题型四 二次函数综合题
类型一 与图形规律有关的探究问题
1. 先阅读，再解决问题．
平面直角坐标系下，一组有规律
的点：
A1(0，1)、A2(1，0)、A3(2，1)、A4(3，0)、A5(4，1)、A6(5，0)，…，注：当n为奇数时，An(n－1，1)，n为偶数时An(n－1，0)．
抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过A3，A4，A5三点，抛物线C4经过A4，A5，A6三点，…，此抛物线Cn经过An，An＋1，An＋2.
(1)直接写出抛物线C1，C4的解析式；
(2)若点E(e，f1)，F(e，f2)分别在抛物线C27，C28上，当e＝29时，求证△A28EF是直角三角形；
(3)若直线x＝m分别交x轴、抛物线C2015，C2016于点P、M、N，作直线A2016M，A2016N，当∠PA2016M＝45°时，求sin∠PA2016N的值．
2. 已知，如图，直线l：y＝x＋b，经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，Bn(n，yn)(n为正整数)依次在直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，An＋1(xn＋1，0)，设x1＝d(0(1)求b的值；
(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)；
(3)当d(0第2题图
3. 如图①，抛物线C：y＝x2经过变化可得到抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1，D1，此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x(x－b2)，C2与x轴的正半轴交与点A2，且其对称轴分别交抛物线C1，C2于点B2，D2，此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得抛物线C3：y3＝a3x(x－b3)与正方形OB3A3D3.请探究以下问题：
(1)填空：a1＝________；b1＝________；
(2)求出C2与C3的解析式；
(3)按上述类似方法，可得到抛物线Cn：yn＝an(x－bn)与正方形OBnAnDn(n≥1)．
①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；
②当x取任意不为0的实数时，试比较y2016与y2017的函数值的大小并说明理由．
第3题图
类型二 与图形变换有关的探究
问题
4. 已知抛物线y＝x2－2ax＋a2(a为常数，a>0)，G为该抛物线的顶点．
(1)如图①，当a＝2时，抛物线与y轴交于点M，求△GOM的面积；
(2)如图②，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后，所得新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，D为x轴的正半轴上一点，以OD为一对角线作平行四边形OQDE，其中Q点在第一象限，QE交OD于点C，若QO平分∠AQC，AQ＝2QC.求证：△AQO≌△EQO；
(3)在(2)的条件下，若QD＝OG，试求a的值．
第4题图
5. 如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx过(－2，4)，(－4，4)两点．
(1)求二次函数y1的解析式；
(2)将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y＝m(m>0)交y2于M、N两点，求线段MN的长度(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y＝m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点(C在左侧)，直线y＝－m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点(E在左侧)，求证：四边形CEFD是平行四边形．
第5题图
6. 如图①，已知抛物线L：y＝ax2＋bx－(a>0)与x轴交于点A(－1，0)和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x＝1.
(1)直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2＋bx－＝0的解；
(2)如图②，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移，使它的顶点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N.设点P的横坐标为m.
①当m＝5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．
②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？
③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6题图
类型三 二次函数性质的探究问题
7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(0，3)，B(4，0)两点．
(1)用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式；
(2)该二次函数的对称轴不可能是( )，并对你的选择进行证明．
A. x＝0 B. x＝1
C. x＝2 D. x＝3
(3)以－a代替(1)中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解
析式．
①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？请说明理由；
②当x＝t(0≤t≤4)时，求|y－y′|的最大值(用仅含字母a的式子表示)．
8. 已知函数关系式是L1：y＝kx2＋(k－2)x－2.
(1)①当k＝1时，其顶点坐标为________；
②当k＝2时，二次函数的图象的对称轴为________．
(2)求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；
(3)已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A，B，顶点为P.
①若k>0，且△ABP为等边三角形，求k的值；
②若抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，且抛物线L2与x轴交于点C，D，是否存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
类型四 与新定义有关的探究问题
9. 如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．
(1)在图①中，抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与L2：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________；
(2)在图②中，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；
(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．
第9题图
10. 在平面直角坐标系中，将抛物线L1：y＝x2，沿x轴向右平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线L2，顶点为P，交L1于点Q.
(1)直接写出抛物线L2的表达式(用字母m表示)；
(2)连接OQ、PQ，当∠OQP＝60°时，点Q的坐标为________；
(3)若将抛物线L1与L2其中任意一条沿着x轴方向水平向左(或向右)平移得到另一条，记抛物线L1的顶点为O，抛物线L2的顶点为P，抛物线L1与L2的交点为点Q，连接OQ、PQ，当∠OQP＝90°时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．
①当L1和L2是“共轭抛物线”时，求m的值；
②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”．
第10题图
11. 如图，已知抛物线y＝－x2通过平移后得到，y1＝－(x－1)2＋2，y2＝－(x－2)2＋4，y3＝(x－3)2＋6，…，平移后的顶点P1，P2，P3，…，Pk(k为整数)依次都在格点上，这些抛物线称为“好顶点抛物线”．
第11题图
(1)写出平移后抛物线yk的解析式(用k表示)；
(2)若平移后的抛物线yk与抛物线y＝－x2交于点F，其对称轴与抛物线y＝－x2交于点E，若tan∠FPkE＝，求整数k的值；
(3)已知－6≤k≤6，若平移后抛物线的对称轴与x轴交于点Ak，以AkPk为边向右作正方形AkPkBkCk，判断：正方形的顶点Bk是否恰好是其他“好顶点抛物线”上的点？若恰好是，求出该整数k的值；若不存在，请说明理由．
第11题解图
题型四 二次函数综合题
类型一 与图形规律有关的探究
问题
1. 先阅读，再解决问题．
平面直角坐标系下，一组有规律
的点：
A1(0，1)、A2(1，0)、A3(2，1)、A4(3，0)、A5(4，1)、A6(5，0)，…，注：当n为奇数时，An(n－1，1)，n为偶数时An(n－1，0)．
抛物线C1经过A1，A2，A3三点，抛物线C2经过A2，A3，A4三点，抛物线C3经过A3，A4，A5三点，抛物线C4经过A4，A5，A6三点，…，此抛物线Cn经过An，An＋1，An＋2.
(1)直接写出抛物线C1，C4的解析式；
(2)若点E(e，f1)，F(e，f2)分别在抛物线C27，C28上，当e＝29时，求证△A28EF是直角三角形；
(3)若直线x＝m分别交x轴、抛物线C2015，C2016于点P、M、N，作直线A2016M，A2016N，当∠PA2016M＝45°时，求sin∠PA2016N的值．
解：(1)由顶点式求出C1的解析式为：y1＝(x－1)2，C4的解析式为：y4＝
－(x－4)2＋1；
【解法提示】由题意可知抛物线C1过A1，A2，A3三点，抛物线C4过A4，A5，A6三点，将这些点代入顶点式可求出C1和C4的解析式分别为y1＝(x－1)2，y4＝－(x－4)2＋1.
(2)证明：由特殊出发，可以发现这组抛物线解析式的特点：
y1＝(x－1)2，
y2＝－(x－2)2＋1，
y3＝(x－3)2，
y4＝－(x－4)2＋1，
…
∴抛物线C27、C28的解析式为：y27＝(x－27)2，y28＝－(x－28)2＋1.
如解图①，此时点E(e，f1)、F(e，f2)分别为点E(29，4)，F(29，0)；而点A28的坐标是(27，0)．
第1题解图①
显然△A28EF是直角三角形；
(3)由(2)中发现的规律可知，抛物线C2015，C2016解析式为：y2015＝(x－2015)2，y2016＝－(x－2016)2＋1，
顺便指出，由(2)的规律发现，可以退回简单的抛物线C3，C4的情况来研究，分以下两种情况，如解图②，
当m＝2014时，M(2014，1)此时有∠PA2014M＝45°，N(2014，－3)，相应的sin∠PA2016N的值为；
如解图③，在A(2015，0)点右侧，当m＝2016时，M(2016，1)，此时有∠PA2016M＝45°，N(2016，1)，相应的sin∠PA2016N的值为.
第1题解图
2. 已知，如图，直线l：y＝x＋b，经过点M(0，)，一组抛物线的顶点B1(1，y1)，B2(2，y2)，B3(3，y3)，…，Bn(n，yn)(n为正整数)依次在直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1(x1，0)，A2(x2，0)，A3(x3，0)，…，An＋1(xn＋1，0)，设x1＝d(0(1)求b的值；
(2)求经过点A1、B1、A2的抛物线的解析式(用含d的代数式表示)；
(3)当d(0第2题图
解：(1)∵M(0，)在直线y＝x＋
b上，
∴＝×0＋b，
∴b＝；
(2)由(1)得：y＝x＋，
∵B1(1，y1)在l上，
∴当x＝1时，y1＝×1＋＝，
∴B1(1，)．
∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋(a≠0)，
又∵x1＝d，
∴A1(d，0)，
∴0＝a(d－1)2＋，
∴a＝－，
∴经过点A1，B1，A2的抛物线的解析式为：
y＝－(x－1)2＋；
【一题多解】∵x1＝d，
∴A1(d，0)，A2(2－d，0)，
∴设抛物线的解析式为y＝a(x－d)·(x－2＋d)(a≠0)，
把B1(1，)代入得＝a(1－d)·(1－2＋d)，
得a＝－，
∴抛物线的解析式为
y＝－(x－d)·(x－2＋d)．
(3)存在．
由抛物线的对称性可知，所构成的三角形必是以抛物线顶点为直角顶点的等腰直角三角形，
∴此等腰直角三角形斜边上的高等于斜边的一半，
又∵0∴等腰直角三角形斜边的长小于2，
∴等腰直角三角形斜边上的高必小于1，即抛物线的顶点的纵坐标必小于1.
∵当x＝1时，y1＝×1＋＝<1，
当x＝2时，y2＝×2＋＝<1，
当x＝3时，y3＝×3＋＝1>1，
∴该抛物线的顶点只有B1，B2，
①若B1为顶点，由B1(1，)，
则d＝1－＝；
②若B2为顶点，由B2(2，)，
则d＝1－[(2－)－1]＝，
综上所述，d的值为或时，存在满足条件的抛物线．
3. 如图①，抛物线C：y＝x2经过变化可得到抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)，C1与x轴的正半轴交于点A1，且其对称轴分别交抛物线C，C1于点B1，D1，此时四边形OB1A1D1恰为正方形；按上述类似方法，如图②，抛物线C1：y1＝a1x(x－b1)经过变换可得到抛物线C2：y2＝a2x(x－b2)，C2与x轴的正半轴交与点A2，且其对称轴分别交抛物线C1，C2于点B2，D2，此时四边形OB2A2D2也恰为正方形；按上述类似方法，如图③，可得抛物线C3：y3＝a3x(x－b3)与正方形OB3A3D3.请探究以下问题：
(1)填空：a1＝________；b1＝________；
(2)求出C2与C3的解析式；
(3)按上述类似方法，可得到抛物线Cn：yn＝an(x－bn)与正方形OBnAnDn(n≥1)．
①请用含n的代数式直接表示出Cn的解析式；
②当x取任意不为0的实数时，试比较y2016与y2017的函数值的大小并说明理由．
第3题图
解：(1)1；2；
【解法提示】由抛物线C经过变换得到抛物线C1，则a1＝1，代入C1得：y1＝x(x－b1)．y1＝0时，x(x－b1)＝0，x1＝0，x2＝b1，∴A1(b1，0)，
由正方形OB1A1D1得：OA1＝B1D1＝b1，∴B1(，)，∵B1在抛物线C上，则＝()2，b1(b1－2)＝0，b1＝0(不符合题意)，b1＝2.
(2)由a2＝a1＝1得，y2＝x(x－b2)，
y2＝0得，x(x－b2)＝0，
x1＝0，x2＝b2.
∴A2(b0，0)．
由正方形OB2A2D2得：OA2＝B2D2＝b2，
∴B2(，)，
∵B2在抛物线C1上，则＝()2－2×，
b2(b2－6)＝0，b2＝0(不合题意)，
∴b2＝6，
∴C2的解析式：y2＝x(x－6)＝x2－6x，
由a3＝a2＝1得，y3＝x(x－b3)，
y3＝0时，x(x－b3)＝0，
x1＝0，x2＝b3，
∴A3(b3，0)，
由正方形OB3A3D3得：OA3＝B3D3＝b3
∴B3(，)，
∵B3在抛物线C2上，则＝()2－6×，
b3(b3－14)＝0，
b3＝0(不合题意)，b3＝14，
∴C3的解析式：y3＝x(x－14)＝x2－14x；
(3)①Cn的解析式为：yn＝x2－(2n＋1－2)x(n≥1)；
②由①得抛物线C2016的解析式为：y2016＝x2－(22016＋1－2)x＝x2－(22017－2)x，
抛物线C2017的解析式为：y2017＝x2－(22017＋1－2)x＝x2－(22018－2)x，
∴两抛物线的交点为(0，0)．
∴当x<0时，y20160时，y2016>y2017.
类型二 与图形变换有关的探究
问题
4. 已知抛物线y＝x2－2ax＋a2(a为常数，a>0)，G为该抛物线的顶点．
(1)如图①，当a＝2时，抛物线与y轴交于点M，求△GOM的面积；
(2)如图②，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后，所得新图象与y轴交于A、B两点(点A在点B的上方)，D为x轴的正半轴上一点，以OD为一对角线作平行四边形OQDE，其中Q点在第一象限，QE交OD于点C，若QO平分∠AQC，AQ＝2QC.求证：△AQO≌△EQO；
(3)在(2)的条件下，若QD＝OG，试求a的值．
第4题图
解：(1)当a＝2时，令x＝0，则y＝a2＝4，
∴点M(0，4)，
∵y＝x2－2ax＋a2＝(x－a)2，
∴当a＝2时，顶点G(2，0)，
∴OM＝4，OG＝2，
S△GOM＝OM·OG＝×4×2＝4；
(2)证明：∵四边形OQDE为平行四边形，
∴QC＝CE＝QE，
又∵AQ＝2QC，
∴AQ＝EQ，
∵QO平分∠AQC，
∴∠AQO＝∠EQO，
∵在△AQO和△EQO中，
∴△AQO≌△EQO(SAS)；
(3)∵由题意知G(a，0)，
∴OG＝a，
∵QD＝OG，
∴QD＝a，
∵四边形OQDE为平行四边形，
∴OE＝QD＝a，
即A(0，a)，
由旋转知，旋转前抛物线点A的坐标为(2a，a)，
把(2a，a)代入y＝x2－2ax＋a2得，4a2－2a·2a＋a2＝a，
即a2＝a，
解得a＝1或0.
∵a为常数，a>0，
∴a＝0不合题意，舍去，
∴a＝1.
5. 如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx过(－2，4)，(－4，4)两点．
(1)求二次函数y1的解析式；
(2)将y1沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线y2，直线y＝m(m>0)交y2于M、N两点，求线段MN的长度(用含m的代数式表示)；
(3)在(2)的条件下，y1、y2交于A、B两点，如果直线y＝m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于C、D两点(C在左侧)，直线y＝－m与y1、y2的图象形成的封闭曲线交于E、F两点(E在左侧)，求证：四边形CEFD是平行四边形．
第5题图
解：(1)将点(－2，4)，(－4，4)代入y1＝ax2＋bx，得
，解得，
∴y1＝－x2－3x；
(2)将y1配方，得y1＝－(x＋3)2＋，
∴顶点坐标是(－3，)．
此顶点沿x轴翻折(－3，－)，再向右平移2个单位后的点是(－1，－)．
翻折后抛物线的方向改变，但开口大小不变，∴翻折后抛物线解析式的二次项系数是.
∴y2＝(x＋1)2－，即y2＝x2＋x－4.
令y2＝m，得x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2(4＋m)＝0.
设此方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2(4＋m)．
∵x1，x2是点M，N的横坐标，
∴MN＝|x1－x2|
＝
＝＝2；
(3)设点A的纵坐标为y0.
①当y0≤m＜时，如题图．
对于直线y＝m和函数y1＝－x2－3x，由第(2)问的方法求得CD＝2.
对于直线y＝－m和函数y2＝x2＋x－4，由第(2)问的方法可知EF＝2.
∴CD＝EF.
又CD∥EF，
∴四边形CEFD是平行四边形．
②当0＜m＜y0时，如解图，此时直线y＝m与y1的右交点为D，与y1的左交点为C，直线y＝－m与y2的右交点为F，与y2的左交点为E.
第5题解图
由方程组
消去y，得－x2－3x＝m，即x2＋6x＋2m＝0.
解此方程，得x＝－3±.
点D的横坐标为xD＝－3＋.
由方程组，消去y，得
x2＋x－4＝m，即x2＋2x－2(4＋m)＝0.
解此方程，得x＝－1±.
点C的横坐标为xC＝－1－.
∴EF＝xD－xC＝＋－2.
同理，xF＝－3＋，xE＝－1－.
∴CD＝xF－xE＝＋－2.
∴CD＝EF.
∴四边形CEFD是平行四边形．
综上所述，当m＞0时，所构成的四边形CEFD是平行四边形．
6. 如图①，已知抛物线L：y＝ax2＋bx－(a>0)与x轴交于点A(－1，0)和点B，顶点为M，对称轴为直线l：x＝1.
(1)直接写出点B的坐标及一元二次方程ax2＋bx－＝0的解；
(2)如图②，设点P是抛物线L上的一个动点，将抛物线L平移，使它的顶点移至点P，得到新抛物线L′，L′与直线l相交于点N.设点P的横坐标为m.
①当m＝5时，PM与PN有怎样的数量关系？请说明理由．
②当m为大于1的任意实数时，①中的关系式还成立吗？为什么？
③是否存在这样的点P，使△PMN为等边三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
第6题图
解：(1)如解图①，∵y＝ax2＋bx－(a>0)与x轴交于点A(－1，0)和点B，对称轴为直线l：x＝1，
∴点A和点B关于直线l：x＝1对称，
∴点B的坐标为(3，0)，
∴一元二次方程ax2＋bx－＝0的解为x1＝－1，
x2＝3；
(2)如解图②，过点P作PC⊥l于点C，
第6题解图
①∵y＝(x－1)2－2，
∴当m＝5, 即x＝5, y＝6，
∴P(5，6)，
∴此时L′的解析式为y＝(x－5)2＋6，点C的坐标是(1，6)．
∵当x＝1时，y＝14，
∴点N的坐标是(1，14)，
∵CM＝6－(－2)＝8，CN＝14－6＝8，
∴CM＝CN，
∴PC垂直平分线段MN，
∴PM＝PN；
②PM＝PN仍然成立，
由题意有点P的坐标为(m，m2－m－)．
∵L′的解析式为y＝(x－m)2＋m2－m－，
∴点C的坐标是(1，m2－m－)，
∴CM＝m2－m－＋2＝m2－m＋，
∵在L′的解析式y＝(x－m)2＋m2－m－中，
∴当x＝1时，y＝m2－2m－1，
∴点N的坐标是(1，m2－2m－1)，
∴CN＝(m2－2m－1)－(m2－m－)＝m2－m＋，
∴CM＝CN，
∴PC垂直平分线段MN，
∴PM＝PN；
③存在这样的点P，使△PMN为等边三角形．
若＝tan30°，则m2－m＋＝(m－1)，
解得m＝或m＝1(不合题意，舍去)
∴点P的坐标为(，－)．
类型三 二次函数性质的探究问题
7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过A(0，3)，B(4，0)两点．
(1)用仅含字母a的式子表达这个二次函数的解析式；
(2)该二次函数的对称轴不可能是( )，并对你的选择进行证明．
A. x＝0 B. x＝1
C. x＝2 D. x＝3
(3)以－a代替(1)中二次函数y的解析式中的a，得到二次函数y′的解
析式．
①二次函数y′的图象是否也经过A，B两点？请说明理由；
②当x＝t(0≤t≤4)时，求|y－y′|的最大值(用仅含字母a的式子表示)．
解：(1)将A(0，3)，B(4，0)两点坐标分别代入二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)得，
解得，
∴该二次函数的解析式为y＝ax2－(4a＋)x＋3；
(2)C；
【解法提示】对称轴为x＝
－＝2＋≠2，故选C.
(3)①二次函数y′图象经过A、B两点，理由如下：
y′＝－ax2＋bx＋c，
由(1)可得y′＝－ax2－(－4a＋)x＋3，
将x＝0代入解析式得，y′＝3，故点A(0，3)在抛物线上；
将x＝4代入解析式得，y′＝－16a＋16a－3＋3＝0，故点B(4，0)在抛物线上；
②|y－y′|＝|ax2－(4a＋)x＋3－[－ax2－(－4a＋)x＋3]|＝|2ax2－8ax|＝|2a(x2－4x＋4－4)|＝|2a(x－2)2－8a|，
即|y－y′|＝|2a(x－2)2－8a|，
当x＝t(0≤t≤4)时，|y－y′|的最大值为|－8a|，
故|y－y′|的最大值为|－8a|.
8. 已知函数关系式是L1：y＝kx2＋(k－2)x－2.
(1)①当k＝1时，其顶点坐标为________；
②当k＝2时，二次函数的图象的对称轴为________．
(2)求证：无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；
(3)已知二次函数L1的图象与x轴相交于点A，B，顶点为P.
①若k>0，且△ABP为等边三角形，求k的值；
②若抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，且抛物线L2与x轴交于点C，D，是否存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点？若存在，求出实数k的值；若不存在，请说明理由．
(1)解：①(，－)；②y轴；
【解法提示】①当k＝1时，y＝x2－x－2＝(x－)2－，此时顶点坐标为(，－)；
②当k＝2时，y＝2x2－2，则抛物线的对称轴为y轴．
(2)证明：当k＝0时，一次函数y＝－2x－2与x轴有一个交点(－1，0)；
当k≠0时，b2－4ac＝(k－2)2－4k·(－2)＝(k＋2)2≥0，此二次函数图象与x轴有交点，
∴无论k为何值时，函数图象与x轴总有交点；
(3)∵k≠0，
∴当y＝0时，kx2＋(k－2)x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝，
设A(，0)，B(－1，0)，
则顶点P的坐标为(，
－)，
①当k>0时，AB＝＋1，如解图，作PE⊥x轴于点E，
第8题解图
∵△ABP为等边三角形，
∴PE＝AB，
∴＝(＋1)，
即(k＋2)2＝2(k＋2)，
解得k1＝－2(舍去)，k2＝2－2，
∴k的值为2－2；
②存在实数k，使以A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点．
∵抛物线L2与抛物线L1关于原点成中心对称，
∴点A和点B关于原点的对称点分别为点C、D，
∴C(－，0)，D(1，0)，
∴点B(－1，0)，D(1，0)为定点，点A(，0)，C(－，0)为动点，
A，B，C，D四点中的其中两点成为另外两点之间的线段的三等分点，
当k>0时，
当点B、D为线段AC的三等分点时，AC＝3BD，
即－(－)＝3×2，解得k＝；
当点A、C点为线段BD的三等分点时，AC＝BD，即－(－)＝×2，解得k＝6；
当k<0时，同理可得k＝－或k＝
－6，
综上所述，k的值为±，±6.
类型四 与新定义有关的探究问题
9. 如图①，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上(点A与点B不重合)，我们把这样的两条抛物线L1、L2互称为“伴随抛物线”，可见一条抛物线的“伴随抛物线”可以有多条．
(1)在图①中，抛物线L1：y＝－x2＋4x－3与L2：y＝a(x－4)2－3互为“伴随抛物线”，则点A的坐标为________，a的值为________；
(2)在图②中，已知抛物线L3：y＝2x2－8x＋4，它的“伴随抛物线”为L4，若L3与y轴交于点C，点C关于L3的对称轴对称点为D，请求出以点D为顶点的L4的解析式；
(3)若抛物线y＝a1(x－m)2＋n的任意一条“伴随抛物线”的解析式为y＝a2(x－h)2＋k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．
第9题图
解：(2，1)，1；
【解法提示】(1)∵抛物线L1：y＝
－x2＋4x－3，∴此抛物线的顶点坐标A(2，1)，∵抛物线L2过点A(2，1)，∴1＝a(2－4)2－3，∴a＝1.
(2)由L3：y＝2x2－8x＋4化成顶点式，得y＝2(x－2)2－4，
∴C(0，4)，对称轴为x＝2，顶点坐标(2，－4)，
∴点C关于对称轴x＝2的对称点D(4，4)，设L4：y＝a(x－h)2＋k
将顶点D(4，4)代入得，y＝a(x－4)2＋4再将点(2，－4)代入得，－4＝4a＋4，
解得：a＝－2，
L3的伴随抛物线L4的解析式为：y＝－2(x－4)2＋4；
(3)a1＝－a2.
理由如下：∵抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B在抛物线L1上，设A(m，k)，B(h，n)，
∴可以列出两个方程
，
①＋②得：(a1＋a2)(m－h)2＝0，
∵伴随抛物线的顶点不重合，
∴a1＝－a2.
10. 在平面直角坐标系中，将抛物线L1：y＝x2，沿x轴向右平移m(m＞0)个单位长度，得抛物线L2，顶点为P，交L1于点Q.
(1)直接写出抛物线L2的表达式(用字母m表示)；
(2)连接OQ、PQ，当∠OQP＝60°时，点Q的坐标为________；
(3)若将抛物线L1与L2其中任意一条沿着x轴方向水平向左(或向右)平移得到另一条，记抛物线L1的顶点为O，抛物线L2的顶点为P，抛物线L1与L2的交点为点Q，连接OQ、PQ，当∠OQP＝90°时，我们称这样的两条抛物线是“共轭抛物线”．
①当L1和L2是“共轭抛物线”时，求m的值；
②请你根据上述“共轭抛物线”的概念，求出抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”．
第10题图
解：(1)y＝(x－m)2；
【解法提示】如解图①，将抛物线L1沿x轴向右平移m(m＞0)个单位长度，得到抛物线L2，得到：y＝(x－m)2.
第10题解图①
(2)(2，6)；
【解法提示】如解图①，过点Q作QG⊥x轴于点G，由点Q到L1与L2的对称轴的距离相等，可得：OG＝PG＝OP＝m，当x＝时，y＝m2，即点Q的坐标为(m，m2)，∵∠OQP＝60°，∴根据抛物线的性质可知：△OPQ为等边三角形，∴tan∠QOP＝＝ tan60°＝＝，解得：
m＝4，∴点Q坐标为(2，6)．
(3)①∵∠OQP＝90°，OQ＝PQ，
∴∠QOG＝45°，OG＝PG＝OP＝m，
当x＝m时，y＝×(m)2＝m2，
故点Q的坐标为(m，m2)，
由∠QOG＝45°，∠OGQ＝90°，得：OG＝GQ，
∴|m|＝|×(m)2|，
解得：m＝0(不符合题意，舍去)，
m＝±4，
当m＝4时，抛物线向右平移；
当m＝－4时，抛物线向左平移，
综上所述，当L1和L2是“共轭抛物线”时，m的值为±4；
②如解图②，∵y＝－x2－2x＋3＝
－(x＋1)2＋4，
第10题解图②
∴设抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”为：y＝－(x＋1－m)2＋4，
∵△PFQ是等腰直角三角形，∴PF＝FQ，
当x＝－1＋m时，y＝－m2＋4，
即Q(－1＋m，－m2＋4)，
FQ＝4－(－m2＋4)＝m2，
由PF＝FQ可知：m＝m2，解得：m＝2或m＝0(不符合题意，舍去)，
则抛物线y＝－x2－2x＋3向右平移所得的“共轭抛物线”为：y＝－(x－1)2＋4；
综上所述，抛物线y＝－x2－2x＋3向左平移所得的“共轭抛物线”为：y＝－(x＋3)2＋4，
抛物线y＝－x2－2x＋3的“共轭抛物线”为y＝－(x－1)2＋4或y＝－(x＋3)2＋4.
11. 如图，已知抛物线y＝－x2通过平移后得到，y1＝－(x－1)2＋2，y2＝－(x－2)2＋4，y3＝(x－3)2＋6，…，平移后的顶点P1，P2，P3，…，Pk(k为整数)依次都在格点上，这些抛物线称为“好顶点抛物线”．
第11题图
(1)写出平移后抛物线yk的解析式(用k表示)；
(2)若平移后的抛物线yk与抛物线y＝－x2交于点F，其对称轴与抛物线y＝－x2交于点E，若tan∠FPkE＝，求整数k的值；
(3)已知－6≤k≤6，若平移后抛物线的对称轴与x轴交于点Ak，以AkPk为边向右作正方形AkPkBkCk，判断：正方形的顶点Bk是否恰好是其他“好顶点抛物线”上的点？若恰好是，求出该整数k的值；若不存在，请说明理由．
第11题解图
解：(1)∵抛物线y＝－x2通过平移后得到，y1＝－(x－1)2＋2，y2＝－(x－2)2＋4，y3＝－(x－3)2＋6，观察规律可得到yk＝－(x－k)2＋2k；
(2)如解图，过点F作FG⊥PE于
点G，
由yk＝－(x－k)2＋2k可知顶点Pk(k，2k)，
对称轴为直线x＝k，对称轴与抛物线y＝－x2的交点为E(k，－k2)，
联立得，
解得，
∴F(，－)，
∵tan∠FPkE＝，
∴＝，即＝，
整理得6|k＋2|＝(k＋2)2，
解得k＝4或－8或－2，
当k＝－2时原方程无意义，故k＝－2不是原方程的根，
∴k的值为4或－8；
(3)∵平移后的抛物线的顶点Pk的坐标是(k，2k)，由题意得AkPk＝PkBk＝2|k|，
当k>0时，点Bk的坐标是(3k，2k)，
设Bk(3k，2k)恰好落在抛物线yk＝－[x－(k＋m)]2＋2(k＋m)上，则－[3k－(k＋m)]2＋2(k＋m)＝2k，
整理得(2k－m)2＝2m，
解得2k＝±＋m，
∵k，m为整数，
∴当m＝2时，k＝2或0(0不合题意，舍去)；
当m＝8时，k＝2或6；
当m＝18时，k＝6或12(12不合题意，舍去)，
当k<0时，则Bk的坐标是(－k，2k)，
设Bk(－k，2k)恰好落在抛物线yk＝－[x－(k＋m)]2＋2(k＋m)上，
则－[－k－(k＋m)]2＋2(k＋m)＝2k，
整理得(－2k－m)2＝2m，
解得2k＝±－m，
∵k，m为整数，
∴当m＝2时，k＝－2或0(0不合题意，舍去)；
当m＝8时，k＝－2或－6；
当m＝18时，k＝－6或－12(－12不合题意，舍去)，
综上所述，可知当k＝±2或k＝±6时，正方形的顶点Bk恰好在其他的“好顶点抛物线上”上．
