2020中考数学几何专题突破
模块五：图形变换问题
例1．（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，DC与AB交于点E，连结，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC’，BD垂直平分CC，证△ADC为等边三角形，利用解直角三角形求出DM=1，CM= =，BM=2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC′的长，在△BDC中利用面积法求出DH的长.
【详解】
解：如图，连接CC′，交BD于点M，过点D作DH⊥BC′于点H，
∵AD=AC'=2，D是AC边上的中点，
∴DC=AD=2，
由翻折知，△BDC≌△BDC′，BD垂直平分CC′，
∴DC=DC′=2，BC=BC′，CM=C′M，
∴AD=AC'=DC′=2，
∴△ADC′为等边三角形，
∴∠ADC=∠AC′D=∠C′AC=60°，
∵DC=DC′，
∴∠DCC′=∠DC′C= ×60°=30°，
在Rt△CDM中，∠DC′C=30°，DC′=2，
∴DM=1，C′M=DM= ，
·.BM=BD-DM=3-1=2，
在Rt△BMC中，BC′=
∴.BM=BD-DM=3-1=2,
在Rt△C'DM中，
∴
∴
故选B.
【点睛】
本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度.
【变式训练】
1．（2019·广东中考真题）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______.
【答案】
【解析】
【分析】
作于点，构造直角三角形，运用勾股定理求解即可.
【详解】
作于点，
由折叠可知：，，
∴正方形边长
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题考查翻折变换、正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，
2．（2019·湖北中考真题）如图，矩形中，与相交于点，，将沿折叠，点的对应点为，连接交于点，且，在边上有一点，使得的值最小，此时（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
设BD与AF交于点M．设AB=a，AD=a，根据矩形的性质可得△ABE、△CDE都是等边三角形，利用折叠的性质得到BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a．解直角△BGM，求出BM，再表示DM，由△ADM∽△GBM，求出a=2，再证明CF=CD=2．作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．建立平面直角坐标系，得出B（3，2），B′（3，-2），E（0，），利用待定系数法求出直线B′E的解析式，得到H（1，0），然后利用两点间的距离公式求出BH=4，进而求出=．
【详解】
如图，设BD与AF交于点M．设AB=a，AD=a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=90°，tan∠ABD=，
∴BD=AC==2a，∠ABD=60°，
∴△ABE、△CDE都是等边三角形，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=a，
∵将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，
∴BM垂直平分AF，BF=AB=a，DF=DA=a，
在△BGM中，∵∠BMG=90°，∠GBM=30°，BG=2，
∴GM=BG=1，BM=GM=，
∴DM=BD-BM=2a-，
∵矩形ABCD中，BC∥AD，
∴△ADM∽△GBM，
∴，即，
∴a=2，
∴BE=DE=AE=CE=AB=CD=2，AD=BC=6，BD=AC=4，
易证∠BAF=∠FAC=∠CAD=∠ADB=∠BDF=∠CDF=30°，
∴△ADF是等边三角形，
∵AC平分∠DAF，
∴AC垂直平分DF，
∴CF=CD=2，
作B点关于AD的对称点B′，连接B′E，设B′E与AD交于点H，则此时BH+EH=B′E，值最小．
如图，建立平面直角坐标系，
则A（3，0），B（3，2），B′（3，-2），E（0，），
易求直线B′E的解析式为y=-x+，
∴H（1，0），
∴BH==4，
∴=．
故选：B．
【点睛】
本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形、垂直平分线、相似三角形的判定与性质，待定系数法求直线的解析式，轴对称-最短路线问题，两点间的距离公式等知识．综合性较强，有一定难度．分别求出BH、CF的长是解题的关键．
3．（2019·辽宁中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】
【分析】
连接AC交EF于点O，由矩形的性质得出AD=BC=8，∠B=90°，由勾股定理得出AC=，由折叠的性质得出EF⊥AC，AO=CO=AC=2，证出
Rt △AOF ∽Rt △ADC，则，求出AF=5，即可得出结果．
【详解】
解：连接交于点，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴，，
，
∵折叠矩形使与重合时，，，
∴，，
∴则Rt △AOF ∽Rt △ADC
∴，即：，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】
本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折叠的性质，证明三角形相似是解题的关键．
4．（2019·山东中考真题）如图，在正方形中，是边上一点，(与、不重合)，连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于，连接，作，与的延长线交于点，连接．显然是的平分线，是的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于的角平分线)，并说明理由．
【答案】是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线．
【解析】
【分析】
过点作于，利用正方形的性质及轴对称的性质，证明，可推出是的平分线，是的平分线；证明，推出，得到，推出是的平分线；再证，可知是的平分线．
【详解】
过点作于，
则，
∵四边形为正方形，
∴，，
①∵将沿所在的直线折叠得到，
∴，
∴，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴是的平分线，是的平分线；
②由①知，，，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
③∵，，
由①知，，
∴，
∴是的平分线；
综上所述，是的平分线，是的平分线，是的平分线，是的平分线．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是能够灵活运用轴对称的性质及全等的判定方法．
例1．（2019·四川省中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
在中，由勾股定理可得．根据旋转性质可得，，，利用线段的和差关系可得．在中根据计算即可．
【详解】
∵在中，AB=5，BC=12，
∴．
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，，
∴CD=AC-AD=8．
在中，．
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
【变式训练】
1．（2019·辽宁省中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB=2，∠ACB=30°，则线段CD的长度为______．
【答案】2
【解析】
【分析】
连接CE，如图，利用旋转的性质得到AD=AB=2，AE=AC，∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，则可判断△ACE为等边三角形，从而得到∠AEC=60°，再判断DE平分∠AEC，根据等腰三角形的性质得到DE垂直平分AC，于是根据线段垂直平分线的性质得DC=DA=2．
【详解】
解：连接CE，如图，
∵△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE，
∴AD=AB=2，AE=AC，∠CAE=60°，∠AED=∠ACB=30°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=60°，
∴DE平分∠AEC，
∴DE垂直平分AC，
∴DC=DA=2．
故答案为2．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
2．（2019·辽宁省中考真题）如图，是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________．
【答案】8
【解析】
【分析】
过点A作于M，由已知得出，得出，由等边三角形的性质得出，，得出，在中，由勾股定理得出，当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，即此时AE取最小值，在中，由勾股定理得出，在中，由勾股定理即可得出．
【详解】
过点A作于M，
∵，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时，，
即此时AE取最小值，
在中，，
∴在中，；
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理以及最小值问题；熟练掌握正方形的性质和等边三角形的性质是解题的关键．
3．（2019·江苏省中考真题）将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则＝_________.（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】
先根据正方形的性质得到CD=1，∠CDA=90°，再利用旋转的性质得CF=，根据正方形的性质得∠CFE=45°，则可判断△DFH为等腰直角三角形，从而计算CF-CD即可．
【详解】
∵四边形ABCD为正方形，
∴CD=1，∠CDA=90°，
∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，
∴CF=，∠CFDE=45°，
∴△DFH为等腰直角三角形，
∴DH=DF=CF-CD=-1．
故答案为-1．
【点睛】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质．
4．（2019·四川省中考真题）如图，中，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接BD，则的值是___．
【答案】
【解析】
【分析】
连接AD，由旋转的性质可得CA=CD，∠ACD=60°，得到△ACD为等边三角形，由AB=BC，CD=AD，得出BD垂直平分AC，于是求出BO=AC=，OD=CD?sin60°=，可得BD=BO+OD，即可求解．
【详解】
如图，连接AD，设AC与BD交于点O，
由题意得：，
∴为等边三角形，
∴，；
∵，，
∴，
∵，，
∴BD垂直平分AC，
∴，，
∴
∴，
故答案为：
【点睛】
本题考查了图形的变换-旋转，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质，准确把握旋转的性质是解题的关键．
5．（2019·山西省中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.
【答案】
【解析】
【分析】
过点A作AH⊥DE，垂足为H，由旋转的性质可得 AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，再根据等腰直角三角形的性质可得∠HAE=45°，AH=3，进而得∠HAF=30°，继而求出AF长即可求得答案.
【详解】
过点A作AH⊥DE，垂足为H，
∵∠BAC=90°，AB=AC，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，
∴AE=AD=6，∠CAE=∠BAD=15°，∠DAE=∠BAC=90°，
∴DE=，∠HAE=∠DAE=45°，
∴AH=DE=3，∠HAF=∠HAE-∠CAE=30°，
∴AF=，
∴CF=AC-AF=，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等知识，正确添加辅助线构建直角三角形、灵活运用相关知识是解题的关键.
6．（2019·辽宁省中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将绕点A逆时针旋转α得，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图1，当时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当时，若，请直接写出点O经过的路径长．
【答案】（1），，理由见解析；（2）当时，（1）中的结论成立，理由见解析；（3）点O经过的路径长为．
【解析】
【分析】
（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半的性质可得OD与OE的数量关系；根据旋转的性质和正方形的性质可得AC=AF以及△ACF各内角的度数，进一步即可求出∠COE与∠DOF的度数，进而可得OD与OE的位置关系；
（2）延长EO到点M，使，连接DM、CM、DE，如图2所示，先根据SAS证明≌，得，，再根据正方形的性质和旋转的性质推得，进一步在△ACF中根据三角形内角和定理和正方形的性质得出，再一次运用SAS推出≌，于是，进一步即可得出OE、OD的位置关系，然后再运用SAS推出≌，即可得OD与OE的数量关系；
（3）连接AO，如图3所示，先根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可判断点O的运动路径，由可得点O经过的路径长，进一步即可求得结果.
【详解】
解：（1），；理由如下：
由旋转的性质得：，，
∵四边形ABCD是正方形，∴，
∴，
∴，
∵，O为CF的中点，∴，
同理：，∴，
∴，，
∴，∴；
（2）当时，（1）中的结论成立，理由如下：
延长EO到点M，使，连接DM、CM、DE，如图2所示：
∵O为CF的中点，∴，
在和中，，
∴≌（SAS），∴，.
∵四边形ABCD是正方形，∴，，
∵绕点A逆时针旋转α得，
∴，，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，，∴，
在中，∵，
∴，
∵，∴，∴，
在和中，，
∴≌（SAS），∴，
∵，∴，
在和中，，
∴≌（SAS），∴.
∴，∴，；
（3）连接AO，如图3所示：
∵，，∴，∴，
∴点O在以AC为直径的圆上运动，
∵，∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长，
∵，∴点O经过的路径长为：．
【点睛】
本题是正方形的综合题，综合考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质和判断动点运动路径等知识，考查的知识点多、综合性强，倍长中线构造全等三角形、熟知正方形的性质、灵活应用旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解（2）题的关键.
7．（2019·四川中考真题）如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
如图，连接，易求得，，根据旋转的性质得到，，，由全等三角形的性质得到，过作于，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：如图，连接，
∵、都是等腰直角三角形，，，，，
∴，，
∵将绕点逆时针方向旋转后得，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
过作于，
在中，，
在中，，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和解直角三角形等知识，熟练掌握旋转的性质、正确的作出辅助线是解题的关键．
8．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________
【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CH⊥AE于H点，利用旋转的性质可得∠E＝45°，再利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出HD＝4﹣2 和EH＝CH＝2，即可解答.
【详解】
解：根据旋转过程可知：∠CAD＝30°＝∠CAB，AC＝AD＝4．
∴∠BCA＝∠ACD＝∠ADC＝75°．
∴∠ECD＝180°﹣2×75°＝30°．
∴∠E＝75°﹣30°＝45°．
过点C作CH⊥AE于H点，
在Rt△ACH中，CH＝ AC＝2，AH＝2．
∴HD＝AD﹣AH＝4﹣2 ．
在Rt△CHE中，∵∠E＝45°，
∴EH＝CH＝2．
∴DE＝EH﹣HD＝2﹣（4﹣2）＝2﹣2．
故答案为2﹣2．
【点睛】
此题考查旋转的性质、等腰三角形的性质以及含特殊角的直角三角形的性质，解题关键在于做出辅助线.
一、折叠问题解题技巧
（1）关注轴对产生的对应点的连线被对称轴垂直平分
（2）关注轴对称产生全等三角形的应用
（3）关注在折叠过程中的变量与不变量
二、旋转问题解题技巧
（1）遇中点，旋180°，构造中心对称
（2）遇90°。旋90°，造垂直；
（3）遇60°，旋60°，造等边；
（4）遇等腰，旋顶角。
综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。
图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角模型。
2020中考数学几何专题突破
模块五：图形变换问题
例1．（2019·重庆中考真题）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，DC与AB交于点E，连结，若AD=AC′=2，BD=3则点D到BC的距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2019·广东中考真题）如图在正方形中，，将沿翻折，使点对应点刚好落在对角线上，将沿翻折，使点对应点落在对角线上，求______.
2．（2019·湖北中考真题）如图，矩形中，与相交于点，，将沿折叠，点的对应点为，连接交于点，且，在边上有一点，使得的值最小，此时（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·辽宁中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB=4，BC=8．则D′F的长为（ ）
A．2 B．4 C．3 D．2
4．（2019·山东中考真题）如图，在正方形中，是边上一点，(与、不重合)，连接，将沿所在的直线折叠得到，延长交于，连接，作，与的延长线交于点，连接．显然是的平分线，是的平分线．仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于的角平分线)，并说明理由．
例1．（2019·四川省中考真题）如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转得到，使得点落在上，则的值为_______．
【变式训练】
1．（2019·辽宁省中考真题）如图，在△ABC中，AC=BC，将△ABC绕点A逆时针旋转60°，得到△ADE．若AB=2，∠ACB=30°，则线段CD的长度为______．
2．（2019·辽宁省中考真题）如图，是等边三角形，点D为BC边上一点，，以点D为顶点作正方形DEFG，且，连接AE，AG．若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________．
3．（2019·江苏省中考真题）将边长为的正方形绕点按顺时针方向旋转到的位置（如图），使得点落在对角线上，与相交于点，则＝_________.（结果保留根号）
4．（2019·四川省中考真题）如图，中，，，将绕点C逆时针旋转得到，连接BD，则的值是___．
5．（2019·山西省中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=10cm，点D为△ABC内一点，∠BAD=15°，AD=6cm，连接BD，将△ABD绕点A逆时针方向旋转，使AB与AC重合，点D的对应点E，连接DE，DE交AC于点F，则CF的长为________cm.
6．（2019·辽宁省中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，连接AC，将绕点A逆时针旋转α得，连接CF，O为CF的中点，连接OE，OD．
（1）如图1，当时，请直接写出OE与OD的关系（不用证明）．
（2）如图2，当时，（1）中的结论是否成立？请说明理由．
（3）当时，若，请直接写出点O经过的路径长．
7．（2019·四川中考真题）如图，、都是等腰直角三角形，，，，．将绕点逆时针方向旋转后得，当点恰好落在线段上时，则______．
8．（2019·新疆中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__________
一、折叠问题解题技巧
（1）关注轴对产生的对应点的连线被对称轴垂直平分
（2）关注轴对称产生全等三角形的应用
（3）关注在折叠过程中的变量与不变量
二、旋转问题解题技巧
（1）遇中点，旋180°，构造中心对称
（2）遇90°。旋90°，造垂直；
（3）遇60°，旋60°，造等边；
（4）遇等腰，旋顶角。
综上四点得出旋转的本质特征：等线段，共顶点，就可以有旋转。
图形旋转后我们需要证明旋转全等，而旋转全等中的难点在于倒角，下面给出旋转倒角模型。
