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2.2 一元二次方程的解法
第3课时 公式法解方程
第2章 一元二次方程
答案显示
B
D
A
1
D
1．方程3x2－x＝4化为一般形式后a，b，c的值分别为( )
A．3，1，4 B．3，－1，－4
C．3，－4，－1 D．－1，3，－4
B
A
D
4．【中考·威海】一元二次方程3x2＝4－2x的解是_____________________________．
1
6．【中考·泰安】一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5的根的情况是( )
A．无实数根
B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3
D．有两个正根，且有一根大于3
D
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A出发沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动，同时，点Q从点B出发沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，问：几秒时△PDQ的面积为35 cm2?
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D
B
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2.2 一元二次方程的解法
第2课时 配方法解方程
第2章 一元二次方程
答案显示
－1或7
B
A
D
A
B
D
A
答案显示
A
D
A
B
1或－3
3或4.
见习题
见习题
1．【中考·安顺】若x2＋2(m－3)x＋16是关于x的完全平方式，则m＝________.
－1或7
2．将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是( )
A．(a＋2)2－1 B．(a＋2)2－5
C．(a＋2)2＋4 D．(a＋2)2－9
D
3．将代数式x2－10x＋5配方后，发现它的最小值为( )
A．－30 B．－20
C．－5 D．0
B
4．不论x，y为何实数，代数式x2＋y2＋2x－4y＋7的值( )
A．总不小于2 B．总不小于7
C．可为任何实数 D．可能为负数
A
A
*6.已知a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc，则△ABC的形状为( )
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
B
7．用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是( )
A．x2＋4x＝5 B．2x2－4x＝5
C．x2－2x＝5 D．x2＋2x＝5
A
8．用配方法解一元二次方程x2－4x＋1＝0时，下列变形正确的是( )
A．(x－2)2＝1 B．(x－2)2＝5
C．(x＋2)2＝3 D．(x－2)2＝3
D
9．一元二次方程x2－8x＝48可表示成(x－a)2＝48＋b的形式，其中a，b为整数，则a＋b的值为( )
A．20 B．12
C．－12 D．－20
A
10．用配方法解方程x2－8x＋15＝0的过程中，配方正确的是( )
A．x2－8x＋(－4)2＝1
B．x2－8x＋(－4)2＝31
C．(x＋4)2＝1
D．(x－4)2＝－11
A
D
【答案】B
13．【中考·益阳】规定：a b＝(a＋b)b，如：2 3＝(2＋3)×3＝15，若2 x＝3，则x＝________．
【点拨】依题意得(2＋x)x＝3，整理，得x2＋2x＝3，∴(x＋1)2＝4，∴x＋1＝±2，
∴x＝1或x＝－3.
1或－3
14．【中考·齐齐哈尔】解方程：x2＋6x＝－7.
【点拨】本题的易错之处是在配方时忽视等式的基本性质，忘了在等号右边加9而致错．
15．先阅读下面的内容，再解决问题．
例题：若m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求m和n的值．
解：∵m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0.
∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
∴m＋n＝0，n－3＝0.
∴m＝－3，n＝3.
问题：已知a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，a，b满足a2＋b2＝12a＋8b－52，求c的值．
【点拨】根据a2＋b2＝12a＋8b－52，可以求得a，b的值，由a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，即可求得c的值．
解：∵a2＋b2＝12a＋8b－52，∴a2－12a＋b2－8b＋52＝0.∴(a－6)2＋(b－4)2＝0.
∴a－6＝0，b－4＝0.∴a＝6，b＝4.
又∵a，b，c为正整数且是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边长，∴6－4∴c＝3或c＝4.即c的值是3或4.
16．我们可以利用配方法解决一些多项式的最值问题，如：x2＋2x＋3＝(x2＋2x＋1)＋2＝(x＋1)2＋2，当x＝－1时，x2＋2x＋3有最小值，为2；再如：－x2＋2x－2＝－(x2－2x＋1)－1＝－(x－1)2－1，当x＝1时，－x2＋2x－2有最大值，为－1.
(1)代数式x2＋6x＋m有最小值，为1，则m＝_______；
10
(2)代数式－x2＋4x＋m有最大值，为2，则m＝________；
(3)代数式x2＋(m＋2)x＋4m－7有最小值为0，求m的值．
－2
(1)下面是小明用“平均数法”解方程(x＋3)(x＋7)＝5时写的解题过程．
解：原方程可变形，得[(x＋a)－b][(x＋a)＋b]＝5，(x＋a)2－b2＝5，(x＋a)2＝5＋b2.
直接开平方并整理，得x1＝c，x2＝d.
上述解题过程中的a，b，c，d所表示的数分别是______，______，______，______．
5
2
－2
－8
(2)请用“平均数法”解方程：(x－5)(x＋3)＝6.
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2.2 一元二次方程的解法
第4课时 因式分解法解方程
第2章 一元二次方程
答案显示
A
x1＝2，x2＝1
－3或4
A
C
A
D
B
答案显示
A
(1)① (2)④⑥
(3)③⑤ (4)②
见习题
见习题
见习题
见习题
1．【中考·山西】我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2.这种解法体现的数学思想是( )
A．转化思想 B．函数思想
C．数形结合思想 D．公理化思想
A
2．用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
A．(2x－3)(3x－4)＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0
B．(x＋3)(x－1)＝1化为x＋3＝1或x－1＝1
C．(x－2)(x－3)＝2×3化为x－2＝2或x－3＝3
D．x(x＋2)＝0化为x＋2＝0
A
3．【中考·扬州】一元二次方程x(x－2)＝x－2的根是______________．
x1＝2，x2＝1
4．【中考·十堰】对于实数a，b，定义运算“?”如下：a?b＝(a＋b)2－(a－b)2，若(m＋2)?(m－3)＝24，则m＝________.
－3或4
C
6．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2－7x＋10＝0的一根，则此三角形的周长是( )
A．16 B．10
C．14 D．10或16
【点拨】解方程x2－7x＋10＝0，得x＝2或x＝5，
若腰长为2，则三角形的三边长为2，2，6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5，5，6，此时三角形的周长为16. 故选A.
【答案】A
7．【中考·通辽】一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为( )
A．48 B．24
C．24或40 D．48或80
B
8．解方程(5x－1)2＝3(5x－1)的最适当的方法是( )
A．直接开平方法 B．配方法
C．公式法 D．因式分解法
D
①
④⑥
③⑤
②
10．【中考·齐齐哈尔】解方程：2(x－3)＝3x(x－3)．
*11.已知x为实数，且满足(x2＋x＋1)2＋2(x2＋x＋1)－3＝0，那么x2＋x＋1的值为( )
A．1 B．－3
C．－3或1 D．－1或3
A
错解：C
诊断：设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0，分解因式得(y＋3)(y－1)＝0，解得y1＝－3，y2＝1.当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实数x是否存在而错选C.
解：2x2－4x－30＝0，
x2－2x－15＝0，
(x－5)(x＋3)＝0.
∴x1＝5，x2＝－3.
13．【中考·湘潭】由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋____)(x＋____)；
2
4
∵x2－3x－4＝0，
∴(x＋1)(x－4)＝0，
则x＋1＝0或x－4＝0，
∴x1＝－1，x2＝4.
(2)应用：请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.
换元
15．已知关于x的方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，x＝3是方程的一个根．
(1)求a的值及方程的另一个根；
解：将x＝3代入方程(a－1)x2－4x－1＋2a＝0，得9(a－1)－12－1＋2a＝0，解得a＝2.
将a＝2代入原方程，得x2－4x＋3＝0，因式分解得(x－1)(x－3)＝0，∴x1＝1，x2＝3.
∴方程的另一个根是x＝1.
(2)一个三角形的三边长是此方程的根，求这个三角形的周长．
解：∵三角形的三边长都是这个方程的根，
∴①当三边长都为1时，周长为3；
②当三边长都为3时，周长为9；
③当两边长为3，一边长为1时，周长为7；
④当两边长为1，一边长为3时，不满足三角形三边关系，不能构成三角形．故三角形周长为3或9或7.
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2.2 一元二次方程的解法
第1课时 直接开平方法解方程
第2章 一元二次方程
答案显示
8
A
C
D
C
x1＝2，x2＝－2
C
(1)≥1 (2)＜1
答案显示
5(答案不唯一，
只要c≥0即可)
D
B
C
A
2x2＋x－3＝0.
4
x＝－4，x＝3
15(cm)．
见习题
1．【中考·资阳】a是方程2x2＝x＋4的一个根，则代数式4a2－2a的值是________．
8
2．【中考·天津】方程x2＋x－12＝0的两个根为( )
A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2
C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
D
3．【中考·兰州】x＝1是关于x的一元二次方程x2＋ax＋2b＝0的解，则2a＋4b＝( )
A．－2 B．－3
C．－1 D．－6
A
C
【答案】C
6．【中考·徐州】方程x2－4＝0的解是_________________________．
x1＝2，x2＝－2
≥1
＜1
C
【答案】B
【点拨】由函数y＝x3得n＝3，则y′＝3x2，∴3x2＝12，x2＝4，x＝±2，即x1＝2，x2＝－2，故选B.
10．【中考·吉林】若关于x的一元二次方程(x＋3)2＝c有实数根，则c的值可以为________(写出一个即可)．
5
(答案不唯一，只要c≥0即可)
11．【中考· 丽水】一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝4 B．x－6＝－4
C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
D
12．一元二次方程(x－2)2＝1的根是( )
A．x＝3 B．x1＝3，x2＝－3
C．x1＝3，x2＝1 D．x1＝1，x2＝－3
C
13．已知一元二次方程(x－3)2＝1的两个解恰好分别是等腰三角形ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为( )
A．10 B．10或8
C．9 D．8
A
14．在x＝－4，x＝－2，x＝1，x＝3中，是方程x2＋x－12＝0的根的是________________．
【点拨】本题方程的根有两个，学生易漏掉其中一个．
x＝－4，x＝3
解：由题意知a－2≥0，2－a≥0，故a＝2，所以b＝1，
因为方程的一个根是1，所以a＋b＋c＝0，所以c＝－3.所以此一元二次方程为2x2＋x－3＝0.
17．一个三角形的两边长分别是2 cm和6 cm，第三条边的长是a cm(其中a为整数)，且a满足方程x2－9x＋14＝0，求此三角形的周长．
【点拨】根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可知4＜a＜8.又由于a是整数，所以a的可能取值为5，6，7，再逐个代入方程看哪个是方程的根．
解：由已知可得a的取值范围为4＜a＜8.又因为a为整数，所以a可能的取值为5，6，7.当a＝5时，将其代入方程的左边，得52－9×5＋14≠0，故a＝5不是方程的根．同理可知，a＝6也不是方程的根，a＝7是方程的根，即三角形的第三条边的长为7 cm.所以此三角形的周长是2＋6＋7＝15(cm)．
18．对于ax2＋c＝0(a≠0)型的一元二次方程：
(1)当a，c满足何条件时，方程有实数解？试写出此时的解．
(2)当a，c满足何条件时，方程无实数解，为什么？
