2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修5学案：第2章2.2.2 等差数列的概念及通项公式word版含解析

2.2　等差数列
2.2.1　等差数列的概念
2.2.2　等差数列的通项公式
第1课时　等差数列的概念及通项公式
学 习 目 标
核 心 素 养
1.理解等差数列的概念，能在具体问题情境中，发现数列的等差关系．(重点)
2．会推导等差数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等差数列问题．(重点)
3．等差数列的证明及其应用．(难点)
1.通过等差数列的通项公式的应用，提升数学运算素养．
2．借助等差数列的判定与证明，培养逻辑推理素养.
1．等差数列的概念
如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示．
思考1：等差数列定义中，为什么要注明“从第二项起”？
[提示]　第1项前面没有项，无法与前一项作差．
思考2：等差数列定义中的“同一个”三个字可以去掉吗？
[提示]　不可以．如果差是常数，而这些常数不相等，则不是等差数列．
2．等差数列的通项公式
对于等差数列{an}的第n项an，有an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.
思考3：已知等差数列{an}的首项a1和公差d能表示出通项公式an＝a1＋(n－1)d，如果已知第m项am和公差d，又如何表示通项公式an?
[提示]　设等差数列的首项为a1，
则am＝a1＋(m－1)d，
变形得a1＝am－(m－1)d，
则an＝a1＋(n－1)d
＝am－(m－1)d＋(n－1)d
＝am＋(n－m)d.
1．已知等差数列{an}的首项a1＝4，公差d＝－2，则通项公式an＝(　　)
A．4－2n　　　　　　　 B．2n－4
C．6－2n D．2n－6
C　[an＝a1＋(n－1)d＝4＋(n－1)×(－2)＝4－2n＋2＝6－2n.]
2．等差数列－6，－3,0,3，…的公差d＝________.
3　[(－3)－(－6)＝3，故d＝3.]
3．下列数列：
①0,0,0,0；
②0,1,2,3,4；
③1,3,5,7,9；
④0,1,2,3，….
其中一定是等差数列的有________个．
3　[①②③是等差数列，④只能说明前4项成等差数列．]
4．在△ABC中，三内角A、B、C成等差数列，则B等于________．
60°　[因为三内角A、B、C成等差数列，
所以2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，
所以3B＝180°，所以B＝60°.]
等差数列的判定与证明
【例1】　判断下列数列是否为等差数列．
(1)在数列{an}中，an＝3n＋2；
(2)在数列{an}中，an＝n2＋n.
思路探究：―→―→

[解]　(1)an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(n∈N*)．由n的任意性知，这个数列为等差数列．
(2)an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2，不是常数，所以这个数列不是等差数列．
1．定义法是判定(或证明)数列{an}是等差数列的基本方法，其步骤为：
(1)作差an＋1－an；
(2)对差式进行变形；
(3)当an＋1－an是一个与n无关的常数时，数列{an}是等差数列；当an＋1－an不是常数，是与n有关的代数式时，数列{an}不是等差数列．
2．应注意等差数列的公差d是一个定值，它不随n的改变而改变．
提醒：当n≥2时，an＋1－an＝d(d为常数)，无法说明数列{an}是等差数列，因为a2－a1不一定等于d.
1．已知函数f(x)＝，数列{xn}的通项由xn＝f(xn－1)(n≥2且x∈N*)确定．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)当x1＝时，求x2 019.
[解]　(1)因为f(x)＝，数列{xn}的通项xn＝f(xn－1)，
所以xn＝，所以＝＋，所以－＝，所以是等差数列．
(2)x1＝时，＝2，所以＝2＋(n－1)＝，所以xn＝，所以x2 019＝.
等差数列的通项公式
【例2】　已知数列{an}是等差数列，且a5＝10，a12＝31.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若an＝13，求n的值．
思路探究：建立首项a1和d的方程组求an；由an＝13解方程得n.
[解]　(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由题意
可知解得∴an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5.
(2)由an＝13，得3n－5＝13，解得n＝6.
1．从方程的观点看等差数列的通项公式，an＝a1＋(n－1)d中包含了四个量，已知其中的三个量，可以求得另一个量，即“知三求一”．
2．已知数列的其中两项，求公差d，或已知一项、公差和其中一项的序号，求序号的对应项时，通常应用变形an＝am＋(n－m)d.
2．已知递减等差数列{an}前三项的和为18，前三项的积为66.求该数列的通项公式，并判断－34是该数列的项吗？
[解]　依题意得
∴
解得或
∵数列{an}是递减等差数列，
∴d<0.故取a1＝11，d＝－5.
∴an＝11＋(n－1)·(－5)＝－5n＋16，
即等差数列{an}的通项公式为
an＝－5n＋16.
令an＝－34，即－5n＋16＝－34，得n＝10.
∴－34是数列{an}的第10项．
等差数列的应用
[探究问题]
1．若数列{an}满足＝＋1且a1＝1，则a5如何求解？
[提示]　由＝＋1可知－＝1.
∴{}是首项＝1，公差d＝1的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝n2，∴a5＝52＝25.
2．某剧场有20排座位，第一排有20个座位，从第2排起，后一排都比前一排多2个座位，则第15排有多少个座位？
[提示]　设第n排有an个座位，由题意可知
an－an－1＝2(n≥2)．
又a1＝20，∴an＝20＋(n－1)×2＝2n＋18.
∴a15＝2×15＋18＝48.即第15排有48个座位．
【例3】　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
思路探究：分析题意，明确题中每年获利构成等差数列，把实际问题转化为等差数列问题，利用等差数列的知识解决即可．
[解]　由题设可知第1年获利200万元，第2年获利180万元，第3年获利160万元，…，每年获利构成等差数列{an}，且当an<0时，该公司会出现亏损．
设从第1年起，第n年的利润为an，则an－an－1＝－20，n≥2，n∈N*.所以每年的利润可构成一个等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20.
所以an＝a1＋(n－1)d＝220－20n.
若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，所以由an＝220－20n<0，得n>11，
即从第12年起，该公司经销此产品将亏损．
1．在实际问题中，若涉及到一组与顺序有关的数的问题，可考虑利用数列方法解决，若这组数依次成直线上升或下降，则可考虑利用等差数列方法解决．
2．在利用数列方法解决实际问题时，一定要分清首项、项数等关键问题．
3．甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某种类型的甲虫的爬行速度：
时间t(s)
1
2
3
…
？
…
60
距离s(cm)
9.8
19.6
29.4
…
49
…
？
(1)你能建立一个等差数列的模型，表示甲虫的爬行距离和时间之间的关系吗？
(2)利用建立的模型计算，甲虫1 min能爬多远？它爬行49 cm需要多长时间？
[解]　(1)由题目表中数据可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8，所以是一个等差数列模型．因为a1＝9.8，d＝9.8，所以甲虫的爬行距离s与时间t的关系是s＝9.8t.
(2)当t＝1 min＝60 s时，
s＝9.8t＝9.8×60＝588 cm.
当s＝49 cm时，t＝＝＝5 s.
1．判断一个数列是否为等差数列的常用方法
(1)an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)?{an}是等差数列；
(2)2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差数列；
(3)an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)?{an}是等差数列．
但若要说明一个数列不是等差数列，则只需举出一个反例即可．
2．由等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d可以看出，只要知道首项a1和公差d，就可以求出通项公式，反过来，在a1，d，n，an四个量中，只要知道其中任意三个量，就可以求出另一个量．
1．判断正误
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)
(2)等差数列{an}的单调性与公差d有关．(　　)
(3)若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列．(　　)
[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　
[提示]　(1)错误．若这些常数都相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不全相等，则这个数列就不是等差数列．(2)正确．当d>0时为递增数列；d＝0时为常数列；d<0时为递减数列．(3)正确．若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差数列．
2．在等差数列{an}中，若a1＝84，a2＝80，则使an≥0，且an＋1<0的n为(　　)
A．21　　　　　　　 B．22
C．23 D．24
B　[公差d＝a2－a1＝－4，
∴an＝a1＋(n－1)d＝84＋(n－1)(－4)＝88－4n，
令即?213．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2，则an＝________.
2n－1　[由an＋1＝an＋2，得an＋1－an＝2，
∴{an}是首项a1＝1，d＝2的等差数列，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.]
4．已知数列{an}，a1＝a2＝1，an＝an－1＋2(n≥3)，判断数列{an}是否为等差数列？说明理由．
[解]　因为an＝an－1＋2(n≥3)，
所以an－an－1＝2(常数)．
又n≥3，所以从第3项起，每一项减去前一项的差都等于同一个常数2，
而a2－a1＝0≠a3－a2，
所以数列{an}不是等差数列．