课件15张PPT。第二章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法第1课时 配方法——直接开
平方法湘教版数学九年级上册1课堂讲解2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升一元二次方程的解
形如 x2 = p ( p≥0 ) 型方程的解法
形如 ( mx+n )2 = p( p≥0 ) 型方程的解法如何解本章2.1节“动脑筋”中的方程①：x2－2500=0呢 ?1知识点一元二次方程的解 把方程①写成
x2=2500.
这表明 x是2500的平方根，根据平方根的意义，得
因此，原方程的解为x1=50,x2=－50.
对于实际问题的方程①而言， x2=－50不合题意，
应当舍去.而x1=50符合题意，因此该圆的半径为50cm.知1－讲知1－讲 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就
是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫
作一元二次方程的根. 解题秘方：紧扣一元二次方程根的定义进行判断.
解： 将x = 2代入方程，得左边 = 4－2 = 2，
∵右边 = 6，2 ≠ 6，
∴ x = 2不是原方程的根.
将 x = 3代入方程，得左边 = 9－3=6，
∵右边 = 6，6 = 6，
∴ x = 3是原方程的根. 例1 判断x=2，x=3 是不是一元二次方程x2－x=6的根. 知1－讲知1－讲 检验一元二次方程根的步骤：
步骤1：将已知数值分别代入一元二次方程的左
右两边.
步骤2：若方程左右两边的值相等，则这个数是
一元二次方程的根；否则，这个数不是一元二次方
程的根. 一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗?设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积
为x2 dm2，可列出方程
10×6x2=1500，
整理，得 x2=25 ，
根据平方根的意义，得 x=±5 ，
即 x1=5, x2=－5.
可以验证，5和－5是原方程的两个根，因为棱
长不能是负值，所以正方体的棱长为5 dm.知2－讲解：1. 定义：利用平方根的意义直接开平方，求一元二次
方程解的方法叫作直接开平方法.
2. 方程x2=p 的解（根）的情况：
(1)当p>0时，方程有两个不等的实数根x1=－ ，
x2= ；
(2)当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=0；
(3)当p<0时，方程没有实数根. 知2－讲3知识点形如(mx+n)2=p(p≥0)型方程的解法 若把1＋x看作一个整体，则由( 1＋x )2＝81，
得1＋x= 或 1＋x=- ，即1＋x=9 或 1＋x=－9
解得 x1 =8， x2=－10.如何解方程 ( 1＋x )2＝81?解：解：根据平方根的意义，得
2x+1= 或2x+1= - ,
因此，原方程的根为
x1= ,x2=-
知3－讲 例2 解方程: ( 2x+1 )2＝2.知3－讲用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤：
步骤1：移项，将方程变成左边是完全平方式，且完全平方式的系数为1，右边是非负数的形式(如果方程右边是负数，那么这个方程无实数根).
步骤2：开平方，将方程转化为两个一元一次方程.
步骤3：解这两个一元一次方程，则得出的两个解
即为一元二次方程的两个根. 直接开平方法一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根.形如x2=p(p≥0)的方程的解法谢谢！课件15张PPT。第二章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法第2课时 配方法——配方法
解方程湘教版数学九年级上册1课堂讲解二次三项式的配方
用配方法解一元二次方程2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升填上合适的数，使下列等式成立.
x2＋12x＋___＝( x＋6 )2 x2－6x＋___＝( x －3 )2
x2＋ 8x ＋ ___＝( x＋___ )2 x2－4x ＋___＝( x－___ )2 上面等式的左边常数项和一次项系数有什么关系? 对
于形如 x2 ＋ax 的式子如何配成完全平方式 ?求代数式的最小值，要先将代数式配成 a(x＋m)2
＋n 的形式，然后根据完全平方式的非负性求代
数式的最小值. 1知识点 二次三项式的配方 例1 当x 取何值时，代数式 2x2－6x＋7 的值最小 ? 并求
出这个最小值 ．解题秘方：知1－讲左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半” .知1－讲解： 2x2－6x＋7
＝2(x2－3x)＋7
＝
＝
∵ ≥ 0，
∴当x = 时，2x2－6x＋7 的值最小，最小值为 知1－讲 代数式 ax2＋bx＋c (a≠0) 配成 a( x＋m )2+n 的形
式后， 若a>0， 则当 x＝－m 时，代数式取得最小值
n； 若a<0， 则当x＝－m 时，代数式取得最大值 n. 2知识点用配方法解一元二次方程知2－导根据前面的内容，试着解方程x2＋6x ＋4＝0.x2＋6x ＋4=0x2＋6x =-4x2＋6x ＋9=-4 ＋9(x＋3)2=5知2－导检验x1，x2 是原方程的两个根知2－讲 通过配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解一元二次方程的方法叫作配方法.例2 用配方法解方程：4x2－12x－1＝0.知2－讲解： 将二次项系数化为1，得
x2－3x－ ＝0.
配方，得 x2－3x＋ － － ＝0，
因此
由此得
解得 议一议
解方程： －2x2＋4x－8＝0.知2－讲 将上述方程的二次项系数化为1，得x2－2x＋4=0.
将其配方，得x2－2x＋12 － 12＋4 =0，即(x －1)2=－3. 因为在实数范围内，任何实数的平方都是非负数，
因此，(x －1)2=－3不成立，即原方程无实数根.知2－讲用配方法解一元二次方程的一般步骤：
移项， 把方程中含有未知数的项移到方程的左边，
把常数项移到方程的右边.
(2) 二次项系数化为1：方程的左、右两边同时除以二
次项系数.
配方： 把方程的左、右两边同时加上一次项系数
一半的平方，把原方程化为(x＋n)2=p的形式.知2－讲 (4) 开方：如果方程右边是一个非负数，那么就用直接开
平方法求解； 如果方程右边是一个负数，那么这个方
程无实数根. 即
①当p ＞ 0 时，方程(x＋n)2=p有两个不等的实数根
x1=－n－ ， x2=－n＋ .
②当p=0 时，方程(x＋n)2=p有两个相等的实数根
x1=x2=－n.
③当p ＜ 0 时，因为对任意实数x，都有(x＋n)2 ≥0，
所以方程 (x＋n)2=p无实数根. 配方法1. 移项
2. 化二次项系数为1
3. 配方法
4. 开平方 ( 降次 )
5. 解一次方程通过配成完全平方式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.解题步骤定义谢谢！课件12张PPT。第二章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法第3课时 公式法湘教版数学九年级上册1课堂讲解一元二次方程的求根公式
求根公式的应用2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升 由用配方法解一元二次方程的基本步骤知：对
于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些
计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 使用这些步骤，然
后求出解 x 的公式 ?1知识点一元二次方程的求根公式 我们来讨论一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的解.
用配方法来解一般形式的一元二次方程
ax2+bx+c=0 (a≠0).
因为a≠0，方程两边都除以a，得
x2+__x+___=0
移项，得 x2+__x=－知1－导 配方，得
即
此时可以直接开平方吗? 需要注意什么? 等号右边的
值有可能为负吗? 说明什么?
∵ a≠0，∴ 4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，
得
知1－导知1－讲 即
由以上研究的结果，得到了一元二次方程 ax2+bx+c=0
的求根公式:
由上可知，一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时， 可以先将方程化为一般形式
ax2+bx+c=0 ，当b2－4ac≥0时，将a、b、c代入式子
就得到方程的根．
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式．
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根．2知识点求根公式的应用知2－讲例1 用公式法解下列方程.
(1) 2x2－7x＋4=0； (2) 3x2－2 x=－1；
(3) x2－2x＋3=0； (4) －3x2－5x+2=0. 解题秘方：按照用求根公式解方程的步骤求解. 解： (1) ∵ a= 2，b=－7，c= 4，
∴b2－4ac = (－7 )2－4×2×4 = 17.
∴ x1= ，x2= . 知2－讲(2)方程可化为
∵ a=3，b= ，c=1，∴b2－4ac=( )2－4×3×1=0.
∴ x1=x2= .
(3)∵ a=1，b=－2，c=3，
∴b2－4ac= (－2)2－4×1×3=－8<0. ∴方程无实数根.
(4)∵ a=－3，b=－5，c=2，
∴ b2－4ac=(－5)2－4×(－3)×2=49.
∴ x= . ∴ x1=－2 ，x2= . 用求根公式解方程的步骤：
①把一元二次方程化成一般形式；
②确定公式中a，b，c 的值；
③求出b2－4ac 的值；
④若b2－4ac ≥ 0, 则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公
式求解，若b2－4ac ＜ 0，则方程无实数根. 公式法求根公式用求根公式解方程1.化为一般形式
2.确定各项系数
3.计算 b2－4ac
4.判断是否有实数根
5.代入求根公式求解谢谢！课件16张PPT。第二章 一元二次方程2.2 一元二次方程的解法第4课时 因式分解法湘教版数学九年级上册1课堂讲解因式分解法的依据
用因式分解法解一元二次方程
用适当的方法解一元二次方程2课时流程逐点
导讲练课堂小结作业提升回顾所学知识，完成下面内容：
( x－3 ) ( x＋4 ) =__________；
(2) x2＋x－12 = ( x－_____) ( x＋____).你能从中想到快速解方程 x2－x－12=0 的方法吗?1知识点因式分解法的依据 知1－讲(1) 若( x+1 ) ( x-2 )=0，则x1 =______,x2 =________；
若( 2x-1 ) ( 3x+5 )=0, 则x1 =______,x2 =________；
(2) 若3x (x-6)=0, 则x1 =______,x2 =________；
(3) ①解方程x2－ x=0时，左边可因式分解成________=0，
于是得x1 =______,x2 =________；
②解方程 3x ( x+5 )-5 ( x+5 ) = 0时，左边可因式分解
成________=0. 于是得x 1=______，x 2=_______.若 ab = 0， 则 a = 0 或 b = 0．2知识点用因式分解法解一元二次方程知2－导 在解方程 x2－x=0 时，将方程的左边因式分解，得到x(x－1)=0而因式x和x-1中必有一个为0，即x=0或
x－1=0，这样，解x2－x=0 就转化为解 x=0 或 x－1=0，从而达到降次的目的，同时也体现了数学中的转化思
想. 这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.例1 用因式分解法解下列方程：
(1) (x－5) (x－6) ＝ x－5；
(2) 4(x －3)2 － 25(x －2)2 ＝0；
(3) x2 －( ＋ ) x ＋ ＝0 .知2－讲解题秘方：按方程的特点选择恰当的因式分解法.知2－讲解：(1) 移项，得 (x－5) (x－6) －( x－5 )＝0 ，
因式分解，得 (x－5) (x－7) ＝0 .
∴ x－5＝0，或x －7＝0. ∴ x1＝5，x2＝7.
(2) 原方程可化为[ 2 (x－3) ]2 － [ 5 (x－2) ]2 ＝0，
因式分解， 得[2(x－3)＋5(x－2)] [2(x－3) －5(x－2)]＝0，
即(7x－16) (－3x ＋4) ＝0 ，
∴ 7x－16＝0，或－3x ＋4＝0.
∴ x1＝ ，x2＝ . 知2－讲解：(3) 原方程可化为 (x－ ) (x－ ) ＝0，
∴ x－ ＝0，或x－ ＝0.
∴ x1＝ ，x2＝ . 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
(1) 整理方程，使其右边为0；
(2) 将方程左边分解为两个一次式的乘积；
(3) 令每个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
(4) 分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方
程的解. 3知识点用适当的方法解一元二次方程知3－讲我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法解
一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方程的特
点，选择合适的方法来求解． 例2 解下列方程.
(1)4x2－64＝0；
(2)2x2－7x－6＝0；
(3)(3x＋2)2－8(3x＋2) ＋15＝0.
解题秘方：根据方程的特点，选择合适的方法解一元二次
方程．知3－讲知3－讲解： (1) ∵ 4x2－64＝0，
∴ x2＝16.
∴x1＝4，x2＝－4.
(2) ∵a＝2，b＝－7，c＝－6，
∴b2－4ac＝97 > 0，
(3) 因式分解，得[(3x＋2) －3] [(3x＋2)－5]＝0.
即(3x－1) (3x－3) ＝0 .
∴x1＝ ，x2＝1.合理选择一元二次方程的解法：
(1)若方程具有(mx+n)2=p(p≥0)的形式，可用直接开
平方法求解；
(2)若一元二次方程一边为0，另一边易于分解成两个一
次因式的积时， 可用因式分解法求解；
(3)公式法是一种常用的方法，用公式法解方程时一定要
把一元二次方程化为一般形式， 确定a，b，c 的值，
在b2-4ac ≥ 0 的条件下代入公式求解.因式分解法 1. 将方程的右边化为0；
2. 将方程的左边进行因式分解；
3. 令每个因式为0，得到两个一 元一
次方程.
4. 解一元一次方程，得到方程的解.用适当的方法解一元二次方程因式分解法解题步骤 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因为分解法在解某些一元二次方程时比较简便. 谢谢！
