2019-2020学年高一数学人教A版必修5学案：1.2应用举例 Word版含答案

第一章　解三角形
1.2　应用举例
1.2　应用举例
学习目标
1.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.
2.本节课是在学习了相关内容后的第三节课,在对解法有了基本了解的基础上,通过综合训练强化相应的能力.
3.提升提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力,并在学习过程中发扬探索精神.
合作学习
一、设计问题,创设情境
提问:前面我们学习了如何测量距离和高度,这些实际上都可转化为已知三角形的一些边和角求其余边的问题.然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题,在浩瀚无垠的海面上如何确保轮船不迷失方向,保持一定的航速和航向呢?今天我们接着探讨这方面的测量问题.
二、信息交流,揭示规律
在实际的生活中,人们又会遇到新的问题,仍然需要用我们学过的解三角形的知识来解决,大家身边有什么例子吗?
三、运用规律,解决问题
【例1】如图,一艘海轮从A出发,沿北偏东75°的方向航行67.5n mile后到达海岛B,然后从B出发,沿北偏东32°的方向航行54.0n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到0.1°,距离精确到0.01n mile)
问题1:要想解决这个问题,首先应该搞懂“北偏东75°的方向”这指的是什么?
【例2】某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船,正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶,巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去,问巡逻艇应该沿什么方向去追?需要多长时间才追赶上该走私船?
问题2:你能否根据题意画出方位图?
问题3:以上是用正弦定理、余弦定理来解决的,我们能不能都用余弦定理来解决呢?
四、变式训练,深化提高
【例3】如图,海中小岛A周围38海里内有暗礁,船正向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里到C处,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?
练习:如图,有两条相交成60°角的直线XX',YY',交点是O,甲、乙分别在OX,OY上,起初甲在离O点3千米的A点,乙在离O点1千米的B点,后来两人同时以每小时4千米的速度,甲沿XX'方向,乙沿Y'Y方向步行.
(1)起初,两人的距离是多少?
(2)用包含t的式子表示t小时后两人的距离;
(3)什么时候两人的距离最短?
五、限时训练
1.在某电场中,一个粒子的受力情况如图所示,则粒子的运动方向为(　　)
A.南偏西
B.北偏西
C.北偏东
D.南偏东
2.如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cosθ=　　　　.?
3.一辆汽车从A点出发,沿一条笔直的海岸公路以100km/h向东匀速行驶,汽车开动时,在点A的南偏东方向距点A 500km的B处的海上有一快艇,此时,快艇所在B处距海岸300km.现快艇上有一快递要送给汽车的司机,求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB所成的角,并求出快艇的最小速度.
六、反思小结,观点提炼
解三角形应用题的一般步骤:
参考答案
三、运用规律,解决问题
【例1】解:在△ABC中,∠ABC=180°-75°+32°=137°,根据余弦定理,
AC=≈113.15(n mile),
根据正弦定理,,
sin∠CAB=≈0.3255,
所以∠CAB≈19.0°,75°-∠CAB=56.0°.
答:此船应该沿北偏东56.0°的方向航行,需要航行113.15n mile.
问题1:这是方位角,这实际上就是解三角形,由方位角的概念可知,首先根据三角形的内角和定理求出AC边所对的角∠ABC,即可用余弦定理算出AC边,再根据正弦定理算出AC边和AB边的夹角∠CAB,就可以知道AC的方向和路程.
【例2】解:如图,设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船,则CB=10x,AB=14x,AC=9,∠ACB=75°+45°=120°,则由余弦定理,可得
(14x)2=92+(10x)2-2×9×10xcos120°,化简得32x2-30x-27=0,即x=或x=-(舍去).
所以BC=10x=15,AB=14x=21.
又因为sin∠BAC=,
所以∠BAC=38°13',或∠BAC=141°47'(钝角不合题意,舍去).
所以38°13'+45°=83°13'.
答:巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.
问题2:在解三角形中有很多问题都要画出平面示意图,图画的好坏有时也会影响到解题,这是建立数学模型的一个重要方面.
问题3:同例2中解得BC=15,AB=21,
在△ABC中,由余弦定理,得
cos∠CAB=≈0.7857,
所以∠CAB≈38°13',38°13'+45°=83°13'.
所以巡逻艇应沿北偏东83°13'的方向追赶,经过1.5小时追赶上该走私船.
四、变式训练,深化提高
【例3】解:在△ABC中,BC=30,B=30°,
∠ACB=180°-45°=135°,
则A=15°.
由正弦定理知,即.
所以AC==60cos15°=15+15.
所以A到BC所在直线的距离为
AC·sin45°=(15+15)×=15(+1)≈40.98>38(海里).
答:不改变航向,继续向南航行,无触礁的危险.
练习:解:(1)因为甲、乙两人起初的位置是A,B,
则AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos60°=32+12-2×3×1×=7,
所以起初,两人的距离是千米.
(2)设甲、乙两人t小时后的位置分别是P,Q,
则AP=4t,BQ=4t,
当0≤t≤时,PQ2=(3-4t)2+(1+4t)2-2(3-4t)(1+4t)cos60°=48t2-24t+7;
当t>时,PQ2=(4t-3)2+(1+4t)2-2(4t-3)(1+4t)cos120°=48t2-24t+7,
所以,PQ=48t2-24t+7.
(3)PQ2=48t2-24t+7=48+4,
所以当t=时,即在第15分钟末,PQ最短.
答:在第15分钟末,两人的距离最短.
五、限时训练
1.D
2.　
解析:如图所示,在△ABC中,AB=40,AC=20,∠BAC=120°,
由余弦定理,知BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos120°=2800,
即得BC=20(海里).
由正弦定理,
,
所以sin∠ACB=sin∠BAC=.
由∠BAC=120°,知∠ACB为锐角,cos∠ACB=.
由θ=∠ACB+30°,则cosθ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=.
3.分析:设快艇在B处以v km/h的速度出发,在△ABC中,由正弦定理求解.
解:如图,设快艇在B处以v km/h的速度出发,沿BC方向航行t小时与汽车相遇(在C点).
在△ABC中,AB=500km,BQ=300km,AC=100t,BC=vt.
则sin∠BAC=.
在△ABC中,由正弦定理得
,
即,
则v=≥60,当且仅当∠ABC=90°时等号成立.
故快艇最小速度为60km/h且行驶方向与AB成直角.
六、反思小结,观点提炼
①根据题意作出示意图;
②明确所涉及的三角形,搞清已知和未知;
③选用合适的定理进行求解;
④给出答案.