2020中考数学几何专题突破
模块三：四边形中常见辅助线添加技巧
例1．（2019·安徽中考真题）如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设?ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值
【答案】（1）证明略；（2）=2
【解析】
【分析】
（1）已知AD=BC，可以通过证明，来证明（ASA）；
（2）连接EF，易证四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，则，即可得=2.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
，
又，
，
，
，
同理可得：，
在和中，
（2）解：连接EF，
，
，
又，
∴四边形ABEF，四边形CDFE为平行四边形，
∴，
∴，
设点E到AB的距离为h1，到CD的距离为h2，线段AB到CD的距离为h，
则h= h1+ h2,
∴，
即=2.
【点睛】
本题考查了三角形全等的判定和性质、平行四边形的判定和性质以及相关面积计算，熟练掌握所学性质定理并能灵活运用进行推理计算是解题的关键.
【变式训练】
1. （2018?眉山）如图，在?ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；
【解答】解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．
∵CD=2AD，DF=FC，
∴CF=CB，
∴∠CFB=∠CBF，
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠FBH，
∴∠CBF=∠FBH，
∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，
∵DE∥CG，
∴∠D=∠FCG，
∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，
∴△DFE≌△FCG，
∴FE=FG，
∵BE⊥AD，
∴∠AEB=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBG=90°，
∴BF=EF=FG，故②正确，
∵S△DFE=S△CFG，
∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，
∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，
∴CF=BH，∵CF∥BH，
∴四边形BCFH是平行四边形，
∵CF=BC，
∴四边形BCFH是菱形，
∴∠BFC=∠BFH，
∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，
∴FH⊥BE，
∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，
∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，
故选：D．
2．（2019·江苏省中考真题）如图，四边形中，，点、分别在上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．
（1）求证：；（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）线段与互相平分，见解析.
【解析】
【分析】
（1）由垂线的性质得出∠G=∠H=90°，AG∥CH，由平行线的性质和对顶角相等得出∠AEG=∠CFH，由AAS即可得出△AGE≌△CHF；
（2）连接AH、CG，由全等三角形的性质得出AG=CH，证出四边形AHCG是平行四边形，即可得出结论．
【详解】
（1）证明：，，
，，
，
，
，，
，
在和中，，
；
（2）线段与互相平分，理由如下：
连接、，如图所示：
由（1）得：，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∴线段与互相平分．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
3．（2018·湖北省中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
【答案】证明见解析.
【解析】
分析：连接BD，AE，判定△ABC≌△DEF（ASA），可得AB=DE，依据AB∥DE，即可得出四边形ABDE是平行四边形，进而得到AD与BE互相平分．
详证明：如图，连接BD，AE，
∵FB=CE，
∴BC=EF，
又∵AB∥ED，AC∥FD，
∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
∴AB=DE，
又∵AB∥DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
点睛：本题主要考查了平行四边形的判定与性质，解决问题的关键是依据全等三角形的对应边相等得出结论．
例1．（2019·北京中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1。
【解析】
【分析】
（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可；
（2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长．
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD
∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF
∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF
（2）解：如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD
∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G=
∴tan∠ABD=，∴AO=1
【点睛】
本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
【变式训练】
1. （2018?呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
【分析】（1）根据SAS即可证明．
（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AB∥DE，
∴∠A=∠D，
∵AF=CD，
∴AF+FC=CD+FC，
即AC=DF，
∵AB=DE，
∴△ABC≌△DEF．
（2）如图，连接AB交AD于O．
在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4，
∴DF==5，
∵四边形EFBC是菱形，
∴BE⊥CF，'∴EO==，
∴OF=OC==，
∴CF=，
∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣=．
2．（2019?辽宁省鞍山市）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的周长为__．
【答案】.
【解析】
【分析】
连接AC，利用三角形的中位线定理求得AC的长，从而利用菱形的性质求得AO和BO的长，利用勾股定理求得边长后即可求得周长．
【详解】
解：如图，连接AC，
∵E，F分别是AD，DC的中点，EF＝3，
∴AC＝2EF＝6，
∵四边形ABCD为矩形，BD＝4，
∴AC⊥BD，AO＝3，BO＝2，
∴AB＝，
∴周长为，
故答案为：．
【点睛】
考查了菱形的性质，解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分，难度不大．
3．（2019?湖南省湘潭市）如图，将沿着边翻折，得到，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）四边形是菱形，见解；（2）四边形的面积
【解析】
【分析】
（1）由折叠的性质得出，，，，由平行线的性质得出，得出，证出，，即可得出结论；
（2）连接交于，由菱形的性质得出，，，由勾股定理求出，得出，由菱形面积公式即可得出答案．
【详解】
解：（1）四边形是菱形；理由如下：
∵沿着边翻折，得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形；
（2）连接交于，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴四边形的面积．
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质、菱形的判定与性质、平行线的性质、勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
4．（2019?浙江省宁波市）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上.
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长。
【答案】（1）证明见解析；（2）8.
【解析】
【分析】
（1）根据矩形的性质得到EH=FG，EH∥FG，得到∠GFH=∠EHF，求得∠BFG=∠DHE，根据菱形的性质得到AD∥BC，得到∠GBF=∠EDH，根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）连接EG，根据菱形的性质得到AD=BC，AD∥BC，求得AE=BG，AE∥BG，得到四边形ABGE是平行四边形，得到AB=EG，于是得到结论．
【详解】
（1）∵四边形EFGH是矩形，
∴EH=FG，EH∥FG，
∴∠GFH=∠EHF，
∵∠BFG=180°-∠GFH，∠DHE=180°-∠EHF，
∴∠BFG=∠DHE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴∠GBF=∠EDH，
∴△BGF≌△DEH（AAS），
∴BG=DE；
（2）连接EG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∵E为AD中点，
∴AE=ED，
∵BG=DE，
∴AE=BG，AE∥BG，
∴四边形ABGE是平行四边形，
∴AB=EG，
∵EG=FH=2，
∴AB=2，
∴菱形ABCD的周长=8．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别作图是解题的关键．
例1.（2019·贵州省中考真题）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
【答案】．
【解析】
【分析】
由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【详解】
解：∵，且，，∴，
∵，，∴，
∴四边形是矩形.
如图，连接AD，则，
∴当时，的值最小，此时，的面积，
∴，∴的最小值为；
故答案为：．
【点睛】
本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，本题属于中考常考题型．
【变式训练】
1. （2018?达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ．
【分析】连接OB1，作B1H⊥OA于H，证明△AOB≌△HB1O，得到B1H=OA=6，OH=AB=2，得到答案．
【解答】解：连接OB1，作B1H⊥OA于H，
由题意得，OA=6，AB=OC﹣2，
则tan∠BOA==，
∴∠BOA=30°，
∴∠OBA=60°，
由旋转的性质可知，∠B1OB=∠BOA=30°，
∴∴∠B1OH=60°，
在△AOB和△HB1O，
，
∴△AOB≌△HB1O，
∴B1H=OA=6，OH=AB=2，
∴点B1的坐标为（﹣2，6），
故答案为：（﹣2，6）．
2．（2019·四川省中考真题）如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( )
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接，由矩形的性质得出，，，，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
如图：连接，
∵四边形是矩形，
∴，，，，
∵，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
即；
故选B．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．
3．（2019·山东省中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
【答案】（1）详见解析；（2）AE＝5．
【解析】
【分析】
（1）由“ASA”可证△COF≌△AOE，可得EO＝FO，且GO＝HO，可证四边形EHFG是平行四边形；
（2）由题意可得EF垂直平分AC，可得AE＝CE，由勾股定理可求AE的长．
【详解】
证明：（1）∵对角线AC的中点为O
∴AO＝CO，且AG＝CH
∴GO＝HO
∵四边形ABCD是矩形
∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB
∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA
∴△COF≌△AOE（ASA）
∴FO＝EO，且GO＝HO
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接CE
∵∠α＝90°，
∴EF⊥AC，且AO＝CO
∴EF是AC的垂直平分线，
∴AE＝CE，
在Rt△BCE中，CE2＝BC2+BE2，
∴AE2＝（9﹣AE）2+9，
∴AE＝5
【点睛】
此题主要考查特殊平行四边形的证明与性质，解题的关键是熟知矩形的性质及勾股定理的运用.
例1．（2019·广西壮族自治区中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：，，，求四边形EHFG的周长．
【答案】（1）见解析；（2）四边形EHFG的周长．
【解析】
【分析】
（1）根据正方形的性质证明，再根据平行四边形的判定即可求解；
（2）连接BD，交EF于O，根据正方形的性质求得，得到OF,OE,EF,FM,EM的长，过F作于M，交EH的延长线于M，根据三角函数求出，再根据勾股定理求出，即可求出四边形的周长.
【详解】
（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形EHFG是平行四边形；
（2）如图，连接BD，交EF于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
中，，
∴，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
过F作于M，交EH的延长线于M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形EHFG的周长．
【点睛】
此题主要考查正方形的性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质及三角函数的应用.
【变式训练】
1．（2019·甘肃省中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
【答案】(1) 四边形是垂美四边形，理由见解析；(2)证明见解析；(3) .
【解析】
【分析】
（1）根据垂直平分线的判定定理，可证直线是线段的垂直平分线，结合“垂美四边形”的定义证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）连接、，先证明，得到∴，可证，即，从而四边形是垂美四边形，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可．
【详解】
(1)四边形是垂美四边形．
证明：连接AC，BD，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∵，
∴点在线段的垂直平分线上，
∴直线是线段的垂直平分线，
∴，即四边形是垂美四边形；
(2)猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形中，，垂足为，
求证：
证明：∵，
∴，
由勾股定理得，，
，
∴；
故答案为：．
(3)连接、，
∵，
∴，即，
在和中，，
∴，
∴，又，
∴，即，
∴四边形是垂美四边形，
由(2)得，，
∵，，
∴，，，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
2．（2018·甘肃省中考真题）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
【答案】见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据三角形中位线定理和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用正方形的性质和矩形的面积公式解答即可．
【详解】
（1）连接EF，∵点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点，
∴FH∥BE，FH=BE，FH=BG，
∴∠CFH=∠CBG，
∵BF=CF，
∴△BGF≌△FHC，
（2）当四边形EGFH是正方形时，连接GH，可得：EF⊥GH且EF=GH，
∵在△BEC中，点G，H分别是BE，CE的中点，
∴ 且GH∥BC，
∴EF⊥BC，
∵AD∥BC，AB⊥BC，
∴AB=EF=GH=a，
∴矩形ABCD的面积=
【点睛】
此题考查正方形的性质，关键是根据全等三角形的判定和正方形的性质解答．
3．（2018·湖北省中考真题）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．
【答案】（1）①四边形CEGF是正方形；②；（2）线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；（3）3
【解析】
【分析】
（1）①由、结合可得四边形CEGF是矩形，再由即可得证；
②由正方形性质知、，据此可得、，利用平行线分线段成比例定理可得；
（2）连接CG，只需证∽即可得；
（3）证∽得，设，知，由得、、，由可得a的值．
【详解】
（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，∠BCA=45°，
∵GE⊥BC、GF⊥CD，
∴∠CEG=∠CFG=∠ECF=90°，
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE=∠ECG=45°，
∴EG=EC，
∴四边形CEGF是正方形；
②由①知四边形CEGF是正方形，
∴∠CEG=∠B=90°，∠ECG=45°，
∴，GE∥AB，
∴，
故答案为；
（2）连接CG，
由旋转性质知∠BCE=∠ACG=α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
=、=，
∴=，
∴△ACG∽△BCE，
∴，
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG=BE；
（3）∵∠CEF=45°，点B、E、F三点共线，
∴∠BEC=135°，
∵△ACG∽△BCE，
∴∠AGC=∠BEC=135°，
∴∠AGH=∠CAH=45°，
∵∠CHA=∠AHG，
∴△AHG∽△CHA，
∴，
设BC=CD=AD=a，则AC=a，
则由得，
∴AH=a，
则DH=AD﹣AH=a，CH==a，
∴由得，
解得：a=3，即BC=3，
故答案为3．
【点睛】
本题考查了正方形的性质与判定，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练掌握正方形的判定与性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
一. 和平行四边形有关的辅助线作法
1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形
2．利用两组对边平行构造平行四边形
3．利用对角线互相平分构造平行四边形
二.和菱形有关的辅助线的作法
（1）作菱形的高；
（2）连结菱形的对角线.
三、 与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种：
（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.
四.与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
2020中考数学几何专题突破
模块三：四边形中常见辅助线添加技巧
例1．（2019·安徽中考真题）如图，点E在?ABCD内部，AF∥BE，DF∥CE，
（1）求证：△BCE≌△ADF；
（2）设?ABCD的面积为S，四边形AEDF的面积为T，求的值
【变式训练】
1. （2018?眉山）如图，在?ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF，其中正确结论的个数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2019·江苏省中考真题）如图，四边形中，，点、分别在上，，过点、分别作的垂线，垂足为、．
（1）求证：；（2）连接，线段与是否互相平分？请说明理由．
3．（2018·湖北省中考真题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
例1．（2019·北京中考真题）如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长．
【变式训练】
1. （2018?呼和浩特）如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
2．（2019?辽宁省鞍山市）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，DC的中点，若BD＝4，EF＝3，则菱形ABCD的周长为__．
3．（2019?湖南省湘潭市）如图，将沿着边翻折，得到，且．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；（2）若，，求四边形的面积．
4．（2019?浙江省宁波市）如图，矩形的顶点，分别在菱形的边，上，顶点、在菱形的对角线上.
（1）求证：；
（2）若为中点，，求菱形的周长。
例1.（2019·贵州省中考真题）如图，在中，，且，，点是斜边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值为________．
【变式训练】
1. （2018?达州）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（﹣6，0），C（0，2）．将矩形OABC绕点O顺时针方向旋转，使点A恰好落在OB上的点A1处，则点B的对应点B1的坐标为 ．
2．（2019·四川省中考真题）如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( )
A．1 B． C．2 D．
3．（2019·山东省中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB、CD分别相交于点E、F（点E不与点A、B重合）．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
例1．（2019·广西壮族自治区中考真题）如图，在正方形ABCD中，分别过顶点B，D作交对角线AC所在直线于E，F点，并分别延长EB，FD到点H，G，使，连接EG，FH．
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）已知：，，，求四边形EHFG的周长．
【变式训练】
1．（2019·甘肃省中考真题）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
(1)概念理解：如图2，在四边形中，，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由；
(2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点，．试证明：；
(3)解决问题：如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连结、、．已知，，求的长．
2．（2018·甘肃省中考真题）已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．
（1）求证：△BGF≌△FHC；
（2）设AD=a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．
3．（2018·湖北省中考真题）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F．
（1）证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为 ：
（2）探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由：
（3）拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG=6，GH=2，则BC= ．
一. 和平行四边形有关的辅助线作法
1．利用一组对边平行且相等构造平行四边形
2．利用两组对边平行构造平行四边形
3．利用对角线互相平分构造平行四边形
二.和菱形有关的辅助线的作法
（1）作菱形的高；
（2）连结菱形的对角线.
三、 与矩形有辅助线作法
和矩形有关的题型一般有两种：
（1）计算型题，一般通过作辅助线构造直角三角形借助勾股定理解决问题；
（2）证明或探索题，一般连结矩形的对角线借助对角线相等这一性质解决问题.
四.与正方形有关辅助线的作法
正方形是一种完美的几何图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形，有关正方形的试题较多.解决正方形的问题有时需要作辅助线，作正方形对角线是解决正方形问题的常用辅助线.
