是的切线；
【点睛】
本题考查切线的判定、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线．
2．（2019·辽宁中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
【答案】（1）见解析；
【解析】
【分析】
（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
【详解】
（1）证明：连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线；
3．（2019·广东中考真题）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理以及可得，即可得ED=EC；
(2)连接，可得，继而根据以及三角形外角的性质可以推导得出，可得，从而可得，问题得证；
【详解】
(1)∵，∴，
又∵，，
∴，
∴；
(2)连接，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴为的切线；
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的内心等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
4．（2019·湖南中考真题）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
【答案】(1)证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）连接OD，由角平分线的定义得到∠CAD=∠BAD，根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO，求得∠CAD=∠ADO，根据平行线的性质得到CD⊥OD，于是得到结论；
【详解】
解：证明：(1)连接OD，
∵AD平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴直线CD是⊙O的切线；
【点睛】
本题考查了角平分线的定义．圆周角定理，切线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
例1．（2019·湖南中考真题）如图，边长为的等边的内切圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH= AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．
【详解】
设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，
∵为等边三角形，
∴CH平分，AO平分，∵为等边三角形，
∴，，
∴，，
在中，∵，
∴，
即内切圆的半径为1．
故选A．
【点睛】
本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．
【变式训练】
1．（2019·广东中考真题）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）如图2，若点是的内心，，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BG=5.
【解析】
【分析】
(1)根据等腰三角形的性质可得，再根据圆周角定理以及可得，即可得ED=EC；
(2)连接，可得，继而根据以及三角形外角的性质可以推导得出，可得，从而可得，问题得证；
(3)证明，可得，从而求得，连接，结合三角形内心可推导得出，继而根据等腰三角形的判定可得.
【详解】
(1)∵，∴，
又∵，，
∴，
∴；
(2)连接，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，
∴为的切线；
(3)∵，，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
连接，∴，
，
∵点为内心，∴，
又∵，
∴，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，三角形的内心等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2. （2018?安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）先判断出∠CAO=∠BAO，进而判断出OD=OE，即可得出结论；
（2）先求出OB，再用勾股定理求出OA，最后用三角形的面积即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，作OE⊥AB于E，连接OD，OA，
∵AB=AC，点O是BC的中点，
∴∠CAO=∠BAO，
∵AC与半圆O相切于D，
∴OD⊥AC，
∵OE⊥AB，
∴OD=OE，
∵AB径半圆O的半径的外端点，
∴AB是半圆O所在圆的切线；
（2）∵AB=AC，O是BC的中点，
∴AO⊥BC，
在Rt△AOB中，OB=AB?cos∠ABC=12×=8，
根据勾股定理得，OA==4，
由三角形的面积得，S△AOB=AB?OE=OB?OA，
∴OE==，
即：半圆O所在圆的半径为．
例1. （2018?泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】连接OA、OB，由切线的性质知∠OBM=90°，从而得∠ABO=∠BAO=50°，由内角和定理知∠AOB=80°，根据圆周角定理可得答案．
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵BM是⊙O的切线，
∴∠OBM=90°，
∵∠MBA=140°，
∴∠ABO=50°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=50°，
∴∠AOB=80°，
∴∠ACB=∠AOB=40°，
故选：A．
例1．（2019·吉林中考真题）如图，在扇形中，，分别是半径上的点，以为邻边的的顶点在上，若,则阴影部分图形的面积是________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】
连接OC，根据同样只统计得到?ODCE是矩形，由矩形的性质得到∠ODC=90°．根据勾股定理得到OC=10，根据扇形的面积公式和矩形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：连接OC，
∵∠AOB=90°，四边形ODCE是平行四边形，
∴?ODCE是矩形，
∴∠ODC=90°．
∵OD=8，OE=6，
∴OC==10，
∴阴影部分图形的面积= -8×6=25π-48．
故答案为：25π-48．
【点睛】
本题考查了扇形的面积的计算，矩形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
例2．（2019·福建中考真题）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)
【答案】－1
【解析】
【分析】
延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：延长DC，CB交⊙O于M，N，
则图中阴影部分的面积＝×（S圆O?S正方形ABCD）＝×（4π?4）＝π?1，
故答案为：π?1．
【点睛】
本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019·河南中考真题）如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决．
【详解】
解：作于点F，
在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．，
，，，
，
，，，，
，
阴影部分的面积是：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
2．（2019·湖北中考真题）已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点
（1）如图1，求证：
（2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
【详解】
(1)如图1，过点作，为垂足，
∵，，是的切线，
∴，，，，四边形是矩形，
在中，，
∴，
∴；
(2)如图2，连接OD、OC，
∵，，是的切线，
∴DO平分∠ADE，CO平分∠BCE，AD=DE，BC=CE，，，，
∴∠AOD=∠DOE，∠BOE=2∠COE，∠BAD=∠OED=∠OEC=∠ABC=90°，
∴∠ADE+∠AOE=360°-90°-90°=180°，
∵∠AOE+∠BOE=180°，
∴∠ADE=∠BOE，
∵，，
∴，
∴CO=CF，即等腰三角形，
∵，∴垂直平分，
∴DO=DF，
∴∠DOE=∠OFD，
∵∠AOD+∠DOE+∠OFD=90°，
∴，
∴，
∴，，
∴.
【点睛】
本题考查了切线长定理，矩形的判定与性质，勾股定理，角平分线的判定，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，综合性较强，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
3．（2019·辽宁中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，过作于，由直角三角形的性质及角平分线的性质得到，再根据直角的定义即可证明∠CAO=90°，即可证明；
（2）由及圆的性质可得是等边三角形，再利用割补法即可求出阴影部分的面积.
【详解】
（1）证明：连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．
【点睛】此题主要考查圆的切线与扇形面积的求解，解题的关键是熟知圆的性质及判定定理.
4．（2019·青海中考真题）如图在正方形中，点是以为直径的半圆与对角线的交点，若圆的半径等于，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】1.
【解析】
【分析】
直接利用正方形的性质结合转化思想得出阴影部分面积 ，进而得出答案．
【详解】
如图所示：连接，
可得，，，
且阴影部分面积
故答案为
【点睛】
本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形．
5．（2019·山西中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC =60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.
【详解】
连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为 H，
则有AD=2AH，∠AHO=90°，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，
∴∠A=30°，
∴OH=OA=，AH=AO?cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，
∴AD=2AH=，
∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，
故选A.
【点睛】
本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
1. 题目条件遇到弦时（辅助线添加技巧）
①作垂直于弦的半径（或直径）
②连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，
③连接圆周上一点和弦的两个端点
核心知识：
① 利用垂径定理? ? ? ? ?
② 利用圆心角，圆周角及其所对的弧、弦和弦心距之间的系? ? ? ? ?
③ 利用弦的一半、弦心距和半径构建直角三角形，根据勾股定理或三角函数求有关量
④构建等腰三角形，利用三线合一的性质。
2.题目条件遇两弦垂直（辅助线添加技巧）
连接弦一端点和圆心，反向延长直径，并且构造直径所对的圆周角为90度的直角三角形
3.遇到有直径（半径）时（辅助线添加技巧）
①常常（画）直径所对的圆周角，构建直角三角形
②延长半径，变直径（同上）
核心知识：
①半圆或直径所对的圆周角是90度
4. 遇到90度的圆周角时（辅助线添加技巧）
常常连接90度圆周角的（除角顶点外）两端点，得到直径
核心知识：
90°的圆周角所对的弦是直径
5. 遇到有切线时（辅助线添加技巧）
①常常连接圆心和切点??
②常常连接圆上一点和切点
核心知识
①根据切线的性质定理，可得直角或直角三角形
②可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6. 遇到证明圆的切线时（辅助线添加技巧）
① 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
②若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） ?
核心知识：
切线判定定理:经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注意:切线判定定理中的两个条件“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”,二者缺一不可.
7. 遇到三角形的内切圆时（辅助线添加技巧）
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段 ? ?
核心知识：
利用内心的性质，可得
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线
② 内心到三角形三条边的距离相等? ?
8. 遇到三角形的外接圆时（辅助线添加技巧）
连结外心和各顶点?? ??
核心知识：
外心到三角形各顶点的距离相等
9. 遇到求圆中不规则几何图形面积（辅助线添加技巧）
连接圆心与圆上一点，构建扇形
核心知识：
①通过等积进行替换，把不规则图形变成规则图形的面积进行计算。
②通过面积间接计算，把不规则面积通过拼图
2020中考数学几何专题突破
?
模块一：圆中常见辅助线添加技巧
例1．（2019·安徽中考真题）如图，△ABC内接于☉O，∠CAB=30°，∠CBA=45°，CD⊥AB于点D，若☉O的半径为2，则CD的长为_____
例2．（2019·辽宁中考真题）如图1，四边形内接于圆，是圆的直径，过点的切线与的延长线相交于点．且
（1）求证：；
（2）过图1中的点作，垂足为（如图2），当，时，求圆的半径．（垂径定理辅助线添加）
【变式训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF=EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF=40°，则∠F的度数是（ ）
A．20° B．35° C．40° D．55°
2．（2019·四川中考真题）如图，为⊙的直径，，为圆上的两点，，弦，相交于点,
（1）求证：
（2）若，，求⊙的半径；
3．（2019·宁夏中考真题）如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．
4. （2018?安顺）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB=8cm，则AC的长为（ ）
A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4cm
5. （2018?烟台）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为 ．
6．（2019·安徽中考真题）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图1，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理.如图2，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆.已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB长为6米，∠OAB=41.3°，若点C为运行轨道的最高点（C，O的连线垂直于AB），求点C到弦AB所在直线的距离.（参考数据：sin41.3°≈0.66，cos41.3°≈0.75，tan41.3°≈0.88）
例1．（2019·江苏中考真题）如图，的半径为5，点在上，点在内，且，过点作的垂线交于点、．设，，则与的函数表达式为_____．
【变式训练】
已知⊙O中，弦AB垂直弦CD于E．
（1）如图1，若AE=DE，求证：CE=BE；
（2）如图2，若∠AOD=140°，求∠BOC的度数；
（3）如图3，若点M为AC的中点，求证：ME⊥BD
（4）如图4，若ON⊥BD于N，求证：ON=
例1．（2019·陕西中考真题）如图，AC是⊙O的一条弦，AP是⊙O的切线。作BM=AB并与AP交于点M，延长MB交AC于点E，交⊙O于点D，连接AD．
（1）求证：AB=BE；
（2）若⊙O的半径R=5，AB=6，求AD的长.
例2．（2019·宁夏中考真题）如图在中，，以为直径作圆交于点，连接．
（1）求证：；
（2）过点作圆的切线，交于点，若，求的值．
【变式训练】
1．（2019·湖北中考真题）如图，中，，平分交于点，是上一点，经过、两点的分别交、于点、，，，则劣弧的长为_______________
2. （2018?宜昌）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．
（1）求证：四边形ABFC是菱形；
（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积．
例1. （2018?福建）如图，D是△ABC外接圆上的动点，且B，D位于AC的两侧，DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交此圆于点F．BG⊥AD，垂足为G，BG交DE于点H，DC，FB的延长线交于点P，且PC=PB．
（1）求证：BG∥CD；
（2）设△ABC外接圆的圆心为O，若AB=DH，∠OHD=80°，求∠BDE的大小．
例1．（2019·福建中考真题）如图，PA、PB是⊙O切线，A、B为切点，点C在⊙O上,且∠ACB＝55°，则∠APB等于( )
A．55° B．70° C．110° D．125°
例2．（2019·浙江中考真题）如图，在中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切与点B，与OC相交于点D．
（1）求的度数．
（2）如图，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若，求的度数．
【变式训练】
1．（2019·黑龙江中考真题）如图，.分别与相切于.两点，点为上一点，连接.，若，则的度数为（ ）.
A．； B．； C．； D．.
2．（2019·天津中考真题）已知，分别与相切于点，，，为上一点．
（Ⅰ）如图①，求的大小；
（Ⅱ）如图②，为的直径，与相交于点，若，求的大小．
3．（2019·甘肃中考真题）如图，在中，，以为直径的⊙交于点，切线交于点．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
4. （2018?重庆）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC=6，则PA的长为（ ）
A．4 B．2 C．3 D．2.5
例1．（2019·江西中考真题）如图1，为半圆的直径，点为圆心，为半圆的切线，过半圆上的点作交于点，连接．
（1）连接，若，求证：是半圆的切线；
例2．（2019·青海中考真题）如图，在中，点分别是半径、弦的中点，过点作于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径．
【变式训练】
1．（2019·湖北中考真题）如图，是的直径，点在的延长线上，、是上的两点，，，延长交的延长线于点
（1）求证：是的切线；
2．（2019·辽宁中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
3．（2019·广东中考真题）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
4．（2019·湖南中考真题）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，AD平分，，过点B作⊙O的切线交AD的延长线于点E．
(1)求证：直线CD是⊙O的切线．
例1．（2019·湖南中考真题）如图，边长为的等边的内切圆的半径为( )
A．1 B． C．2 D．
【变式训练】
1．（2019·广东中考真题）如图1，在中，，是的外接圆，过点作交于点，连接交于点，延长至点，使，连接.
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）如图2，若点是的内心，，求的长.
2. （2018?安顺）如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，AC与半圆O相切于点D．
（1）求证：AB是半圆O所在圆的切线；
（2）若cos∠ABC=，AB=12，求半圆O所在圆的半径．
例1. （2018?泰安）如图，BM与⊙O相切于点B，若∠MBA=140°，则∠ACB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
例1．（2019·吉林中考真题）如图，在扇形中，，分别是半径上的点，以为邻边的的顶点在上，若,则阴影部分图形的面积是________（结果保留）．
例2．（2019·福建中考真题）如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)
【变式训练】
1．（2019·河南中考真题）如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．
2．（2019·湖北中考真题）已知是的直径，和是的两条切线，与相切于点，分别交、于、两点
（1）如图1，求证：
（2）如图2，连接并延长交于点，连接．若，，求图中阴影部分的面积
3．（2019·辽宁中考真题）如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
（1）求证：是⊙的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
4．（2019·青海中考真题）如图在正方形中，点是以为直径的半圆与对角线的交点，若圆的半径等于，则图中阴影部分的面积为_____．
5．（2019·山西中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为( )
A． B． C． D．
1. 题目条件遇到弦时（辅助线添加技巧）
①作垂直于弦的半径（或直径）
②连接圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，
③连接圆周上一点和弦的两个端点
核心知识：
① 利用垂径定理? ? ? ? ?
② 利用圆心角，圆周角及其所对的弧、弦和弦心距之间的系? ? ? ? ?
③ 利用弦的一半、弦心距和半径构建直角三角形，根据勾股定理或三角函数求有关量
④构建等腰三角形，利用三线合一的性质。
2.题目条件遇两弦垂直（辅助线添加技巧）
连接弦一端点和圆心，反向延长直径，并且构造直径所对的圆周角为90度的直角三角形
3.遇到有直径（半径）时（辅助线添加技巧）
①常常（画）直径所对的圆周角，构建直角三角形
②延长半径，变直径（同上）
核心知识：
①半圆或直径所对的圆周角是90度
4. 遇到90度的圆周角时（辅助线添加技巧）
常常连接90度圆周角的（除角顶点外）两端点，得到直径
核心知识：
90°的圆周角所对的弦是直径
5. 遇到有切线时（辅助线添加技巧）
①常常连接圆心和切点??
②常常连接圆上一点和切点
核心知识
①根据切线的性质定理，可得直角或直角三角形
②可构成弦切角，从而利用弦切角定理。
6. 遇到证明圆的切线时（辅助线添加技巧）
① 若直线和圆的公共点还未确定，则常过圆心作直线的垂线段。
②若直线过圆上的某一点，则连结这点和圆心（即作半径） ?
核心知识：
切线判定定理:经过半径的外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
注意:切线判定定理中的两个条件“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”,二者缺一不可.
7. 遇到三角形的内切圆时（辅助线添加技巧）
连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段 ? ?
核心知识：
利用内心的性质，可得
① 内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线
② 内心到三角形三条边的距离相等? ?
8. 遇到三角形的外接圆时（辅助线添加技巧）
连结外心和各顶点?? ??
核心知识：
外心到三角形各顶点的距离相等
9. 遇到求圆中不规则几何图形面积（辅助线添加技巧）
连接圆心与圆上一点，构建扇形
核心知识：
①通过等积进行替换，把不规则图形变成规则图形的面积进行计算。
②通过面积间接计算，把不规则面积通过拼图
