题型 几何图形的相关计算
类型一 与旋转有关
1.如图,在等边△ABC中, AB=10,点D是BC的中点,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则线段DE的长度为（ ）
A. B. C. D.
第1题图
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,BC =２,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,此时点B的对应点D恰好落在边AB上,斜边DE交AC边于点F,则重叠部分的面积为 .
第2题图
3．如图,线段AB = 4,O为AB的中点,动点P到点O的距离是1,连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是 ．
第3题图
类型二 与折叠有关（含最值）
4.如图,在平行四边形ABCD中,点P为边AB上一点,将△CBP沿CP翻折,点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上,且PB′⊥AD,若CD=3,BC=4,则BP的长度为（ ）
A. B. C. D.
第4题图
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A <∠B,CM是斜边AB上的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,若AB恰好平分CD,AB=2,则△ABC的面积为（ ）
A. B. 5 C. D. 10
第5题图
6.如图,矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2,点M,N分别在边BC,AD上,将矩形纸片ABCD沿直线MN对折,使点A落在CD边上,则线段BM的取值范围是________．
第6题图
类型三 与动点有关（含最值）
7.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点E是AD边中点,点P是对角线BD上的动点,当AP＋PE的值最小时,PC的长是（ ）
A. B. 2 C. D.
第7题图
8.如图,矩形ABCD中, AD=3,∠CAB=30°,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ＋QP的最小值是（ ）
A. 3 B. 3 C. 3 D. 12
第8题图
9.如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,D点是△ABC所在平面上的一个动点,且∠BDC=60°,则△DBC面积的最大值是 .
第9题图
A. 3 B. 3 C. D. 2
类型四 非动态几何图形的相关计算
10.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点C作AB的垂线交AB延长线于点E,连接OE,若,BD=4,则OE的长为
第10题图
A．6 B．5 C． D．4
11.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交 AB、AC于点E、D, DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2,则FG的长为（ ）
?
第11题图?
A．4 B． C．6 D．
12.如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别是BC、AC上一点,且AE=CD,连接 AD、BE,AD与BE相交于点P,过点B作BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1,则AD的长为 .
第12题图
题型 几何图形的相关计算
类型一 与旋转有关
1.如图,在等边△ABC中, AB=10,点D是BC的中点,将△ABD绕点A旋转后得到△ACE,则线段DE的长度为（ ）
A. B. C. D.
第1题图
B 【解析】∵△ABC为等边三角形,∴AB=BC=10, ∠B= ∠BAC =60°,∵D是BC的中点,即BD=DC=BC=5, AD⊥BC, ∠BAD=30°,∴AD=BD=,∵△ABD绕点A旋转后得到△ACE, ∴∠DAE=∠BAC=60°, AD=AE,∴△ADE为等边三角形,∴DE=AD=.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,∠A = 30°,BC =２,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC,此时点B的对应点D恰好落在边AB上,斜边DE交AC边于点F,则重叠部分的面积为 .
第2题图
【解析】∵△ABC是直角三角形,∠ACB =90°,∠A = 30°,BC = 2,∴∠B = 60°,AC=BC·tan∠B =2×=,AB = 2BC = 4,∵△EDC是由△ABC旋转而成,∴BC = DC = 2,
∵∠B=60°,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD =60°,
∴∠DCF=∠BCA-∠BCD = 30°,∵∠EDC =∠B=60°,∴∠DFC = 90°, 即DE⊥AC,∴DE∥BC, ∵,∴DF是△ABC 的中位线, ∴DF=, , ∴S△CDF =.
3．如图,线段AB = 4,O为AB的中点,动点P到点O的距离是1,连接PB,将线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC,连接AC,则线段AC长度的最大值是 ．
第3题图
【解析】如解图,以点O为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系,过点C作CD⊥y轴, 垂足为D,过点P作PE⊥DC,垂足为E,延长EP交 x 轴于点F．∵AB = 4,O为AB的中点,∴A（-2,0）, B（2,0）．设点P的坐标为（x, y）,则．∵∠EPC+∠BPF = 90°,∠EPC+∠ECP =90°, ∴∠ECP =∠FPB．由旋转的性质可知,PC=PB .在△ECP和△FPB中,∴△ECP≌△FPB.∴EC =PF =y, FB=EP=2-x.∴C（x+y, y+2-x）.∵AB=4,O为AB的中点,
∴=.∵,∴．∵-1≤y≤1,∴当y=1时,AC有最大值, AC的最大值为．
第3题解图
类型二 与折叠有关（含最值）
4.如图,在平行四边形ABCD中,点P为边AB上一点,将△CBP沿CP翻折,点B的对应点B′恰好落在DA的延长线上,且PB′⊥AD,若CD=3,BC=4,则BP的长度为（ ）
A. B. C. D.
第4题图
A 【解析】由折叠的性质可得：PB′=PB,∠PB′C=∠B,∵四边形ABCD是平行四边形,PB′⊥AD,∴∠B=∠D,∠PB′A=90°,
∴∠D+∠CB′D=90°,∴∠DCB′=90°,∵CD=3,BC=4,∴AD=B′C=BC=4,∴DB′==5,∴AB′=DB′-AD=1,设BP=x,则PB′=x,PA=3-x,在Rt△AB′P中,PA2=AB′ 2+PB′ 2,∴x2+12=
（3-x）2 ,解得x=,∴BP=.
5. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A <∠B,CM是斜边AB上的中线,将△ACM沿直线CM折叠,点A落在点D处,若AB恰好平分CD,AB=2,则△ABC的面积为（ ）
A. B. 5 C. D. 10
第5题图
C 【解析】在Rt△ABC中,∵CM是斜边AB的中线,∴CM=AM=BM=AB,由折叠的性质可知∠MCA = ∠MCD,AM=DM,∴∠A=∠MCD,CM=DM,又∵AB恰好平分CD,∴DC⊥MB,∴∠MCD＋∠BMC=90°,又∵ ∠BMC =∠A＋∠MCA=∠MCD＋∠MCA=2∠MCD, ∴∠BMC=60°, ∴∠B=60°,∴BC=AB·cos60°=2×=,AC=AB·sin60°=2×
=,∴S△ABC =BC·AC=××=.
6.如图,矩形纸片ABCD中,AB=1,BC=2,点M,N分别在边BC,AD上,将矩形纸片ABCD沿直线MN对折,使点A落在CD边上,则线段BM的取值范围是________．
第6题图
≤BM≤1 【解析】如解图,连接A′M,AM,由折叠的性质可知, AM=A′M,设BM=x,A′C=t,则CM=2－x,∵∠B=∠C=90°, ∴AB2＋BM 2=CM 2＋A′C 2,即12＋x2=(2－x)2＋t2,解得：x=(0≤t≤1),当t=0时,BM=x的值最小,即BM=,当t=1时,BM=x的值最大,即BM=1,∴线段BM的取值范围是：≤BM≤1.
第6题解图
类型三 与动点有关（含最值）
7.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点E是AD边中点,点P是对角线BD上的动点,当AP＋PE的值最小时,PC的长是（ ）
A. B. 2 C. D.
第7题图
C 【解析】如解图,连接AC,作点E关于直线BD的对称点E′,连接AE′,则线段AE′的长即为AP＋PE的最小值,∵菱形ABCD
的边长为2,E是AD的中点, ∴DE=DE′=AD=1 , ∵∠ABC=60°, ∴∠ADC=60°,又∵AD=CD,∴△ACD为等边三角形,∴AE′ ⊥ CD,∴△AE′D是直角三角形,∵∠PDE′=∠ADC=30°,
∴PE′=DE′·tan30°=,∴PC=PD=2PE′=.
第7题解图
8.如图,矩形ABCD中, AD=3,∠CAB=30°,点P是线段AC上的动点,点Q是线段CD上的动点,则AQ＋QP的最小值是（ ）
A. 3 B. 3 C. 3 D. 12
第8题图
B 【解析】如解图,作点A关于直线CD的对称点E,过点E作EP⊥AC于点P,交CD于点Q. ∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ADC=90°, ∴DQ⊥AE,∵DE=AD, ∴QE=QA, ∴QA＋QP=QE＋QP=EP, ∴此时QA＋QP最短(垂线段最短),
∵∠CAB=30°, ∴∠DAC=60°,在Rt△APE中,∵∠APE=90°,
AE=2AD=6,∴EP=AE·sin 60°=6×=3.
第8题解图
9.如图,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,D点是△ABC所在平面上的一个动点,且∠BDC=60°,则△DBC面积的最大值是 .
第9题图
A. 3 B. 3 C. D. 2
A 【解析】如解图,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作DF⊥BC于点F,∵AB=AC=2,BC=2,∴AE=1,∠BAC=120°,D点是
△ABC所在平面上的一个动点,且∠BDC=60°, ∴2∠BDC =∠BAC, ∴点D在以点A为圆心,AB长为半径的圆上,BC一定,要使△DBC的面积取最大值,即DF 过圆心A,此时DF=2＋1=3.∴S△DBC最大=·BC·DF=×2×3=3.
第9题解图
类型四 非动态几何图形的相关计算
10.如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点C作AB的垂线交AB延长线于点E,连接OE,若,BD=4,则OE的长为
第10题图
A．6 B．5 C． D．4
D 【解析】∵四边形ABCD是菱形, ∴OA=OC, BD⊥AC, ∵CE⊥AB,∴OE=OA=OC,∵BD=4,∴,在
Rt△AOB中,,OB=2, ∴OA==4,∴OE
=OA=4.
11.如图,以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆,分别交 AB、AC于点E、D, DF是圆的切线,过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2,则FG的长为（ ）
?
第11题图?
A．4 B． C．6 D．
D 【解析】如解图,连接OD,∵DF为⊙O的切线, ∴OD⊥DF, ∵△ABC为等边三角形, ∴AB=BC=AC, ∠A= ∠B=∠C=60°,∵OD=OC,∴△OCD为等边三角形,∴ ∠CDO=∠A=60°,∠ABC=∠DOC=60°,∴OD∥AB,∴DF⊥
AB,在Rt△AFD中,∠ADF=30°,AF=2,∴AD=4,即AC=8,∴FB=AB-AF=8-2=6,在Rt△BFG中, ∠BFG=30°,
∴BG=3,则根据勾股定理得FG=．
第11题解图
12.如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别是BC、AC上一点,且AE=CD,连接 AD、BE,AD与BE相交于点P,过点B作BQ⊥AD于点Q,PQ=3,PE=1,则AD的长为 .
第12题图
7 【解析】∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=CA, ∠BAE =∠ACD=60°,又∵AE=CD,在△ABE和△CAD中, △ABE≌△CAD（SAS）, ∴BE=AD, ∠ABE=∠CAD,∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=
∠BAE=60°,∵BQ⊥AD,∴∠AQB=90°,则∠PBQ=90°- 60°=30°, ∵PQ =3,∴BP = 2PQ = 6,又∵PE = 1,∴AD = BE = BP + PE =7．
