2020中考数学几何专题突破
模块四：动点最值问题
1．（2019·安徽中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【解析】
【分析】
P点是正方形的边上的动点，我们可以先求PE+PF的最小值，然后根据PE+PF=9判断得出其中一边上P点的个数，即可解决问题.
【详解】
解：如图，作点F关于BC的对称点M，连接FM交BC于点N，连接EM，交BC于点H
∵点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，
∴EC=8，FC=4=AE，
∵点M与点F关于BC对称
∴CF=CM=4，∠ACB=∠BCM=45°
∴∠ACM=90°
∴EM=
则在线段BC存在点H到点E和点F的距离之和最小为4＜9
在点H右侧，当点P与点C重合时，则PE+PF=12
∴点P在CH上时，4＜PE+PF≤12
在点H左侧，当点P与点B重合时，BF=
∵AB=BC，CF=AE，∠BAE=∠BCF
∴△ABE≌△CBF（SAS）
∴BE=BF=2
∴PE+PF=4
∴点P在BH上时，4＜PE+PF＜4
∴在线段BC上点H的左右两边各有一个点P使PE+PF=9，
同理在线段AB，AD，CD上都存在两个点使PE+PF=9．
即共有8个点P满足PE+PF=9，
故选D．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质以及根据轴对称求最短路径，有一定难度，巧妙的运用求最值的思想判断满足题意的点的个数是解题关键.
2．（2018·贵州中考真题）如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．
【答案】
【解析】
【分析】作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC得，据此知EF=DG=（4﹣x），由EG=即可求得答案．
【详解】如图，作AQ⊥BC于点Q，交DG于点P，
∵四边形DEFG是矩形，
∴AQ⊥DG，GF=PQ，
设GF=PQ=x，则AP=4﹣x，
由DG∥BC知△ADG∽△ABC，
∴，即，
则EF=DG=（4﹣x），
∴EG===，
∴当x=时，EG取得最小值，最小值为，
故答案为：.
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质及二次函数的性质及勾股定理．
3．（2019·吉林中考真题）如图，在矩形中，，为边上一点，，连接．动点从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为．
⑴________,________°；
⑵求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
⑶当时，直接写出的值．
【答案】（1），45；（2）（），（），（）；（3）或.
【解析】
【分析】
（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【详解】
解：（1）∵AB=3cm，BE=AB=3cm，
∴AE=cm，∠BAE=∠BEA=45°，
∵∠BAD=90°，
∴∠DAE=45°
故答案为：3，45；
（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP=x，∠DAE=45°，PF⊥AD，
∴PF=x=AF，
∴y=S△PQA=×AQ×PF=x2；
（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF=AF=x，QD=2x-4，
∴DF=4-x，
∴y=x2+（2x-4+x）（4-x）=-x2+8x-8；
当3＜x≤时，如图，点P与点E重合．
∵CQ=（3+4）-2x=7-2x，CE=4-3=1cm，
∴y=（1+4）×3-（7-2x）×1=x+4；
（3）当0＜x≤2时，
∵QF=AF=x，PF⊥AD，
∴PQ=AP.
∵PQ=cm，
∴x=，
∴x=；
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD，
∴四边形MPFD是矩形，
∴PM=DF=4-2x，MD=PF=x，
∴MQ=x-（2x-4）=4-x.
∵MP2+MQ2=PQ2，
∴（4-2x）2+（4-x）2=，
∵△＜0，
∴方程无解，
当3＜x≤时，
∵PQ2=CP2+CQ2，
∴=1+（7-2x）2，
∴x=，
综上所述：x=或.
【点睛】
本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
4．（2019·湖北中考真题）如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
连接BE，由题意可得点E是△ABC的内心，由此可得∠AEB＝135°，为定值，确定出点E的运动轨迹是是弓形AB上的圆弧，此圆弧所在圆的圆心在AB的中垂线上，根据题意过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，在CD的延长线上，作DF＝DA，则可判定A、E、B、F四点共圆，继而得出DE＝DA＝DF，点D为弓形AB所在圆的圆心，设⊙O的半径为R，求出点C的运动路径长为，DA＝R，进而求出点E的运动路径为弧AEB，弧长为，即可求得答案.
【详解】
连结BE，
∵点E是∠ACB与∠CAB的交点，
∴点E是△ABC的内心，
∴BE平分∠ABC，
∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠AEB＝180°－(∠CAB+∠CBA)＝135°，为定值，，
∴点E的轨迹是弓形AB上的圆弧，
∴此圆弧的圆心一定在弦AB的中垂线上，
∵，
∴AD=BD，
如下图，过圆心O作直径CD，则CD⊥AB，
∠BDO＝∠ADO＝45°，
在CD的延长线上，作DF＝DA，
则∠AFB＝45°，
即∠AFB+∠AEB＝180°，
∴A、E、B、F四点共圆，
∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴DE＝DA＝DF，
∴点D为弓形AB所在圆的圆心，
设⊙O的半径为R，
则点C的运动路径长为：，
DA＝R，
点E的运动路径为弧AEB，弧长为：，
C、E两点的运动路径长比为：，
故选A.
【点睛】
本题考查了点的运动路径，涉及了三角形的内心，圆周角定理，四点共圆，弧长公式等，综合性较强，正确分析出点E运动的路径是解题的关键.
5．（2019·湖南中考真题）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
【答案】(1)证明见解析；(2)四边形EFGH是平行四边形，理由见解析；(3)四边形EFGH的周长一半大于或者等于矩形ABCD一条对角线长度，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据全等三角形的判定定理SAS证得结论；
（2）由（1）中全等三角形的性质得到：EH=GF，同理可得FE=HG，即可得四边形EFGH是平行四边形；
（3）由 轴对称--最短路径问题得到：四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
【详解】
解：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴在与中，，
∴；
(2)∵由(1)知，，则，同理证得，则，
∴四边形EFGH是平行四边形；
(3) 四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
理由如下：作G关于BC的对称点G′，连接EG′，可得EG′的长度就是EF+FG的最小值．
连接AC，
∵CG′=CG=AE，AB∥CG′，
∴四边形AEG′C为平行四边形，
∴EG′=AC．
在△EFG′中，∵EF+FG′≥EG′=AC，
∴四边形EFGH的周长一半大于或等于矩形ABCD一条对角线长度．
【点睛】
考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质．灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
6．（2020·湖南）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．10
【答案】B
【解析】
【分析】
如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．由tanA==2，设AE=a，BE=2a，利用勾股定理构建方程求出a，再证明DH=BD，推出CD+BD=CD+DH，由垂线段最短即可解决问题．
【详解】
如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∵tanA==2，设AE=a，BE=2a，
则有：100=a2+4a2，
∴a2=20，
∴a=2或-2（舍弃），
∴BE=2a=4，
∵AB=AC，BE⊥AC，CM⊥AB，
∴CM=BE=4（等腰三角形两腰上的高相等））
∵∠DBH=∠ABE，∠BHD=∠BEA，
∴，
∴DH=BD，
∴CD+BD=CD+DH，
∴CD+DH≥CM，
∴CD+BD≥4，
∴CD+BD的最小值为4．
故选B．
【点睛】
本题考查解直角三角形，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．（2019·陕西中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
【答案】2.
【解析】
【分析】
如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，由此可得，当三点共线时，取“=”，此时即PM—PN的值最大，由正方形的性质求出AC的长，继而可得，，再证明，可得PM∥AB∥CD，∠90°，判断出△为等腰直角三角形，求得长即可得答案.
【详解】
如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，根据对称性质可知，，∴，当三点共线时，取“=”，
∵正方形边长为8，
∴AC=AB=，
∵O为AC中点，
∴AO=OC=，
∵N为OA中点，
∴ON=，
∴，
∴，
∵BM=6，
∴CM=AB-BM=8-6=2，
∴，
∴PM∥AB∥CD，∠90°，
∵∠=45°，
∴△为等腰直角三角形，
∴CM==2，
故答案为：2.
【点睛】
本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的判定与性质，最值问题等，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.
8.（2019·南省衡阳市）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．
（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）求DE的长；
（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．
【分析】（1）当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，由此构建方程即可解决问题．
（2）如图1中，连接BF交AC于M．证明EF＝2EM，由此构建方程即可解决问题．
（3）证明DE＝AC即可解决问题．
（4）如图3中，连接AM，AB′．根据AB′≥AM﹣MB′求解即可解决问题．
【解答】（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝60°，
∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°，
∴6＋t＝2（6﹣t），
∴t＝3，
∴t＝3时，△BPQ是直角三角形．
（2）存在．
理由：如图1中，连接BF交AC于M．
∵BF平分∠ABC，BA＝BC，
∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm，
∵EF∥BQ，
∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°，
∴EF＝2EM，
∴t＝2?（3﹣t），
解得t＝3．
（3）如图2中，作PK∥BC交AC于K．
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠A＝60°，
∵PK∥BC，
∴∠APK＝∠B＝60°，
∴∠A＝∠APK＝∠AKP＝60°，
∴△APK是等边三角形，
∴PA＝PK，
∵PE⊥AK，
∴AE＝EK，
∵AP＝CQ＝PK，∠PKD＝∠DCQ，∠PDK＝∠QDC，
∴△PKD≌△QCD（AAS），
∴DK＝DC，
∴DE＝EK＋DK＝（AK＋CK）＝AC＝3（cm）．
（4）如图3中，连接AM，AB′
∵BM＝CM＝3，AB＝AC，
∴AM⊥BC，
∴AM＝＝3，
∵AB′≥AM﹣MB′，
∴AB′≥3﹣3，
∴AB′的最小值为3﹣3．
【点评】
本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，翻折变换，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
9．（2019?吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作□PQMN．设□PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①AB的长为 ；
②PN的长用含t的代数式表示为 ．
（2）当□PQMN为矩形时，求t的值；
（3）当□PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当过点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，直接写出t的值．
【分析】（1）根据勾股定理即可直接计算AB的长，根据三角函数即可计算出PN．
（2）当□PQMN为矩形时，由PN⊥AB可知PQ∥AB，根据平行线分线段成比例定理可得，即可计算出t的值．
（3）当□PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，Ⅰ．□PQMN在三角形内部时，Ⅱ．□PQMN有部分在外边时．由三角函数可计算各图形中的高从而计算面积．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，有两种情况，Ⅰ．过MN的中点，Ⅱ．过QM的中点．分别根据解三角形求相关线段长利用平行线等分线段性质和可列方程计算t值．
【解答】（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．
∴AB＝25．
∴sin ∠CAB＝,
由题可知AP＝5t，
∴PN＝AP?sin∠CAB＝5t·＝3t．
故答案为：①25；②3t．
（2）当□PQMN为矩形时，∠NPQ＝90°，
∵PN⊥AB，
∴PQ∥AB，
∴，
由题意可知AP＝CQ＝5t，CP＝20﹣5t，
∴，
解得t＝，
即当□PQMN为矩形时t＝．
（3）当□PQMN△ABC重叠部分图形为四边形时，有两种情况，
Ⅰ．如解图（3）1所示．□PQMN在三角形内部时．延长QM交AB于G点，
由（1）题可知：cosA＝sinB＝，cosB＝，AP＝5t，BQ＝15﹣5t，PN＝QM＝3t．
∴AN＝AP?cosA＝4t，BG＝BQ?cosB＝9﹣3t，QG＝BQ?sinB＝12﹣4t，
∵．□PQMN在三角形内部时．有0＜QM≤QG，
∴0＜3t≤12﹣4t，
∴0＜t ≤
∴NG＝25﹣4t﹣（9﹣3t）＝16﹣t．
∴当0＜t≤时，□PQMN与△ABC重叠部分图形为□PQMN，S与t之间的函数关系式为S＝PN?NG＝3t?（16﹣t）＝﹣3t2＋48t．
Ⅱ．如解图（3）2所示．当0＜QG＜QM，□PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG时，
即：0＜12﹣4t＜3t，解得： ≤ t＜3,
□PQMN与△ABC重叠部分图形为梯形PQMG的面积S＝＝(16－t)(3t＋12－4t)＝
综上所述：当0＜t≤时，S＝﹣3t2＋48t．当 ≤ t＜3，S＝．
（4）当过点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，有两种情况，
Ⅰ．如解题图（4）1，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MN中点，过R点作RH⊥AB，
∴∠PKN＝∠HKR＝∠B，
NK＝PN?cot∠PKN＝3t · ＝，
∵NR＝MR，HR∥PN∥QM，
∴NH＝GH＝，HR＝GM,
∴GM＝QM﹣QG＝3t﹣（12﹣4t ）＝7t﹣12．HR＝GM＝(7t－12)．
∴KH＝HR?cot∠HKR＝(7t－12) × ＝
∵NK＋KH＝NH，
∴
解得：t＝，
Ⅱ．如解题图（4）2，PR∥BC，PR与AB交于K点，R为MQ中点，过Q点作QH⊥PR，
∴∠HPN＝∠A＝∠QRH，四边形PCQH为矩形，
∴HQ＝QR?sin∠QRH＝
∵PC＝20﹣5t，
∴20﹣5t＝，解得t＝．
综上所述：当t＝或时，点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，
【点评】此题考查了相似形的综合，用到的知识点是勾股定理、三角形中位线定理及相似三角形的判定与性质等，关键是根据题意画出图形，分情况进行讨论，避免出现漏解．
10．（2019?江苏省苏州市）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点C）.设动点M的运动时间为t（s），的面积为S（cm?），S与t的函数关系如图②所示：
（1）直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇（不包含点C），动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）由题意得t＝2.5时，函数图象发生改变，得出t＝2.5时M运动到点B的速度为2cm/s；由t＝7.5，S＝0得出BC＝10；（2）由题意得出当在C点相遇时，v＝，当在B相遇时， v＝6即可得出答案．过点P作EF ⊥ AB于F，交CD于E，则EF//BC，由平行可得出，从而可得出AF＝2，DE＝AF＝2，CE＝BF＝3，再由勾股定理可得出EP＝6，求出和的表达式，从而可得出最终答案．
【解答】（1）2cm/s；10cm
（2）①解：∵在边BC上相遇，且不包含C点
∴
∴cm/s＜v ≤ 6cm/s
②如右图
＝15
过M点做MH⊥AC，则MH＝CM＝
∴
∴
因为,所以当时，取最大值.
【点评】本题是四边形与动点的综合问题，综合性较强，有一定难度，正确理解函数图象上的拐点的意义是解题的关键．
11．（2019?江苏省扬州市）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
【分析】（1）①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，由梯形面积公式得出方程，解方程即可；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，得出0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12＋20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，则PM＝x，PN＝x﹣10，
EF＝BC＝10，由等腰直角三角形的性质得出GE＝CD＝10，得出GF＝GE＋EF＝20，GH＝20﹣x，证明△GPQ∽△GDC，得出比例式，得出PQ＝40﹣2x，求出梯形AMQP的面积＝（12＋40﹣2x）×x＝﹣（x﹣13）2＋169，由二次函数的性质即可得出结果；
（2）P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，梯形AMQP的面积S＝（a＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋x，对称轴x＝10＋，得出10≤10＋≤15，对称轴在10和15之间，得出10≤x≤20，二次函数图象开口向下，当x＝20时，S最小，得出﹣202＋×20≥50，a≥5；即可得出答案．
【解答】（1）解：①P在线段AD上，PQ＝AB＝20，AP＝x，AM＝12，
四边形AMQP的面积＝（12＋20）x＝48，
解得：x＝3；
故答案为：3；
②当P，在AD上运动时，P到D点时四边形AMQP面积最大，为直角梯形，
∴0＜x≤10时，四边形AMQP面积的最大值＝（12＋20）10＝160，
当P在DG上运动，10＜x≤20，四边形AMQP为不规则梯形，
作PH⊥AB于M，交CD于N，作GE⊥CD于E，交AB于F，如图2所示：
则PM＝x，PN＝x﹣10，EF＝BC＝10，
∵△GDC是等腰直角三角形，
∴DE＝CE，GE＝CD＝10，
∴GF＝GE＋EF＝20，
∴GH＝20﹣x，
由题意得：PQ∥CD，
∴△GPQ∽△GDC，
∴，
即，
解得：PQ＝40﹣2x，
∴梯形AMQP的面积＝（12＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋26x＝﹣（x﹣13）2＋169，
∴当x＝13时，四边形AMQP的面积最大＝169；
（2）解：P在DG上，则10≤x≤20，AM＝a，PQ＝40﹣2x，
梯形AMQP的面积S＝（a＋40﹣2x）×x＝﹣x2＋x，对称轴为：x＝10＋，
∵0≤x≤20，
∴10≤10＋≤15，对称轴在10和15之间，
∵10≤x≤20，二次函数图象开口向下，
∴当x＝20时，S最小，
∴﹣202＋×20≥50，
∴a≥5；
综上所述，a的取值范围为5≤a≤20．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质、梯形面积公式、二次函数的性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键．
12．（2019?山东省青岛市）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）当点E在∠BAC的平分线上时，因为EP⊥AB，EC⊥AC，可得PE＝EC，由此构建方程即可解决问题．
（2）根据S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）构建函数关系式即可．
（3）利用二次函数的性质解决问题即可．
（4）证明∠EOC＝∠QOG，可得tan∠EOC＝tan∠QOG，推出，由此构建方程即可解决问题．
【解答】（1）在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴AC＝(cm），
∵OD垂直平分线段AC，
∴OC＝OA＝3（cm），∠DOC＝90°，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠DCO，
∵∠DOC＝∠ACB，
∴△DOC∽△BCA，
∴，
∴'
∴CD＝5（cm），OD＝4（cm），
∵PB＝t，PE⊥AB，
易知：PE＝t，BE＝t，
当点E在∠BAC的平分线上时，
∵EP⊥AB，EC⊥AC，
∴PE＝EC，
∴t＝8﹣t，
∴t＝4．
∴当t为4秒时，点E在∠BAC的平分线上．
（2）如图，连接OE，PC．
S四边形OPEG＝S△OEG＋S△OPE＝S△OEG＋（S△OPC＋S△PCE﹣S△OEC）
＝?（4﹣t）?3＋[?3?（8﹣t）＋?（8﹣t）?t﹣?3?（8﹣t）
＝﹣t2＋t＋16（0＜t＜5）．
（3）存在．
∵S＝﹣（t﹣）2＋（0＜t＜5），
∴t＝时，四边形OPEG的面积最大，最大值为．
（4）存在．如图，连接OQ．
∵OE⊥OQ，
∴∠EOC＋∠QOC＝90°，
∵∠QOC＋∠QOG＝90°，
∴∠EOC＝∠QOG，
∴tan∠EOC＝tan∠QOG，
∴，
∴
整理得：5t2﹣66t＋160＝0，
解得t＝或10（舍弃）
∴当t＝秒时，OE⊥OQ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
13．（2019?天津市）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）由已知得出AD＝OA﹣OD＝4，由矩形的性质得出∠AED＝∠ABO＝30°，在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，由勾股定理得出ED＝4，即可得出答案；
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，得出∠E′FM＝∠ABO＝30°，在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝t，求出S△MFE′＝ME′?FE′＝×t×t＝，S矩形C′O′D′E′＝O′D′?E′D′＝2×4＝8，即可得出答案；
②当S＝时，O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，由直角三角形的性质得出O'F＝O'A＝（6﹣t），得出方程，解方程即可；
当S＝5时，O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，由直角三角形的性质得出O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），由梯形面积公式得出S＝ [（6﹣t）＋（4﹣t）]×2＝5，解方程即可．
【解答】（Ⅰ）∵点A（6，0），
∴OA＝6，
∵OD＝2，
∴AD＝OA﹣OD＝6﹣2＝4，
∵四边形CODE是矩形，
∴DE∥OC，
∴∠AED＝∠ABO＝30°，
在Rt△AED中，AE＝2AD＝8，ED＝4，
∵OD＝2，
∴点E的坐标为（2，4）；
（Ⅱ）①由平移的性质得：O′D′＝2，E′D′＝4，ME′＝OO′＝t，D′E′∥O′C′∥OB，
∴∠E′FM＝∠ABO＝30°，
∴在Rt△MFE′中，MF＝2ME′＝2t，FE′＝ t，
∴S△MFE′＝ME′?FE′＝×t×t＝，
∵S矩形C′O′D′E′＝O′D′?E′D′＝2×4＝8，
∴S＝S矩形C′O′D′E′﹣S△MFE′＝8﹣，
∴S＝﹣t2＋8，其中t的取值范围是：0＜t＜2；
②当S＝时，如图③所示：
O'A＝OA﹣OO'＝6﹣t，
∵∠AO'F＝90°，∠AFO'＝∠ABO＝30°，
∴O'F＝O'A＝（6﹣t）
∴S＝（6﹣t）×（6﹣t）＝，
解得：t＝6﹣，或t＝6＋（舍去），
∴t＝6﹣；当S＝5时，如图④所示：
O'A＝6﹣t，D'A＝6﹣t﹣2＝4﹣t，
∴O'G＝（6﹣t），D'F＝（4﹣t），
∴S＝ [（6﹣t）＋（4﹣t）]×2＝5，
解得：t＝，
∴当≤S≤5时，t的取值范围为≤t≤6﹣．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平移的性质、直角三角形的性质、梯形面积公式等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握含30°角的直角三角形的性质时是解题的关键．
一、动点问题解题技巧
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二、求最值问题
利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：
两点之间线段最短；
三角形两边之和大于第三边；
垂线段最短。
求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
动点构成特殊图形问题
动点问题的一般性解题过程及思路如下：
（1）把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的量。
（2）先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意的图形——化动为静。
（3）根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含 t 的代数式表示出来。
（4）根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题。
2020中考数学几何专题突破
模块四：动点最值问题
1．（2019·安徽中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC=12，点P在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P的个数是（ ）
A．0 B．4 C．6 D．8
2．（2018·贵州中考真题）如图，在△ABC中，BC=6，BC边上的高为4，在△ABC的内部作一个矩形EFGH，使EF在BC边上，另外两个顶点分别在AB、AC边上，则对角线EG长的最小值为_____．
3．（2019·吉林中考真题）如图，在矩形中，，为边上一点，，连接．动点从点同时出发，点以的速度沿向终点运动；点以的速度沿折线向终点运动．设点运动的时间为，在运动过程中，点，点经过的路线与线段围成的图形面积为．
⑴________,________°；
⑵求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
⑶当时，直接写出的值．
4．（2019·湖北中考真题）如图，是的直径，、是弧（异于、）上两点，是弧上一动点，的角平分线交于点，的平分线交于点．当点从点运动到点时，则、两点的运动路径长的比是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·湖南中考真题）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA(不包括端点)上运动，且满足，．
(1)求证：；
(2)试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
(3)请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．
6．（2020·湖南）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是( )
A． B． C． D．10
7．（2019·陕西中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6. P为对角线BD上一点，则PM—PN的最大值为___.
8.（2019·南省衡阳市）如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．
（1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形；
（2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）求DE的长；
（4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．
9．（2019?吉林省长春市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15．点P从点A出发，沿AC向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿射线CB运动，它们的速度均为每秒5个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动．当点P不与点A、C重合时，过点P作PN⊥AB于点N，连结PQ，以PN、PQ为邻边作□PQMN．设□PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒．
（1）①AB的长为 ；
②PN的长用含t的代数式表示为 ．
（2）当□PQMN为矩形时，求t的值；
（3）当□PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式；
（4）当过点P且平行于BC的直线经过□PQMN一边中点时，直接写出t的值．
10．（2019?江苏省苏州市）已知矩形ABCD中，AB＝5cm，点P为对角线AC上的一点，且AP＝.如图①，动点M从点A出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动（不包含点C）.设动点M的运动时间为t（s），的面积为S（cm?），S与t的函数关系如图②所示：
（1）直接写出动点M的运动速度为 ，BC的长度为 ;
（2）如图③，动点M重新从点A出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N从点D出发，在矩形边上沿着的方向匀速运动，设动点N的运动速度为.已知两动点M、N经过时间在线段BC上相遇（不包含点C），动点M、N相遇后立即停止运动，记此时的面积为.
①求动点N运动速度的取值范围;
②试探究是否存在最大值.若存在，求出的最大值并确定运动速度时间的值；若不存在，请说明理由.
11．（2019?江苏省扬州市）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝20，BC＝10，以CD为一边向矩形外部作等腰直角△GDC，∠G＝90°．点M在线段AB上，且AM＝a，点P沿折线AD﹣DG运动，点Q沿折线BC﹣CG运动（与点G不重合），在运动过程中始终保持线段PQ∥AB．设PQ与AB之间的距离为x．
（1）若a＝12．
①如图1，当点P在线段AD上时，若四边形AMQP的面积为48，则x的值为 ；
②在运动过程中，求四边形AMQP的最大面积；
（2）如图2，若点P在线段DG上时，要使四边形AMQP的面积始终不小于50，求a的取值范围．
12．（2019?山东省青岛市）已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，OD垂直平分A C．点P从点B出发，沿BA方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作PE⊥AB，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，分别交AD，OD于点F，G．连接OP，EG．设运动时间为t（s）（0＜t＜5），解答下列问题：
（1）当t为何值时，点E在∠BAC的平分线上？
（2）设四边形PEGO的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形PEGO的面积最大？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）连接OE，OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OE⊥OQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
13．（2019?天津市）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．
（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；
（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．
①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；
②当≤S≤5时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．
一、动点问题解题技巧
解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。
二、求最值问题
利用轴对称性质实现“搬点移线”求几何图形中一些线段和最小值问题。利用轴对称的性质解决几何图形中的最值问题借助的主要基本定理有三个：
两点之间线段最短；
三角形两边之和大于第三边；
垂线段最短。
求线段和最小值问题可以归结为：一个动点的最值问题，两个动点的最值问题。
动点构成特殊图形问题
动点问题的一般性解题过程及思路如下：
（1）把握运动变化的形式及过程;思考运动初始状态时几何元素的关系，以及可求出的量。
（2）先确定特定图形中动点的位置,画出符合题意的图形——化动为静。
（3）根据已知条件，将动点的移动距离以及解决问题时所需要的条件用含 t 的代数式表示出来。
（4）根据所求,利用特殊图形的性质或相互关系，找出等量关系列出方程来解决动点问题。
