课件17张PPT。第一章 反比例函数1.2 反比例函数的图象及性质第1课时 反比例函数
的图象与性质湘教版数学九年级上册逐点
导讲练课堂小结作业提升 我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图
象，并且知道一次函数的图象是一条直线，那么怎
样画反比例函数 （k 为常数，k≠0）的图象呢?
它的图象的形状是怎样的呢? 列表：由于自变量 x 的取值范围是所有非零实数，因此，
让 x 分别取一些负数值和一些正数值，并且计算出相应
的函数值 y ，列成下表.描点：在平面直角坐标
系内，以自变量 x 的取值
为横坐标，以相应的函
数值y为纵坐标，描出相
应的点，如图所示.问题： 观察图中 y 轴右边的各点，当横坐标 x 逐渐增大时，
纵坐标 y 如何变化?
y 轴左边的各点是否也有相同的规律?解答： 我们可以证明：对于反比例函数 ，当x＞0
时，函数值 y 随自变量 x 的增大而减小；当 x ＜0 时，
也有这一 规律.连线：根据以上分析，我们可
以把 y 轴右边各点和左边各点，
分别用一条光滑曲线顺次连接
起来. 从 可以看出，x取任
意非零实数，都有 y≠ 0，因此
这两条曲线与 x 轴都不相交. 由
于x 不能取 0，因此这两支曲线与 y 轴也都不相交，这样就
画出了 的图象，如图所示. 图象的画法（描点法）：
(1) 列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对
或三对以上互为相反数的值，如1和 -1，2 和 -2，3
和 -3 等．求 y 值时， 只需计算原点一侧的函数值，
另一侧的函数值可以随之得出． (2) 描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面
直角坐标系中描出对应的点．
(3) 连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，
注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近
坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交. 做一做解：找出两函数图象上部分点的坐标，列表如下:描点、连线，画出函数图象，如图所示． 一般地，当k＞0时，反比例函数 的图象由分
别在第一、 三象限内的两支曲线组成， 它们与 x 轴、
y 轴都不相交，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的
增大而减小.例1 已知反比例函数 ，若在每个象限内，这个函
数的数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围． 解题秘方： 根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数
系数 k＞0时，它图象所在的每个象限内 y 随 x 的
增大而减小．
解： ∵反比例函数 ，若在每个象限内，这个函
数的数值 y 随 x 的增大而减小，
∴2m-4＞0，
解得 m＞2．谢谢！课件19张PPT。第一章 反比例函数1.2 反比例函数的图象及性质第2课时 反比例函数
的图象与性质湘教版数学九年级上册逐点
导讲练课堂小结作业提升 我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数， 以 k =-4 为例，如何画反比例函数 的图象? 解 列表：让 x 取一些非零实数，并且计算出相应的函数值
y，列成下表 .描点：在平面直角坐标系内，
以自变量x的取值为横坐标，
以相应的函数值y为纵坐标，
描出相应的点.
连线：把y轴左边各点和右边
各点分别用一条光滑曲线顺次
连接起来，就得到了函数
的图象，如图所示。1.反比例函数 ( k为常数，k≠0 ) 的图象是由两支
曲线组成的，这两支曲线称为双曲线(hyperbola).
2. 图象的画法 ( 描点法)
(1)列表：先取一些自变量的值，在原点的两边取三对
或三对以上互为相反数的值，如1和-1，2和-2，
3和-3等．求 y 值时，只需计算原点一侧的函数值，
另一侧的函数值可以随之得出． (2) 描点：根据表中提供的数据，即点的坐标，在平面
直角坐标系中描出对应的点．
(3) 连线：用平滑的曲线顺次把这些点连接起来并延伸，
注意双曲线的两支是断开的，延伸部分有逐渐靠近
坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交. 3.当k＜0 时，反比例函数 的图象由分别在第二、四
象限内的两支曲线组成， 它们与x 轴、 y 轴都不相交，
在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大而增大. 我们已学习了反比例函数 ( k＞0 ) 的图象与性
质及 ( k＜0 ) 的图象与性质，那么反比例函数
( k ≠ 0 ) 的图象与性质是怎样的? 如何用它来解决问题?例2 已知反比例函数 ( m ≠0 ) 的图象过点(-3，-12)，
且反比例函数 的图象位于第二、第四象限.
(1) 求 m 的值；
(2) 对于 ，当 x＞2 时，求 y 的取值范围. 解题秘方：紧扣“比例系数的正负、双曲线的位置、函数的
增减性三者相互依存，知一推二”这一规律解题. 解： (1) 把点 ( -3，-12) 的坐标代入 中，
得 ，∴ m2=36，∴ m=±6.
∵反比例函数 的图象位于第二、四象限，
∴ m＜0. ∴ m=-6.
(2) 由m =-6 知反比例函数 的表达式为 .
∵x＞2，∴此部分图象在第四象限.
当x=2 时，
∵在第四象限内，y 随x的增大而增大，
∴当x＞2时，-3＜y＜0. 反比例函数的性
质主要研究它的
图象的位置和函
数值的增减情况，
如右表所示.注意：
在描述反比例函数的增减性时，必须指明“在每
个象限内”. 因为当k＞0(k ＜0)时，整个函数不是y
随x的增大而减小(增大)的，而是函数在每个象限内，
y 随 x的增大而减小(增大)， 所以笼统地说“对于函
数 ，y 随 x的增大而减小”是错误的. 当 x=3 时， 的函数值为 -2，而 的函数值
为2. 在平面直角坐标系内， 点 A (3, -2) 与 B (3,2)关于 x
轴对称,如图1所示. 类似地，当x 取任一非零实数a 时, 的函数值为 ，而 的函数值为 ，从而都有点P 与Q 关于x
轴对称，因此 的图象与 的图象关于x轴对称.于是只要把 的图象沿着 x 轴翻折并将图象“复制”
出来，就得到了 的图象，如图2中的红色曲线所示.
从图2看出： 的图象由分别在第二、四象限的两
支曲线组成，它们与 x 轴、y 轴都不相交，在每个象限内，
函数值 y 随自变量 x 的增大而增大. 当k＜0 时，反比例函数 的图象与 的图
象关于 x 轴对称.函数图象分别位于第二、四象限在每个象限内，y随 x 的增大而增大谢谢！课件15张PPT。第一章 反比例函数1.2 反比例函数的图象及性质第3课时 反比例函数
中k 的性质湘教版数学九年级上册逐点
导讲练课堂小结作业提升 什么是待定系数法? 那么怎样用待定系数法求反比例函数的解析式?例1 已知反比例函数 的图象经过点P ( 2, 4 ).
(1) 求 k 的值，并写出该函数的表达式；
(2) 判断点A ( -2，-4 )，B ( 3, 5 ) 是否在这个函数
的图象上；
(3) 这个函数的图象位于哪些象限? 在每个象限内，
函数值 y 随自变量 x 的增大如何变化?(1) 因为反比例函数 的图象经过点 P ( 2, 4 )，
即点 P 的坐标满足这一函数表达式，因而
解得 k = 8.
因此，这个反比例函数的表达式为 .
(2) 把点A，B 的坐标分别代入 ，可知点 A 的坐标
满足函数表达式 ， 点 B 的坐标不满足函数表达式，
所以点 A 在这个函数的图象上，点B不在这个函数
的图象上.解：(3) 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、
三象限，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的
增大而减小.判断点是否在反比例函数图象上的方法：
对于反比例函数 ，其比例系数 k 为非零常数，
且 k = xy，所以该反比例函数图象上点的横、纵坐标之
积都等于 k ，这样可以迅速地从选项中找到符合要求的正确答案 . 也可以先求出函数表达式，再将选项中
点的横坐标作为 x 的值代入表达式， 计算出 y 的值，
看点的纵坐标是否与 y 值相等. 在反比例函数 的图象上分别取点P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，存在怎样的关系? 如图所示，在反比例函数 的图象上取两点 P，Q ，过点 P 分别作 x 轴、y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1 ____________；
过点 Q 分别作 x 轴、 y 轴的平
行线， 与坐标轴围成的矩形面
积为S2=______________；
所以________.S1=S2=-xP ? (-yP)=k=-xQ ? (-yQ)=k 若点 P 是 ( k ≠ 0 ) 图象上的任意一点，作 PA
垂直于 x 轴，作 PB 垂直于 y 轴，矩形 AOBP 的面积
与 k 的关系是S矩形 AOBP=|k|. 例2 【中考·齐齐哈尔】如图所示，点 A 是反比例函数图
象上一点，过点 A 作AB ⊥ y 轴
于点B，点C，D 在 x 轴上， 且
BC //AD，四 边形 ABCD 的面
积为3，则这个反比例函数的表
达式为_________ . 解题秘方：紧扣“k 的几何性质”， 用“等面积法”将四
边形的面积转化为符合k 的几何性质的矩形面
积来求解. 解：设这个反比例函数的表达式为 (k ≠ 0)，过点 A 向
x 轴作垂线，垂足为E，如图所示. 易知四边形 ABCD
为平行四边形，四边形AEOB 是矩形，从而得S四边形 AEOB
=S四边形ABCD . 根据反比例函数中
k 的几何性质，可得 |k| =
S四边形AEOB = S 四边形ABCD=3.
又∵函数图象有一支在第二象限，
∴ k=-3，
即函数的表达式为 . 若已知反比例函数表达式，则利用反比例函数
( k ≠ 0 ) 中k 的几何性质可求相关几何图形的面
积；
反之，若已知相关几何图形的面积及函数图象
的位置，则可求比例系数k，进而可求反比例函数
表达式. 谢谢！
