湘教版数学九年级上册第二章 一元二次方程 测试卷（含答案）

湘教版数学九年级上册第二章测试卷
一、选择题(每题3分，共30分)
1．下列方程是一元二次方程的是(　　)
A．9x＋2＝0 B．z2＋x＝1 C．3x2－8＝0 D.＋x2＝0
2．一元二次方程x2－8x－1＝0配方后为(　　)
A．(x－4)2＝17 B．(x＋4)2＝15 C．(x＋4)2＝17 D．(x－4)2＝15
3．将方程x(x－1)＝4(x＋1)化为一般形式后，二次项系数、一次项系数与常数项之和为(　　)
A．0 B．10 C．4 D．－8
4．已知关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的一个实数根为2，则另一个实数根及m的值分别为(　　)
A．4，－2 B．－4，－2 C．4，2 D．－4，2
5．下列一元二次方程中，没有实数根的是(　　)
A．x2－2x＝0 B．x2＋4x－1＝0 C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2
6．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为(　　)
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
7．关于x的方程x2－ax＋2a＝0的两根的平方和是5，则a的值是(　　)
A．－1或5 B．1 C．5 D．－1
8．一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程(x－2)(x－4)＝0的根，则这个三角形的周长是(　　)
A．11 B．11或13 C．13 D．以上选项都不正确
9．若一元二次方程x2－2x－m＝0无实数根，则一次函数y＝(m＋1)x＋m－1的图象不经过第(　　)象限．
A．四 B．三 C．二 D．一
　
10．如图，将边长为2 cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1 cm2，则它移动的距离AA′等于(　　)
A．0.5 cm B．1 cm
C．1.5 cm D．2 cm
二、填空题(每题3分，共24分)
11．若方程(a－2)x|a|＋3ax＋1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值是________．
12．已知关于x的一元二次方程mx2＋5x＋m2－2m＝0有一个根为0，则m＝________.
13．某市加大了对雾霾的治理力度，2019年第一季度投入资金100万元，第二季度和第三季度共投入资金260万元，求这两个季度投入资金的平均增长率．设这两个季度投入资金的平均增长率为x，根据题意可列方程为________________________．
14．关于x的两个方程x2－4x＋3＝0与＝有一个解相同，则a＝________.
15．已知a，b是一元二次方程x2－2x－1＝0的两个实数根，则代数式(a－b)(a＋b－2)＋ab＝________．
16．如图，一个矩形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5 cm，容积是500 cm3的无盖长方体容器，那么这块铁皮的长为__________，宽为__________．(铁皮厚度忽略不计)
　
17．对于实数a，b，定义运算“?”：a?b＝例如：4?2，因为4＞2，所以4?2＝42－4×2＝8.若x1，x2是一元二次方程x2－5x＋6＝0的两个根，则x1?x2＝________．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t s(0三、解答题(19～22题每题10分，23题12分，24题14分，共66分)
19．用适当的方法解下列方程．
(1)x2－4x－1＝0; (2)x2－1＝2(x＋1)；
(3)x2＋3x＋1＝0; (4)(y＋1)(y－1)＝2y－1.
20.已知关于x的方程4x2－(k＋2)x＋k－1＝0有两个相等的实数根．
(1)求k的值；
(2)求此时方程的根．
21．已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝p(p＋1)．
(1)试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；
(2)若原方程的两根x1，x2满足x12＋x22－x1x2＝3p2＋1，求p的值．
22．某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件．批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格．第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
(1)填表(不需化简)：
时间
第一个月
第二个月
清仓时
单价/元
80
40
销售量/件
200
(2)如果批发商希望通过销售这批T恤获利9 000元．那么第二个月的单价应是多少元？
23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，若点P从点A沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，两点同时出发．
(1)问几秒后，△PBQ的面积为8 cm2?
(2)出发几秒后，线段PQ的长为4 cm?
(3)△PBQ的面积能否为10 cm2？若能，求出时间；若不能，请说明理由．
24．某中学九年级准备组织学生去方特梦幻王国进行春游活动．方特梦幻王国给出了学生团体门票的优惠价格：如果学生人数不超过30名，那么门票为每张240元；如果人数超过了30名，则每超过1名，每张门票就降低2元，但每张门票最低不能少于200元．
(1)若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？
(2)若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费多少元？
(3)若三班交了门票费9 450元，请问该班参加春游的学生有多少名？
答案
一、1.C　2.A　3.D　4.D　5.C　
6．C　解析：设参加酒会的人数为x人，根据题意得x(x－1)＝55，
整理，得x2－x－110＝0，
解得x1＝11，x2＝－10(不合题意，舍去)．所以参加酒会的人数为11人．
7．D　8.C　9.D
10．B　解析：设AC交A′B′于H.
∵∠DAC＝45°，∠AA′H＝90°，
∴△AA′H是等腰直角三角形．
设AA′＝x cm，则A′H＝x cm，
A′D＝(2－x)cm.
∴x(2－x)＝1，解得x1＝x2＝1，
即AA′＝1 cm.故选B.
二、11.－2　12.2　
13．100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260
解析：根据题意知，第二季度投入资金100(1＋x)万元，第三季度投入资金100(1＋x)2万元．
∴100(1＋x)＋100(1＋x)2＝260.
14．1　解析：由方程x2－4x＋3＝0，得
(x－1)(x－3)＝0，
∴x－1＝0或x－3＝0.
解得x1＝1，x2＝3.
当x＝1时，分式方程＝无意义；
当x＝3时，＝，
解得a＝1.
经检验，a＝1是方程＝的解．
15．－1　16.30 cm；15 cm
17．3或－3　解析：x2－5x＋6＝0的两个根为x1＝2，x2＝3或x1＝3，
x2＝2.
当x1＝2，x2＝3时，x1?x2＝2×3－32＝－3；
当x1＝3，x2＝2时，x1?x2＝32－2×3＝3.
18．6　解析：∵在Rt△ABC中，
∠BAC＝90°，AB＝AC＝16 cm，
AD为BC边上的高，
∴AD＝BD＝CD＝8  cm.
又∵AP＝t cm，
∴S1＝AP·BD＝×t×8 ＝8t(cm2)，PD＝(8 －t)cm.
易知PE＝AP＝t cm，
∴S2＝PD·PE＝(8 －t)·t cm2.
∵S1＝2S2，
∴8t＝2(8 －t)·t.
解得t1＝0(舍去)，t2＝6.
三、19.解：(1)(配方法)
移项，得x2－4x＝1，
配方，得x2－4x＋(－2)2＝1＋(－2)2，
因此(x－2)2＝5，
所以x－2＝或x－2＝－，
解得x1＝＋2，x2＝2－.
(2)(因式分解法)移项，得x2－1－2(x＋1)＝0，因式分解，得(x＋1)(x－1－2)＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
(3)(公式法 )a＝1，b＝3，c＝1，所以b2－4ac＝32－4×1×1＝5>0，所以x＝，
所以x1＝，x2＝.
(4)(因式分解法)原方程可变形为y2－2y＝0，y(y－2)＝0，
所以y1＝0，y2＝2.
20．解：(1)由题意得Δ＝(k＋2)2－4×4×(k－1)＝k2＋4k＋4－16k＋16＝k2－12k＋20＝0，
解得k＝2或k＝10.
(2)当k＝2时，
原方程变为4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝0，即x1＝x2＝；
当k＝10时，原方程为4x2－12x＋9＝0，(2x－3)2＝0，
即x1＝x2＝.
21．(1)证明：原方程可变形为x2－5x＋6－p2－p＝0.
∵Δ＝(－5)2－4(6－p2－p)＝25－24＋4p2＋4p＝4p2＋4p＋1＝(2p＋1)2≥0，
∴无论p取何值此方程总有两个实数根．
(2)解：∵原方程的两根为x1, x2，
∴x1＋x2＝5，x1x2＝6－p2－p.
∵x21＋x22－x1x2＝3p2＋1，
∴(x1＋x2)2－3x1x2＝3p2＋1，
∴52－3(6－p2－p)＝3p2＋1，
∴25－18＋3p2＋3p＝3p2＋1，
∴3p＝－6，
∴p＝－2.
22．解：(1)第一行填80－x；第二行依次填200＋10x；800－200－(200＋10x)．
(2)根据题意，得80×200＋(80－x)(200＋10x)＋40[800－200－(200＋10x)]－50×800＝9 000.
整理，得x2－20x＋100＝0.
解这个方程，得x1＝x2＝10.
当x＝10时，80－x＝70＞50.
所以第二个月的单价应是70元．
23．解：(1)设t s后，△PBQ的面积为8 cm2，则PB＝(6－t)cm，BQ＝2t cm，
∵∠B＝90°，
∴(6－t)×2t ＝8，
解得t1＝2，t2＝4，
∴2 s或4 s后，△PBQ的面积为8 cm2.
(2)设出发x s后，PQ＝4  cm，由题意，得(6－x)2＋(2x)2＝(4 )2，解得x1＝，x2＝2，故出发 s或2 s后，线段PQ的长为4  cm.
(3)不能．理由：设经过y s，△PBQ的面积等于10 cm2，则×(6－y)×2y＝10，即y2－6y＋10＝0，
∵Δ＝b2－4ac＝36－4×10＝－4＜0，
∴△PBQ的面积不能等于10 cm2.
24．解：(1)240－(40－30)×2＝220(元)，
220×40＝8 800(元)．
答：若一班共有40名学生参加了春游活动，则需要交门票费8 800元．
(2)240－(52－30)×2＝196(元)，
∵196＜200，
∴每张门票200元．
200×52＝10 400(元)．
答：若二班共有52名学生参加了春游活动，则需要交门票费10 400元．
(3)∵9 450不是200的整数倍，且240×30＝7 200(元)＜9 450元，
∴每张门票的价格高于200元且低于240元．
设三班参加春游的学生有x名，则每张门票的价格为[240－2(x－30)]元，
根据题意，得[240－2(x－30)]x＝9 450，
整理，得x2－150x＋4 725＝0，解得x1＝45，x2＝105，
∵240－2(x－30)＞200，
∴x＜50.∴x＝45.
答：若三班交了门票费9 450元，则该班参加春游的学生有45名．