2018-2019学年陕西省商洛市洛南县高二（下）期中数学试卷（理科）（word版含答案解析）

2018-2019学年陕西省商洛市洛南县高二（下）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12个小題，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）i为虚数单位，则（）2018＝（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
2．（5分）如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（　　）
A． B． C． D．
3．（5分）可导函数y＝f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的（　　）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．必要非充分条件
4．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）时，从n＝k（k∈N*）到n＝k+1时左边需增乘的代数式是（　　）
A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．
5．（5分）观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cosx）′＝﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（　　）
A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）
6．（5分）函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
7．（5分）在平面直角坐标系中，方程+＝1表示x、y轴上的截距分别为a、b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x、y、z轴上截距分别为a、b、c（abc≠0）的平面方程为（　　）
A．++＝1 B．++＝1
C．++＝1 D．ax+by+cz＝1
8．（5分）平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，有f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，则f（n）＝（　　）
A．2n B．n2﹣n+2
C．2n﹣（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3） D．n3﹣5n2+10n﹣4
9．（5分）函数y＝lnx（x＞0）的图象与直线相切，则a等于（　　）
A．ln2﹣1 B．ln2+1 C．ln2 D．2ln2
10．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f′（xA）与f′（xB）的大小关系是（　　）
A．f′（xA）＞f′（xB） B．f′（xA）＜f′（xB）
C．f′（xA）＝f′（xB） D．不能确定
11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
12．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（　　）
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z满足|z﹣1﹣i|＝1，则|z|的最小值是　 　．
14．（5分）曲线y＝x3在点（1，1）切线方程为　 　．
15．（5分）将正奇数排列如下表其中第i行第j个数表示aij（i∈N*，j∈N*），例如a32＝9，若aij＝2009，则i+j＝　 　．
16．（5分）已知函数f（x）＝x3+x2+ax，若g（x）＝，对任意x1∈[，2]，存在x2∈[，2]，使f'（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）若x、y、z均为实数，且a＝x2﹣2y+，b＝y2﹣2z+，c＝z2﹣2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由．
18．（12分）已知复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）?z为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若w＝，求复数w的模|w|．
19．（12分）已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤．
20．（12分）求抛物线y2＝2x与直线y＝4﹣x围成的平面图形的面积．
21．（12分）当n∈N*时，，Tn＝+++…+．
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+1．
（1）f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx区间[﹣2，2]上存在递减区间，求实数m的取值范围．

2018-2019学年陕西省商洛市洛南县高二（下）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12个小題，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）i为虚数单位，则（）2018＝（　　）
A．i B．﹣i C．1 D．﹣1
【解答】解：∵，
∴（）2018＝i2018＝i4×504+2＝﹣1．
故选：D．
2．（5分）如图是今年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：观察已知的三个图象，
每一次变化相当于“顺时针”旋转2个角，
根据些规律观察四个答案，
发现A符合要求．
故选：A．
3．（5分）可导函数y＝f（x）在某一点的导数值为0是该函数在这点取极值的（　　）
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．必要非充分条件
【解答】解：如y＝x3，y′＝3x2，y′|x＝0＝0，但x＝0不是函数的极值点．
若函数在x0取得极值，由定义可知f′（x0）＝0，所以f′（x0）＝0是x0为函数y＝f（x）的极值点的必要不充分条件
故选：D．
4．（5分）用数学归纳法证明（n+1）（n+2）（n+3）…（n+n）＝2n×1×3×…×（2n﹣1）（n∈N*）时，从n＝k（k∈N*）到n＝k+1时左边需增乘的代数式是（　　）
A．2k+1 B．2（2k+1） C． D．
【解答】解：n＝k时，左边＝（k+1）（k+2）（k+3）…（k+k），
当n＝k+1时，左边＝（k+2）（k+3）…（k+k）（k+k+1）（k+k+2），
∴需要增乘的式子为＝2（2k+1）．
故选：B．
5．（5分）观察（x2）′＝2x，（x4）′＝4x3，（cosx）′＝﹣sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（﹣x）＝（　　）
A．﹣g（x） B．f（x） C．﹣f（x） D．g（x）
【解答】解：由（x2）'＝2x中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（x4）'＝4x3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
（cosx）'＝﹣sinx中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；
…
我们可以推断，偶函数的导函数为奇函数．
若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）＝f（x），
则函数f（x）为偶函数，
又∵g（x）为f（x）的导函数，则g（x）奇函数
故g（﹣x）+g（x）＝0，即g（﹣x）＝﹣g（x），
故选：A．
6．（5分）函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是（　　）
A．2 B．1 C．0 D．由a确定
【解答】解：f′（x）＝3x2+6x+3＝3（x+1）2≥0，
∴函数f（x）在R上单调递增，
∴函数f（x）＝x3+3x2+3x﹣a的极值点的个数是0个，
故选：C．
7．（5分）在平面直角坐标系中，方程+＝1表示x、y轴上的截距分别为a、b的直线，类比到空间直角坐标系中，在x、y、z轴上截距分别为a、b、c（abc≠0）的平面方程为（　　）
A．++＝1 B．++＝1
C．++＝1 D．ax+by+cz＝1
【解答】解：∵在平面直角坐标系中，方程+＝1表示的图形是一条直线，
具有特定性质：“在x轴，y轴上的截距分别为a，b”
类比到空间坐标系中，在x、y、z轴上截距分别为a、b、c（abc≠0）的平面方程为++＝1．
故选：A．
8．（5分）平面上有n个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f（n）块区域，有f（1）＝2，f（2）＝4，f（3）＝8，则f（n）＝（　　）
A．2n B．n2﹣n+2
C．2n﹣（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3） D．n3﹣5n2+10n﹣4
【解答】解：∵一个圆将平面分为2块区域，即f（1）＝2＝12﹣1+2，
两个圆相交将平面分为4＝2+2块区域，即f（2）＝2+2＝22﹣2+2，
三个圆相交将平面分为8＝2+2+4块区域，即f（3）＝2+2×3＝32﹣3+2，
四个圆相交将平面分为14＝2+2+4+6块区域，即f（4）＝2+3×4＝42﹣4+2，
…
平面内n个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，
则该n个圆分平面区域数f（n）＝n2﹣n+2
故选：B．
9．（5分）函数y＝lnx（x＞0）的图象与直线相切，则a等于（　　）
A．ln2﹣1 B．ln2+1 C．ln2 D．2ln2
【解答】解：∵，
由得切点为（2，ln2），
代入，
得a＝ln2﹣1．
故选：A．
10．（5分）已知函数y＝f（x）的图象如图，则f′（xA）与f′（xB）的大小关系是（　　）
A．f′（xA）＞f′（xB） B．f′（xA）＜f′（xB）
C．f′（xA）＝f′（xB） D．不能确定
【解答】解：由图象可知函数在A处的切线斜率小于B处的切线斜率，
∴根据导数的几何意义可知f′（xA）＜f′（xB），
故选：B．
11．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，+∞）
【解答】解：设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则∵函数g（x）单调递增，
∴由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B．
12．（5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是（　　）
A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民
B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人
C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民
D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人
【解答】解：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”知丙是农民，且丙比乙小；
再由“丙的年龄比知识分子大”可知，甲是知识分子；故乙是工人．
对比选项，选项C正确．
故选：C．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知复数z满足|z﹣1﹣i|＝1，则|z|的最小值是　　．
【解答】解：∵复数z满足|z﹣1﹣i|＝1，
∴点z对应的点在以（1，1）为圆心，1为半径的圆上，
要求|z|的最小值，只要找出圆上的点到原点距离最小的点即可，
连接圆心与原点，长度是，
最短距离要减去半径﹣1
故答案为：﹣1
14．（5分）曲线y＝x3在点（1，1）切线方程为　3x﹣y﹣2＝0　．
【解答】解：y'＝3x2
y'|x＝1＝3，切点为（1，1）
∴曲线y＝x3在点（1，1）切线方程为3x﹣y﹣2＝0
故答案为：3x﹣y﹣2＝0
15．（5分）将正奇数排列如下表其中第i行第j个数表示aij（i∈N*，j∈N*），例如a32＝9，若aij＝2009，则i+j＝　60　．
【解答】解：根据正奇数排列的正三角图表知，2009是第1005个奇数，应排在i行（其中i∈N*），
则1+2+3+…+（i﹣1）＝＜1005①，且1+2+3+…+i＝＞1005②；
验证i＝45时，①②式成立，所以i＝45；
第45行第1个奇数是2×+1＝1981，而1981+2（j﹣1）＝2009，∴j＝15；
所以，2009在第45行第15个数，则i+j＝60；
故答案为：60．
16．（5分）已知函数f（x）＝x3+x2+ax，若g（x）＝，对任意x1∈[，2]，存在x2∈[，2]，使f'（x1）≤g（x2）成立，则实数a的取值范围是　　．
【解答】解：对任意，存在，使f'（x1）≤g（x2），
∴[f'（x）]max≤[g（x）]max，
∵函数f（x）＝x3+x2+ax，g（x）＝，
∴f′（x）＝x2+2x+a＝（x+1）2+a﹣1，
∵f'（x）＝（x+1）2+a﹣1在上单调递增，
∴f'（x）max＝f'（2）＝8+a，
g（x）在上单调递减，则，
∴，解得．
∴实数a的取值范围是．
故答案为：．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）若x、y、z均为实数，且a＝x2﹣2y+，b＝y2﹣2z+，c＝z2﹣2x+，则a、b、c中是否至少有一个大于零？请说明理由．
【解答】解：假设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0．
而a+b+c＝x2﹣2y++y2﹣2z++z2﹣2x+＝（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2+π﹣3，
∵π﹣3＞0，且无论x、y、z为何实数，
（x﹣1）2+（y﹣1）2+（z﹣1）2≥0，
∴a+b+c＞0．这与a+b+c≤0矛盾．因此，a、b、c中至少有一个大于0．
18．（12分）已知复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）?z为纯虚数．
（1）求复数z；
（2）若w＝，求复数w的模|w|．
【解答】解：（1）复数z＝3+bi（b∈R），且（1+3i）?z为纯虚数．
即（1+3i）?（3+bi）＝3﹣3b+（9+b）i为纯虚数，∴3﹣3b＝0，9+b≠0，
解得b＝1．
∴z＝3+i．
（2）w＝＝＝＝，
∴复数w的模|w|＝＝．
19．（12分）已知a，b，c，d∈（0，+∞），求证ac+bd≤．
【解答】（本小题满分10分）
证明：法一：（分析法）
a，b，c，d∈（0，+∞），欲证ac+bd≤，只需证（ac+bd）2≤（a2+b2）（c2+d2），
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+b2d2+a2d2+b2c2，即证2abcd≤a2d2+b2c2，
即证0≤（bc﹣ad）2，而a，b，c，d∈（0，+∞），0≤（bc﹣ad）2显然成立，
故原不等式成立．
法二：（综合法）（a2+b2）（c2+d2）＝a2c2+b2d2+a2d2+b2c2≥a2c2+b2d2+2abcd
＝（ac+bd）2，所以≥ac+bd．
20．（12分）求抛物线y2＝2x与直线y＝4﹣x围成的平面图形的面积．
【解答】解：由方程组解出抛物线和直线的交点为（2，2）及（8，﹣4）…（2分）
解法1：选x作为积分变量，由图可看出S＝A1+A2
在A1部分：由于抛物线的上半支方程为，下半支方程为所以…（3分）…（5分）＝…（7分）…（9分）＝…（11分）
于是：…（12分）
解法二：选y作积分变量，将曲线方程写为及x＝4﹣y…（2分）
…（6分
）＝…（10分）
…（12分）
21．（12分）当n∈N*时，，Tn＝+++…+．
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．
【解答】解：（Ⅰ）∵当n∈N*时，，Tn＝+++…+．
∴S1＝1﹣＝，S2＝1﹣+﹣＝，T1＝＝，T2＝+＝（2分）
（Ⅱ）猜想：Sn＝Tn（n∈N*），即：
1﹣+﹣+…+﹣＝+++…+
（n∈N*）（5分）
下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，已证S1＝T1（6分）
②假设n＝k时，Sk＝Tk（k≥1，k∈N*），
即：1﹣+﹣+…+﹣＝+++…+（8分）
则：Sk+1＝Sk+﹣＝Tk+﹣（10分）
＝+++…++﹣（11分）
＝++…+++（﹣）
＝++…++＝Tk+1，
由①，②可知，对任意n∈N*，Sn＝Tn都成立．（14分）
22．（12分）已知函数f（x）＝x3﹣2x2+1．
（1）f（x）在区间[﹣1，1]上的最大值；
（2）若函数g（x）＝f（x）﹣mx区间[﹣2，2]上存在递减区间，求实数m的取值范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣2x2+1的导数为f′（x）＝3x2﹣4x＝3x（x﹣），
令f′（x）＝0，解得x1＝0，x2＝（3分）
∵＞1，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，在[0，1]上为减函数，
x
[﹣1，0]
0
（0，1]
f′（x）
+
0
﹣
f（x）
递增
极大值
递减
∴f（x）max＝f（0）＝1（6分）
（2）g（x）＝x3﹣2x2﹣mx+1，g′（x）＝3x2﹣4x﹣m，
∵g（x）在[﹣2，2]上存在递减区间，∴g′（x）＜0在x∈[﹣2，2]上有解，（9分）
∴m＞3x2﹣4x在x∈[﹣2，2]上有解．
∴m＞（3x2﹣4x）min，
3x2﹣4x＝3（x﹣）2﹣
当x＝∈[﹣2，2]，取得最小值﹣，
所以，实数m的取值范围为（﹣，+∞）．