【备战2020】中考数学二轮专题：函数综合复习（角度&距离）复习学案（上海地区专用）

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备战2020中考数学二轮专题复习学案
函数综合复习（角度&距离）

函数基础知识点梳理：
反比例函数 一次函数 二次函数
最高次系 数符号
图象
性质 图象经过一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小。 1.图象经过二、四象限 2.在每一象限内，随的增大而增大。 1.图象经过一、三象限 2.随的增大而增大。 1.图象经过二、四象限 2.随的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直 3.顶点坐标： 1.开口向下 2.对称轴：直 3.顶点坐标：



二、典型例题
例1.如图，已知抛物线过点，对称轴为轴，顶点为。
（★★★★）
（1）求该抛物线的表达式，写出其顶点的坐标，并画出其大致图像；
（2）把该抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位（），记新抛物线的顶点为，与轴的交点为。
①试用的代数式表示点、点的坐标；②若，试求的值。


【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，点坐标可求；
2二次函数经过
【满分解答】
(1)∵抛物线过点A(2，0)，对称轴为y轴
∴ b=0，c=4
∴

大致图像如图。

(2)①∵抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位()
∴

所以
②由已知，，又
∴与相似。
i）当点C在y轴正半轴，即时

∵

OP=4
解得(舍去)
ii)当点C在y轴负半轴，点时

∵
解得（舍去）
（负根舍去）
∴


对应练习：
1.如图，已知二次函数的图像经过点和点，与y轴相交于点C，顶点为D，且。（★★★★）
（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）设点A关于y轴的对称点为E，联结DE、CD，求的度数。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，；
2.二次函数经过，，三点；
3.其它已知条件：。
二.求解二次函数的解析式：先利用求解点坐标，再将点、的坐标代入函数解析式，解方程组可得。
三.求的度数：
1.写出点的坐标；
2.判定的形状：可得为等腰直角三角形
3.求解的度数。
【满分解答】（1）根据题意，得点C的坐标为（0,3）。
在中，
∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即点A的坐标为（1,0）．
∴ 解得
∴所求的函数解析式为．
顶点D的坐标为（2,-1）．
（2）根据题意，得点的坐标为（-1,0），联结。
∵，，，∴。
∴是等腰直角三角形。
∴∠CDE=45°。
例2.已知、、是抛物线上的三点，它们相应的横坐标为连续偶数、、（其中），直线、、分别垂直轴于点、、，直线交直线于点。（★★★★）
（1）当时，如图l，求线段的长；
（2）如图2，若将抛物线改为抛物线（其中是常数，且），其他
条件不变，求线段的长；
（3）若将抛物线'改为抛物线（其中、是常数，且），其他条
件不变，试猜想线段的长，并直接写出结果．（结果用、表示）。


【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：、、、、、的坐标都可以用含的代数式表示；
2.点、、相应的横坐标为连续偶数、、（其中）；
二.当时，如图l，求线段的长：代入计算；
方法一：.利用直线方程求解，点在直线上，利用相关点的坐标计算求解；
方法二：利用题型中位线求解，为梯形的中位线，则

三.当二次函数方程变化时，求线段的长：同理根据前面一小问可得。
四.当二次函数方程变化时，猜想线段的长：同理根据前面一小问可得。

【满分解答】
(1)解法一：∵当时，、、三点的横坐标依次为2、4、6，
∴可求 (2，1)， (4，4)， (6，9) （3分）
设直线的解析式为，∴解得
∴直线的解析式为．
∴可求(4，5)
∴．
解法二：∵当时，、、三点的横坐标依次为2、4、6，
∴，，
可证
∴
(2)解法一，∵、、三点的横坐标为连续偶数（2）、、(2)，
∴可求 ，，
设直线的解析式为， ∴
解得：
∴直线的解析式为
∴可求
∴
解法二：、、三点的横坐标为连续偶数（2）、、(2)，
则，，
可证：
∴．


三、巩固练习：
【备注】本部分为巩固训练，时间为7分钟，学生独立完成后再讲解。
1.如图，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点。（★★★★）
（1）求抛物线的解析式及其顶点的坐标；
（2）设直线交轴于点；在线段的垂直平分线上是否存在点，使得点到直线的距离等于点到原点的距离？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，；
2.二次函数经过，，三点。
二.求解二次函数解析式和顶点坐标：将、、三点代入函数解析式，解方程组；再利用配方法求顶点坐标。
三.求解点的坐标：
1.条件：点到直线的距离等于点到原点的距离；
2.利用直线交点情况求解点的坐标，可得、；
2.设的垂直平分线交轴于点，直线交线段的垂直平分线于点，过点作交于点；
3.设，利用求解点的坐标；在计算求解。
【满分解答】
（1）设该抛物线的解析式为，
由抛物线与轴交于点,可知
即抛物线的解析式为．
把，，代入, 得 解得.
∴ 抛物线的解析式为
∴ 顶点的坐标为。
（2）设的垂直平分线交轴于点，直线交线段的垂直平分线于点，
直线的解析式为
∴ ,,即直线的解析式为
∴ 点坐标为 , 点坐标为 ,，
假设线段的垂直平分线上存在点，那么令点坐标为 ，
过点作交于点，则有，
由题意知，
∴．∴
解得
∴ 点坐标为

回顾总结：
函数综合题目考点分析：
求解函数解析式，以二次函数为主；
求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；
以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需要及时画图观察。
实战演练：
1、在平面直角坐标系xOy中，如图，抛物线y＝mx2﹣2x+n（m、n是常数）经过点A（﹣2，3）、B（﹣3，0），与y轴的交点为点C．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．

【答案】解：（1）依题意得：，
解得：，
∴抛物线的表达式是y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）∵抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与y轴交点为点C，
∴点C的坐标是（0，3），
又点B的坐标是（﹣3，0），
∴OC＝OB＝3，∠CBO＝45°，
∴∠DBO＝30°或60°．
在直角△BOD中，DO＝BO?tan∠DBO，
∴或，
∴或．

（3）由抛物线y＝﹣x2﹣2x+3得：对称轴是直线x＝﹣1，
根据题意：设P（﹣1，t），
又点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，0），
∴BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解之得：t＝﹣2，
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解之得：t＝4，
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解之得：，．
综上所述P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或．
【点睛】本题是二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点．
2、如图，已知对称轴为直线x＝﹣1的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中A（1，0）．
（1）求点B的坐标及此抛物线的表达式；
（2）点D为y轴上一点，若直线BD和直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）设点P为抛物线的对称轴x＝﹣1上的一个动点，当△BPC为直角三角形时，求点P的坐标．

【答案】解：（1）∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴1，
∵抛物线y＝ax2+bx+3与y轴交于C点，
∴c＝3，C（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A点，A点的坐标为（1，0），
∴a+b+c＝0，即：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵对称轴为x＝﹣1，
且抛物线经过A（1，0），
∴B（﹣3，0）；
（2）∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠CBO＝45°，
∵直线BD和直线BC的夹角为15°，
∴∠DBO＝30°或∠DBO＝60°，
在Rt△BOD中，DO＝BO?tan∠DBO，
∵BO＝3，
当∠DBO＝30°时，如图1所示：

tan30°，
∴DO，
∴CD＝OC﹣DO＝3；
当∠DBO＝60°时，如图2所示：

tan60°，DO，
∴CD＝DO﹣OC，
∴CD的长度为3或；
（3）设P（﹣1，t），∵B（﹣3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
由勾股定理得：BC2＝18，PB2＝（﹣1+3）2+t2＝4+t2，PC2＝（﹣1）2+（t﹣3）2＝t2﹣6t+10，
分情况讨论：如图3所示：

①若点B为直角顶点，则BC2+PB2＝PC2，
即：18+4+t2＝t2﹣6t+10，解得：t＝﹣2；
②若点C为直角顶点，则BC2+PC2＝PB2，
即：18+t2﹣6t+10＝4+t2，解得：t＝4；
③若点P为直角顶点，则PB2+PC2＝BC2，
即：4+t2+t2﹣6t+10＝18，解得：，；
综上所述，当△BPC为直角三角形时，点P的坐标为（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）或或．
【点睛】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求二次函数的解析式，方程组的解法、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论；本题综合性强，有一定难度，注意分类讨论．












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