2020中考数学几何专题突破
模块二：三角形中常见辅助线添加技巧
例1. （2019·吉林中考真题）性质探究
如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为________．
理解运用
⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为，则它的面积为________；
⑵如图②，在四边形中，．
①求证：；
②在边上分别取中点，连接．若，,直接写出线段的长．
类比拓展
顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含的式子表示）．
【答案】性质探究：；理解运用：（1）；（2）①见解析；②；类比拓展：.
【解析】
【分析】
性质探究：作CD⊥AB于D，则∠ADC=∠BDC=90°，由等腰三角形的性质得出AD=BD，∠A=∠B=30°，由直角三角形的性质得出AC=2CD，AD=CD，得出AB=2AD=2CD，即可得出结果；
理解运用：（1）同上得出则AC=2CD，AD=CD，由等腰三角形的周长得出4CD+2CD=8+4，解得：CD=2，得出AB=4，由三角形面积公式即可得出结果；
（2）①由等腰三角形的性质得出∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，得出∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH即可；
②连接FH，作EP⊥FH于P，由等腰三角形的性质得出PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，由四边形内角和定理求出∠FEH=120°，由等腰三角形的性质得出∠EFH=30°，由直角三角形的性质得出PE=EF=5，PF=PE=5，得出FH=2PF=10，证明MN是△FGH的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果；
类比拓展：作AD⊥BC于D，由等腰三角形的性质得出BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，由三角函数得出BD=AB×sinα，得出BC=2BD=2AB×sinα，即可得出结果．
【详解】
性质探究
解：作CD⊥AB于D，如图①所示：
则∠ADC=∠BDC=90°，
∵AC=BC，∠ACB=120°，
∴AD=BD，∠A=∠B=30°，
∴AC=2CD，AD=CD，
∴AB=2AD=2CD，
∴=；
故答案为：；
理解运用
（1）解：如图①所示：
同上得：AC=2CD，AD=CD，
∵AC+BC+AB=8+4，
∴4CD+2CD=8+4，
解得：CD=2，
∴AB=4，
∴△ABC的面积=AB×CD=×4×2=4；
故答案为：4
（2）①证明：∵EF=EG=EH，
∴∠EFG=∠EGF，∠EGH=∠EHG，
∴∠EFG+∠EHG=∠EGF+∠EGH=∠FGH；
②解：连接FH，作EP⊥FH于P，如图②所示：
则PF=PH，由①得：∠EFG+∠EHG=∠FGH=120°，
∴∠FEH=360°-120°-120°=120°，
∵EF=EH，
∴∠EFH=30°，
∴PE=EF=5，
∴PF=PE=5，
∴FH=2PF=10，
∵点M、N分别是FG、GH的中点，
∴MN是△FGH的中位线，
∴MN=FH=5；
类比拓展
解：如图③所示：作AD⊥BC于D，
∵AB=AC，
∴BD=CD，∠BAD=∠BAC=α，
∵sinα=，
∴BD=AB×sinα，
∴BC=2BD=2AB×sinα，
∴=2sinα；
故答案为：2sinα．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形中位线定理、四边形内角和定理、就直角三角形等知识；本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的性质和含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）
A．2+ B． C． D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
如图，过点D作DF⊥AC于F，由角平分线的性质可得DF=DE=1，在Rt△BED中，根据30度角所对直角边等于斜边一半可得BD长，在Rt△CDF中，由∠C=45°，可知△CDF为等腰直角三角形，利用勾股定理可求得CD的长，继而由BC=BD+CD即可求得答案.
【详解】
如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴DF=DE=1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
∴BD=2DE=2，
在Rt△CDF中，∠C=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，
∴CF=DF=1，
∴CD==，
∴BC=BD+CD=，
故选A.
【点睛】
本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
2. （2018?德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 ．
【答案】 3
【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．
【解答】解：过C作CF⊥AO，
∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，
∴CM=CF，
∵OC=5，OM=4，
∴CM=3，
∴CF=3，
故答案为：3．
3. （2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
【答案】 2
【分析】作EH⊥OA于H，根据角平分线的性质求出EH，根据直角三角形的性质求出EF，根据等腰三角形的性质解答．
【解答】解：作EH⊥OA于H，
∵∠AOE=∠BOE=15°，EC⊥OB，EH⊥OA，
∴EH=EC=1，∠AOB=30°，
∵EF∥OB，
∴∠EFH=∠AOB=30°，∠FEO=∠BOE，
∴EF=2EH=2，∠FEO=∠FOE，
∴OF=EF=2，
故答案为：2．
例1．（2019·山东中考真题）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据垂直的定义得到，得到长到使，由线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，于是得到结论．
【详解】
∵，
∴，
∵，
∴，
延长到使，
∵为的中点，
∴，
在与中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴的面积，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
【变式训练】
1．（2019·湖北黄石中考真题）如图，在中，，于点，和的角平分线相较于点，为边的中点，，则（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据直角三角形的斜边上的中线的性质，即可得到△CDF是等边三角形，进而得到∠ACD=60°，根据∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，即可得出∠CED=115°，即可得到∠ACD+∠CED=60°+115°=175°．
【详解】
如图：
∵CD⊥AB，F为边AC的中点，
∴DF=AC=CF，
又∵CD=CF，
∴CD=DF=CF，
∴△CDF是等边三角形，
∴∠ACD=60°，
∵∠B=50°，
∴∠BCD+∠BDC=130°，
∵∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，
∴∠DCE+∠CDE=65°，
∴∠CED=115°，
∴∠ACD+∠CED=60°+115°=175°，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了直角三角形的斜边上的中线的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
2．（2019·甘肃中考真题）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；
（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB=FB．
【详解】
证明：（1）四边形是正方形，
，
又，
，
，
（2）如图所示，延长交的延长线于，
是的中点，
，
又，
，
，
即是的中点，
又，
中，．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形
（2018?徐州）边长为a的正三角形的面积等于 ．
【答案】 a2
【分析】根据正三角形的性质求解．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AD⊥BC
∴BD=CD=a，
∴AD==a，
面积则是： a?a=a2．
【变式训练】
1．（2019·山西中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.
【答案】
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得 AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.
【详解】
过点A作AH⊥DE，垂足为H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，
∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF=，
∴CF=AC-AF=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.
2．（2019·江苏中考真题）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号)
【答案】
【解析】
【分析】
过顶点A作AB⊥大直角三角形底边，先求出CD，然后得到小等腰直角三角形的底和高，再利用大直角三角形的面积减去小直角三角形面积即可
【详解】
如图：过顶点A作AB⊥大直角三角形底边
由题意：
∴
=cm
∴小等腰直角三角形的直角边为cm
∴大等腰直角三角形面积为10×10÷2=50cm2
小等腰直角三角形面积为=36-16cm2
∴
【点睛】
本题主要考查阴影部分面积的计算，涉及到直角三角形的基本性质，本题关键在于做出正确的辅助线进行计算
3.（2018?天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
【答案】
【分析】直接利用三角形中位线定理进而得出DE=2，且DE∥AC，再利用勾股定理以及直角三角形的性质得出EG以及DG的长．
【解答】解：连接DE，
∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=2，且DE∥AC，BD=BE=EC=2，
∵EF⊥AC于点F，∠C=60°，
∴∠FEC=30°，∠DEF=∠EFC=90°，
∴FC=EC=1，
故EF==，
∵G为EF的中点，
∴EG=，
∴DG==．
故答案为：．
例1．（2018·贵州中考真题）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．
【详解】
如图，连接BC，
由网格可得AB=BC=，AC=，即AB2+BC2=AC2，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠BAC=45°，
则tan∠BAC=1，
故选B．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
【变式训练】
1．（2019·甘肃中考真题）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
【答案】该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【解析】
【分析】
根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
【详解】
解：连接BD，作DM⊥AB于点M，
∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，
∵∠C＝65°，AC＝900，
∴∠ABD＝65°，BD＝900，
∴BM＝BD?cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD?sin65°＝900×0.906≈815，
∵381÷3＝127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，
∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，
由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答．
2．（2019·江苏中考真题2019·江苏中考真题）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为．
求：（1）观众区的水平宽度；
（2）顶棚的处离地面的高度．（，，结果精确到）
【答案】（1）20；（2）顶棚的处离地面的高度约为．
【解析】
【分析】
（1）根据坡度的概念计算；
（2）作于，于，根据正切的定义求出，结合图形计算即可．
【详解】
（1）∵观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，
∴，
答：观众区的水平宽度为；
（2）如图，作于，于，则四边形、为矩形，
∴，，，
在中，，
则，
∴，
答：顶棚的处离地面的高度约为．
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
3．（2019·江西中考真题）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到0.1）
（1）如图2，，．
①填空：_________°；
②求投影探头的端点到桌面的距离．
（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．（参考数据：，，，）
【答案】（1）①160°，②;(2) 当投影探头的端点到桌面的距离为时，为33.2°．
【解析】
【分析】
（1）①过点作，根据平行线的性质解答便可；
②过点作于点，解直角三角形求出，进而计算使得结果；
（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，求出，再解直角三角形求得便可．
【详解】
解：（1）①过点作，如图1，则，
，
，
，
，
故答案为160；
②过点作于点，如图2，
则，
投影探头的端点到桌面的距离为：；
（2）过点于点，过点作，与延长线相交于点，过作于点，如图3，
则，，，，，
，
，
，
．
【点睛】
此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是构造直角三角形．
4．（2019·上海中考真题）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求E、E'两点的距离.
【答案】（1）点D'到BC的距离是（45＋70）厘米；（2）E、E’两点的距离是30厘米。
【解析】
【分析】
（1）过点D'作D'H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F，利用矩形的性质得到∠AFD'＝∠BHD'＝90°，再解直角三角形即可解答
（2）连接AE、AE'、EE'，得出△AEE'是等边三角形，利用勾股定理得出AE，即可解答
【详解】
过点D'作D'H⊥BC，垂足为点H，交AD于点F.
由题意，得AD'＝AD＝90（厘米），∠DAD'＝60°.
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AFD'＝∠BHD'＝90°.
在Rt△AD'F中，D'F＝AD'·sin∠DAD'＝90×sin60°＝（厘米）.
又∵CE＝40（厘米），DE＝30（厘米），∴FH＝DC＝DE＋CE＝70（厘米）、
∴D'H＝D'F＋FH＝（＋70）（厘米）.
答：点D'到BC的距离是（＋70）厘米.
（2）连接AE、AE'、EE'.由题意，得AE'＝AE，∠EAE'＝60°.
∴△AEE'是等边三角形
∴EE'＝AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADE＝90°
在Rt△ADE中，AD＝90（厘米），DE＝30（厘米）：
∴AE＝ （厘米）
∴EE'＝（厘米）.
答：E、E’两点的距离是厘米。
【点睛】
此题考查三角形函数，矩形的性质，勾股定理，解题关键在于作辅助线
例1．（2019·安徽中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【答案】B
【解析】
【分析】
过点D作DH⊥BC交AB于点H，根据△AFE∽△ACD和△AEG∽△ADH可得DC=DH，再由△BDH∽△BCA，根据相似三角形的性质列出方程即可求出CD.
【详解】
解：过点D作DH⊥BC交AB于点H，
∵EF⊥AC，∴EF∥BC，
∴△AFE∽△ACD，∴，
∵DH⊥BC，EG⊥EF，∴DH∥EG，
∴△AEG∽△ADH，∴，
∴
∵EF=EG，
∴DC=DH，
设DH=DC=x，则BD=12-x，
又∵△BDH∽△BCA，
∴，即，
解得：x=4，即CD=4，
故选B.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，根据相似的性质得到DC=DH是解题关键.
【变式训练】
1．（2019·青海省中考真题）如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压_____.
【答案】．
【解析】
【分析】
首先根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得端点向下压的长度．
【详解】
解：如图；都与水平线垂直，即；
易知：；
，
杠杆的动力臂与阻力臂之比为
，即；
当时，；
故要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端点向下压．
故答案为：．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，正确的构造相似三角形是解题的关键．
2．（2019·四川省中考真题）如图，在等腰中， ，，点在边上， ，点在边上，，垂足为，则长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
过作 于，则∠AHD=90°由等腰直角三角形的性质可得，，进而可得，由此得CH=15-DH，再证明，由相似三角形的对应边成比例可得，求出CE=10，代入相关数据可求得DH=9，继而根据勾股定理即可求得AD长.
【详解】
过作 于，则∠AHD=90°
在等腰中，，，
，，
∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
，
∴CH=AC-AH=15-DH，
，
，
又∵∠ANH=∠DNF，
，
，
，
，CE+BE=BC=15，
∴，
∴，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了等腰直角三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
3．（2019·内蒙古自治区中考真题）已知正方形的面积是为正方形一边在从到方向的延长线上的一点，若，连接，与正方形另外一边交于点，连接并延长，与线段交于点，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意画出，根据已知条件可得到点F是CD的中点，通过作辅助线，将问题转化证△HDG∽△BEG，得出对应边成比例，由相似比转化为BG等于BH的三分之二，而BH可以通过勾股定理求出，使问题得以解决．
【详解】
解：如图：延长相交于点，
正方形的面积是，
，
又，，
，
即：是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：
【点睛】
考查正方形的性质、全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质以及勾股定理等知识的综合应用，转化思想方法的应用和画出相应的图形则显得尤为重要．
4．（2019·安徽中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°
（1）求证：△PAB∽△PBC
（2）求证：PA=2PC
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）结合题意，易得∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC，然后由∠APB=∠BPC=135°即可证明△PAB∽△PBC；
（2）根据（1）中△PAB∽△PBC，可得，然后由△ABC是等腰直角三角形，可得出，易得PA=2PC；
（3）过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，首先由Rt△AEP∽Rt△CDP得出，即，再根据△PAB∽△PBC可得出，整理即可得到.
【详解】
解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠ABC=45°=∠PBA+∠PBC
又∠APB=135°，
∴∠PAB+∠PBA=45°，
∴∠PBC=∠PAB，
又∵∠APB=∠BPC=135°，
∴△PAB∽△PBC；
（2）∵△PAB∽△PBC，
∴，
在Rt△ABC中，AC=BC，
∴,
∴
∴PA=2PC；
（3）
过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，
∵∠CPB+∠APB=135°+135°=270°，
∴∠APC=90°，∴∠EAP+∠ACP=90°,
又∵∠ACB=∠ACP+∠PCD=90°
∴∠EAP=∠PCD，
∴Rt△AEP∽Rt△CDP，
∴，即，∴
∵△PAB∽△PBC，
∴
即.
【点睛】
本题是相似三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质，其中第（3）问有一定难度，通过作辅助线构造出Rt△AEP∽Rt△CDP是解题关键.
5．（2019·辽宁省中考真题）如图1，在中，，，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与相等的角，并说明理由．
（2）如图2，，求的值．
（3）在（2）的条件下，若，求线段AB的长．
【答案】（1）；理由见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）．由直角三角形的性质和旋转的性质推知即可；
（2）如图，过点C作交MP于点G．构造全等三角形（）和相似三角形（），根据相似三角形的对应边成比例求得的值．
（3）由（2）中相似三角形的性质和等量代换推知．故．易得．由（2）知，，则．故，．根据题意得到：，所以该相似三角形的对应边成比例：．将相关线段的长度代入求t的值，所以．
【详解】
（1）．
理由如下：∵，，
∴．
∴．
由旋转的性质知，．
∴；
（2）如图，过点C作交MP于点G．
∴，．
∵，点M是AB的中点，
∴．
∴．
∴．
∵．
∴．
∵，
∴．
在与中，
∴．
∴．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
设，则，．
在中，．
∴．
∴；
（3）如图，由（2）知．则．
∵．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
由（2）知，，则．
∴，．
∵，．
∴．
∴．
∴，即．
解得，（舍去）．
∴．
【点睛】
考查了几何变换综合题．解题的关键是掌握全等三角形的判定（ASA）与性质，旋转的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识点，解题过程中，注意方程思想在求相关线段长度时的灵活运用．
1. 与角平分线有关的辅助线
（1） 可向两边作垂线。
（2）可作平行线，构造等腰三角形 ??
（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 ??
2. 与线段长度相关的辅助线
（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3. 与等腰等边三角形相关的辅助线
（1）考虑三线合一 ??
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60?°
与解直角三角形有关的辅助线添加
围绕要求的角的（除角顶点外）两端点，往两边做垂直，构建直角三角形
围绕 要求的边，构建直角三角形。
与构建三角形相似的辅助线添加
构建A字型相似
构建8字型相似
构建K字型相似
2020中考数学几何专题突破
模块二：三角形中常见辅助线添加技巧
例1. （2019·吉林中考真题）性质探究
如图①，在等腰三角形中，，则底边与腰的长度之比为________．
理解运用
⑴若顶角为120°的等腰三角形的周长为，则它的面积为________；
⑵如图②，在四边形中，．
①求证：；
②在边上分别取中点，连接．若，,直接写出线段的长．
类比拓展
顶角为的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为________（用含的式子表示）．
【变式训练】
1．（2019·陕西中考真题）如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E。若DE=1，则BC的长为（ ）
A．2+ B． C． D．3
2. （2018?德州）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为 ．
3. （2018?广安）如图，∠AOE=∠BOE=15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC=1，则OF= ．
例1．（2019·山东中考真题）如图，在中，，，为的中点，，则的面积是_____．
【变式训练】
1．（2019·湖北黄石中考真题）如图，在中，，于点，和的角平分线相较于点，为边的中点，，则（ ）
A．125° B．145° C．175° D．190°
2．（2019·甘肃中考真题）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作交于点，交于点．
（1）证明：；
（2）连接，证明：．
例1. （2018?徐州）边长为a的正三角形的面积等于 ．
【变式训练】
1．（2019·山西中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.
2．（2019·江苏中考真题）如图，一块含有角的直角三角板，外框的一条直角边长为，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为，则图中阴影部分的面积为_______(结果保留根号)
3.（2018?天津）如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为 ．
例1．（2018·贵州中考真题）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式训练】
1．（2019·甘肃中考真题）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
2．（2019·江苏中考真题2019·江苏中考真题）某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区的坡度为，顶端离水平地面的高度为，从顶棚的处看处的仰角，竖直的立杆上、两点间的距离为，处到观众区底端处的水平距离为．
求：（1）观众区的水平宽度；
（2）顶棚的处离地面的高度．（，，结果精确到）
3．（2019·江西中考真题）图1是一台实物投影仪，图2是它的示意图，折线表示固定支架，垂直水平桌面于点，点为旋转点，可转动，当绕点顺时针旋转时，投影探头始终垂直于水平桌面，经测量：，，，．（结果精确到0.1）
（1）如图2，，．
①填空：_________°；
②求投影探头的端点到桌面的距离．
（2）如图3，将（1）中的向下旋转，当投影探头的端点到桌面的距离为时，求的大小．（参考数据：，，，）
4．（2019·上海中考真题）如图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD'E'的位置（如图2所示）.已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米.
（1）求点D'到BC的距离；
（2）求E、E'两点的距离.
例1．（2019·安徽中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G，若EF=EG，则CD的长为（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．5
【变式训练】
1．（2019·青海省中考真题）如图是用杠杆撬石头的示意图，是支点，当用力压杠杆的端时，杠杆绕点转动，另一端向上翘起，石头就被撬动．现有一块石头，要使其滚动，杠杆的端必须向上翘起，已知杠杆的动力臂与阻力臂之比为，要使这块石头滚动，至少要将杠杆的端向下压_____.
2．（2019·四川省中考真题）如图，在等腰中， ，，点在边上， ，点在边上，，垂足为，则长为_____．
3．（2019·内蒙古自治区中考真题）已知正方形的面积是为正方形一边在从到方向的延长线上的一点，若，连接，与正方形另外一边交于点，连接并延长，与线段交于点，则的长为_____．
4．（2019·安徽中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°
（1）求证：△PAB∽△PBC
（2）求证：PA=2PC
（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求证h12=h2·h3
5．（2019·辽宁省中考真题）如图1，在中，，，点M是AB的中点，连接MC，点P是线段BC延长线上一点，且，连接MP交AC于点H．将射线MP绕点M逆时针旋转交线段CA的延长线于点D．
（1）找出与相等的角，并说明理由．
（2）如图2，，求的值．
（3）在（2）的条件下，若，求线段AB的长．
1. 与角平分线有关的辅助线
（1） 可向两边作垂线。
（2）可作平行线，构造等腰三角形 ??
（3）在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形 ??
2. 与线段长度相关的辅助线
（1）截长：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，经常在较长的线段上截取一段，使得它和其中的一条相等，再利用全等或相似证明余下的等于另一条线段即可
（2）补短：证明某两条线段的和或差等于第三条线段时，也可以在较短的线段上延长一段，使得延长的部分等于另外一条较短的线段，再利用全等或相似证明延长后的线段等于那一条长线段即可
（3）倍长中线：题目中如果出现了三角形的中线，方法是将中线延长一倍，再将端点连结，便可得到全等三角形。
（4）遇到中点，考虑中位线或等腰等边中的三线合一，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
3. 与等腰等边三角形相关的辅助线
（1）考虑三线合一 ??
（2）旋转一定的度数，构造全都三角形，等腰一般旋转顶角的度数，等边旋转60?°
与解直角三角形有关的辅助线添加
围绕要求的角的（除角顶点外）两端点，往两边做垂直，构建直角三角形
围绕 要求的边，构建直角三角形。
与构建三角形相似的辅助线添加
构建A字型相似
构建8字型相似
构建K字型相似
