（颠峰对决）2020年中考数学第二轮专题复习学案(PDF教师版 117页)
文档属性
| 名称 | （颠峰对决）2020年中考数学第二轮专题复习学案(PDF教师版 117页) |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 4.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-10 12:24:38 | ||
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文档简介
目 录
中考专题训练一———计算型问题 １????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———数与式、方程与不等式的计算 １????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———含有参数的方程和不等式的计算 ５????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练二———统计和概率问题 ８????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———概 率 ８????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———统 计 １０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练三———三角函数应用型问题 １７????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题 ２１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———方程与不等式的应用(１) ２１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———方程与不等式的应用(２) ２５????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练五———反比例函数计算型问题 ３０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练六———一次函数应用型问题 ３３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———一次函数应用型问题(１) ３３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———一次函数应用型问题(２) ３６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练七———函数探究型问题 ３９????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———含有绝对值的函数探究型问题 ３９????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———分段函数和高次函数探究型问题 ４５????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练八———二次函数综合型问题 ５０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———二次函数图象与系数的关系 ５０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———二次函数中的面积问题 ５３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第三课时———二次函数中的角度问题 ６０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练九———阅读理解型问题 ６６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练十———几何计算及证明型问题 ７１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———与角平分线有关的辅助线 ７１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———与中点有关的辅助线 ７６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第三课时———截长补短法与等腰三角形中的辅助线 ８２????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第四课时———直角三角形中的辅助线 ８８????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练十一———几何综合计算与几何变换 ９４????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———几何综合计算与几何变换 ９６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———几何最值与几何变换 ９９????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练十二———探究型问题 １０３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———代数型探究问题 １０３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———几何型探究问题 １１０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
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???????? 中考专题训练一———计算型问题
中考专题训练一———计算型问题
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本专题包含四个部分:实数的运算?整式及分式的化简?解方程(组)与不等式(组)?含参数的方程、不
等式(组)问题.
实数的运算主要涉及无理数、负指数、零指数、绝对值、平方根、立方根等运算?只要理解计算的法则是
非常容易得分的?其中负指数运算是易错点.
解方程(组)和不等式(组)包括解一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组、一元一
次不等式(组)?按相应的解法和步骤求解一般不会存在问题.特别地?分式方程一定要验根.
含参数的方程、不等式(组)问题是学生学习的难点?确定参数的值(或范围)是关键?含参不等式问题
多用数轴?等号能否取到是易错点?含参分式方程?分母不为零的检验是关键.
第一课时———数与式、方程与不等式的计算
解方程(组)
【例 １】 解方程或方程组:
(１)２－ ２ｘ
＋１
３
＝ １＋ｘ
２
?
解:ｘ＝１.
(２)
２ｘ－ｙ＝ １?
３ｘ－ ｙ
＋１
２
＝ ４?
ì
?
í
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?
解:
ｘ＝２?
ｙ＝３.{
(３) ｘ
ｘ－１
－ ２
ｘ
＝ １?
解:去分母?得 ｘ２－２ｘ＋２＝ｘ２－ｘ.
解得 ｘ＝２.
经检验?ｘ＝２ 时是方程的解?
所以 ｘ＝２ 是原方程的解.
(４)ｘ２－２ｘ－５＝ ０.
解:(１)∵ ａ＝１?ｂ＝－２?ｃ＝－５?
∴Δ＝４－４×１×(－５)＝ ２４>０?
则 ｘ＝ ２±２ ６
２
＝ １± ６ ?
∴ ｘ１ ＝１＋ ６ ?ｘ２ ＝１－ ６ .
解题点拨:本题主要考查方程(组)的解法?掌握解方程(组)的方法是解题的关键.要注意的是解分式方程时一
定要检验.
方法总结:正确解方程(组)的核心是理解并掌握解方程(组)的方法.特别地?对于二元一次方程组而言?要注意
选择消元的方法?通常情况下?加减消元法要比代入消元法更方便.同时?一元二次方程的公式法是一个万能的
方法?所有的一元二次方程均可以使用.
—１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
解不等式(组)
【例 ２】 解不等式或不等式组:
(１) ｘ－３(ｘ－２)≤４?
(２)
ｘ－３
２
＋３≥ｘ＋１?
１－３(ｘ－１)<８－ｘ.
ì
?
í
??
?
解:ｘ≥１. 解:－２<ｘ≤１.
解题点拨:本题考查不等式(组)的解法?掌握不等式(组)的解法及其步骤是关键.
方法总结:解不等式要特别注意化系数为“１”这个环节?如果未知数的系数为负数?一定要变号.同时?对于不等
式组通常可以借助数轴求出最后的解集.
整式的化简
【例 ３】 化简:
(１)２(ｙ＋１) ２－(ｙ－２)(２ｙ＋１)?
解:原式＝２(ｙ２＋２ｙ＋１)－(２ｙ２－３ｙ－２)
＝ ２ｙ２＋４ｙ＋２－２ｙ２＋３ｙ＋２
＝７ｙ＋４.
(２)(ｘ－３ｙ) ２＋(ｘ＋３ｙ)(ｘ－３ｙ) .
解:原式＝ｘ２－６ｘｙ＋９ｙ２＋ｘ２－９ｙ２
＝２ｘ２－６ｘｙ.
解题点拨:本题主要考查整式的乘法法则与乘法公式: ａ＋ｂ( ) ａ－ｂ( ) ＝ａ２－ｂ２? ａ±ｂ( ) ２ ＝ ａ２±２ａｂ＋ｂ２ .在计算时?除了
要准确地记忆公式?还要特别注意符号与系数的处理.
方法总结:牢记运算法则和公式是基础?熟练、准确计算是关键.为了避免出错?最好不要省略必要的步骤.
分式的化简
【例 ４】 化简:
(１) ５
ｘ－２
－ｘ－２?
è
?
?
?
÷ ÷ｘ
２－６ｘ＋９
ｘ２－２ｘ
＋ ３ｘ
ｘ－３
?
解:原式＝ ５
ｘ－２
－ ｘ
＋２( ) ｘ－２( )
ｘ－２[ ] ×ｘ ｘ－２( )ｘ－３( ) ２ ＋
３ｘ
ｘ－３
＝ｘ ９－ｘ
２( )
ｘ－３( ) ２
＋ ３ｘ
ｘ－３
＝－ｘ ｘ＋３( )
ｘ－３
＋ ３ｘ
ｘ－３
＝－ ｘ
２
ｘ－３
.
(２) ４ａ
＋１
ａ－２
＋ａ?
è
?
?
?
÷ ÷ａ
２－１
ａ－２
－１.
解:原式＝ ４ａ
＋１＋ａ２－２ａ
ａ－２
× ａ－２
(ａ＋１)(ａ－１)
－１
＝ａ＋１
ａ－１
－１
＝ ２
ａ－１
.
解题点拨:本题主要考查因式分解与分式的相关运算?如通分、约分等?计算一定要仔细?结果要最简.
方法总结:熟练掌握因式分解、通分及约分的方法与法则?牢记公式与方法是本类型计算的基础?计算细心且准
确是关键.
１.计算:
(１) ２－ ３ ＋ ２７ － －
１
２
?
è
?
?
?
÷
－２
＋(３－π) ０?
解:原式＝２－ ３ ＋３ ３ －４＋１＝－１＋２ ３ .
(２)(－２) ２－ ３ ６４ ＋(－３) ０－ １
３
?
è
?
?
?
÷
－２
?
解:原式＝４－４＋１－９＝－８.
—２—
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???????? 中考专题训练一———计算型问题
(３) ３ ×(－ ６ )＋ －４ ２ － ８ ?
解:原式＝－ ３×６ ＋４ ２ －２ ２ ＝－３ ２ ＋４ ２ －２ ２ ＝－ ２ .
(４)－１－３＋２ ０２００－ ４－４ ３ －
３ ６４ －ｔａｎ ３０°.
解:原式＝－１＋１－４ ３ ＋４－４－ ３
３
＝－ １３ ３
３
.
２.解整式方程:
(１)１－ ３
２
ｘ＝ ３ｘ＋ ５
２
?
解:ｘ＝－ １
３
.
(２)ｘ２ ＝ ３ｘ?
解:ｘ１ ＝０?ｘ２ ＝３.
(３)ｘ２－３ｘ－２＝ ０?
解:ｘ１ ＝
３＋ １７
２
?ｘ２ ＝
３－ １７
２
.
(４)３ｘ２ ＝ ４－２ｘ.
解:ｘ１ ＝
－１＋ １３
３
?ｘ２ ＝
－１－ １３
３
.
３.解分式方程:
(１)ｘ
－５
ｘ－１
＋ ２
ｘ
＝ １?
解:ｘ＝－１.
(２) １
ｘ－４
＋ ５
ｘ＋４
＝ ８
ｘ２－１６
.
解:ｘ＝４ 是增根?原方程无解.
４.解方程组:
(１)
ｘ
３
－ｙ＝ －４?
ｘ＋ｙ
－１
２
＝ ５?
ì
?
í
?
?
?
?
(２)
３(ｘ＋ｙ)－４(ｘ－ｙ)＝ ５?
ｘ＋ｙ
３
＋ｘ－ｙ
２
＝ ３
２
.
ì
?
í
??
?
解:
ｘ＝３?
ｙ＝５.{ 解:
ｘ＝２?
ｙ＝１.{
５.解不等式:
(１) ｘ
３
>１－ ｘ
－３
６
? (２)２ｘ
－１
３
≤３ｘ
＋２
４
－１.
解:ｘ>３. 解: ｘ≥２.
６.解不等式组:
(１)
１＋２ｘ≤ｘ＋５?
３ｘ＋２≤４?{ (２) ｘ
－ １＋３ｘ
２
>－３?
５ｘ－１２≤２(４ｘ－３) .
ì
?
í
??
?
解:ｘ≤ ２
３
. 解:－２≤ｘ<５.
—３—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
７.化简:
(１)(ｘ－ｙ) ２－(ｘ－２ｙ)(ｘ＋ｙ)?
解:原式＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－ｘ２＋ｘｙ＋２ｙ２
＝－ｘｙ＋３ｙ２ .
(２)(ａ２ｂ－２ａｂ２－ｂ３)÷ｂ－(ａ－ｂ) ２?
解:原式＝－２ｂ２ .
(３)(ａ＋２ｂ)(ａ－２ｂ)－(ａ－ｂ) ２?
解:原式＝ａ２－４ｂ２－ａ２－ｂ２＋２ａｂ
＝２ａｂ－５ｂ２ .
(４)(ａ－２ｂ) ２－４ａ(ａ－ｂ) .
解:原式＝ａ２－４ａｂ＋４ｂ２－４ａ２＋４ａｂ
＝４ｂ２－３ａ２ .
８.(１)先化简?再求值:(２ａ－１) ２－２(ａ＋１)(ａ－１)－ａ(ａ－２)?其中 ａ＝ ２ ＋１.
解:原式＝４ａ２－４ａ＋１－２ａ２＋２－ａ２＋２ａ＝ａ２－２ａ＋３.
当 ａ＝ ２ ＋１ 时?
原式＝( ２ ＋１) ２－２( ２ ＋１)＋３
＝３＋２ ２ －２ ２ －２＋３
＝４.
(２)已知 ２ｘ２＋ｘ－５＝ ０?求代数式(２ｘ－１) ２－ｘ(ｘ－６)＋(ｘ＋２)(ｘ－２)的值.
解:原式＝４ｘ２－４ｘ＋１－ｘ２＋６ｘ＋ｘ２－４
＝４ｘ２＋２ｘ－３.
∵２ｘ２＋ｘ－５＝０?
∴４ｘ２＋２ｘ＝１０?
∴原式＝１０－３＝７.
９.化简分式:
(１) ｘ－１－ ３
ｘ＋１
?
è
?
?
?
÷ ÷ｘ
２＋４ｘ＋４
ｘ＋１
?
解:原式＝(ｘ
＋１)(ｘ－１)－３
ｘ＋１
÷(ｘ＋２)
２
ｘ＋１
＝(ｘ＋２)(ｘ－２)
ｘ＋１
???? ｘ
＋１
(ｘ＋２) ２
＝ｘ－２
ｘ＋２
.
(２) ｘ
ｘ＋ｙ
÷ １
ｘ２－ｘｙ
－ ２
ｘ２－ｙ２
?
è
?
?
?
÷ ?
解:原式＝ ｘ
ｘ＋ｙ
÷ １
ｘ(ｘ－ｙ)
－ ２
(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)[ ]
＝ ｘ
ｘ＋ｙ
÷ ｘ＋ｙ－２ｘ
ｘ(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)
＝ ｘ
ｘ＋ｙ
????ｘ(ｘ
＋ｙ)(ｘ－ｙ)
ｙ－ｘ
＝－ｘ２ .
—４—
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???????? 中考专题训练一———计算型问题
(３)ｘ
２＋６ｘｙ＋９ｙ２
ｘ２＋２ｘｙ
÷ ｘ－２ｙ－ ５ｙ
２
ｘ＋２ｙ
?
è
?
?
?
÷ ＋ １
ｘ
?
解:原式＝ (ｘ
＋３ｙ) ２
ｘ(ｘ＋２ｙ)
÷ｘ
２－４ｙ２－５ｙ２
ｘ＋２ｙ
＋ １
ｘ
＝ (ｘ＋３ｙ)
２
ｘ(ｘ＋２ｙ)
???? ｘ
＋２ｙ
(ｘ＋３ｙ)(ｘ－３ｙ)
＋ １
ｘ
＝ ｘ＋３ｙ
ｘ(ｘ－３ｙ)
＋ １
ｘ
＝ｘ＋３ｙ＋ｘ－３ｙ
ｘ(ｘ－３ｙ)
＝ ２ｘ
ｘ(ｘ－３ｙ)
＝ ２
ｘ－３ｙ
.
(４)ｘ
２－８ｘ＋１６
ｘ２＋２ｘ
÷ １２
ｘ＋２
－ｘ＋２?
è
?
?
?
÷ ＋ １
ｘ＋４
.
解:原式＝ (ｘ
－４) ２
ｘ(ｘ＋２)
÷１６－ｘ
２
ｘ＋２
＋ １
ｘ＋４
＝ ４－ｘ
ｘ(ｘ＋４)
＋ １
ｘ＋４
＝ ４
ｘ２＋４ｘ
.
１０.(１)先化简?再求值:(ｘ－１)÷ ２
ｘ＋１
－１?
è
?
?
?
÷ ?其中 ｘ 为方程 ｘ２＋３ｘ＋２＝ ０ 的根.
解:原式＝(ｘ－１)÷２
－ｘ－１
ｘ＋１
＝(ｘ－１)÷１
－ｘ
ｘ＋１
＝(ｘ－１)×ｘ
＋１
１－ｘ
＝－ｘ－１.
由 ｘ 为方程 ｘ２＋３ｘ＋２＝０ 的根?解得 ｘ＝－１ 或 ｘ＝－２.
当 ｘ＝－１ 时?原式无意义?所以 ｘ＝－１ 舍去?
当 ｘ＝－２ 时?原式＝－(－２)－１＝２－１＝１.
(２)先化简?再求值: １－ ４
ａ
?
è
?
?
?
÷ ÷ ａ
＋２
ａ２－２ａ
－ ａ－１
ａ２－４ａ＋４
?
è
?
?
?
÷ ?其中 ａ 是不等式组
５－ａ>１?
２ａ＋１>３{ 的整数解.
解:原式＝ａ
－４
ａ
÷ ａ
＋２
ａ(ａ－２)
－ ａ
－１
(ａ－２) ２
é
?
êê
ù
?
úú
＝ａ－４
ａ
÷ (ａ
＋２)(ａ－２)－ａ(ａ－１)
ａ (ａ－２) ２
é
?
êê
ù
?
úú
＝ａ－４
ａ
????ａ (ａ
－２) ２
ａ－４
＝(ａ－２) ２ .
由
５－ａ>１?
２ａ＋１>３?{ 得 １<ａ<４.又∵ ａ 为整数?∴ ａ＝２ 或 ａ＝３.
∵ ａ＝２ 使得原分式无意义?∴ ａ＝３.
把 ａ＝３ 代入原式?得原式＝１.
第二课时———含有参数的方程和不等式的计算
含参数的方程(组)和不等式(组)的结合
【例 ５】 (１)若整数 ａ 使得关于 ｘ 的不等式组
ｘ－２ａ>０?
ｘ－１
３
－ ｘ
２
≥－１
ì
?
í
??
?
至少有 １ 个整数解?且使得关于 ｙ 的方程 ４ａｙ ＝ １５－ｙ
有正整数解?那么所有满足条件的整数 ａ 的值之和是 ( Ｂ )
Ａ. １
２
Ｂ.１ Ｃ. ５
２
Ｄ.３
解题点拨:本题考查的是含参数的一元一次不等式组和一元一次方程?把不等式组和方程中的参数 ａ 当成常数处
理?从而准确解出不等式组和方程是解题的关键?同时注意“至少有 １ 个整数解”?则不等式组中 ａ 的值不能取 ２.
—５—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
(２)从－２?－１?－ ２
３
?０?１ 这五个数字中?随机抽取一个数?记为 ａ?则使得关于 ｘ 的方程ａｘ
＋２
ｘ－３
＝ １ 的解为非负数?
且满足关于 ｙ 的不等式组
ｙ－ａ>０?
－３＋２ｙ≤１{ 恰有三个整数解?那么这 ５ 个数中所有满足条件的 ａ 的值有 ( Ｂ )
Ａ.０ 个 Ｂ.１ 个 Ｃ.２ 个 Ｄ.３ 个
解题点拨:本题考查的是含参数的分式方程和一元一次不等式组?除正确求解含参的方程和不等式组外?在对 ａ 的
５ 个取值进行选择的时候?一定注意不能取分式方程的增根.同时?解含参不等式组要掌握画数轴分析的方法.
方法总结:对于含参数方程(组)和不等式(组)的题目?一般是先将参数当成常数处理?正确求解出方程(组)和
不等式(组)?同时对于关键词“至少”“整数解”“非负数”等的理解也是关键?特别是对于某些关键数值能不能
取等一定要非常细心.
含参数的函数和方程、不等式的结合
【例 ６】 (１)已知一个口袋中装有 ５ 个完全相同的小球?小球上分别标有 ２?６?９?１２?１５ 五个数字?搅匀后从中摸
出一个小球?将小球上的数记为 ａ?若使得一次函数 ｙ ＝ ａｘ＋ａ－６ 不经过第四象限且关于 ｘ 的分式方程 ａｘ
ｘ－６
＝ ４＋
６ｘ
ｘ－６
的解为整数?则这 ５ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ａ )
Ａ.２１ Ｂ.２７ Ｃ.２９ Ｄ.４４
解题点拨:本题考查的是含参数的一次函数和分式方程?可以根据条件分析 ａ 的范围及其取值?也可以把这 ５
个数字逐一代入 ｙ＝ａｘ＋ａ－６ 和 ａｘ
ｘ－６
＝ ４＋ ６ｘ
ｘ－６
?选出同时满足条件的 ａ 的值?从而求出答案?但是一定注意不能取
分式方程的增根.
(２)从－２?－１?０?１?２?４ 这六个数中?任取一个数作为 ａ 的值?恰好使得关于 ｘ?ｙ 的二元一次方程组
ｘ－ｙ＝ａ?
ｘ＋ｙ＝ ２{ 有
整数解?且函数 ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋２ 的图象与 ｘ 轴有公共点?那么这 ６ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之积是 ( Ｃ )
Ａ.－１６ Ｂ.－４ Ｃ.０ Ｄ.８
解题点拨:本题考查的是含参数的二元一次方程组和函数?除正确求解方程组外?对于函数 ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋２ 的理解
也是关键?ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋２ 可以是一次函数?也可以是二次函数.
方法总结:对于含参数的函数和方程、不等式结合的题目?如果题目中给出了具体的数值?可以将具体的数值带
入函数、方程(组)和不等式(组)?找出符合题意的数值即可正确求出答案.
１.有五张正面分别标有数字－２?０? １
２
?１?３ 的不透明卡片?它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上?
洗匀后从中任取一张?将该卡片上的数字记为 ａ?若使关于 ｘ 的分式方程１
－ａｘ
ｘ－２
＋２ ＝ １
２－ｘ
有整数解?则这 ５ 个数
中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ｂ )
Ａ.０ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ. ３
２
２.使关于 ｘ 的分式方程ｋ
－１
ｘ－１
＝ ２ 的解为非负数?且使反比例函数 ｙ＝ ３
－ｋ
ｘ
的图象过第一、三象限时满足条件的所有
整数 ｋ 的和为 ( Ａ )
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.５
—６—
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???????? 中考专题训练一———计算型问题
３.在平面直角坐标系中?抛物线 ｙ＝ ｘ２－２ｘ－３ 与 ｘ 轴交于 Ｂ?Ｃ 两点(点 Ｂ 在点 Ｃ 的左侧)?点 Ａ 在该抛物线上?且
横坐标为－２?连接 ＡＢ?ＡＣ.现将背面完全相同?正面分别标有－２?－１?０?１?２ 的五张卡片洗匀后?背面朝上?从中
任取一张?将该卡片上的数作为点 Ｐ 的横坐标?将该数加 １ 作为点 Ｐ 的纵坐标?点 Ｐ 落在△ＡＢＣ 内(不含边
界)?则满足条件的点 Ｐ 的个数为 ( Ａ )
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
４.已知一个口袋中装有七个完全相同的小球?小球上分别标有－３?－２?－１?０?１?２?３ 七个数?搅匀后一次从中摸
出一个小球?将小球上的数用 ａ 表示?将 ａ 的值分别代入函数 ｙ＝(ａ－３)ｘ 和方程ｘ
－ａ
ｘ－１
－ ３
ｘ
＝ １?恰好使得函数的
图象经过第二、四象限?且方程有整数解?那么这 ７ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ｄ )
Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.－３ Ｄ.－４
５.有 ５ 张正面分别写有数字－ ３
２
?－１?－ １
４
? ０?１ 的卡片?它们除数字不同外其余全部相同.将它们背面朝上?洗匀
后从中随机抽取一张?记卡片上的数字为 ａ?若使以 ｘ 为自变量的反比例函数 ｙ ＝ ａ
－１
ｘ
经过第二、四象限?且关
于 ｘ 的不等式组
ｘ＋１≤２ａ?
ａ－ｘ≤２{ 有解?则这 ５ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ｃ )
Ａ.－ １１
４
Ｂ.－ ５
２
Ｃ.－ ５
４
Ｄ.－１
６.如果关于 ｘ 的不等式组
５ｘ＋３
６
≤ｘ＋１?
１
５
ａ－ｘ≥０
ì
?
í
?
?
?
?
至少有 ３ 个整数解?且关于 ｙ 的分式方程 ａｙ
ｙ－５
＝ １－ａ
５－ｙ
－ ３ｙ
ｙ－５
的解为整数?则
符合条件的所有整数 ａ 的值之和为 ( Ｃ )
Ａ.－１０ Ｂ.－９ Ｃ.－７ Ｄ.－３
７.若实数 ａ 使关于 ｘ 的不等式组
３ｘ－２
２
>ｘ－ ５
２
?
ｘ－４≤ａ－５ｘ
ì
?
í
??
??
有且只有 ４ 个整数解?且使关于 ｙ 的分式方程ｙ
＋ａ
ｙ－４
＋ ２ａ
４－ｙ
＝ －１ 有整
数解?则符合条件的所有整数 ａ 的积为 ( Ｂ )
Ａ.６ Ｂ.１２ Ｃ.４８ Ｄ.９６
８.若实数 ｍ 使关于 ｘ 的不等式组
３＋ｘ
２
－１≤３?
ｍ－２ｘ≤－２
ì
?
í
??
??
有解且至多有 ３ 个整数解?且使关于 ｙ 的分式方程 ３ｙ
２ｙ－４
＝ｍ－２
ｙ－２
＋ １
２
的解满足－３≤ｙ≤４?则满足条件的所有整数 ｍ 的个数是 ( Ｃ )
Ａ.６ Ｂ. ５ Ｃ. ４ Ｄ. ３
９.若实数 ａ 使关于 ｘ 的二次函数 ｙ＝ ｘ２＋(ａ－１)ｘ－ａ＋２?当 ｘ<－１ 时?ｙ 随 ｘ 的增大而减小?且使关于 ｙ 的分式方程
４
２ｙ－１
－ ａ－３
１－２ｙ
＝ １ 有非负数解?则满足条件的所有整数 ａ 的值之和为 ( Ｂ )
Ａ.１ Ｂ.４ Ｃ.０ Ｄ.３
１０.若关于 ｘ 的分式方程 ２ｘ
ｘ－３
－ｍ－１
３－ｘ
＝ １ 的解为正数?且关于 ｙ 的不等式组
１＋ ｙ
２
>ｙ
＋２
６
?
２ｙ－ｍ≤５
ì
?
í
??
??
至少有两个整数解?则符合
条件的所有整数 ｍ 的值之和为 ( Ａ )
Ａ.－７ Ｂ.－９ Ｃ.－１２ Ｄ.－１４
—７—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
中考专题训练二———统计和概率问题
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本专题涉及两个题型:一个是概率?以两步概率为主?并且今年可能以填空题的形式考查?此题型一定
要注意是放回还是不放回?会导致所有可能的结果数不一样?从呈现形式上可能是传统的以生活问题为背
景的概率问题?可能是以数学知识为背景的概率问题?也可能是以面积为背景的概率问题?不管哪种呈现
形式?都是古典概率型问题?求出该事件可能出现的情况数?求出所有可能出现的情况数?两者之比即为概
率?求解方法是画树状图或列表.
统计问题?今年仍可能以解答题的形式考查?密切联系实际?往往是以当前热点问题为背景?并且着重
考察统计的全过程?以及各种基础知识?如调查方式(普查与抽查)、“四图”(条形、扇形、折线统计图?频率
分布直方图)、“三数”(平均数、中位数、众数)、“两差”(方差、标准差)都要考查?故要解决此类题型需要熟
悉并掌握统计的全过程以及相关的基础概念?认真识图?仔细分析数据?得出结论.
第一课时———概 率
概率
【例 １】 某市体育中考现场考试内容有三项:５０ 米跑为必测项目?另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前
屈、１ 分钟跳绳(二选一)中选择两项.则小明与小刚选择同种方案的概率为
１４ .
解题点拨:先找出每位考生可选的方案?再画树状图或列表求出符合题意的概率.
答图
【解析】每位考生有 ４ 选择方案?把 ４ 种中方案分别设为:
Ａ:立定跳远、坐位体前屈?Ｂ:实心球、１ 分钟跳绳?
Ｃ:立定跳远、１ 分钟跳绳?Ｄ:实心球、坐位体前屈.
画树状图如答图所示.
∴小明与小刚选择同种方案的概率＝ ４
１６
＝ １
４
.
【例 ２】 如图所示的方格地面上?标有编号 １?２?３ 的 ３ 个小方格地面是空地?另外 ６ 个相同的小
方格地面是草坪.现准备从图中所示的 ３ 个小方格空地中任选 ２ 个种植草坪?则编号为 １?２ 的 ２
个小方格空地种植草坪的概率是
１３ .
【解析】用树状图或利用表格列出所有可能的结果:
所以编号为 １?２ 的 ２ 个小方格空地种植草坪的概率＝ ２
６
＝ １
３
.
方法总结:求两步概率?首先要弄清楚该题目是放回还是不放回?其次是用画树状图或列表的方法求出概率.
—８—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
【例 ３】 如果任意选择一对有序整数(ｍ?ｎ)?其中 ｍ ≤１? ｎ ≤２?每一对这样的有序整数被选择的可能性是相
等的?那么关于 ｘ 的方程 ｘ２＋ｎｘ＋ｍ＝ ０ 有两个相等实数根的概率是
１５ .
解题点拨:先找出有序整数所有可选的方案?再用一元二次方程“Δ”判断?求出符合题意的概率.
【解析】所有的有序整数有 １５ 种情况?列表如下:
ｎ
ｍ
－２ －１ ０ １ ２
－１ (－１?－２) (－１?－１) (－１?０) (－１?１) (－１?２)
０ (０?－２) (０?－１) (０?０) (０?１) (０?２)
１ (１?－２) (１?－１) (１?０) (１?１) (１?２)
关于 ｘ 的方程 ｘ２＋ｎｘ＋ｍ＝０ 有两个相等实数根?即 Δ＝ｎ２－４ｍ＝０?符合等式的有序整数有(０?０)?(１?－２)?(１?２)?∴概率＝ ３
１５
＝ １
５
.
方法总结:解以数学问题为背景的概率问题?基本思路不变?根据数学知识?得出结论.
１.如图甲?在△ＡＢＣ 和△ＤＥＦ 中?∠Ｃ＝∠Ｆ＝ ９０°.有如图乙所示的五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤?其
正面分别写有五个不同的等式?小民将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张(不放回)?再随机摸出一
张.用两次摸牌的结果和∠Ｃ＝∠Ｆ＝ ９０°作为条件?则能满足△ＡＢＣ 和△ＤＥＦ 全等的概率为
９１０ .
第 １ 题
２.经过某十字路口的汽车?它可能继续直行?也可能向左转或向右转?已知这三种可能性大小相同?现有两辆汽
车经过这个十字路口?则至少有一辆汽车向左转的概率为
５９ .
３.桌上有 ４ 张正面分别画有等边三角形、正方形、正五边形、圆的卡片(卡片除图形外其余完全相同)?并将它们
背面朝上.小明和小亮先后随机抽出一张(先抽出的卡片不放回)?则他们抽到的卡片上的图形都是中心对称
第 ４ 题
图形的概率为
１６ .
４.在如图所示的电路中?随机闭合开关 Ｓ１?Ｓ２?Ｓ３ 中的两个?能让灯泡 Ｌ１ 发光的概率
为
１３ .
第 ５ 题
５.小颖为九年级毕业晚会设计了一个“配紫色”的游戏?如图所示是两个可以自由转动
的转盘?一个转盘被分成面积相等的三个扇形?另一个转盘被分成面积相等的两个
半圆形?游戏者同时转动两个转盘?两个转盘停止转动时?若有一个转盘的指针指向
蓝色?另一个转盘的指针指向红色?则“配紫色”成功?游戏者获胜.则游戏者获胜的
概率是
１２ .
６.一个不透明的袋中有四张形状、大小、质地完全相同的卡片?它们上面分别标有数字－１?２?３?４?随机抽取一张
卡片不放回?再随机抽取一张卡片?则两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率是
２３ .
７.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的 ２ 个黑球和 ２ 个白球?先从口袋中摸出一个球?不放回?再
从口袋中摸出另一个球?则摸出的两个球颜色不相同的概率为
２３ .
—９—
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???? ????
????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
８.在一个不透明的箱子里有四张形状相同的卡片?卡片上分别标有数字－１?１?３?５.摸出一张后?记下数字?再放
回?摇匀后再摸出一张?记下数字.以第一次得到的数字为横坐标?第二次得到的数字为纵坐标?得到一个点?
则这个点恰好在直线 ｙ＝ －ｘ＋４ 上的概率是
１４ .
９.如果从 ０?－１?２?３ 四个数中任取一个数记作 ｍ?又从 ０?１?－２ 三个数中任取一个数记作 ｎ?那么点 Ｐ(ｍ?ｎ)恰在
第四象限的概率为
１６ .
１０.１８ 世纪法国有名的数学家达兰倍尔犯了这样一个错误:拿两枚硬币随意抛掷?会出现三种情况?要么两枚都
是正面向上?要么一枚正面向上、一枚背面向上?要么两枚都是背面向上.因此?两枚硬币都是正面向上的概
率是
１
３
.事实上?两枚硬币都是正面向上的概率应该是
１４ .
第二课时———统 计
统计
【例 ４】 ?中国诗词大会?以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨?力求通过对诗词知识的比拼及
赏析?带动全民重温那些曾经学过的古诗词?分享诗词之美?感受诗词之趣?从古人的智慧和情怀中汲取营养?
涵养心灵?自开播以来深受广大师生的喜爱.某学校为了提高学生的诗词水平?倡导全校 ３ ０００ 名学生进行经典
诗词诵背活动?并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果?学校团委在活动启动之初?
随机抽取部分学生调查其一周诗词诵背数量?根据调查结果绘制成的条形统计图和扇形统计图如图所示.
【整理、描述数据】
大赛结束后一个月?再次调查这部分学生一周诗词诵背数量?绘制成如下统计表:
大赛结束后部分学生一周诗词诵背数量的统计表
一周诗词背诵数量 ３ 首 ４ 首 ５ 首 ６ 首 ７ 首 ８ 首
人数 １６ ２４ ３２ ７８ ａ ３５
【分析数据】
平均数 中位数 众数
大赛之前 ５ ｂ ｃ
大赛之后 ６ ６ ６
—０１—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
请根据调查的信息解答下列问题:
(１)补全条形统计图.
(２)计算:ａ＝ ?ｂ＝ ?ｃ＝ .并估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背 ６ 首(含 ６ 首)
以上的人数.
(３)根据调查的相关数据?选择适当的统计量评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
解题点拨:(１)根据统计图中 ５ 首所在扇形的圆心角为 ６０°?可补全条形统计图.(２)根据样本容量 ２４０?可求出 ａ
的值?根据中位数、众数定义可求出 ｂ?ｃ 的值.(３)对比赛前后的平均数、中位数和众数进行比较.
解:(１)如答图.
答图
(２)ａ＝５５?ｂ＝４.５?ｃ＝４.
大赛后该校学生一周诗词诵背 ６ 首(含 ６ 首)以上的有 ３ ０００×７８
＋５５＋３５
２４０
＝ ２ １００(人) .
(３)由比赛前后的平均数、中位数和众数看?比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高?这次举办后的效果比较理想(用数据进行比较) .
【例 ５】 某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围为 １７６ ~ １８５ ｍｍ 的产品为合
格)?随机各抽取了 ２０ 个样品进行检测?过程如下:(单位:ｍｍ)
【收集数据】
甲车间:１６８?１７５?１８０?１８５?１７２?１８９?１８５?１８２?１８５?１７４?１９２?１８０?１８５?１７８?１７３?１８５?１６９?１８７?１７６?１８０.
乙车间:１８６?１８０?１８９?１８３?１７６?１７３?１７８?１６７?１８０?１７５?１７８?１８２?１８０?１７９?１８５?１８０?１８４?１８２?１８０?１８３.
【整理数据】
组别
频数
１６５.５~１７０.５ １７０.５~１７５.５ １７５.５~１８０.５ １８０.５~１８５.５ １８５.５~１９０.５ １９０.５~１９５.５
甲车间 ２ ４ ５ ６ ２ １
乙车间 １ ２ ａ ｂ ２ ０
【分析数据】
车间 平均数 众数 中位数 方差
甲车间 １８０ ｃ １８０ ４３.１
乙车间 １８０ １８０ ｄ ２２.６
【应用数据】
(１)填空:ａ＝ ?ｂ＝ ?ｃ＝ ?ｄ＝ ?
(２)计算甲车间样品的合格率?
—１１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
(３)估计乙车间生产的 １ ０００ 个该款新产品中合格产品有多少个?
(４)结合上述数据信息?判断哪个车间生产的新产品更好?并说明理由.
解题点拨:(２)利用所列举的数据得出甲车间样品的合格率?(３)得出乙车间样品的合格产品数?算出乙车间样
品的合格率?进而得出答案?(４)利用平均数、方差的意义分别得出结论.
解:(１)ａ＝９?ｂ＝６?ｃ＝１８５?ｄ＝１８０.
(２)甲车间样品的合格率为:５
＋６
２０
×１００％ ＝５５％.
(３)∵乙车间样品的合格产品数为:２０－(１＋２＋２)＝ １５(个)?
∴乙车间样品的合格率为: １５
２０
×１００％ ＝７５％?
∴乙车间的合格产品数为:１ ０００×７５％ ＝７５０(个) .
(４)①乙车间合格率比甲车间高?所以乙车间生产的新产品更好?
②从样品的方差看?甲、乙平均数相等?且均在合格范围内?而乙的方差小于甲的方差?说明乙比较稳定?所以乙车间生产的新产品更好.
第 １ 题
１.为响应国家节能减排、垃圾分类政策?自 ２０１９ 年 １ 月 １ 日起??重庆市生活
垃圾分类管理办法?正式实施.该办法的实施?旨在加强生活垃圾分类管
理?提高生活垃圾减量化、资源化、无害化处置水平及推进生态文明建设.
某校学生处认为?九年级学生虽然学业任务重?但依然要加强垃圾分类意
识?为此?学校对初 ２０２０ 级甲、乙两班各 ６０ 名学生进行知识测试(满分 ６０
分)?测试完成后分别抽取了 １２ 份成绩?整理分析过程如下?请补充完整.
【收集数据】 甲班 １２ 名学生测试成绩统计如下:
４５?５９?６０?３８?５７?５３?５２?５８?６０?５０?４３?４９.
乙班 １２ 名学生测试成绩不低于 ４０?但低于 ５０ 分的成绩如下:
４６? ４７?４３? ４２? ４７.
【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
组别 /频数 ３５≤ｘ<４０ ４０≤ｘ<４５ ４５≤ｘ<５０ ５０≤ｘ<５５ ５５≤ｘ≤６０
甲 １ １ ２ ３ ５
乙 ２ ２ ３ １ ４
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表:
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 ５２ ｘ ５２.５ ５２.５４
乙 ４８.７ ４７ ｙ ６７.５１
(１)根据以上信息?可以求出:ｘ＝ ?ｙ＝ ?并补全频数分布直方图.
(２)若规定得分在 ４０ 分及以上为合格?请估计参加知识测试的学生中合格的学生共有多少人.
(３)你认为哪个班的学生知识测试的整体成绩较好? 请说明理由.
解:(１)ｘ＝６０?ｙ＝４７?补全直方图略.
(２) ２１
２４
×１２０＝ １０５(人) .
(３)由平均数、中位数和众数(写出具体数据进行比较)看甲班学生知识测试的整体成绩较好.
—２１—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
２.为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 ４００ ｇ 奶粉的情况?质检员进行了抽样调查?过程如下.请补全表
一、表二中的空白?并回答提出的问题.
【收集数据】
从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取 １０ 袋?测得实际质量(单位:ｇ)如下:
甲:４００?４００?４０８?４０６?４１０?４０９?４００?３９３?３９４?３９５. 乙:４０３?４０４?３９６?３９９?４０２?４０２?４０５?３９７?４０２?３９８.
【整理数据】 表一
质量 / ｇ
频数
种类
３９３≤ｘ<３９６ ３９６≤ｘ<３９９ ３９９≤ｘ<４０２ ４０２≤ｘ<４０５ ４０５≤ｘ<４０８ ４０８≤ｘ<４１１
甲 ３ ０ ０ １ ３
乙 ０ １ ５ ０
【分析数据】 表二
种类 平均数 中位数 众数 方差
甲 ４０１.５ ４００ ３６.８５
乙 ４００.８ ４０２ ８.５６
【得出结论】包装机分装情况比较好的是哪台包装机? 说明你的理由.
解:整理数据: 表一
质量 / ｇ
频数
种类
３９３≤ｘ<３９６ ３９６≤ｘ<３９９ ３９９≤ｘ<４０２ ４０２≤ｘ<４０５ ４０５≤ｘ<４０８ ４０８≤ｘ<４１１
甲 ３ ０ ３ ０ １ ３
乙 ０ ３ １ ５ １ ０
分析数据:
将甲组数据重新排列为:３９３?３９４?３９５?４００?４００?４００?４０６?４０８?４０９?４１０?∴甲组数据的中位数为 ４００.
乙组数据中 ４０２ 出现次数最多?有 ３ 次?∴乙组数据的众数为 ４０２.
表二
种类 平均数 中位数 众数 方差
甲 ４０１.５ ４００ ４００ ３６.８５
乙 ４００.８ ４０２ ４０２ ８.５６
得出结论:
由表二知?乙包装机分装的奶粉质量的方差小?分装质量比较稳定?
故包装机分装情况比较好的是乙.
３.?中学生体质健康标准?规定学生体质健康等级标准为:８６ 分及以上为优秀?７６ ~ ８５ 分为良好?６０ ~ ７５ 分为及
格?５９ 分及以下为不及格.某校抽取八年级学生人数的 １０％进行体质测试?测试结果如图所示.
第 ３ 题
—３１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
(１)在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 ４％ .
(２)小明计算出所抽取学生测试结果的平均分是:(９０＋８２＋６５＋４０) ÷４ ＝ ６９.２５.根据所学的统计知识判断小明
的计算是否正确?若不正确?请写出正确的算式并计算出结果.
(３)若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数?请估算出该校八年级学生中优
秀等级的人数.
解:(１)４％.
(２)不正确? 正确的算法为:９０×２０％＋８２×３２％＋６５×４４％＋４０×４％ ＝７４.４４.
(３)设不及格的人数为 ｘ 人?则 ７６≤４０ｘ≤８５.解得 １.９≤ｘ≤２.１２５.
∵ ｘ 为正整数?∴ ｘ＝２?
∴抽取的学生人数为:２÷４％ ＝５０(人)?
∴八年级学生中优秀等级的人数约为:５０×２０％÷１０％ ＝１００(人) .
４.在 ６ 月 ２６ 日“国际禁毒日”到来之际?某市教育局为了普及禁毒知识?提高禁毒意识?举办了“关爱生命?拒绝
毒品”的知识竞赛.某校七年级、八年级分别有 ３００ 人?现从中各随机抽取 ２０ 名同学的测试成绩进行调查分
折?成绩如下:
七年级
６８ ８８ １００ １００ ７９ ９４ ８９ ８５ １００ ８８
１００ ９０ ９８ ９７ ７７ ９４ ９６ １００ ９２ ６７
八年级
６９ ９７ ９１ ６９ ９８ １００ ９９ １００ ９０ １００
９９ ７９ ９７ １００ ９９ ９４ ７９ ９９ ９８ ７９
(１)根据上述数据?将下列表格补充完整.
【整理、描述数据】
分数段 ６０≤ｘ≤６９ ７０≤ｘ≤７９ ８０≤ｘ≤８９ ９０≤ｘ≤１００
七年级人数 ２ ２ ４ １２
八年级人数 ２ ２ １ １５
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、满分率如下表:
年级 平均数 中位数 满分率
七年级 ９０.１ ９３
八年级 ９１.８
【得出结论】
(２)估计该校七年级、八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 １３５ 人.
(３)你认为哪个年级掌握禁毒知识总体较好? 请说明理由.
解:(１)补全表格如下:
年级 平均数 中位数 满分率
七年级 ９０.１ ９３ ２５％
八年级 ９１.８ ９７.５ ２０％
(２)估计该校七年级、八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共有:３００×(２５％＋２０％)＝ １３５(人)?故答案为:１３５.
(３)八年级掌握禁毒知识总体较好.
∵八年级的平均成绩比七年级高?说明八年级平均水平高?且八年级成绩的中位数比七年级大?说明八年级的得高分人数多于七年级?
∴八年级掌握禁毒知识总体较好.
—４１—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
５.下面的图表是某校从今年参加体育中考男生 １ ０００ 米跑、女生 ８００ 米跑的成绩中分别抽取的 １０ 个数据.
考生编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
男生成绩 ３′０５″ ３′１１″ ３′５３″ ３′１０″ ３′５５″ ３′３０″ ３′２５″ ３′１９″ ３′２７″ ３′５５″
第 ５ 题
(１)求出这 １０ 名女生成绩的中位数、众数.
(２)?云南省中考学科说明———体育?规定?女生 ８００
米跑成绩不超过 ３′３８″就可以得满分.该校参加体
育中考的学生有 ４９０ 人?男生比女生少 ７０ 人. 请
你根据上面抽样的结果?估算该校考生中有多少
名女生该项考试得满分.
(３)若男考生 １ 号和 １０ 号同时同地同向围着 ４００ 米
跑道起跑?在 １ ０００ 米跑的过程中?他们能否首次
相遇? 如果能相遇?求出所需时间?如果不能相
遇?说明理由.
解:(１)女生的中位数、众数分别是 ３′２１″?３′１０″.
(２)设男生有 ｘ 人?女生有(ｘ＋７０)人.
由题意?得 ｘ＋ｘ＋７０＝４９０.解得 ｘ＝２１０.
女生有:ｘ＋７０＝２１０＋７０＝ ２８０(人) .女生得满分人数为:２８０× ８
１０
×１００％ ＝２２４(人) .
(３)假设经过 ｘ 分钟后?１ 号与 １０ 号在 １ ０００ 米跑中能首次相遇.
根据题意?得１０００
３
５
６０
ｘ－ １０００
３
５５
６０
ｘ＝４００.整理?得 ３００ｘ＝１ ７３９.解得 ｘ≈５.８.
又∵５′４８″>３′０５″?∴考生 １ 号与 １０ 号在 １ ０００ 米跑中不能首次相遇.
６.市教科院想了解我市中考数学试题中统计题的得分情况?从甲、乙两所学校各随机抽取了 ２０ 名学生?了解他
们的得分情况.(该题满分 １０ 分?学生得分均为整数)
甲学校 ２０ 名学生得分(单位:分)分别为:
第 ６ 题
７?７?８?９?８?６?７?８?８?１０?７?９?６?８?７?８?９?７?８?９.
乙学校 ２０ 名学生学生得分的条形统计图如右图所示.
经过对两校这 ２０ 名学生得分的整理?得到分析数据如下表:
组别 极差 平均分 中位数 方差
甲 ４ ｂ ８ １.０５
乙 ａ ７.８ ｃ ２.４６
(１)求出表中的 ａ?ｂ?ｃ 的值.
(２)若该题得分 ８ 分及其以上即为优秀?已知甲学校有 １ ２００ 人?请
估算甲学校的优秀人数有多少人.
(３)根据以上数据?你觉得甲、乙两所学校哪所学校的学生统计题完成得比较好? 请说明理由.
解:(１)ａ＝５?ｂ＝７.８?ｃ＝７.５.
(２)由题意?得 １ ２００× １２
２０
＝ ７２０(人) .
即甲学校的优秀人数有 ７２０ 人.
(３)甲校统计题完成得比较好?理由:①甲、乙的平均分都为 ７.８ 分?说明平均水平相同?
②甲校中位数为 ８?乙校中位数为 ７.５.甲的中位数大于乙的中位数.说明甲校整体优秀的同学多?
③甲的方差 １.０５?乙的方差 ２.４６?甲的方差小于乙的方差?说明甲校得分离散程度小.
—５１—
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７.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前 ４０ 的国家的
有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
ａ.国家创新指数得分的频数分布直方图如图 １ 所示(数据分成 ７ 组:３０≤ｘ<４０?４０≤ｘ<５０?５０≤ｘ<６０?６０≤ｘ<
７０?７０≤ｘ<８０?８０≤ｘ<９０?９０≤ｘ≤１００) .
第 ７ 题
ｂ.国家创新指数得分在 ６０≤ｘ<７０ 这一组的是:
６１.７?６２.４?６３.６?６５.９?６６.４?６８.５?６９.１?６９.３?６９.５.
ｃ.４０ 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图如图 ２ 所示.
ｄ.中国的国家创新指数得分为 ６９.５.
[以上数据来源于?国家创新指数报告(２０１８)?]
根据以上信息?回答下列问题:
(１)中国的国家创新指数得分排名世界第 .
(２)在 ４０ 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中?包括中国在内的少数几个国家所
对应的点位于虚线 ｌ１ 的上方.请在图中用“○”圈出代表中国的点.
(３)在国家创新指数得分比中国高的国家中?人均国内生产总值的最小值约为 万美元(结果保留一
位小数) .
(４)下列推断合理的是 .
①相比于点 Ａ?Ｂ 所代表的国家?中国的国家创新指数得分还有一定差距?中国提出“加快建设创新型国
家”的战略任务?进一步提高国家综合创新能力?
②相比于点 Ｂ?Ｃ 所代表的国家?中国的人均国内生产总值还有一定差距?中国提出“决胜全面建成小康社
会”的奋斗目标?进一步提高人均国内生产总值.
解:(１)１７
(２)如答图.
答图
(３)２.７
(４)①②
—６１—
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???????? 中考专题训练三———三角函数应用型问题
中考专题训练三———三角函数应用型问题
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锐角三角函数是解决实际问题时的一个非常重要的工具?是历年中考的热点?也是每年中考的必考点.
从试题题目背景来看?主要涉及以下三类:(１)坡度、坡角问题?(２)仰角、俯角问题?(３)方位角问题.从解题
方法来看?此类题目可分为两类:(１)直接计算型问题?(２)方程计算型问题.解决三角函数应用问题?需具
备以下两个基本能力:(１)能根据题意把实际背景抽象成数学模型?进而能够准确找出要求解的直角三角
形(往往通过“引垂线法”来构造)?(２)熟练掌握解直角三角形的基本原则与方法.
对于任意一个直角三角形?可以把其三条边(长度)和三个角(度数或三角函数值)看成是六大元素?
要想准确计算出其中每一个量?那么题目中至少需要给定六元素中的两个量作为条件且其中必须有一个
条件是边长.
在解决此类常规问题的过程中?往往会借助两个或三个直角三角形?一般来说其中一类直角三角形要
围绕坡角、仰(俯)角或者题目条件中的某个特殊角来构造?另一类直角三角形要围绕题目参考数据中的一
般角来构造.在计算时?首选从具备两个条件的三角形入手解决(往往是给定一条边长＋一个角的三角函数
值)?进而为计算第二个直角三角形提供必需的条件.当我们发现计算某个直角三角形条件不够时?此类问
题就应考虑利用方程思想来解决了.
坡度、坡角问题
第(１)题
【例 １】 (１)如图?在△ＡＢＣ 中?∠Ｂ＝ ３０°?ＡＣ＝ ２?ｃｏｓ Ｃ＝ ３
５
?则 ＡＢ 边的长为
１６５ .
(２)“行千里?致广大”?“千里”为“重”?“广大”为“庆” .这是重庆向世界发出的旅游
邀请.如图?某斜坡上有一立柱 ＥＧ?在立柱的上方是关于重庆的宣传屏 ＥＦ.在 Ａ 处测得
该宣传屏顶部 Ｅ 处的仰角为 ４５°?从 Ａ 沿坡度为 ５
１２
的斜坡 ＡＣ 行走 ６５ 米至 Ｃ 处?在 Ｃ
第(２)题
处测得宣传屏底部 Ｆ 处的仰角为 ７６°.已知 ＣＤ 与水平面 ＡＢ 平行?ＥＧ 与 ＣＤ 垂直?
且 ＥＦ＝ ２ 米?则该宣传立柱 ＥＧ 的高为(参考数据:ｓｉｎ ７６°≈０.９７?ｃｏｓ １４°≈０.２４?
ｔａｎ ７６°≈４) ( Ｂ )
Ａ.４４ 米 Ｂ.４６ 米 Ｃ.６９ 米 Ｄ.７１ 米
解题点拨:三角函数值的应用或坡度与坡角的利用?核心都是引垂线构造直角三角
形.(１)小题过点 Ａ 作 ＢＣ 的垂线后即可用解直角三角形知识与勾股定理解答?
(２)小题中?过点 Ｃ 作 ＡＢ 的垂线段?同时延长 ＥＧ 交 ＡＢ 于点 Ｈ?即可构造直角三角
形关联已知角与边长?从而解答出本题.
答图
【解析】(１)过点 Ａ 作 ＡＤ⊥ＢＣ 于点 Ｄ.∵ｃｏｓ Ｃ＝ＣＤ
ＡＣ
＝ ３
５
?ＡＣ＝２?∴ＣＤ＝ ６
５
.由勾股定理?得 ＡＤ＝ ８
５
.
又∵∠Ｂ＝３０°?∴ＡＢ＝２ＡＤ＝ １６
５
.
(２)如答图?过点 Ｃ 作 ＣＭ⊥ＡＢ 于点 Ｍ?延长 ＥＧ 交 ＡＢ 于点 Ｈ.
∵ＣＭ ∶ ＡＭ＝５ ∶ １２?∴ＣＭ ∶ ＡＣ＝５ ∶ １３.
又 ＡＣ＝６５ ｍ?∴ＣＭ＝２５ ｍ?ＡＭ＝６０ ｍ.
设 ＣＧ＝ＭＨ＝ｘ ｍ.在 Ｒｔ△ＣＧＦ 中?∵ｔａｎ∠ＦＣＧ≈４?∴ＦＧ＝４ｘ ｍ?∴ＥＨ＝(２７＋４ｘ)ｍ.
又∵ＡＨ＝(６０＋ｘ)ｍ?ＡＨ＝ＥＨ?∴２７＋４ｘ＝６０＋ｘ?∴ ｘ＝１１?∴ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝４６ ｍ.
故选 Ｂ.
—７１—
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方法总结:对于含有坡度、坡角的三角函数问题?首先必须理解坡度、坡角的定义?坡度切记不能理解为角的度
数.对于题目中出现的角的度数和一些重要的线段等都要放到直角三角形中?这些核心思想也是解题的关键.具
体计算时?设未知数列方程是常用的解题策略.
仰角、俯角问题
【例 ２】 如图?高 ３６ 米的楼房 ＡＢ 正对着斜坡 ＣＤ?点 Ｅ 在斜坡 ＣＤ 的中点处?已知
∠ＤＣＧ＝ ３０°?ＡＢ⊥ＢＣ.点 Ａ?Ｂ?Ｃ?Ｄ?Ｅ?Ｇ 均在同一个平面内?从点 Ｅ 处测得楼顶 Ａ 的仰
角 α 为 ３７°?楼底 Ｂ 的俯角 β 为 ２４°?则点 Ａ?Ｅ 之间的距离 ＡＥ 长为 ( Ｃ )
(精确到十分位?参考数据:ｃｏｓ ３７°≈０.８０?ｔａｎ ３７°≈０.７５?ｔａｎ ２４°≈０.４５?ｃｏｓ ２４°≈０.９１)
Ａ.２２.５ 米 Ｂ.２４.０ 米
Ｃ.３７.５ 米 Ｄ.４０.０ 米
解题点拨:过点 Ｅ 作 ＥＭ⊥ＡＢ 于点 Ｍ?设 ＭＥ ＝ ｘ 米?根据三角函数得出 ＡＭ ＝ ｔａｎ α????ｘ?
ＢＭ＝ ｔａｎ β????ｘ?由ｔａｎ α????ｘ＋ｔａｎ β????ｘ＝ ３６?即可求得 ＥＭ 的长?然后通过余弦函数即可求得 ＡＥ.
答图
【解析】如答图?过点 Ｅ 作 ＥＭ⊥ＡＢ 于点 Ｍ.
∵ＥＭ∥ＢＣ?设 ＭＥ＝ｘ 米?∴ＡＭ＝ｔａｎ α????ｘ?ＢＭ＝ｔａｎ β????ｘ.
∵ＡＢ＝３６ 米?∴ｔａｎ α????ｘ＋ｔａｎ β????ｘ＝３６?
∴ｔａｎ ３７°ｘ＋ｔａｎ ２４°ｘ＝３６?即 ０.７５ｘ＋０.４５ｘ＝３６.
解得 ｘ＝３０.∴ＡＥ＝ ＥＭ
ｃｏｓ ３７°
≈ ３０
０.８０
＝ ３７.５(米) .
故答案选 Ｃ.
方法总结:对于含有仰角、俯角的三角函数问题?首先必须理解仰角、俯角、正弦函数、
余弦函数和正切函数的定义?到底是哪两边之比一定不能混淆.对于题目中出现的角的
度数和一些重要的线段等都要放到直角三角形中?这些核心思想也是解题的关键.
方位角问题
【例 ３】 已知 Ｂ 港口位于 Ａ 观测点北偏东 ５３.２°方向?且其到 Ａ 观测点正北方向的
距离 ＢＤ 的长为 １６ ｋｍ.一艘货轮从 Ｂ 港口以 ４０ ｋｍ / ｈ 的速度沿如图所示的 ＢＣ 方
向航行?１５ ｍｉｎ 后达到 Ｃ 处.现测得 Ｃ 处位于 Ａ 观测点北偏东 ７９.８°方向?则此时
货轮与 Ａ 观测点之间的距离 ＡＣ 的长约为(精确到 ０.１ ｋｍ?参考数据:ｓｉｎ ５３.２°≈
０.８０?ｃｏｓ ５３.２°≈０.６０?ｓｉｎ ７９.８°≈０.９８?ｃｏｓ ７９.８°≈０.１８?ｔａｎ ２６.６°≈０.５０? ２ ≈
１.４１? ５≈２.２４) ( Ｃ )
Ａ.１２ ｋｍ Ｂ.１３ ｋｍ Ｃ.１３.４ ｋｍ Ｄ.１３.９ ｋｍ
解题点拨:在 Ｒｔ△ＡＤＢ 中?由 ｓｉｎ∠ＤＡＢ＝ＤＢ
ＡＢ
?得出 ＡＢ 的长?从而得出 ｔａｎ∠ＢＡＨ ＝ ＢＨ
ＡＨ
?求出 ＢＨ 的长?即可得出
ＡＨ 以及 ＣＨ 的长?进而求得 ＡＣ 的长.
【解析】由路程＝速度×时间?得 ＢＣ＝４０× １５
６０
＝ １０(ｋｍ) .
答图
在 Ｒｔ△ＡＤＢ 中?ｓｉｎ∠ＤＡＢ＝ＤＢ
ＡＢ
?ｓｉｎ ５３.２°≈０.８?∴ＡＢ＝ ＤＢ
ｓｉｎ∠ＤＢＡ
≈ １６
０.８
＝ ２０(ｋｍ) .
如答图?过点 Ｂ 作 ＢＨ⊥ＡＣ?交 ＡＣ 的延长线于点 Ｈ.
在 Ｒｔ△ＡＨＢ 中?∠ＢＡＨ＝∠ＤＡＣ－∠ＤＡＢ＝７９.８°－５３.６° ＝２６.６°?
∴ｔａｎ∠ＢＡＨ＝ＢＨ
ＡＨ
?０.５＝ＢＨ
ＡＨ
?∴ＡＨ＝２ＢＨ.
又∵ＢＨ２＋ＡＨ２ ＝ＡＢ２?即 ＢＨ２＋(２ＢＨ) ２ ＝２０２?解得 ＢＨ＝４ ５ ｋｍ?∴ＡＨ＝８ ５ ｋｍ.
在 Ｒｔ△ＢＣＨ 中?ＢＨ２＋ＣＨ２ ＝ＢＣ２?即(４ ５ ) ２＋ＣＨ２ ＝１０２?解得 ＣＨ＝２ ５ ｋｍ.
∴ＡＣ＝ＡＨ－ＣＨ＝８ ５ －２ ５ ＝ ６ ５≈１３.４(ｋｍ) .
即此时货轮与 Ａ 观测点之间的距离 ＡＣ 的长约为 １３.４ ｋｍ.
方法总结:对于含有方位角的三角函数问题?首先必须理解方位角的定义?同时要掌握锐角三角函数的定义.对
于题目中出现的角的度数和一些重要的线段等都要放到直角三角形中?这些核心思想也是解题?特别是作辅助
线的关键.
—８１—
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???????? 中考专题训练三———三角函数应用型问题
１.如图?某风景区在坡度(或坡比) ｉ＝ ７ ∶ ２４ 的斜坡 ＡＢ 上有一座标志性建筑物 ＢＣ?在点 Ａ 处测得建筑物顶部 Ｃ
的仰角为 ３１°?斜坡 ＡＢ 的长度为 １００ 米?则这座建筑物 ＢＣ 的高度约为(精确到 ０.１ 米?参考数据:ｓｉｎ ３１°≈
０.５２?ｔａｎ ３１°≈０.６０) ( Ｂ )
Ａ.２１.９ 米 Ｂ.２９.６ 米 Ｃ.３５.０ 米 Ｄ.５７.６ 米
第 １ 题
第 ２ 题
第 ３ 题
２.如图?一艘船由 Ａ 港沿北偏东 ６５°方向航行 ３０ ２ ｋｍ 至 Ｂ 港?然后再沿北偏西 ４０°方向航行至 Ｃ 港?Ｃ 港在 Ａ
港北偏东 ２０°方向?则 Ａ?Ｃ 两港之间的距离为 ( Ｂ )
Ａ.(３０＋３０ ３ )ｋｍ Ｂ.(３０＋１０ ３ )ｋｍ Ｃ.(１０＋３０ ３ )ｋｍ Ｄ.(３０ ３ )ｋｍ
３.如图?某电动摩托车夜行灯 Ａ 射出的光线 ＡＢ?ＡＣ 与地面 ＭＮ 的夹角分别为 １０°和 １４°?且夜行灯两次照亮地面
的宽度 ＢＣ 长为１４
９
米?则该摩托车夜行灯 Ａ 距离地面的高度为 ( Ｃ )
参考数据:ｓｉｎ １０°≈ １７
１００
?ｔａｎ １０°≈ ９
５０
?ｓｉｎ １４°≈ ６
２５
?ｔａｎ １４°≈ １
４
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è
?
?
?
÷
Ａ.０.８ 米 Ｂ.０.９ 米 Ｃ.１ 米 Ｄ.１.１ 米
４.我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物 ＣＤ 的高度?如图?建筑物 ＣＤ 前有一段坡度为 ｉ ＝ １ ∶ ２ 的斜坡 ＢＥ?小
明同学站在山坡上的 Ｂ 点处?用测角仪测得建筑物屋顶 Ｃ 的仰角为 ３７°?接着小明又向下走了 ４ ５米?刚好到
达坡底 Ｅ 处?这时测到建筑物屋顶 Ｃ 的仰角为 ４５°?点 Ａ?Ｂ?Ｃ?Ｄ?Ｅ?Ｆ 在同一平面内.若测角仪的高度 ＡＢ ＝
ＥＦ＝ １.５ 米?则建筑物 ＣＤ 的高度约为(精确到 ０.１ 米?参考数据:ｓｉｎ ３７°≈０.６０?ｃｏｓ ３７°≈０.８０?ｔａｎ ３７°≈０.７５)
( Ｄ )
Ａ.３８.５ 米 Ｂ.３９.０ 米 Ｃ.４０.０ 米 Ｄ.４１.５ 米
第 ４ 题
第 ５ 题
第 ６ 题
５.鹅岭公园是重庆最早的私家园林?前身为礼园?是国家级 ＡＡＡ 旅游景区.园内有一瞰胜楼?登上高楼能欣赏到
重庆的优美景色.周末某同学游览鹅岭公园?如图?在 Ａ 点处观察到瞰胜楼楼底 Ｃ 的仰角为 １２°?楼顶 Ｄ 的仰
角为 １３°?ＢＣ 是一斜坡?测得点 Ｂ 与 ＣＤ 之间的水平距离 ＢＥ ＝ ４５０ 米?ＢＣ 的坡度 ｉ ＝ ８ ∶ １５?则瞰胜楼的高度
ＣＤ 约为(参考数据:ｔａｎ １２°≈０.２?ｔａｎ １３°≈０.２３) ( Ｃ )
Ａ.３４ 米 Ｂ.３５ 米 Ｃ.３６ 米 Ｄ.３７ 米
６.如图?某游客去游览缙云山?在点 Ａ 处坐缆车出发?沿 Ａ→Ｂ→Ｃ 的路线可至售票处 Ｃ?假设 ＡＢ 和 ＢＣ 都是直线
段?已知在 Ａ 处看 Ｃ 处的仰角为 ３７°?在 Ｂ 处看 Ｃ 处的仰角为 ５３°?ＡＢ 的坡度 ｉ＝ １
２
?且 ＢＣ＝ ２ ０００ 米?则 Ａ 处到
—９１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
Ｃ 处的直线距离是 参考数据:ｓｉｎ ３７°≈ ３
５
?ｃｏｓ ３７°≈ ４
５
?ｔａｎ ３７°≈ ３
４
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?
?
?
÷ ( Ｃ )
Ａ.４ ０００ 米 Ｂ.４ ５００ 米 Ｃ.５ ０００ 米 Ｄ.５ ５００ 米
７.如图?在同一水平面从左往右依次是大厦、别墅、小山?小彬为了测得小山的高度?在大厦的楼顶 Ｂ 点处测得
山顶 Ｃ 的俯角∠ＧＢＣ＝ １３°?在别墅的大门 Ａ 点处测得大厦的楼顶 Ｂ 点的仰角∠ＢＡＯ＝ ３５°?山坡 ＡＣ 的坡度 ｉ＝
１ ∶ ２?大厦高 ＯＢ＝ ３５０ 米?则山顶 Ｃ 的垂直高度约为 ( Ａ )
(精确到 ０.１ 米?参考数据:ｓｉｎ １３°≈０.２２?ｔａｎ １３°≈０.２３?ｓｉｎ ３５°≈０.５７?ｔａｎ ３５°≈０.７０)
Ａ.１６１.０ 米 Ｂ.１１６.４ 米 Ｃ.１０６.８ 米 Ｄ.７６.２ 米
第 ７ 题
第 ８ 题
第 ９ 题
８.某航拍兴趣小组同学借无人机航拍测量某古塔 ＡＢ 的高度.如图?无人机在距离地面 １６８ 米的 Ｃ 处?测得该塔
底端点 Ａ 的俯角为 ４０°?然后向古塔方向沿水平面飞行 ５０ 秒到达点 Ｄ 处?此时测得该塔顶端点 Ｂ 的俯角为
６０°.已知无人机的飞行速度为 ３ 米 /秒?则这座古塔的高度约为 ８１.５ 米.(结果精确到 ０.１ 米?参考数据:
ｓｉｎ ４０°≈０６４?ｃｏｓ ４０°≈０７７?ｔａｎ ４０°≈０.８４? ２≈１.４１? ３≈１.７３)
９.如图?在中俄“海上联合—２０１９”反潜演习中?我军舰 Ａ 测得潜艇 Ｃ 的俯角为 ２７°?测得 ＡＣ 的距离为 ６２５ 米.位于
军舰 Ａ 正上方的反潜直升机 Ｂ 测得潜艇 Ｃ 的俯角为 ６８°.潜艇 Ｃ 离开海平面的下潜深度为 ＣＥ(ＣＥ 垂直于海平
面)?连接 ＢＥ?则 ＢＥ 的长度为 １ １００ 米.(结果保留整数?参考数据:ｓｉｎ ６８°≈０.９?ｃｏｓ ６８°≈０.４?ｔａｎ ６８°≈２.５?
５≈２.２?ｓｉｎ ２７°≈０.４?ｔａｎ ２７°≈０.５)
第 １０ 题
１０.如图 １ 所示是一种折叠门?由上下轨道和两扇长宽相等的活页
门组成?整个活页门的右轴固定在门框上?通过推动左侧活页
门开关.图 ２ 是其俯视图简化示意图.已知轨道 ＡＢ ＝ １２０ ｃｍ?两
扇活页门的宽 ＣＯ＝ＯＢ＝ ６０ ｃｍ?点 Ｂ 固定?当点 Ｃ 在 ＡＢ 上左右
运动时?ＯＣ 与 ＯＢ 的长度不变.(所有结果保留小数点后一位)
(１)若∠ＯＢＣ＝ ５０°?求 ＡＣ 的长?
(２)当点 Ｃ 从点 Ａ 向右运动 ６０ ｃｍ 时?求点 Ｏ 在此过程中运动
的路径长.
(参考数据:ｓｉｎ ５０°≈０.７７?ｃｏｓ ５０°≈０.６４?ｔａｎ ５０°≈１.１９?π 取 ３.１４)
答图 １
解:(１)如答图 １?作 ＯＨ⊥ＡＢ 于点 Ｈ.
∵ＯＣ＝ＯＢ＝６０ ｃｍ?∴ＣＨ＝ＢＨ.
在 Ｒｔ△ＯＢＨ 中?
∵ｃｏｓ∠ＯＢＣ＝ＢＨ
ＯＢ
?
∴ＢＨ＝ＯＢ????ｃｏｓ ５０°≈６０×０.６４＝ ３８.４(ｃｍ)?
∴ＡＣ＝ＡＢ－２ＢＨ≈１２０－２×３８.４＝ ４３.２(ｃｍ) .
∴ＡＣ 的长约为 ４３.２ ｃｍ.
答图 ２
(２)如答图 ２.∵ＡＣ＝６０ ｃｍ?∴ＢＣ＝６０ ｃｍ.
∵ＯＣ＝ＯＢ＝６０ ｃｍ.
∴ＯＣ＝ＯＢ＝ＢＣ＝６０ ｃｍ.
∴△ＯＢＣ 是等边三角形?
∴ＯＣ
(
的长＝ ６０π
×６０
１８０
≈２０×３.１４＝ ６２.８(ｃｍ) .
∴点 Ｏ 在此过程中运动的路径长约为 ６２.８ ｃｍ.
—０２—
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???????? 中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题
中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题
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１.根据题目中出现的“最多”“至少”“不超过”“不低于”等不等关系?建立不等式来解决问题.
２.对于求未知数的值?应从题目中整理出等量关系?列方程进行求解.
３.对于有百分数的题目?可以用换元法来简化计算.
４.有时需借助辅助元表示整体数量?其中辅助元可设成单位“１”?也可设成某个字母.
５.列分式方程解应用题一定要检验.
６.有时先要建立一元一次方程求出某个关键数量?再列一元二次方程求解未知数.
７.对于参数含有百分数的一元二次方程?若结果含两个正解?需带进题目中检验哪个解符合题意.
第一课时———方程与不等式的应用(１)
一元一次方程与一元二次方程的应用
【例 １】 ５ 月某超市推出了 Ａ?Ｂ 两种粽子礼盒?５ 盒 Ａ 礼盒与 １０ 盒 Ｂ 礼盒的总售价为 １ ６００ 元?其中 Ａ 礼盒比 Ｂ
礼盒每盒贵 ２０ 元.
(１)Ａ 礼盒的售价是多少元?
(２)５ 月 Ａ 礼盒的销售量为 ８００ 盒?Ｂ 礼盒的销售量为 １ ３００ 盒.为回馈客户?６ 月时?Ａ 礼盒的销售价格比 ５
月的价格下调 ５ａ 元?Ａ 礼盒的销售量比 ５ 月的销售量增加了 ａ
３０
?６ 月 Ｂ 礼盒的销售价格比 ５ 月的价格下调了
ａ
９０
?Ｂ 礼盒的销售量比 ５ 月的销售量增加了 １４０ 盒?最终 ６ 月 Ａ 礼盒的销售总额比 Ｂ 礼盒的销售总额少了
４８ ０００元?求 ａ 的值.
解题点拨:本题考查一元一次方程和一元二次方程?根据题意建立一元一次方程和一元二次方程正确求解是本
题的难点.
解:(１)设 Ａ 礼盒的售价为 ｘ 元.由题意?得 ５ｘ＋１０(ｘ－２０)＝ １ ６００.解得 ｘ＝１２０.
答:Ａ 礼盒的售价为 １２０ 元.
(２)由题意?得(１２０－５ａ)????８００ １＋ ａ
３０( ) ＝１００ １－ ａ９０( ) ????(１ ３００＋１４０)－４８ ０００.
化简?得 ａ２－６ａ＝０.解得 ａ１ ＝０(舍去)?ａ２ ＝６.
答:ａ 的值为 ６.
方法总结:审题时一定要看清楚增长的是几分之几?还是实际的量.
分式方程与一元二次方程的应用
【例 ２】 某环保公司研发了甲、乙两种智能设备?可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒?干
垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干?已知购买甲型智能设备花费
３６０ 万元?购买乙型智能设备花费 ４８０ 万元?购买两种设备的数量相同?且两种智能设备的单价和为 １４０ 万元.
(１)求甲、乙两种智能设备的单价.
(２)垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒?并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分
组成?其中物资成本占总成本的 ４０％?且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的 ５
４
倍还多 １０ 元.调查发现?
—１２—
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若燃料棒售价为每吨 ２００ 元?平均每天可售出 ３５０ 吨?而当销售价每降低 １ 元?平均每天可多售出 ５ 吨.垃圾处
理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到 ３６ ０８０ 元?且保证售价在每吨 ２００ 元基础上降价幅度不超过
８％?问每吨燃料棒售价应为多少元?
解题点拨:本题考查分式方程和一元二次方程?根据题意建立分式方程和一元二次方程正确求解是本题的难点.
解:(１)设甲种智能设备的单价为 ｘ 万元?则乙种智能设备的单价为(１４０－ｘ)万元.
由题意?得３６０
ｘ
＝ ４８０
１４０－ｘ
.解得 ｘ＝６０.
经检验?ｘ＝６０ 是所列方程的根.
答:甲种智能设备的单价 ６０ 万元?乙种智能设备的单价 ８０ 万元.
(２)设每吨燃料棒成本为 ａ 元?则其物资成本为 ４０％ａ 元.由题意?得 ａ－４０％ａ＝ ５
４
×４０％ａ＋１０.解得 ａ＝１００.
设每吨燃料棒在 ２００ 元基础上降价 ｘ 元.
由题意?得(２００－ｘ－１００)(３５０＋５ｘ)＝ ３６ ０８０.解得 ｘ１ ＝１２?ｘ２ ＝１８.
∵ ｘ≤２００×８％ ＝１６?∴ ｘ＝１２?则 ２００－ｘ＝１８８.
答:每吨燃料棒售价应为 １８８ 元.
方法总结:列分式方程解应用题一定要检验?另外?审题时一定要看清楚是增长还是降低.
一元二次方程中的增长率问题
【例 ３】 在某市组织的大型商业演出活动中?对团体购买门票实行优惠?决定在原定票价基础上每张降价 ８０ 元?
这样按原定票价需花费 ６ ０００ 元购买的门票张数?现在只花费了 ４ ８００ 元.
(１)求每张门票的原定票价?
(２)根据实际情况?活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策?原定票价经过连续两次降价后降为
３２４ 元?求平均每次降价的百分率.
解:(１)设每张门票的原定票价为 ｘ 元?则现在每张门票的票价为(ｘ－８０)元.
根据题意?得６ ０００
ｘ
＝ ４ ８００
ｘ－８０
.解得 ｘ＝４００.经检验?ｘ＝４００ 是原方程的根.
答:每张门票的原定票价为 ４００ 元.
(２)设平均每次降价的百分率为 ｙ.
根据题意?得 ４００(１－ｙ) ２ ＝３２４.解得 ｙ１ ＝０.１?ｙ２ ＝１.９(不合题意?舍去) .
答:平均每次降价 １０％.
方法总结:本题考查了一元二次方程与分式方程的应用?解题关键是要读懂题目的意思?根据题目给出的条件?
找出合适的等量关系?列出方程?再求解.
一元一次方程与一元一次不等式(组)的应用
【例 ４】 某超市销售有甲、乙两种商品?甲商品每件进价 １０ 元?售价 １５ 元?乙商品每件进价 ３０ 元?售价 ４０ 元.
(１)若该超市一次性购进两种商品共 ８０ 件?且恰好用去 １ ６００ 元?问购进甲、乙两种商品各多少件?
(２)若该超市要使两种商品共 ８０ 件的购进费用不超过 １ ６４０ 元?且总利润(利润＝售价－进价)不少于 ６００ 元?
请你帮助该超市设计相应的进货方案?并指出使该超市利润最大的方案.
解:(１)设该超市购进甲商品 ｘ 件?则购进乙商品(８０－ｘ)件.
根据题意?得 １０ｘ＋３０(８０－ｘ)＝ １ ６００.解得 ｘ＝４０.则 ８０－ｘ＝４０.
答:购进甲、乙两种商品各 ４０ 件.
(２)设该超市购进甲商品 ｙ 件?乙商品(８０－ｙ)件.
由题意?得
１０ｙ＋３０(８０－ｙ)≤１ ６４０?
５ｙ＋１０(８０－ｙ)≥６００.{ 解得 ３８≤ｙ≤４０.
∵ ｙ 为正整数?∴ ｙ＝３８?３９?４０?则 ８０－ｙ＝４２?４１?４０.
进而利润分别为 ５×３８＋１０×４２＝ ６１０(元)?５×３９＋１０×４１＝ ６０５(元)?５×４０＋１０×４０＝ ６００(元) .
答:该超市利润最大的方案是购进甲商品 ３８ 件?乙商品 ４２ 件.
方法总结:本题考查了一元一次方程、一元一次不等式组的应用?解决本题的关键是根据题意列出方程和不
等式.
—２２—
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???????? 中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题
１.２０１９ 年?中央全面落实“稳房价”的长效管控机制?重庆房市较上一年大幅降温. １１ 月?ＬＨ 地产共推出了大平
层和小三居两种房型共 ８０ 套?其中大平层每套面积 １８０ ｍ２?单价 １.８ 万元 / ｍ２?小三居每套面积 １２０ ｍ２?单价
１.５ 万元 / ｍ２ .
(１)ＬＨ 地产 １１ 月的销售总额为 １８ ７２０ 万元?问 １１ 月要推出多少套大平层房型?
(２)２０１９ 年 １２ 月?中央经济会议上重申 “房子是拿来住的?不是拿来炒的”后?重庆房市成功稳定并略有回
落.为年底清盘促销?ＬＨ 地产调整了营销方案? １２ 月推出两种房型的总数量仍为 ８０ 套?并将大平层的单
价在原有基础上每平方米下调
ｍ
１０
万元(ｍ>０)?将小三居的单价在原有基础上每平方米下调ｍ
２０
万元?这样
大平层的销量较(１)中 １１ 月的销量上涨了 ７ｍ 套?且推出的房屋全部售罄?结果 １２ 月的销售总额恰好与
(１)中 １１ 月的销售总额相等.求 ｍ 的值.
解:(１)设 １１ 月要推出 ｘ 套大平层房型.
由题意?得 １８０×１.８ｘ＋１２０×１.５(８０－ｘ)＝ １８ ７２０.解得 ｘ＝３０.
答: １１ 月要推出 ３０ 套大平层房型.
(２)根据题意?得 １８０ １.８－
ｍ
１０( ) ????(３０＋７ｍ)＋１２０ １.５－ ｍ２０( ) ????(８０－３０－７ｍ)＝ １８ ７２０.
整理?得 ｍ２－２ｍ＝０.解得 ｍ１ ＝２?ｍ２ ＝０(舍去) .
答:ｍ 的值为 ２.
２.电动平衡车依靠人体重心的改变便可以实现车辆的启动、加速、减速、停止等动作?是现代人用来作为代步工
具、休闲娱乐的一种新型的绿色环保的产物.纳恩博科技有限公司推出一款 Ａ 型双轮和一款 Ｂ 型独轮的电动
平衡车.Ａ 型车每台售价是 Ｂ 型车每台售价的 ７
６
倍.３ 月份 Ａ?Ｂ 型平衡车总计销售 ６００ 台?Ａ 型车销售额为
８４０ ０００元?Ｂ 型车销售额为 １ ０８０ ０００ 元.
(１)Ａ?Ｂ 型平横车的售价是多少元?
(２)由于更多的公司研发出平衡车投入市场?市场竞争加剧?纳恩博科技有限公司决定 ４ 月份对两种平衡车
进行降价促销?对 Ａ 型车直降 ５０ａ 元销售?销量比原来提高了 ａ
５０
?对 Ｂ 型车在原价基础上降价 ａ
４０
销售?销
量比原来提高了
ａ
３０
.已知 ４ 月份这两款车总计销售了 １ ９４４ ０００ 元?求 ａ 的值.
解:(１)设 Ｂ 型平衡车的售价为 ｘ 元?则 Ａ 型平衡车的售价为 ７
６
ｘ 元.
由题意?得１ ０８０ ０００
ｘ
＋８４０ ０００
７
６ ｘ
＝６００.解得 ｘ＝３ ０００.
经检验?ｘ＝３ ０００ 是方程的根且符合题意.
则
７
６
ｘ＝ ７
６
×３ ０００＝ ３ ５００(元) .
答:Ａ?Ｂ 型平横车的售价分别是 ３ ５００ 元和 ３ ０００ 元.
(２)由(１)知 ３ 月份 Ａ?Ｂ 型平衡车的销量分别为 ２４０ 台?３６０ 台.
由题意?得 ２４０ １＋ ａ
５０( ) ????(３ ５００－５０ａ)＋３ ０００ １－ ａ４０( ) ????３６０ １＋ ａ３０( ) ＝１ ９４４ ０００.
整理?得 １９ａ２－２３０ａ＋４００＝ ０.解得 ａ１ ＝１０?ａ２ ＝
４０
１９
(舍去) .
∴ ａ＝１０.
答:ａ 的值为 １０.
—３２—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
３.随着经济的快速发展?汽车消费迅猛增加.数据显示?某市 ２０１７ 年底的汽车保有量约为 １００ 万辆?其中新能源
车约为 ２０ 万辆.受国家能源政策调整和油价不断上涨的影响?该市 ２０１８ 年底非新能源车的数量比 ２０１７ 年底
减少了 １０％?但汽车保有量却比 ２０１７ 年底增加了 １０％.
(１)求该市 ２０１８ 年新能源车的年增长率.
(２)假设该市 ２０１９ 年新购汽车的数量是 ２０１８ 年底汽车保有量的 ａ％?而 ２０１９ 年报废汽车的数量是 ２０１７ 年底
汽车保有量的 ５％.为缓解交通拥堵?该市拟控制汽车保有量?要求到 ２０１９ 年底全市汽车保有量不超过
１４３.５ 万辆?求 ａ 的最大值.
解:(１)设该市 ２０１８ 年新能源车的年增长率为 ｘ.
根据题意?得 ２０(ｘ＋１)＋(１００－２０)×(１－１０％)＝ １００×(１＋１０％) .
解得 ｘ＝０.９＝ ９０％.
答:该市 ２０１７ 年新能源车的年增长率为 ９０％.
(２)根据题意?得 １００×(１＋１０％)＋１００×(１＋１０％)????ａ％－１００×５％≤１４３.５.
解得 ａ≤３５.
∴ ａ 的最大值为 ３５.
答:ａ 的最大值为 ３５.
４.某校在开展“校园献爱心”活动中?准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的价格为
５０ 元 /个?女款书包的价格为 ７０ 元 /个.
(１)原计划募捐 ３ ４００ 元?购买两种款式的书包共 ６０ 个?那么这两种款式的书包各买多少个?
(２)在捐款活动中?由于学生捐款的积极性高涨?实际共捐款 ４ ８００ 元?如果至少购买两种款式的书包共 ８０
个?那么女款书包最多能买多少个?
解:(１)设原计划购买男款书包 ｘ 个?则女款书包(６０－ｘ)个.
根据题意?得 ５０ｘ＋７０(６０－ｘ)＝ ３ ４００.解得 ｘ＝４０.则 ６０－ｘ＝６０－４０＝ ２０.
答:原计划购买男款书包 ４０ 个?女款书包 ２０ 个.
(２)设女款书包最多能买 ｙ 个?则男款书包买(８０－ｙ)个.
根据题意?得 ７０ｙ＋５０(８０－ｙ)≤４ ８００.解得 ｙ≤４０.∴女款书包最多能买 ４０ 个.
５.学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机. 经市场调查?已知购买 １ 台平板电脑比购买 ３ 台打
印机多花费 ６００ 元?购买 ２ 台平板电脑和 ３ 台打印机共需 ８ ４００ 元.
(１)购买 １ 台平板电脑和 １ 台打印机各需多少元?
(２)学校根据实际情况?决定购买平板电脑和打印机共 １００ 台?要求购买的总费用不超过 １６８ ０００ 元?且购买
打印机的台数不低于购买平板电脑台数的 ２ 倍.请问最多能购买平板电脑多少台?
解:(１)设购买 １ 台打印机需要 ｘ 元?购买 １ 台平板电脑需要 ｙ 元.
由题意?得
ｙ－３ｘ＝６００?
２ｙ＋３ｘ＝８ ４００.{ 解得
ｘ＝８００?
ｙ＝３ ０００.{
答:购买 １ 台打印机要 ８００ 元?购买 １ 台平板电脑要 ３ ０００ 元.
(２)设购买平板电脑 ｍ 台.
由题意?得
１００－ｍ≥２ｍ?
３ ０００ｍ＋８００(１００－ｍ)≤１６８ ０００.{ 解得 ｍ≤１００３ .
∵ｍ 为正整数?∴ｍ＝３３.
答:最多能买平板电脑 ３３ 台.
—４２—
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???????? 中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题
第二课时———方程与不等式的应用(２)
二元一次方程组与一元一次不等式的应用
【例 ５】 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材?计划购买 Ａ 型、Ｂ 型两种型号的放大镜.若购买 ８ 个 Ａ
型放大镜和 ５ 个 Ｂ 型放大镜?需用 ２２０ 元?若购买 ４ 个 Ａ 型放大镜和 ６ 个 Ｂ 型放大镜?需用 １５２ 元.
(１)每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜各多少元?
(２)春平中学决定购买 Ａ 型放大镜和 Ｂ 型放大镜共 ７５ 个?总费用不超过 １ １８０ 元?那么最多可以购买多少个
Ａ 型放大镜?
解题点拨:(１)设每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜分别为 ｘ 元?ｙ 元?列出方程组即可解决问题?(２)由题意列
出不等式即可解决问题.
解:(１)设每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜分别为 ｘ 元?ｙ 元.
由题意?得
８ｘ＋５ｙ＝２２０?
４ｘ＋６ｙ＝１５２.{ 解得
ｘ＝２０?
ｙ＝１２.{
答:每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜分别为 ２０ 元?１２ 元.
(２)设购买 Ａ 型放大镜 ａ 个.
根据题意?得 ２０ａ＋１２×(７５－ａ)≤１ １８０.解得 ａ≤３５.
答:最多可以购买 ３５ 个 Ａ 型放大镜.
分式方程与一元一次不等式的应用
【例 ６】 某蔬菜店第一次用 ４００ 元购进某种蔬菜?由于销售状况良好?该店又用 ７００ 元购进这种蔬菜?所购数量
是第一次购进数量的 ２ 倍?但进货价每千克少了 ０.５ 元.
(１)第一次所购这种蔬菜的进货价是每千克多少元?
(２)该蔬菜店在销售中?两次售价均相同?且第一次购进的蔬菜有 ２％ 的损耗?第二次购进的蔬菜有 ３％ 的损
耗?若该蔬菜店售完这种蔬菜获利不低于 ９４４ 元?则这种蔬菜每千克售价至少为多少元?
解:(１)设第一次所购这种蔬菜的进货价是每千克 ｘ 元.
根据题意?得４００
ｘ
????２＝ ７００
ｘ－０.５
.解得 ｘ＝４.经检验?ｘ＝４ 是原方程的根.
答:第一次所购这种蔬菜的进货价是每千克 ４ 元.
(２)由(１)知?第一次所购这种蔬菜数量为 ４００÷４＝１００(千克)?第二次所购这种蔬菜数量为 １００×２＝２００(千克) .
设这种蔬菜每千克售价至少为 ｙ 元.
根据题意?得[１００(１－２％)＋２００(１－３％)]ｙ－４００－７００≥９４４.解得 ｙ≥７.
答:这种蔬菜每千克售价至少为 ７ 元.
不等式与一元二次方程的应用
【例 ７】 放风筝是民间传统游戏之一?也是清明时节人们所喜爱的活动.小李打算抓住这一机遇?以每个 ２０ 元的
成本制作了 ３０ 个风筝?再以每个 ４０ 元的价格售出?很快就被一抢而空?于是小李计划加紧制作第二批风筝.
(１)预计第二批风筝的成本是每个 １５ 元?仍以原价出售?若两批风筝的总利润不低于 ２ ８５０ 元?则第二批至少
应该制作多少个风筝?
(２)在实际制作过程中?小李按照(１)中风筝的最低数量进行制作?但制作风筝的成本比预期的 １５ 元多了
１０％?于是小李决定将售价也提高 ａ
１０
.附近的商户受到小李的启发?也纷纷卖起了风筝?在市场冲击下?小李实际
还剩下
ａ
２０
的风筝没卖出去?但仍然比第一次获利多 １ ５１５ 元.求 ａ 的值.
—５２—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
解题点拨:本题考查一元一次不等式和一元二次方程?根据题意建立一元二次方程?对分数的准确处理及正确
求解是难点.
解:(１)设第二批应该制作 ｘ 个风筝.
由题意?得(４０－２０)×３０＋(４０－１５)ｘ≥２ ８５０.
整理?得 ２５ｘ≥２ ２５０.解得 ｘ≥９０.
答:第二批至少应该制作 ９０ 个风筝 .
(２)由题意?得 ４０ １＋ ａ
１０( ) ????９０ １－ ａ２０( ) －１５(１＋１０％)×９０＝６００＋１ ５１５.
整理?得 ａ２－１０ａ＝０.解得 ａ１ ＝０(舍去)?ａ２ ＝１０.
答:ａ 的值为 １０.
方法总结:对于应用题?一定要仔细审题?如果题目中出现“最多”“至少”等表示不等关系的字眼?那么就用不
等式来解决问题?对于求未知数的值?找出等量关系?列出方程是解题的关键.
一元一次不等式、一次方程与一元二次方程的应用
【例 ８】 重庆的主城区种植了大量的小叶榕和银杏树?根据林业专家的分析?树叶在进行光合作用后产生的分泌
物能在空气中吸附悬浮颗粒?这样就起到了滞尘和净化空气的作用.
(１)若重庆主城区内某小区今年要种植银杏树和小叶榕共 ３００ 株?且小叶榕的数量不超过银杏树数量的 ３
倍?则今年该小区小叶榕最多可以种植多少株?
(２)已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 １０ ｍｇ?一株银杏树去年有 ４ ５００ 片树叶?冬季树叶全部掉落后?
今年新长出了树叶?这株银杏今年的滞尘量是去年滞尘量的 １.１ 倍还多 ５００ ｍｇ.已知一片小叶榕树叶的滞尘量
比一片银杏树叶多 ２ａ％?一株小叶榕今年的树叶总量比今年的这株银杏还要多１０ａ
９
％?明年这株小叶榕的树叶
将在今年的基础上掉落
１
５
?但又会新长出 ２ ０００ 片树叶.若今明两年这株小叶榕共滞尘量为 １４４ ０００ ｍｇ?求 ａ
的值.
解题点拨:本题考查了一元一次不等式、一元一次方程与一元二次方程的应用?解题的关键是从题目中整理出
等量关系?难点是先要建立一元一次方程求出今年这株银杏长多少片树叶?再由一元二次方程求解?题目本身
难度较大.
解:(１)设今年该小区小叶榕种植 ｘ 株.
由题意?得 ｘ≤３(３００－ｘ) .解得 ｘ≤２２５.
答:今年该小区小叶榕最多可以种植 ２２５ 株.
(２)设今年这株银杏长 ｙ 片树叶.
由题意?得 １０ｙ＝４ ５００×１０×１.１＋５００.解得 ｙ＝５ ０００.∴ 今年这株银杏长 ５ ０００ 片
中考专题训练一———计算型问题 １????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———数与式、方程与不等式的计算 １????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———含有参数的方程和不等式的计算 ５????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练二———统计和概率问题 ８????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———概 率 ８????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———统 计 １０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练三———三角函数应用型问题 １７????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题 ２１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———方程与不等式的应用(１) ２１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———方程与不等式的应用(２) ２５????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练五———反比例函数计算型问题 ３０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练六———一次函数应用型问题 ３３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———一次函数应用型问题(１) ３３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———一次函数应用型问题(２) ３６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练七———函数探究型问题 ３９????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———含有绝对值的函数探究型问题 ３９????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———分段函数和高次函数探究型问题 ４５????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练八———二次函数综合型问题 ５０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———二次函数图象与系数的关系 ５０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———二次函数中的面积问题 ５３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第三课时———二次函数中的角度问题 ６０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练九———阅读理解型问题 ６６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练十———几何计算及证明型问题 ７１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———与角平分线有关的辅助线 ７１????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———与中点有关的辅助线 ７６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第三课时———截长补短法与等腰三角形中的辅助线 ８２????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第四课时———直角三角形中的辅助线 ８８????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练十一———几何综合计算与几何变换 ９４????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———几何综合计算与几何变换 ９６????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———几何最值与几何变换 ９９????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
中考专题训练十二———探究型问题 １０３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第一课时———代数型探究问题 １０３????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
第二课时———几何型探究问题 １１０????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
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???????? 中考专题训练一———计算型问题
中考专题训练一———计算型问题
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本专题包含四个部分:实数的运算?整式及分式的化简?解方程(组)与不等式(组)?含参数的方程、不
等式(组)问题.
实数的运算主要涉及无理数、负指数、零指数、绝对值、平方根、立方根等运算?只要理解计算的法则是
非常容易得分的?其中负指数运算是易错点.
解方程(组)和不等式(组)包括解一元一次方程、一元二次方程、分式方程、二元一次方程组、一元一
次不等式(组)?按相应的解法和步骤求解一般不会存在问题.特别地?分式方程一定要验根.
含参数的方程、不等式(组)问题是学生学习的难点?确定参数的值(或范围)是关键?含参不等式问题
多用数轴?等号能否取到是易错点?含参分式方程?分母不为零的检验是关键.
第一课时———数与式、方程与不等式的计算
解方程(组)
【例 １】 解方程或方程组:
(１)２－ ２ｘ
＋１
３
＝ １＋ｘ
２
?
解:ｘ＝１.
(２)
２ｘ－ｙ＝ １?
３ｘ－ ｙ
＋１
２
＝ ４?
ì
?
í
??
?
解:
ｘ＝２?
ｙ＝３.{
(３) ｘ
ｘ－１
－ ２
ｘ
＝ １?
解:去分母?得 ｘ２－２ｘ＋２＝ｘ２－ｘ.
解得 ｘ＝２.
经检验?ｘ＝２ 时是方程的解?
所以 ｘ＝２ 是原方程的解.
(４)ｘ２－２ｘ－５＝ ０.
解:(１)∵ ａ＝１?ｂ＝－２?ｃ＝－５?
∴Δ＝４－４×１×(－５)＝ ２４>０?
则 ｘ＝ ２±２ ６
２
＝ １± ６ ?
∴ ｘ１ ＝１＋ ６ ?ｘ２ ＝１－ ６ .
解题点拨:本题主要考查方程(组)的解法?掌握解方程(组)的方法是解题的关键.要注意的是解分式方程时一
定要检验.
方法总结:正确解方程(组)的核心是理解并掌握解方程(组)的方法.特别地?对于二元一次方程组而言?要注意
选择消元的方法?通常情况下?加减消元法要比代入消元法更方便.同时?一元二次方程的公式法是一个万能的
方法?所有的一元二次方程均可以使用.
—１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
解不等式(组)
【例 ２】 解不等式或不等式组:
(１) ｘ－３(ｘ－２)≤４?
(２)
ｘ－３
２
＋３≥ｘ＋１?
１－３(ｘ－１)<８－ｘ.
ì
?
í
??
?
解:ｘ≥１. 解:－２<ｘ≤１.
解题点拨:本题考查不等式(组)的解法?掌握不等式(组)的解法及其步骤是关键.
方法总结:解不等式要特别注意化系数为“１”这个环节?如果未知数的系数为负数?一定要变号.同时?对于不等
式组通常可以借助数轴求出最后的解集.
整式的化简
【例 ３】 化简:
(１)２(ｙ＋１) ２－(ｙ－２)(２ｙ＋１)?
解:原式＝２(ｙ２＋２ｙ＋１)－(２ｙ２－３ｙ－２)
＝ ２ｙ２＋４ｙ＋２－２ｙ２＋３ｙ＋２
＝７ｙ＋４.
(２)(ｘ－３ｙ) ２＋(ｘ＋３ｙ)(ｘ－３ｙ) .
解:原式＝ｘ２－６ｘｙ＋９ｙ２＋ｘ２－９ｙ２
＝２ｘ２－６ｘｙ.
解题点拨:本题主要考查整式的乘法法则与乘法公式: ａ＋ｂ( ) ａ－ｂ( ) ＝ａ２－ｂ２? ａ±ｂ( ) ２ ＝ ａ２±２ａｂ＋ｂ２ .在计算时?除了
要准确地记忆公式?还要特别注意符号与系数的处理.
方法总结:牢记运算法则和公式是基础?熟练、准确计算是关键.为了避免出错?最好不要省略必要的步骤.
分式的化简
【例 ４】 化简:
(１) ５
ｘ－２
－ｘ－２?
è
?
?
?
÷ ÷ｘ
２－６ｘ＋９
ｘ２－２ｘ
＋ ３ｘ
ｘ－３
?
解:原式＝ ５
ｘ－２
－ ｘ
＋２( ) ｘ－２( )
ｘ－２[ ] ×ｘ ｘ－２( )ｘ－３( ) ２ ＋
３ｘ
ｘ－３
＝ｘ ９－ｘ
２( )
ｘ－３( ) ２
＋ ３ｘ
ｘ－３
＝－ｘ ｘ＋３( )
ｘ－３
＋ ３ｘ
ｘ－３
＝－ ｘ
２
ｘ－３
.
(２) ４ａ
＋１
ａ－２
＋ａ?
è
?
?
?
÷ ÷ａ
２－１
ａ－２
－１.
解:原式＝ ４ａ
＋１＋ａ２－２ａ
ａ－２
× ａ－２
(ａ＋１)(ａ－１)
－１
＝ａ＋１
ａ－１
－１
＝ ２
ａ－１
.
解题点拨:本题主要考查因式分解与分式的相关运算?如通分、约分等?计算一定要仔细?结果要最简.
方法总结:熟练掌握因式分解、通分及约分的方法与法则?牢记公式与方法是本类型计算的基础?计算细心且准
确是关键.
１.计算:
(１) ２－ ３ ＋ ２７ － －
１
２
?
è
?
?
?
÷
－２
＋(３－π) ０?
解:原式＝２－ ３ ＋３ ３ －４＋１＝－１＋２ ３ .
(２)(－２) ２－ ３ ６４ ＋(－３) ０－ １
３
?
è
?
?
?
÷
－２
?
解:原式＝４－４＋１－９＝－８.
—２—
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???? ????
???????? 中考专题训练一———计算型问题
(３) ３ ×(－ ６ )＋ －４ ２ － ８ ?
解:原式＝－ ３×６ ＋４ ２ －２ ２ ＝－３ ２ ＋４ ２ －２ ２ ＝－ ２ .
(４)－１－３＋２ ０２００－ ４－４ ３ －
３ ６４ －ｔａｎ ３０°.
解:原式＝－１＋１－４ ３ ＋４－４－ ３
３
＝－ １３ ３
３
.
２.解整式方程:
(１)１－ ３
２
ｘ＝ ３ｘ＋ ５
２
?
解:ｘ＝－ １
３
.
(２)ｘ２ ＝ ３ｘ?
解:ｘ１ ＝０?ｘ２ ＝３.
(３)ｘ２－３ｘ－２＝ ０?
解:ｘ１ ＝
３＋ １７
２
?ｘ２ ＝
３－ １７
２
.
(４)３ｘ２ ＝ ４－２ｘ.
解:ｘ１ ＝
－１＋ １３
３
?ｘ２ ＝
－１－ １３
３
.
３.解分式方程:
(１)ｘ
－５
ｘ－１
＋ ２
ｘ
＝ １?
解:ｘ＝－１.
(２) １
ｘ－４
＋ ５
ｘ＋４
＝ ８
ｘ２－１６
.
解:ｘ＝４ 是增根?原方程无解.
４.解方程组:
(１)
ｘ
３
－ｙ＝ －４?
ｘ＋ｙ
－１
２
＝ ５?
ì
?
í
?
?
?
?
(２)
３(ｘ＋ｙ)－４(ｘ－ｙ)＝ ５?
ｘ＋ｙ
３
＋ｘ－ｙ
２
＝ ３
２
.
ì
?
í
??
?
解:
ｘ＝３?
ｙ＝５.{ 解:
ｘ＝２?
ｙ＝１.{
５.解不等式:
(１) ｘ
３
>１－ ｘ
－３
６
? (２)２ｘ
－１
３
≤３ｘ
＋２
４
－１.
解:ｘ>３. 解: ｘ≥２.
６.解不等式组:
(１)
１＋２ｘ≤ｘ＋５?
３ｘ＋２≤４?{ (２) ｘ
－ １＋３ｘ
２
>－３?
５ｘ－１２≤２(４ｘ－３) .
ì
?
í
??
?
解:ｘ≤ ２
３
. 解:－２≤ｘ<５.
—３—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
７.化简:
(１)(ｘ－ｙ) ２－(ｘ－２ｙ)(ｘ＋ｙ)?
解:原式＝ｘ２－２ｘｙ＋ｙ２－ｘ２＋ｘｙ＋２ｙ２
＝－ｘｙ＋３ｙ２ .
(２)(ａ２ｂ－２ａｂ２－ｂ３)÷ｂ－(ａ－ｂ) ２?
解:原式＝－２ｂ２ .
(３)(ａ＋２ｂ)(ａ－２ｂ)－(ａ－ｂ) ２?
解:原式＝ａ２－４ｂ２－ａ２－ｂ２＋２ａｂ
＝２ａｂ－５ｂ２ .
(４)(ａ－２ｂ) ２－４ａ(ａ－ｂ) .
解:原式＝ａ２－４ａｂ＋４ｂ２－４ａ２＋４ａｂ
＝４ｂ２－３ａ２ .
８.(１)先化简?再求值:(２ａ－１) ２－２(ａ＋１)(ａ－１)－ａ(ａ－２)?其中 ａ＝ ２ ＋１.
解:原式＝４ａ２－４ａ＋１－２ａ２＋２－ａ２＋２ａ＝ａ２－２ａ＋３.
当 ａ＝ ２ ＋１ 时?
原式＝( ２ ＋１) ２－２( ２ ＋１)＋３
＝３＋２ ２ －２ ２ －２＋３
＝４.
(２)已知 ２ｘ２＋ｘ－５＝ ０?求代数式(２ｘ－１) ２－ｘ(ｘ－６)＋(ｘ＋２)(ｘ－２)的值.
解:原式＝４ｘ２－４ｘ＋１－ｘ２＋６ｘ＋ｘ２－４
＝４ｘ２＋２ｘ－３.
∵２ｘ２＋ｘ－５＝０?
∴４ｘ２＋２ｘ＝１０?
∴原式＝１０－３＝７.
９.化简分式:
(１) ｘ－１－ ３
ｘ＋１
?
è
?
?
?
÷ ÷ｘ
２＋４ｘ＋４
ｘ＋１
?
解:原式＝(ｘ
＋１)(ｘ－１)－３
ｘ＋１
÷(ｘ＋２)
２
ｘ＋１
＝(ｘ＋２)(ｘ－２)
ｘ＋１
???? ｘ
＋１
(ｘ＋２) ２
＝ｘ－２
ｘ＋２
.
(２) ｘ
ｘ＋ｙ
÷ １
ｘ２－ｘｙ
－ ２
ｘ２－ｙ２
?
è
?
?
?
÷ ?
解:原式＝ ｘ
ｘ＋ｙ
÷ １
ｘ(ｘ－ｙ)
－ ２
(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)[ ]
＝ ｘ
ｘ＋ｙ
÷ ｘ＋ｙ－２ｘ
ｘ(ｘ＋ｙ)(ｘ－ｙ)
＝ ｘ
ｘ＋ｙ
????ｘ(ｘ
＋ｙ)(ｘ－ｙ)
ｙ－ｘ
＝－ｘ２ .
—４—
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???? ????
???????? 中考专题训练一———计算型问题
(３)ｘ
２＋６ｘｙ＋９ｙ２
ｘ２＋２ｘｙ
÷ ｘ－２ｙ－ ５ｙ
２
ｘ＋２ｙ
?
è
?
?
?
÷ ＋ １
ｘ
?
解:原式＝ (ｘ
＋３ｙ) ２
ｘ(ｘ＋２ｙ)
÷ｘ
２－４ｙ２－５ｙ２
ｘ＋２ｙ
＋ １
ｘ
＝ (ｘ＋３ｙ)
２
ｘ(ｘ＋２ｙ)
???? ｘ
＋２ｙ
(ｘ＋３ｙ)(ｘ－３ｙ)
＋ １
ｘ
＝ ｘ＋３ｙ
ｘ(ｘ－３ｙ)
＋ １
ｘ
＝ｘ＋３ｙ＋ｘ－３ｙ
ｘ(ｘ－３ｙ)
＝ ２ｘ
ｘ(ｘ－３ｙ)
＝ ２
ｘ－３ｙ
.
(４)ｘ
２－８ｘ＋１６
ｘ２＋２ｘ
÷ １２
ｘ＋２
－ｘ＋２?
è
?
?
?
÷ ＋ １
ｘ＋４
.
解:原式＝ (ｘ
－４) ２
ｘ(ｘ＋２)
÷１６－ｘ
２
ｘ＋２
＋ １
ｘ＋４
＝ ４－ｘ
ｘ(ｘ＋４)
＋ １
ｘ＋４
＝ ４
ｘ２＋４ｘ
.
１０.(１)先化简?再求值:(ｘ－１)÷ ２
ｘ＋１
－１?
è
?
?
?
÷ ?其中 ｘ 为方程 ｘ２＋３ｘ＋２＝ ０ 的根.
解:原式＝(ｘ－１)÷２
－ｘ－１
ｘ＋１
＝(ｘ－１)÷１
－ｘ
ｘ＋１
＝(ｘ－１)×ｘ
＋１
１－ｘ
＝－ｘ－１.
由 ｘ 为方程 ｘ２＋３ｘ＋２＝０ 的根?解得 ｘ＝－１ 或 ｘ＝－２.
当 ｘ＝－１ 时?原式无意义?所以 ｘ＝－１ 舍去?
当 ｘ＝－２ 时?原式＝－(－２)－１＝２－１＝１.
(２)先化简?再求值: １－ ４
ａ
?
è
?
?
?
÷ ÷ ａ
＋２
ａ２－２ａ
－ ａ－１
ａ２－４ａ＋４
?
è
?
?
?
÷ ?其中 ａ 是不等式组
５－ａ>１?
２ａ＋１>３{ 的整数解.
解:原式＝ａ
－４
ａ
÷ ａ
＋２
ａ(ａ－２)
－ ａ
－１
(ａ－２) ２
é
?
êê
ù
?
úú
＝ａ－４
ａ
÷ (ａ
＋２)(ａ－２)－ａ(ａ－１)
ａ (ａ－２) ２
é
?
êê
ù
?
úú
＝ａ－４
ａ
????ａ (ａ
－２) ２
ａ－４
＝(ａ－２) ２ .
由
５－ａ>１?
２ａ＋１>３?{ 得 １<ａ<４.又∵ ａ 为整数?∴ ａ＝２ 或 ａ＝３.
∵ ａ＝２ 使得原分式无意义?∴ ａ＝３.
把 ａ＝３ 代入原式?得原式＝１.
第二课时———含有参数的方程和不等式的计算
含参数的方程(组)和不等式(组)的结合
【例 ５】 (１)若整数 ａ 使得关于 ｘ 的不等式组
ｘ－２ａ>０?
ｘ－１
３
－ ｘ
２
≥－１
ì
?
í
??
?
至少有 １ 个整数解?且使得关于 ｙ 的方程 ４ａｙ ＝ １５－ｙ
有正整数解?那么所有满足条件的整数 ａ 的值之和是 ( Ｂ )
Ａ. １
２
Ｂ.１ Ｃ. ５
２
Ｄ.３
解题点拨:本题考查的是含参数的一元一次不等式组和一元一次方程?把不等式组和方程中的参数 ａ 当成常数处
理?从而准确解出不等式组和方程是解题的关键?同时注意“至少有 １ 个整数解”?则不等式组中 ａ 的值不能取 ２.
—５—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
(２)从－２?－１?－ ２
３
?０?１ 这五个数字中?随机抽取一个数?记为 ａ?则使得关于 ｘ 的方程ａｘ
＋２
ｘ－３
＝ １ 的解为非负数?
且满足关于 ｙ 的不等式组
ｙ－ａ>０?
－３＋２ｙ≤１{ 恰有三个整数解?那么这 ５ 个数中所有满足条件的 ａ 的值有 ( Ｂ )
Ａ.０ 个 Ｂ.１ 个 Ｃ.２ 个 Ｄ.３ 个
解题点拨:本题考查的是含参数的分式方程和一元一次不等式组?除正确求解含参的方程和不等式组外?在对 ａ 的
５ 个取值进行选择的时候?一定注意不能取分式方程的增根.同时?解含参不等式组要掌握画数轴分析的方法.
方法总结:对于含参数方程(组)和不等式(组)的题目?一般是先将参数当成常数处理?正确求解出方程(组)和
不等式(组)?同时对于关键词“至少”“整数解”“非负数”等的理解也是关键?特别是对于某些关键数值能不能
取等一定要非常细心.
含参数的函数和方程、不等式的结合
【例 ６】 (１)已知一个口袋中装有 ５ 个完全相同的小球?小球上分别标有 ２?６?９?１２?１５ 五个数字?搅匀后从中摸
出一个小球?将小球上的数记为 ａ?若使得一次函数 ｙ ＝ ａｘ＋ａ－６ 不经过第四象限且关于 ｘ 的分式方程 ａｘ
ｘ－６
＝ ４＋
６ｘ
ｘ－６
的解为整数?则这 ５ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ａ )
Ａ.２１ Ｂ.２７ Ｃ.２９ Ｄ.４４
解题点拨:本题考查的是含参数的一次函数和分式方程?可以根据条件分析 ａ 的范围及其取值?也可以把这 ５
个数字逐一代入 ｙ＝ａｘ＋ａ－６ 和 ａｘ
ｘ－６
＝ ４＋ ６ｘ
ｘ－６
?选出同时满足条件的 ａ 的值?从而求出答案?但是一定注意不能取
分式方程的增根.
(２)从－２?－１?０?１?２?４ 这六个数中?任取一个数作为 ａ 的值?恰好使得关于 ｘ?ｙ 的二元一次方程组
ｘ－ｙ＝ａ?
ｘ＋ｙ＝ ２{ 有
整数解?且函数 ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋２ 的图象与 ｘ 轴有公共点?那么这 ６ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之积是 ( Ｃ )
Ａ.－１６ Ｂ.－４ Ｃ.０ Ｄ.８
解题点拨:本题考查的是含参数的二元一次方程组和函数?除正确求解方程组外?对于函数 ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋２ 的理解
也是关键?ｙ＝ａｘ２＋４ｘ＋２ 可以是一次函数?也可以是二次函数.
方法总结:对于含参数的函数和方程、不等式结合的题目?如果题目中给出了具体的数值?可以将具体的数值带
入函数、方程(组)和不等式(组)?找出符合题意的数值即可正确求出答案.
１.有五张正面分别标有数字－２?０? １
２
?１?３ 的不透明卡片?它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上?
洗匀后从中任取一张?将该卡片上的数字记为 ａ?若使关于 ｘ 的分式方程１
－ａｘ
ｘ－２
＋２ ＝ １
２－ｘ
有整数解?则这 ５ 个数
中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ｂ )
Ａ.０ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ. ３
２
２.使关于 ｘ 的分式方程ｋ
－１
ｘ－１
＝ ２ 的解为非负数?且使反比例函数 ｙ＝ ３
－ｋ
ｘ
的图象过第一、三象限时满足条件的所有
整数 ｋ 的和为 ( Ａ )
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.５
—６—
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???????? 中考专题训练一———计算型问题
３.在平面直角坐标系中?抛物线 ｙ＝ ｘ２－２ｘ－３ 与 ｘ 轴交于 Ｂ?Ｃ 两点(点 Ｂ 在点 Ｃ 的左侧)?点 Ａ 在该抛物线上?且
横坐标为－２?连接 ＡＢ?ＡＣ.现将背面完全相同?正面分别标有－２?－１?０?１?２ 的五张卡片洗匀后?背面朝上?从中
任取一张?将该卡片上的数作为点 Ｐ 的横坐标?将该数加 １ 作为点 Ｐ 的纵坐标?点 Ｐ 落在△ＡＢＣ 内(不含边
界)?则满足条件的点 Ｐ 的个数为 ( Ａ )
Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４
４.已知一个口袋中装有七个完全相同的小球?小球上分别标有－３?－２?－１?０?１?２?３ 七个数?搅匀后一次从中摸
出一个小球?将小球上的数用 ａ 表示?将 ａ 的值分别代入函数 ｙ＝(ａ－３)ｘ 和方程ｘ
－ａ
ｘ－１
－ ３
ｘ
＝ １?恰好使得函数的
图象经过第二、四象限?且方程有整数解?那么这 ７ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ｄ )
Ａ.１ Ｂ.－１ Ｃ.－３ Ｄ.－４
５.有 ５ 张正面分别写有数字－ ３
２
?－１?－ １
４
? ０?１ 的卡片?它们除数字不同外其余全部相同.将它们背面朝上?洗匀
后从中随机抽取一张?记卡片上的数字为 ａ?若使以 ｘ 为自变量的反比例函数 ｙ ＝ ａ
－１
ｘ
经过第二、四象限?且关
于 ｘ 的不等式组
ｘ＋１≤２ａ?
ａ－ｘ≤２{ 有解?则这 ５ 个数中所有满足条件的 ａ 的值之和是 ( Ｃ )
Ａ.－ １１
４
Ｂ.－ ５
２
Ｃ.－ ５
４
Ｄ.－１
６.如果关于 ｘ 的不等式组
５ｘ＋３
６
≤ｘ＋１?
１
５
ａ－ｘ≥０
ì
?
í
?
?
?
?
至少有 ３ 个整数解?且关于 ｙ 的分式方程 ａｙ
ｙ－５
＝ １－ａ
５－ｙ
－ ３ｙ
ｙ－５
的解为整数?则
符合条件的所有整数 ａ 的值之和为 ( Ｃ )
Ａ.－１０ Ｂ.－９ Ｃ.－７ Ｄ.－３
７.若实数 ａ 使关于 ｘ 的不等式组
３ｘ－２
２
>ｘ－ ５
２
?
ｘ－４≤ａ－５ｘ
ì
?
í
??
??
有且只有 ４ 个整数解?且使关于 ｙ 的分式方程ｙ
＋ａ
ｙ－４
＋ ２ａ
４－ｙ
＝ －１ 有整
数解?则符合条件的所有整数 ａ 的积为 ( Ｂ )
Ａ.６ Ｂ.１２ Ｃ.４８ Ｄ.９６
８.若实数 ｍ 使关于 ｘ 的不等式组
３＋ｘ
２
－１≤３?
ｍ－２ｘ≤－２
ì
?
í
??
??
有解且至多有 ３ 个整数解?且使关于 ｙ 的分式方程 ３ｙ
２ｙ－４
＝ｍ－２
ｙ－２
＋ １
２
的解满足－３≤ｙ≤４?则满足条件的所有整数 ｍ 的个数是 ( Ｃ )
Ａ.６ Ｂ. ５ Ｃ. ４ Ｄ. ３
９.若实数 ａ 使关于 ｘ 的二次函数 ｙ＝ ｘ２＋(ａ－１)ｘ－ａ＋２?当 ｘ<－１ 时?ｙ 随 ｘ 的增大而减小?且使关于 ｙ 的分式方程
４
２ｙ－１
－ ａ－３
１－２ｙ
＝ １ 有非负数解?则满足条件的所有整数 ａ 的值之和为 ( Ｂ )
Ａ.１ Ｂ.４ Ｃ.０ Ｄ.３
１０.若关于 ｘ 的分式方程 ２ｘ
ｘ－３
－ｍ－１
３－ｘ
＝ １ 的解为正数?且关于 ｙ 的不等式组
１＋ ｙ
２
>ｙ
＋２
６
?
２ｙ－ｍ≤５
ì
?
í
??
??
至少有两个整数解?则符合
条件的所有整数 ｍ 的值之和为 ( Ａ )
Ａ.－７ Ｂ.－９ Ｃ.－１２ Ｄ.－１４
—７—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
中考专题训练二———统计和概率问题
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本专题涉及两个题型:一个是概率?以两步概率为主?并且今年可能以填空题的形式考查?此题型一定
要注意是放回还是不放回?会导致所有可能的结果数不一样?从呈现形式上可能是传统的以生活问题为背
景的概率问题?可能是以数学知识为背景的概率问题?也可能是以面积为背景的概率问题?不管哪种呈现
形式?都是古典概率型问题?求出该事件可能出现的情况数?求出所有可能出现的情况数?两者之比即为概
率?求解方法是画树状图或列表.
统计问题?今年仍可能以解答题的形式考查?密切联系实际?往往是以当前热点问题为背景?并且着重
考察统计的全过程?以及各种基础知识?如调查方式(普查与抽查)、“四图”(条形、扇形、折线统计图?频率
分布直方图)、“三数”(平均数、中位数、众数)、“两差”(方差、标准差)都要考查?故要解决此类题型需要熟
悉并掌握统计的全过程以及相关的基础概念?认真识图?仔细分析数据?得出结论.
第一课时———概 率
概率
【例 １】 某市体育中考现场考试内容有三项:５０ 米跑为必测项目?另在立定跳远、实心球(二选一)和坐位体前
屈、１ 分钟跳绳(二选一)中选择两项.则小明与小刚选择同种方案的概率为
１４ .
解题点拨:先找出每位考生可选的方案?再画树状图或列表求出符合题意的概率.
答图
【解析】每位考生有 ４ 选择方案?把 ４ 种中方案分别设为:
Ａ:立定跳远、坐位体前屈?Ｂ:实心球、１ 分钟跳绳?
Ｃ:立定跳远、１ 分钟跳绳?Ｄ:实心球、坐位体前屈.
画树状图如答图所示.
∴小明与小刚选择同种方案的概率＝ ４
１６
＝ １
４
.
【例 ２】 如图所示的方格地面上?标有编号 １?２?３ 的 ３ 个小方格地面是空地?另外 ６ 个相同的小
方格地面是草坪.现准备从图中所示的 ３ 个小方格空地中任选 ２ 个种植草坪?则编号为 １?２ 的 ２
个小方格空地种植草坪的概率是
１３ .
【解析】用树状图或利用表格列出所有可能的结果:
所以编号为 １?２ 的 ２ 个小方格空地种植草坪的概率＝ ２
６
＝ １
３
.
方法总结:求两步概率?首先要弄清楚该题目是放回还是不放回?其次是用画树状图或列表的方法求出概率.
—８—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
【例 ３】 如果任意选择一对有序整数(ｍ?ｎ)?其中 ｍ ≤１? ｎ ≤２?每一对这样的有序整数被选择的可能性是相
等的?那么关于 ｘ 的方程 ｘ２＋ｎｘ＋ｍ＝ ０ 有两个相等实数根的概率是
１５ .
解题点拨:先找出有序整数所有可选的方案?再用一元二次方程“Δ”判断?求出符合题意的概率.
【解析】所有的有序整数有 １５ 种情况?列表如下:
ｎ
ｍ
－２ －１ ０ １ ２
－１ (－１?－２) (－１?－１) (－１?０) (－１?１) (－１?２)
０ (０?－２) (０?－１) (０?０) (０?１) (０?２)
１ (１?－２) (１?－１) (１?０) (１?１) (１?２)
关于 ｘ 的方程 ｘ２＋ｎｘ＋ｍ＝０ 有两个相等实数根?即 Δ＝ｎ２－４ｍ＝０?符合等式的有序整数有(０?０)?(１?－２)?(１?２)?∴概率＝ ３
１５
＝ １
５
.
方法总结:解以数学问题为背景的概率问题?基本思路不变?根据数学知识?得出结论.
１.如图甲?在△ＡＢＣ 和△ＤＥＦ 中?∠Ｃ＝∠Ｆ＝ ９０°.有如图乙所示的五张背面完全相同的纸牌①、②、③、④、⑤?其
正面分别写有五个不同的等式?小民将这五张纸牌背面朝上洗匀后先随机摸出一张(不放回)?再随机摸出一
张.用两次摸牌的结果和∠Ｃ＝∠Ｆ＝ ９０°作为条件?则能满足△ＡＢＣ 和△ＤＥＦ 全等的概率为
９１０ .
第 １ 题
２.经过某十字路口的汽车?它可能继续直行?也可能向左转或向右转?已知这三种可能性大小相同?现有两辆汽
车经过这个十字路口?则至少有一辆汽车向左转的概率为
５９ .
３.桌上有 ４ 张正面分别画有等边三角形、正方形、正五边形、圆的卡片(卡片除图形外其余完全相同)?并将它们
背面朝上.小明和小亮先后随机抽出一张(先抽出的卡片不放回)?则他们抽到的卡片上的图形都是中心对称
第 ４ 题
图形的概率为
１６ .
４.在如图所示的电路中?随机闭合开关 Ｓ１?Ｓ２?Ｓ３ 中的两个?能让灯泡 Ｌ１ 发光的概率
为
１３ .
第 ５ 题
５.小颖为九年级毕业晚会设计了一个“配紫色”的游戏?如图所示是两个可以自由转动
的转盘?一个转盘被分成面积相等的三个扇形?另一个转盘被分成面积相等的两个
半圆形?游戏者同时转动两个转盘?两个转盘停止转动时?若有一个转盘的指针指向
蓝色?另一个转盘的指针指向红色?则“配紫色”成功?游戏者获胜.则游戏者获胜的
概率是
１２ .
６.一个不透明的袋中有四张形状、大小、质地完全相同的卡片?它们上面分别标有数字－１?２?３?４?随机抽取一张
卡片不放回?再随机抽取一张卡片?则两次抽取的卡片上数字之和为奇数的概率是
２３ .
７.在一个不透明的口袋中装有大小、形状完全相同的 ２ 个黑球和 ２ 个白球?先从口袋中摸出一个球?不放回?再
从口袋中摸出另一个球?则摸出的两个球颜色不相同的概率为
２３ .
—９—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
８.在一个不透明的箱子里有四张形状相同的卡片?卡片上分别标有数字－１?１?３?５.摸出一张后?记下数字?再放
回?摇匀后再摸出一张?记下数字.以第一次得到的数字为横坐标?第二次得到的数字为纵坐标?得到一个点?
则这个点恰好在直线 ｙ＝ －ｘ＋４ 上的概率是
１４ .
９.如果从 ０?－１?２?３ 四个数中任取一个数记作 ｍ?又从 ０?１?－２ 三个数中任取一个数记作 ｎ?那么点 Ｐ(ｍ?ｎ)恰在
第四象限的概率为
１６ .
１０.１８ 世纪法国有名的数学家达兰倍尔犯了这样一个错误:拿两枚硬币随意抛掷?会出现三种情况?要么两枚都
是正面向上?要么一枚正面向上、一枚背面向上?要么两枚都是背面向上.因此?两枚硬币都是正面向上的概
率是
１
３
.事实上?两枚硬币都是正面向上的概率应该是
１４ .
第二课时———统 计
统计
【例 ４】 ?中国诗词大会?以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为基本宗旨?力求通过对诗词知识的比拼及
赏析?带动全民重温那些曾经学过的古诗词?分享诗词之美?感受诗词之趣?从古人的智慧和情怀中汲取营养?
涵养心灵?自开播以来深受广大师生的喜爱.某学校为了提高学生的诗词水平?倡导全校 ３ ０００ 名学生进行经典
诗词诵背活动?并在活动之后举办经典诗词大赛.为了解本次系列活动的持续效果?学校团委在活动启动之初?
随机抽取部分学生调查其一周诗词诵背数量?根据调查结果绘制成的条形统计图和扇形统计图如图所示.
【整理、描述数据】
大赛结束后一个月?再次调查这部分学生一周诗词诵背数量?绘制成如下统计表:
大赛结束后部分学生一周诗词诵背数量的统计表
一周诗词背诵数量 ３ 首 ４ 首 ５ 首 ６ 首 ７ 首 ８ 首
人数 １６ ２４ ３２ ７８ ａ ３５
【分析数据】
平均数 中位数 众数
大赛之前 ５ ｂ ｃ
大赛之后 ６ ６ ６
—０１—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
请根据调查的信息解答下列问题:
(１)补全条形统计图.
(２)计算:ａ＝ ?ｂ＝ ?ｃ＝ .并估计大赛后一个月该校学生一周诗词诵背 ６ 首(含 ６ 首)
以上的人数.
(３)根据调查的相关数据?选择适当的统计量评价该校经典诗词诵背系列活动的效果.
解题点拨:(１)根据统计图中 ５ 首所在扇形的圆心角为 ６０°?可补全条形统计图.(２)根据样本容量 ２４０?可求出 ａ
的值?根据中位数、众数定义可求出 ｂ?ｃ 的值.(３)对比赛前后的平均数、中位数和众数进行比较.
解:(１)如答图.
答图
(２)ａ＝５５?ｂ＝４.５?ｃ＝４.
大赛后该校学生一周诗词诵背 ６ 首(含 ６ 首)以上的有 ３ ０００×７８
＋５５＋３５
２４０
＝ ２ １００(人) .
(３)由比赛前后的平均数、中位数和众数看?比赛后学生背诵诗词的积极性明显提高?这次举办后的效果比较理想(用数据进行比较) .
【例 ５】 某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围为 １７６ ~ １８５ ｍｍ 的产品为合
格)?随机各抽取了 ２０ 个样品进行检测?过程如下:(单位:ｍｍ)
【收集数据】
甲车间:１６８?１７５?１８０?１８５?１７２?１８９?１８５?１８２?１８５?１７４?１９２?１８０?１８５?１７８?１７３?１８５?１６９?１８７?１７６?１８０.
乙车间:１８６?１８０?１８９?１８３?１７６?１７３?１７８?１６７?１８０?１７５?１７８?１８２?１８０?１７９?１８５?１８０?１８４?１８２?１８０?１８３.
【整理数据】
组别
频数
１６５.５~１７０.５ １７０.５~１７５.５ １７５.５~１８０.５ １８０.５~１８５.５ １８５.５~１９０.５ １９０.５~１９５.５
甲车间 ２ ４ ５ ６ ２ １
乙车间 １ ２ ａ ｂ ２ ０
【分析数据】
车间 平均数 众数 中位数 方差
甲车间 １８０ ｃ １８０ ４３.１
乙车间 １８０ １８０ ｄ ２２.６
【应用数据】
(１)填空:ａ＝ ?ｂ＝ ?ｃ＝ ?ｄ＝ ?
(２)计算甲车间样品的合格率?
—１１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
(３)估计乙车间生产的 １ ０００ 个该款新产品中合格产品有多少个?
(４)结合上述数据信息?判断哪个车间生产的新产品更好?并说明理由.
解题点拨:(２)利用所列举的数据得出甲车间样品的合格率?(３)得出乙车间样品的合格产品数?算出乙车间样
品的合格率?进而得出答案?(４)利用平均数、方差的意义分别得出结论.
解:(１)ａ＝９?ｂ＝６?ｃ＝１８５?ｄ＝１８０.
(２)甲车间样品的合格率为:５
＋６
２０
×１００％ ＝５５％.
(３)∵乙车间样品的合格产品数为:２０－(１＋２＋２)＝ １５(个)?
∴乙车间样品的合格率为: １５
２０
×１００％ ＝７５％?
∴乙车间的合格产品数为:１ ０００×７５％ ＝７５０(个) .
(４)①乙车间合格率比甲车间高?所以乙车间生产的新产品更好?
②从样品的方差看?甲、乙平均数相等?且均在合格范围内?而乙的方差小于甲的方差?说明乙比较稳定?所以乙车间生产的新产品更好.
第 １ 题
１.为响应国家节能减排、垃圾分类政策?自 ２０１９ 年 １ 月 １ 日起??重庆市生活
垃圾分类管理办法?正式实施.该办法的实施?旨在加强生活垃圾分类管
理?提高生活垃圾减量化、资源化、无害化处置水平及推进生态文明建设.
某校学生处认为?九年级学生虽然学业任务重?但依然要加强垃圾分类意
识?为此?学校对初 ２０２０ 级甲、乙两班各 ６０ 名学生进行知识测试(满分 ６０
分)?测试完成后分别抽取了 １２ 份成绩?整理分析过程如下?请补充完整.
【收集数据】 甲班 １２ 名学生测试成绩统计如下:
４５?５９?６０?３８?５７?５３?５２?５８?６０?５０?４３?４９.
乙班 １２ 名学生测试成绩不低于 ４０?但低于 ５０ 分的成绩如下:
４６? ４７?４３? ４２? ４７.
【整理数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据:
组别 /频数 ３５≤ｘ<４０ ４０≤ｘ<４５ ４５≤ｘ<５０ ５０≤ｘ<５５ ５５≤ｘ≤６０
甲 １ １ ２ ３ ５
乙 ２ ２ ３ １ ４
【分析数据】
两组样本数据的平均数、众数、中位数、方差如下表:
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲 ５２ ｘ ５２.５ ５２.５４
乙 ４８.７ ４７ ｙ ６７.５１
(１)根据以上信息?可以求出:ｘ＝ ?ｙ＝ ?并补全频数分布直方图.
(２)若规定得分在 ４０ 分及以上为合格?请估计参加知识测试的学生中合格的学生共有多少人.
(３)你认为哪个班的学生知识测试的整体成绩较好? 请说明理由.
解:(１)ｘ＝６０?ｙ＝４７?补全直方图略.
(２) ２１
２４
×１２０＝ １０５(人) .
(３)由平均数、中位数和众数(写出具体数据进行比较)看甲班学生知识测试的整体成绩较好.
—２１—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
２.为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为 ４００ ｇ 奶粉的情况?质检员进行了抽样调查?过程如下.请补全表
一、表二中的空白?并回答提出的问题.
【收集数据】
从甲、乙包装机分装的奶粉中各自随机抽取 １０ 袋?测得实际质量(单位:ｇ)如下:
甲:４００?４００?４０８?４０６?４１０?４０９?４００?３９３?３９４?３９５. 乙:４０３?４０４?３９６?３９９?４０２?４０２?４０５?３９７?４０２?３９８.
【整理数据】 表一
质量 / ｇ
频数
种类
３９３≤ｘ<３９６ ３９６≤ｘ<３９９ ３９９≤ｘ<４０２ ４０２≤ｘ<４０５ ４０５≤ｘ<４０８ ４０８≤ｘ<４１１
甲 ３ ０ ０ １ ３
乙 ０ １ ５ ０
【分析数据】 表二
种类 平均数 中位数 众数 方差
甲 ４０１.５ ４００ ３６.８５
乙 ４００.８ ４０２ ８.５６
【得出结论】包装机分装情况比较好的是哪台包装机? 说明你的理由.
解:整理数据: 表一
质量 / ｇ
频数
种类
３９３≤ｘ<３９６ ３９６≤ｘ<３９９ ３９９≤ｘ<４０２ ４０２≤ｘ<４０５ ４０５≤ｘ<４０８ ４０８≤ｘ<４１１
甲 ３ ０ ３ ０ １ ３
乙 ０ ３ １ ５ １ ０
分析数据:
将甲组数据重新排列为:３９３?３９４?３９５?４００?４００?４００?４０６?４０８?４０９?４１０?∴甲组数据的中位数为 ４００.
乙组数据中 ４０２ 出现次数最多?有 ３ 次?∴乙组数据的众数为 ４０２.
表二
种类 平均数 中位数 众数 方差
甲 ４０１.５ ４００ ４００ ３６.８５
乙 ４００.８ ４０２ ４０２ ８.５６
得出结论:
由表二知?乙包装机分装的奶粉质量的方差小?分装质量比较稳定?
故包装机分装情况比较好的是乙.
３.?中学生体质健康标准?规定学生体质健康等级标准为:８６ 分及以上为优秀?７６ ~ ８５ 分为良好?６０ ~ ７５ 分为及
格?５９ 分及以下为不及格.某校抽取八年级学生人数的 １０％进行体质测试?测试结果如图所示.
第 ３ 题
—３１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
(１)在抽取的学生中不及格人数所占的百分比是 ４％ .
(２)小明计算出所抽取学生测试结果的平均分是:(９０＋８２＋６５＋４０) ÷４ ＝ ６９.２５.根据所学的统计知识判断小明
的计算是否正确?若不正确?请写出正确的算式并计算出结果.
(３)若抽取的学生中不及格学生的总分恰好等于某一个良好等级学生的分数?请估算出该校八年级学生中优
秀等级的人数.
解:(１)４％.
(２)不正确? 正确的算法为:９０×２０％＋８２×３２％＋６５×４４％＋４０×４％ ＝７４.４４.
(３)设不及格的人数为 ｘ 人?则 ７６≤４０ｘ≤８５.解得 １.９≤ｘ≤２.１２５.
∵ ｘ 为正整数?∴ ｘ＝２?
∴抽取的学生人数为:２÷４％ ＝５０(人)?
∴八年级学生中优秀等级的人数约为:５０×２０％÷１０％ ＝１００(人) .
４.在 ６ 月 ２６ 日“国际禁毒日”到来之际?某市教育局为了普及禁毒知识?提高禁毒意识?举办了“关爱生命?拒绝
毒品”的知识竞赛.某校七年级、八年级分别有 ３００ 人?现从中各随机抽取 ２０ 名同学的测试成绩进行调查分
折?成绩如下:
七年级
６８ ８８ １００ １００ ７９ ９４ ８９ ８５ １００ ８８
１００ ９０ ９８ ９７ ７７ ９４ ９６ １００ ９２ ６７
八年级
６９ ９７ ９１ ６９ ９８ １００ ９９ １００ ９０ １００
９９ ７９ ９７ １００ ９９ ９４ ７９ ９９ ９８ ７９
(１)根据上述数据?将下列表格补充完整.
【整理、描述数据】
分数段 ６０≤ｘ≤６９ ７０≤ｘ≤７９ ８０≤ｘ≤８９ ９０≤ｘ≤１００
七年级人数 ２ ２ ４ １２
八年级人数 ２ ２ １ １５
【分析数据】样本数据的平均数、中位数、满分率如下表:
年级 平均数 中位数 满分率
七年级 ９０.１ ９３
八年级 ９１.８
【得出结论】
(２)估计该校七年级、八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共 １３５ 人.
(３)你认为哪个年级掌握禁毒知识总体较好? 请说明理由.
解:(１)补全表格如下:
年级 平均数 中位数 满分率
七年级 ９０.１ ９３ ２５％
八年级 ９１.８ ９７.５ ２０％
(２)估计该校七年级、八年级学生在本次测试成绩中可以得到满分的人数共有:３００×(２５％＋２０％)＝ １３５(人)?故答案为:１３５.
(３)八年级掌握禁毒知识总体较好.
∵八年级的平均成绩比七年级高?说明八年级平均水平高?且八年级成绩的中位数比七年级大?说明八年级的得高分人数多于七年级?
∴八年级掌握禁毒知识总体较好.
—４１—
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???????? 中考专题训练二———统计和概率问题
５.下面的图表是某校从今年参加体育中考男生 １ ０００ 米跑、女生 ８００ 米跑的成绩中分别抽取的 １０ 个数据.
考生编号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０
男生成绩 ３′０５″ ３′１１″ ３′５３″ ３′１０″ ３′５５″ ３′３０″ ３′２５″ ３′１９″ ３′２７″ ３′５５″
第 ５ 题
(１)求出这 １０ 名女生成绩的中位数、众数.
(２)?云南省中考学科说明———体育?规定?女生 ８００
米跑成绩不超过 ３′３８″就可以得满分.该校参加体
育中考的学生有 ４９０ 人?男生比女生少 ７０ 人. 请
你根据上面抽样的结果?估算该校考生中有多少
名女生该项考试得满分.
(３)若男考生 １ 号和 １０ 号同时同地同向围着 ４００ 米
跑道起跑?在 １ ０００ 米跑的过程中?他们能否首次
相遇? 如果能相遇?求出所需时间?如果不能相
遇?说明理由.
解:(１)女生的中位数、众数分别是 ３′２１″?３′１０″.
(２)设男生有 ｘ 人?女生有(ｘ＋７０)人.
由题意?得 ｘ＋ｘ＋７０＝４９０.解得 ｘ＝２１０.
女生有:ｘ＋７０＝２１０＋７０＝ ２８０(人) .女生得满分人数为:２８０× ８
１０
×１００％ ＝２２４(人) .
(３)假设经过 ｘ 分钟后?１ 号与 １０ 号在 １ ０００ 米跑中能首次相遇.
根据题意?得１０００
３
５
６０
ｘ－ １０００
３
５５
６０
ｘ＝４００.整理?得 ３００ｘ＝１ ７３９.解得 ｘ≈５.８.
又∵５′４８″>３′０５″?∴考生 １ 号与 １０ 号在 １ ０００ 米跑中不能首次相遇.
６.市教科院想了解我市中考数学试题中统计题的得分情况?从甲、乙两所学校各随机抽取了 ２０ 名学生?了解他
们的得分情况.(该题满分 １０ 分?学生得分均为整数)
甲学校 ２０ 名学生得分(单位:分)分别为:
第 ６ 题
７?７?８?９?８?６?７?８?８?１０?７?９?６?８?７?８?９?７?８?９.
乙学校 ２０ 名学生学生得分的条形统计图如右图所示.
经过对两校这 ２０ 名学生得分的整理?得到分析数据如下表:
组别 极差 平均分 中位数 方差
甲 ４ ｂ ８ １.０５
乙 ａ ７.８ ｃ ２.４６
(１)求出表中的 ａ?ｂ?ｃ 的值.
(２)若该题得分 ８ 分及其以上即为优秀?已知甲学校有 １ ２００ 人?请
估算甲学校的优秀人数有多少人.
(３)根据以上数据?你觉得甲、乙两所学校哪所学校的学生统计题完成得比较好? 请说明理由.
解:(１)ａ＝５?ｂ＝７.８?ｃ＝７.５.
(２)由题意?得 １ ２００× １２
２０
＝ ７２０(人) .
即甲学校的优秀人数有 ７２０ 人.
(３)甲校统计题完成得比较好?理由:①甲、乙的平均分都为 ７.８ 分?说明平均水平相同?
②甲校中位数为 ８?乙校中位数为 ７.５.甲的中位数大于乙的中位数.说明甲校整体优秀的同学多?
③甲的方差 １.０５?乙的方差 ２.４６?甲的方差小于乙的方差?说明甲校得分离散程度小.
—５１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
７.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数.对国家创新指数得分排名前 ４０ 的国家的
有关数据进行收集、整理、描述和分析.下面给出了部分信息:
ａ.国家创新指数得分的频数分布直方图如图 １ 所示(数据分成 ７ 组:３０≤ｘ<４０?４０≤ｘ<５０?５０≤ｘ<６０?６０≤ｘ<
７０?７０≤ｘ<８０?８０≤ｘ<９０?９０≤ｘ≤１００) .
第 ７ 题
ｂ.国家创新指数得分在 ６０≤ｘ<７０ 这一组的是:
６１.７?６２.４?６３.６?６５.９?６６.４?６８.５?６９.１?６９.３?６９.５.
ｃ.４０ 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图如图 ２ 所示.
ｄ.中国的国家创新指数得分为 ６９.５.
[以上数据来源于?国家创新指数报告(２０１８)?]
根据以上信息?回答下列问题:
(１)中国的国家创新指数得分排名世界第 .
(２)在 ４０ 个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中?包括中国在内的少数几个国家所
对应的点位于虚线 ｌ１ 的上方.请在图中用“○”圈出代表中国的点.
(３)在国家创新指数得分比中国高的国家中?人均国内生产总值的最小值约为 万美元(结果保留一
位小数) .
(４)下列推断合理的是 .
①相比于点 Ａ?Ｂ 所代表的国家?中国的国家创新指数得分还有一定差距?中国提出“加快建设创新型国
家”的战略任务?进一步提高国家综合创新能力?
②相比于点 Ｂ?Ｃ 所代表的国家?中国的人均国内生产总值还有一定差距?中国提出“决胜全面建成小康社
会”的奋斗目标?进一步提高人均国内生产总值.
解:(１)１７
(２)如答图.
答图
(３)２.７
(４)①②
—６１—
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???????? 中考专题训练三———三角函数应用型问题
中考专题训练三———三角函数应用型问题
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锐角三角函数是解决实际问题时的一个非常重要的工具?是历年中考的热点?也是每年中考的必考点.
从试题题目背景来看?主要涉及以下三类:(１)坡度、坡角问题?(２)仰角、俯角问题?(３)方位角问题.从解题
方法来看?此类题目可分为两类:(１)直接计算型问题?(２)方程计算型问题.解决三角函数应用问题?需具
备以下两个基本能力:(１)能根据题意把实际背景抽象成数学模型?进而能够准确找出要求解的直角三角
形(往往通过“引垂线法”来构造)?(２)熟练掌握解直角三角形的基本原则与方法.
对于任意一个直角三角形?可以把其三条边(长度)和三个角(度数或三角函数值)看成是六大元素?
要想准确计算出其中每一个量?那么题目中至少需要给定六元素中的两个量作为条件且其中必须有一个
条件是边长.
在解决此类常规问题的过程中?往往会借助两个或三个直角三角形?一般来说其中一类直角三角形要
围绕坡角、仰(俯)角或者题目条件中的某个特殊角来构造?另一类直角三角形要围绕题目参考数据中的一
般角来构造.在计算时?首选从具备两个条件的三角形入手解决(往往是给定一条边长＋一个角的三角函数
值)?进而为计算第二个直角三角形提供必需的条件.当我们发现计算某个直角三角形条件不够时?此类问
题就应考虑利用方程思想来解决了.
坡度、坡角问题
第(１)题
【例 １】 (１)如图?在△ＡＢＣ 中?∠Ｂ＝ ３０°?ＡＣ＝ ２?ｃｏｓ Ｃ＝ ３
５
?则 ＡＢ 边的长为
１６５ .
(２)“行千里?致广大”?“千里”为“重”?“广大”为“庆” .这是重庆向世界发出的旅游
邀请.如图?某斜坡上有一立柱 ＥＧ?在立柱的上方是关于重庆的宣传屏 ＥＦ.在 Ａ 处测得
该宣传屏顶部 Ｅ 处的仰角为 ４５°?从 Ａ 沿坡度为 ５
１２
的斜坡 ＡＣ 行走 ６５ 米至 Ｃ 处?在 Ｃ
第(２)题
处测得宣传屏底部 Ｆ 处的仰角为 ７６°.已知 ＣＤ 与水平面 ＡＢ 平行?ＥＧ 与 ＣＤ 垂直?
且 ＥＦ＝ ２ 米?则该宣传立柱 ＥＧ 的高为(参考数据:ｓｉｎ ７６°≈０.９７?ｃｏｓ １４°≈０.２４?
ｔａｎ ７６°≈４) ( Ｂ )
Ａ.４４ 米 Ｂ.４６ 米 Ｃ.６９ 米 Ｄ.７１ 米
解题点拨:三角函数值的应用或坡度与坡角的利用?核心都是引垂线构造直角三角
形.(１)小题过点 Ａ 作 ＢＣ 的垂线后即可用解直角三角形知识与勾股定理解答?
(２)小题中?过点 Ｃ 作 ＡＢ 的垂线段?同时延长 ＥＧ 交 ＡＢ 于点 Ｈ?即可构造直角三角
形关联已知角与边长?从而解答出本题.
答图
【解析】(１)过点 Ａ 作 ＡＤ⊥ＢＣ 于点 Ｄ.∵ｃｏｓ Ｃ＝ＣＤ
ＡＣ
＝ ３
５
?ＡＣ＝２?∴ＣＤ＝ ６
５
.由勾股定理?得 ＡＤ＝ ８
５
.
又∵∠Ｂ＝３０°?∴ＡＢ＝２ＡＤ＝ １６
５
.
(２)如答图?过点 Ｃ 作 ＣＭ⊥ＡＢ 于点 Ｍ?延长 ＥＧ 交 ＡＢ 于点 Ｈ.
∵ＣＭ ∶ ＡＭ＝５ ∶ １２?∴ＣＭ ∶ ＡＣ＝５ ∶ １３.
又 ＡＣ＝６５ ｍ?∴ＣＭ＝２５ ｍ?ＡＭ＝６０ ｍ.
设 ＣＧ＝ＭＨ＝ｘ ｍ.在 Ｒｔ△ＣＧＦ 中?∵ｔａｎ∠ＦＣＧ≈４?∴ＦＧ＝４ｘ ｍ?∴ＥＨ＝(２７＋４ｘ)ｍ.
又∵ＡＨ＝(６０＋ｘ)ｍ?ＡＨ＝ＥＨ?∴２７＋４ｘ＝６０＋ｘ?∴ ｘ＝１１?∴ＥＧ＝ＥＦ＋ＦＧ＝４６ ｍ.
故选 Ｂ.
—７１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
方法总结:对于含有坡度、坡角的三角函数问题?首先必须理解坡度、坡角的定义?坡度切记不能理解为角的度
数.对于题目中出现的角的度数和一些重要的线段等都要放到直角三角形中?这些核心思想也是解题的关键.具
体计算时?设未知数列方程是常用的解题策略.
仰角、俯角问题
【例 ２】 如图?高 ３６ 米的楼房 ＡＢ 正对着斜坡 ＣＤ?点 Ｅ 在斜坡 ＣＤ 的中点处?已知
∠ＤＣＧ＝ ３０°?ＡＢ⊥ＢＣ.点 Ａ?Ｂ?Ｃ?Ｄ?Ｅ?Ｇ 均在同一个平面内?从点 Ｅ 处测得楼顶 Ａ 的仰
角 α 为 ３７°?楼底 Ｂ 的俯角 β 为 ２４°?则点 Ａ?Ｅ 之间的距离 ＡＥ 长为 ( Ｃ )
(精确到十分位?参考数据:ｃｏｓ ３７°≈０.８０?ｔａｎ ３７°≈０.７５?ｔａｎ ２４°≈０.４５?ｃｏｓ ２４°≈０.９１)
Ａ.２２.５ 米 Ｂ.２４.０ 米
Ｃ.３７.５ 米 Ｄ.４０.０ 米
解题点拨:过点 Ｅ 作 ＥＭ⊥ＡＢ 于点 Ｍ?设 ＭＥ ＝ ｘ 米?根据三角函数得出 ＡＭ ＝ ｔａｎ α????ｘ?
ＢＭ＝ ｔａｎ β????ｘ?由ｔａｎ α????ｘ＋ｔａｎ β????ｘ＝ ３６?即可求得 ＥＭ 的长?然后通过余弦函数即可求得 ＡＥ.
答图
【解析】如答图?过点 Ｅ 作 ＥＭ⊥ＡＢ 于点 Ｍ.
∵ＥＭ∥ＢＣ?设 ＭＥ＝ｘ 米?∴ＡＭ＝ｔａｎ α????ｘ?ＢＭ＝ｔａｎ β????ｘ.
∵ＡＢ＝３６ 米?∴ｔａｎ α????ｘ＋ｔａｎ β????ｘ＝３６?
∴ｔａｎ ３７°ｘ＋ｔａｎ ２４°ｘ＝３６?即 ０.７５ｘ＋０.４５ｘ＝３６.
解得 ｘ＝３０.∴ＡＥ＝ ＥＭ
ｃｏｓ ３７°
≈ ３０
０.８０
＝ ３７.５(米) .
故答案选 Ｃ.
方法总结:对于含有仰角、俯角的三角函数问题?首先必须理解仰角、俯角、正弦函数、
余弦函数和正切函数的定义?到底是哪两边之比一定不能混淆.对于题目中出现的角的
度数和一些重要的线段等都要放到直角三角形中?这些核心思想也是解题的关键.
方位角问题
【例 ３】 已知 Ｂ 港口位于 Ａ 观测点北偏东 ５３.２°方向?且其到 Ａ 观测点正北方向的
距离 ＢＤ 的长为 １６ ｋｍ.一艘货轮从 Ｂ 港口以 ４０ ｋｍ / ｈ 的速度沿如图所示的 ＢＣ 方
向航行?１５ ｍｉｎ 后达到 Ｃ 处.现测得 Ｃ 处位于 Ａ 观测点北偏东 ７９.８°方向?则此时
货轮与 Ａ 观测点之间的距离 ＡＣ 的长约为(精确到 ０.１ ｋｍ?参考数据:ｓｉｎ ５３.２°≈
０.８０?ｃｏｓ ５３.２°≈０.６０?ｓｉｎ ７９.８°≈０.９８?ｃｏｓ ７９.８°≈０.１８?ｔａｎ ２６.６°≈０.５０? ２ ≈
１.４１? ５≈２.２４) ( Ｃ )
Ａ.１２ ｋｍ Ｂ.１３ ｋｍ Ｃ.１３.４ ｋｍ Ｄ.１３.９ ｋｍ
解题点拨:在 Ｒｔ△ＡＤＢ 中?由 ｓｉｎ∠ＤＡＢ＝ＤＢ
ＡＢ
?得出 ＡＢ 的长?从而得出 ｔａｎ∠ＢＡＨ ＝ ＢＨ
ＡＨ
?求出 ＢＨ 的长?即可得出
ＡＨ 以及 ＣＨ 的长?进而求得 ＡＣ 的长.
【解析】由路程＝速度×时间?得 ＢＣ＝４０× １５
６０
＝ １０(ｋｍ) .
答图
在 Ｒｔ△ＡＤＢ 中?ｓｉｎ∠ＤＡＢ＝ＤＢ
ＡＢ
?ｓｉｎ ５３.２°≈０.８?∴ＡＢ＝ ＤＢ
ｓｉｎ∠ＤＢＡ
≈ １６
０.８
＝ ２０(ｋｍ) .
如答图?过点 Ｂ 作 ＢＨ⊥ＡＣ?交 ＡＣ 的延长线于点 Ｈ.
在 Ｒｔ△ＡＨＢ 中?∠ＢＡＨ＝∠ＤＡＣ－∠ＤＡＢ＝７９.８°－５３.６° ＝２６.６°?
∴ｔａｎ∠ＢＡＨ＝ＢＨ
ＡＨ
?０.５＝ＢＨ
ＡＨ
?∴ＡＨ＝２ＢＨ.
又∵ＢＨ２＋ＡＨ２ ＝ＡＢ２?即 ＢＨ２＋(２ＢＨ) ２ ＝２０２?解得 ＢＨ＝４ ５ ｋｍ?∴ＡＨ＝８ ５ ｋｍ.
在 Ｒｔ△ＢＣＨ 中?ＢＨ２＋ＣＨ２ ＝ＢＣ２?即(４ ５ ) ２＋ＣＨ２ ＝１０２?解得 ＣＨ＝２ ５ ｋｍ.
∴ＡＣ＝ＡＨ－ＣＨ＝８ ５ －２ ５ ＝ ６ ５≈１３.４(ｋｍ) .
即此时货轮与 Ａ 观测点之间的距离 ＡＣ 的长约为 １３.４ ｋｍ.
方法总结:对于含有方位角的三角函数问题?首先必须理解方位角的定义?同时要掌握锐角三角函数的定义.对
于题目中出现的角的度数和一些重要的线段等都要放到直角三角形中?这些核心思想也是解题?特别是作辅助
线的关键.
—８１—
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???????? 中考专题训练三———三角函数应用型问题
１.如图?某风景区在坡度(或坡比) ｉ＝ ７ ∶ ２４ 的斜坡 ＡＢ 上有一座标志性建筑物 ＢＣ?在点 Ａ 处测得建筑物顶部 Ｃ
的仰角为 ３１°?斜坡 ＡＢ 的长度为 １００ 米?则这座建筑物 ＢＣ 的高度约为(精确到 ０.１ 米?参考数据:ｓｉｎ ３１°≈
０.５２?ｔａｎ ３１°≈０.６０) ( Ｂ )
Ａ.２１.９ 米 Ｂ.２９.６ 米 Ｃ.３５.０ 米 Ｄ.５７.６ 米
第 １ 题
第 ２ 题
第 ３ 题
２.如图?一艘船由 Ａ 港沿北偏东 ６５°方向航行 ３０ ２ ｋｍ 至 Ｂ 港?然后再沿北偏西 ４０°方向航行至 Ｃ 港?Ｃ 港在 Ａ
港北偏东 ２０°方向?则 Ａ?Ｃ 两港之间的距离为 ( Ｂ )
Ａ.(３０＋３０ ３ )ｋｍ Ｂ.(３０＋１０ ３ )ｋｍ Ｃ.(１０＋３０ ３ )ｋｍ Ｄ.(３０ ３ )ｋｍ
３.如图?某电动摩托车夜行灯 Ａ 射出的光线 ＡＢ?ＡＣ 与地面 ＭＮ 的夹角分别为 １０°和 １４°?且夜行灯两次照亮地面
的宽度 ＢＣ 长为１４
９
米?则该摩托车夜行灯 Ａ 距离地面的高度为 ( Ｃ )
参考数据:ｓｉｎ １０°≈ １７
１００
?ｔａｎ １０°≈ ９
５０
?ｓｉｎ １４°≈ ６
２５
?ｔａｎ １４°≈ １
４
?
è
?
?
?
÷
Ａ.０.８ 米 Ｂ.０.９ 米 Ｃ.１ 米 Ｄ.１.１ 米
４.我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物 ＣＤ 的高度?如图?建筑物 ＣＤ 前有一段坡度为 ｉ ＝ １ ∶ ２ 的斜坡 ＢＥ?小
明同学站在山坡上的 Ｂ 点处?用测角仪测得建筑物屋顶 Ｃ 的仰角为 ３７°?接着小明又向下走了 ４ ５米?刚好到
达坡底 Ｅ 处?这时测到建筑物屋顶 Ｃ 的仰角为 ４５°?点 Ａ?Ｂ?Ｃ?Ｄ?Ｅ?Ｆ 在同一平面内.若测角仪的高度 ＡＢ ＝
ＥＦ＝ １.５ 米?则建筑物 ＣＤ 的高度约为(精确到 ０.１ 米?参考数据:ｓｉｎ ３７°≈０.６０?ｃｏｓ ３７°≈０.８０?ｔａｎ ３７°≈０.７５)
( Ｄ )
Ａ.３８.５ 米 Ｂ.３９.０ 米 Ｃ.４０.０ 米 Ｄ.４１.５ 米
第 ４ 题
第 ５ 题
第 ６ 题
５.鹅岭公园是重庆最早的私家园林?前身为礼园?是国家级 ＡＡＡ 旅游景区.园内有一瞰胜楼?登上高楼能欣赏到
重庆的优美景色.周末某同学游览鹅岭公园?如图?在 Ａ 点处观察到瞰胜楼楼底 Ｃ 的仰角为 １２°?楼顶 Ｄ 的仰
角为 １３°?ＢＣ 是一斜坡?测得点 Ｂ 与 ＣＤ 之间的水平距离 ＢＥ ＝ ４５０ 米?ＢＣ 的坡度 ｉ ＝ ８ ∶ １５?则瞰胜楼的高度
ＣＤ 约为(参考数据:ｔａｎ １２°≈０.２?ｔａｎ １３°≈０.２３) ( Ｃ )
Ａ.３４ 米 Ｂ.３５ 米 Ｃ.３６ 米 Ｄ.３７ 米
６.如图?某游客去游览缙云山?在点 Ａ 处坐缆车出发?沿 Ａ→Ｂ→Ｃ 的路线可至售票处 Ｃ?假设 ＡＢ 和 ＢＣ 都是直线
段?已知在 Ａ 处看 Ｃ 处的仰角为 ３７°?在 Ｂ 处看 Ｃ 处的仰角为 ５３°?ＡＢ 的坡度 ｉ＝ １
２
?且 ＢＣ＝ ２ ０００ 米?则 Ａ 处到
—９１—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
Ｃ 处的直线距离是 参考数据:ｓｉｎ ３７°≈ ３
５
?ｃｏｓ ３７°≈ ４
５
?ｔａｎ ３７°≈ ３
４
?
è
?
?
?
÷ ( Ｃ )
Ａ.４ ０００ 米 Ｂ.４ ５００ 米 Ｃ.５ ０００ 米 Ｄ.５ ５００ 米
７.如图?在同一水平面从左往右依次是大厦、别墅、小山?小彬为了测得小山的高度?在大厦的楼顶 Ｂ 点处测得
山顶 Ｃ 的俯角∠ＧＢＣ＝ １３°?在别墅的大门 Ａ 点处测得大厦的楼顶 Ｂ 点的仰角∠ＢＡＯ＝ ３５°?山坡 ＡＣ 的坡度 ｉ＝
１ ∶ ２?大厦高 ＯＢ＝ ３５０ 米?则山顶 Ｃ 的垂直高度约为 ( Ａ )
(精确到 ０.１ 米?参考数据:ｓｉｎ １３°≈０.２２?ｔａｎ １３°≈０.２３?ｓｉｎ ３５°≈０.５７?ｔａｎ ３５°≈０.７０)
Ａ.１６１.０ 米 Ｂ.１１６.４ 米 Ｃ.１０６.８ 米 Ｄ.７６.２ 米
第 ７ 题
第 ８ 题
第 ９ 题
８.某航拍兴趣小组同学借无人机航拍测量某古塔 ＡＢ 的高度.如图?无人机在距离地面 １６８ 米的 Ｃ 处?测得该塔
底端点 Ａ 的俯角为 ４０°?然后向古塔方向沿水平面飞行 ５０ 秒到达点 Ｄ 处?此时测得该塔顶端点 Ｂ 的俯角为
６０°.已知无人机的飞行速度为 ３ 米 /秒?则这座古塔的高度约为 ８１.５ 米.(结果精确到 ０.１ 米?参考数据:
ｓｉｎ ４０°≈０６４?ｃｏｓ ４０°≈０７７?ｔａｎ ４０°≈０.８４? ２≈１.４１? ３≈１.７３)
９.如图?在中俄“海上联合—２０１９”反潜演习中?我军舰 Ａ 测得潜艇 Ｃ 的俯角为 ２７°?测得 ＡＣ 的距离为 ６２５ 米.位于
军舰 Ａ 正上方的反潜直升机 Ｂ 测得潜艇 Ｃ 的俯角为 ６８°.潜艇 Ｃ 离开海平面的下潜深度为 ＣＥ(ＣＥ 垂直于海平
面)?连接 ＢＥ?则 ＢＥ 的长度为 １ １００ 米.(结果保留整数?参考数据:ｓｉｎ ６８°≈０.９?ｃｏｓ ６８°≈０.４?ｔａｎ ６８°≈２.５?
５≈２.２?ｓｉｎ ２７°≈０.４?ｔａｎ ２７°≈０.５)
第 １０ 题
１０.如图 １ 所示是一种折叠门?由上下轨道和两扇长宽相等的活页
门组成?整个活页门的右轴固定在门框上?通过推动左侧活页
门开关.图 ２ 是其俯视图简化示意图.已知轨道 ＡＢ ＝ １２０ ｃｍ?两
扇活页门的宽 ＣＯ＝ＯＢ＝ ６０ ｃｍ?点 Ｂ 固定?当点 Ｃ 在 ＡＢ 上左右
运动时?ＯＣ 与 ＯＢ 的长度不变.(所有结果保留小数点后一位)
(１)若∠ＯＢＣ＝ ５０°?求 ＡＣ 的长?
(２)当点 Ｃ 从点 Ａ 向右运动 ６０ ｃｍ 时?求点 Ｏ 在此过程中运动
的路径长.
(参考数据:ｓｉｎ ５０°≈０.７７?ｃｏｓ ５０°≈０.６４?ｔａｎ ５０°≈１.１９?π 取 ３.１４)
答图 １
解:(１)如答图 １?作 ＯＨ⊥ＡＢ 于点 Ｈ.
∵ＯＣ＝ＯＢ＝６０ ｃｍ?∴ＣＨ＝ＢＨ.
在 Ｒｔ△ＯＢＨ 中?
∵ｃｏｓ∠ＯＢＣ＝ＢＨ
ＯＢ
?
∴ＢＨ＝ＯＢ????ｃｏｓ ５０°≈６０×０.６４＝ ３８.４(ｃｍ)?
∴ＡＣ＝ＡＢ－２ＢＨ≈１２０－２×３８.４＝ ４３.２(ｃｍ) .
∴ＡＣ 的长约为 ４３.２ ｃｍ.
答图 ２
(２)如答图 ２.∵ＡＣ＝６０ ｃｍ?∴ＢＣ＝６０ ｃｍ.
∵ＯＣ＝ＯＢ＝６０ ｃｍ.
∴ＯＣ＝ＯＢ＝ＢＣ＝６０ ｃｍ.
∴△ＯＢＣ 是等边三角形?
∴ＯＣ
(
的长＝ ６０π
×６０
１８０
≈２０×３.１４＝ ６２.８(ｃｍ) .
∴点 Ｏ 在此过程中运动的路径长约为 ６２.８ ｃｍ.
—０２—
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???????? 中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题
中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题
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１.根据题目中出现的“最多”“至少”“不超过”“不低于”等不等关系?建立不等式来解决问题.
２.对于求未知数的值?应从题目中整理出等量关系?列方程进行求解.
３.对于有百分数的题目?可以用换元法来简化计算.
４.有时需借助辅助元表示整体数量?其中辅助元可设成单位“１”?也可设成某个字母.
５.列分式方程解应用题一定要检验.
６.有时先要建立一元一次方程求出某个关键数量?再列一元二次方程求解未知数.
７.对于参数含有百分数的一元二次方程?若结果含两个正解?需带进题目中检验哪个解符合题意.
第一课时———方程与不等式的应用(１)
一元一次方程与一元二次方程的应用
【例 １】 ５ 月某超市推出了 Ａ?Ｂ 两种粽子礼盒?５ 盒 Ａ 礼盒与 １０ 盒 Ｂ 礼盒的总售价为 １ ６００ 元?其中 Ａ 礼盒比 Ｂ
礼盒每盒贵 ２０ 元.
(１)Ａ 礼盒的售价是多少元?
(２)５ 月 Ａ 礼盒的销售量为 ８００ 盒?Ｂ 礼盒的销售量为 １ ３００ 盒.为回馈客户?６ 月时?Ａ 礼盒的销售价格比 ５
月的价格下调 ５ａ 元?Ａ 礼盒的销售量比 ５ 月的销售量增加了 ａ
３０
?６ 月 Ｂ 礼盒的销售价格比 ５ 月的价格下调了
ａ
９０
?Ｂ 礼盒的销售量比 ５ 月的销售量增加了 １４０ 盒?最终 ６ 月 Ａ 礼盒的销售总额比 Ｂ 礼盒的销售总额少了
４８ ０００元?求 ａ 的值.
解题点拨:本题考查一元一次方程和一元二次方程?根据题意建立一元一次方程和一元二次方程正确求解是本
题的难点.
解:(１)设 Ａ 礼盒的售价为 ｘ 元.由题意?得 ５ｘ＋１０(ｘ－２０)＝ １ ６００.解得 ｘ＝１２０.
答:Ａ 礼盒的售价为 １２０ 元.
(２)由题意?得(１２０－５ａ)????８００ １＋ ａ
３０( ) ＝１００ １－ ａ９０( ) ????(１ ３００＋１４０)－４８ ０００.
化简?得 ａ２－６ａ＝０.解得 ａ１ ＝０(舍去)?ａ２ ＝６.
答:ａ 的值为 ６.
方法总结:审题时一定要看清楚增长的是几分之几?还是实际的量.
分式方程与一元二次方程的应用
【例 ２】 某环保公司研发了甲、乙两种智能设备?可利用最新技术将干垃圾进行分选破碎制成固化成型燃料棒?干
垃圾由此变身新型清洁燃料.某垃圾处理厂从环保公司购入以上两种智能设备若干?已知购买甲型智能设备花费
３６０ 万元?购买乙型智能设备花费 ４８０ 万元?购买两种设备的数量相同?且两种智能设备的单价和为 １４０ 万元.
(１)求甲、乙两种智能设备的单价.
(２)垃圾处理厂利用智能设备生产燃料棒?并将产品出售.已知燃料棒的成本由人力成本和物资成本两部分
组成?其中物资成本占总成本的 ４０％?且生产每吨燃料棒所需人力成本比物资成本的 ５
４
倍还多 １０ 元.调查发现?
—１２—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
若燃料棒售价为每吨 ２００ 元?平均每天可售出 ３５０ 吨?而当销售价每降低 １ 元?平均每天可多售出 ５ 吨.垃圾处
理厂想使这种燃料棒的销售利润平均每天达到 ３６ ０８０ 元?且保证售价在每吨 ２００ 元基础上降价幅度不超过
８％?问每吨燃料棒售价应为多少元?
解题点拨:本题考查分式方程和一元二次方程?根据题意建立分式方程和一元二次方程正确求解是本题的难点.
解:(１)设甲种智能设备的单价为 ｘ 万元?则乙种智能设备的单价为(１４０－ｘ)万元.
由题意?得３６０
ｘ
＝ ４８０
１４０－ｘ
.解得 ｘ＝６０.
经检验?ｘ＝６０ 是所列方程的根.
答:甲种智能设备的单价 ６０ 万元?乙种智能设备的单价 ８０ 万元.
(２)设每吨燃料棒成本为 ａ 元?则其物资成本为 ４０％ａ 元.由题意?得 ａ－４０％ａ＝ ５
４
×４０％ａ＋１０.解得 ａ＝１００.
设每吨燃料棒在 ２００ 元基础上降价 ｘ 元.
由题意?得(２００－ｘ－１００)(３５０＋５ｘ)＝ ３６ ０８０.解得 ｘ１ ＝１２?ｘ２ ＝１８.
∵ ｘ≤２００×８％ ＝１６?∴ ｘ＝１２?则 ２００－ｘ＝１８８.
答:每吨燃料棒售价应为 １８８ 元.
方法总结:列分式方程解应用题一定要检验?另外?审题时一定要看清楚是增长还是降低.
一元二次方程中的增长率问题
【例 ３】 在某市组织的大型商业演出活动中?对团体购买门票实行优惠?决定在原定票价基础上每张降价 ８０ 元?
这样按原定票价需花费 ６ ０００ 元购买的门票张数?现在只花费了 ４ ８００ 元.
(１)求每张门票的原定票价?
(２)根据实际情况?活动组织单位决定对于个人购票也采取优惠政策?原定票价经过连续两次降价后降为
３２４ 元?求平均每次降价的百分率.
解:(１)设每张门票的原定票价为 ｘ 元?则现在每张门票的票价为(ｘ－８０)元.
根据题意?得６ ０００
ｘ
＝ ４ ８００
ｘ－８０
.解得 ｘ＝４００.经检验?ｘ＝４００ 是原方程的根.
答:每张门票的原定票价为 ４００ 元.
(２)设平均每次降价的百分率为 ｙ.
根据题意?得 ４００(１－ｙ) ２ ＝３２４.解得 ｙ１ ＝０.１?ｙ２ ＝１.９(不合题意?舍去) .
答:平均每次降价 １０％.
方法总结:本题考查了一元二次方程与分式方程的应用?解题关键是要读懂题目的意思?根据题目给出的条件?
找出合适的等量关系?列出方程?再求解.
一元一次方程与一元一次不等式(组)的应用
【例 ４】 某超市销售有甲、乙两种商品?甲商品每件进价 １０ 元?售价 １５ 元?乙商品每件进价 ３０ 元?售价 ４０ 元.
(１)若该超市一次性购进两种商品共 ８０ 件?且恰好用去 １ ６００ 元?问购进甲、乙两种商品各多少件?
(２)若该超市要使两种商品共 ８０ 件的购进费用不超过 １ ６４０ 元?且总利润(利润＝售价－进价)不少于 ６００ 元?
请你帮助该超市设计相应的进货方案?并指出使该超市利润最大的方案.
解:(１)设该超市购进甲商品 ｘ 件?则购进乙商品(８０－ｘ)件.
根据题意?得 １０ｘ＋３０(８０－ｘ)＝ １ ６００.解得 ｘ＝４０.则 ８０－ｘ＝４０.
答:购进甲、乙两种商品各 ４０ 件.
(２)设该超市购进甲商品 ｙ 件?乙商品(８０－ｙ)件.
由题意?得
１０ｙ＋３０(８０－ｙ)≤１ ６４０?
５ｙ＋１０(８０－ｙ)≥６００.{ 解得 ３８≤ｙ≤４０.
∵ ｙ 为正整数?∴ ｙ＝３８?３９?４０?则 ８０－ｙ＝４２?４１?４０.
进而利润分别为 ５×３８＋１０×４２＝ ６１０(元)?５×３９＋１０×４１＝ ６０５(元)?５×４０＋１０×４０＝ ６００(元) .
答:该超市利润最大的方案是购进甲商品 ３８ 件?乙商品 ４２ 件.
方法总结:本题考查了一元一次方程、一元一次不等式组的应用?解决本题的关键是根据题意列出方程和不
等式.
—２２—
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１.２０１９ 年?中央全面落实“稳房价”的长效管控机制?重庆房市较上一年大幅降温. １１ 月?ＬＨ 地产共推出了大平
层和小三居两种房型共 ８０ 套?其中大平层每套面积 １８０ ｍ２?单价 １.８ 万元 / ｍ２?小三居每套面积 １２０ ｍ２?单价
１.５ 万元 / ｍ２ .
(１)ＬＨ 地产 １１ 月的销售总额为 １８ ７２０ 万元?问 １１ 月要推出多少套大平层房型?
(２)２０１９ 年 １２ 月?中央经济会议上重申 “房子是拿来住的?不是拿来炒的”后?重庆房市成功稳定并略有回
落.为年底清盘促销?ＬＨ 地产调整了营销方案? １２ 月推出两种房型的总数量仍为 ８０ 套?并将大平层的单
价在原有基础上每平方米下调
ｍ
１０
万元(ｍ>０)?将小三居的单价在原有基础上每平方米下调ｍ
２０
万元?这样
大平层的销量较(１)中 １１ 月的销量上涨了 ７ｍ 套?且推出的房屋全部售罄?结果 １２ 月的销售总额恰好与
(１)中 １１ 月的销售总额相等.求 ｍ 的值.
解:(１)设 １１ 月要推出 ｘ 套大平层房型.
由题意?得 １８０×１.８ｘ＋１２０×１.５(８０－ｘ)＝ １８ ７２０.解得 ｘ＝３０.
答: １１ 月要推出 ３０ 套大平层房型.
(２)根据题意?得 １８０ １.８－
ｍ
１０( ) ????(３０＋７ｍ)＋１２０ １.５－ ｍ２０( ) ????(８０－３０－７ｍ)＝ １８ ７２０.
整理?得 ｍ２－２ｍ＝０.解得 ｍ１ ＝２?ｍ２ ＝０(舍去) .
答:ｍ 的值为 ２.
２.电动平衡车依靠人体重心的改变便可以实现车辆的启动、加速、减速、停止等动作?是现代人用来作为代步工
具、休闲娱乐的一种新型的绿色环保的产物.纳恩博科技有限公司推出一款 Ａ 型双轮和一款 Ｂ 型独轮的电动
平衡车.Ａ 型车每台售价是 Ｂ 型车每台售价的 ７
６
倍.３ 月份 Ａ?Ｂ 型平衡车总计销售 ６００ 台?Ａ 型车销售额为
８４０ ０００元?Ｂ 型车销售额为 １ ０８０ ０００ 元.
(１)Ａ?Ｂ 型平横车的售价是多少元?
(２)由于更多的公司研发出平衡车投入市场?市场竞争加剧?纳恩博科技有限公司决定 ４ 月份对两种平衡车
进行降价促销?对 Ａ 型车直降 ５０ａ 元销售?销量比原来提高了 ａ
５０
?对 Ｂ 型车在原价基础上降价 ａ
４０
销售?销
量比原来提高了
ａ
３０
.已知 ４ 月份这两款车总计销售了 １ ９４４ ０００ 元?求 ａ 的值.
解:(１)设 Ｂ 型平衡车的售价为 ｘ 元?则 Ａ 型平衡车的售价为 ７
６
ｘ 元.
由题意?得１ ０８０ ０００
ｘ
＋８４０ ０００
７
６ ｘ
＝６００.解得 ｘ＝３ ０００.
经检验?ｘ＝３ ０００ 是方程的根且符合题意.
则
７
６
ｘ＝ ７
６
×３ ０００＝ ３ ５００(元) .
答:Ａ?Ｂ 型平横车的售价分别是 ３ ５００ 元和 ３ ０００ 元.
(２)由(１)知 ３ 月份 Ａ?Ｂ 型平衡车的销量分别为 ２４０ 台?３６０ 台.
由题意?得 ２４０ １＋ ａ
５０( ) ????(３ ５００－５０ａ)＋３ ０００ １－ ａ４０( ) ????３６０ １＋ ａ３０( ) ＝１ ９４４ ０００.
整理?得 １９ａ２－２３０ａ＋４００＝ ０.解得 ａ１ ＝１０?ａ２ ＝
４０
１９
(舍去) .
∴ ａ＝１０.
答:ａ 的值为 １０.
—３２—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
３.随着经济的快速发展?汽车消费迅猛增加.数据显示?某市 ２０１７ 年底的汽车保有量约为 １００ 万辆?其中新能源
车约为 ２０ 万辆.受国家能源政策调整和油价不断上涨的影响?该市 ２０１８ 年底非新能源车的数量比 ２０１７ 年底
减少了 １０％?但汽车保有量却比 ２０１７ 年底增加了 １０％.
(１)求该市 ２０１８ 年新能源车的年增长率.
(２)假设该市 ２０１９ 年新购汽车的数量是 ２０１８ 年底汽车保有量的 ａ％?而 ２０１９ 年报废汽车的数量是 ２０１７ 年底
汽车保有量的 ５％.为缓解交通拥堵?该市拟控制汽车保有量?要求到 ２０１９ 年底全市汽车保有量不超过
１４３.５ 万辆?求 ａ 的最大值.
解:(１)设该市 ２０１８ 年新能源车的年增长率为 ｘ.
根据题意?得 ２０(ｘ＋１)＋(１００－２０)×(１－１０％)＝ １００×(１＋１０％) .
解得 ｘ＝０.９＝ ９０％.
答:该市 ２０１７ 年新能源车的年增长率为 ９０％.
(２)根据题意?得 １００×(１＋１０％)＋１００×(１＋１０％)????ａ％－１００×５％≤１４３.５.
解得 ａ≤３５.
∴ ａ 的最大值为 ３５.
答:ａ 的最大值为 ３５.
４.某校在开展“校园献爱心”活动中?准备向南部山区学校捐赠男、女两种款式的书包.已知男款书包的价格为
５０ 元 /个?女款书包的价格为 ７０ 元 /个.
(１)原计划募捐 ３ ４００ 元?购买两种款式的书包共 ６０ 个?那么这两种款式的书包各买多少个?
(２)在捐款活动中?由于学生捐款的积极性高涨?实际共捐款 ４ ８００ 元?如果至少购买两种款式的书包共 ８０
个?那么女款书包最多能买多少个?
解:(１)设原计划购买男款书包 ｘ 个?则女款书包(６０－ｘ)个.
根据题意?得 ５０ｘ＋７０(６０－ｘ)＝ ３ ４００.解得 ｘ＝４０.则 ６０－ｘ＝６０－４０＝ ２０.
答:原计划购买男款书包 ４０ 个?女款书包 ２０ 个.
(２)设女款书包最多能买 ｙ 个?则男款书包买(８０－ｙ)个.
根据题意?得 ７０ｙ＋５０(８０－ｙ)≤４ ８００.解得 ｙ≤４０.∴女款书包最多能买 ４０ 个.
５.学校计划利用校友慈善基金购买一些平板电脑和打印机. 经市场调查?已知购买 １ 台平板电脑比购买 ３ 台打
印机多花费 ６００ 元?购买 ２ 台平板电脑和 ３ 台打印机共需 ８ ４００ 元.
(１)购买 １ 台平板电脑和 １ 台打印机各需多少元?
(２)学校根据实际情况?决定购买平板电脑和打印机共 １００ 台?要求购买的总费用不超过 １６８ ０００ 元?且购买
打印机的台数不低于购买平板电脑台数的 ２ 倍.请问最多能购买平板电脑多少台?
解:(１)设购买 １ 台打印机需要 ｘ 元?购买 １ 台平板电脑需要 ｙ 元.
由题意?得
ｙ－３ｘ＝６００?
２ｙ＋３ｘ＝８ ４００.{ 解得
ｘ＝８００?
ｙ＝３ ０００.{
答:购买 １ 台打印机要 ８００ 元?购买 １ 台平板电脑要 ３ ０００ 元.
(２)设购买平板电脑 ｍ 台.
由题意?得
１００－ｍ≥２ｍ?
３ ０００ｍ＋８００(１００－ｍ)≤１６８ ０００.{ 解得 ｍ≤１００３ .
∵ｍ 为正整数?∴ｍ＝３３.
答:最多能买平板电脑 ３３ 台.
—４２—
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???????? 中考专题训练四———方程、不等式和函数应用型问题
第二课时———方程与不等式的应用(２)
二元一次方程组与一元一次不等式的应用
【例 ５】 春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材?计划购买 Ａ 型、Ｂ 型两种型号的放大镜.若购买 ８ 个 Ａ
型放大镜和 ５ 个 Ｂ 型放大镜?需用 ２２０ 元?若购买 ４ 个 Ａ 型放大镜和 ６ 个 Ｂ 型放大镜?需用 １５２ 元.
(１)每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜各多少元?
(２)春平中学决定购买 Ａ 型放大镜和 Ｂ 型放大镜共 ７５ 个?总费用不超过 １ １８０ 元?那么最多可以购买多少个
Ａ 型放大镜?
解题点拨:(１)设每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜分别为 ｘ 元?ｙ 元?列出方程组即可解决问题?(２)由题意列
出不等式即可解决问题.
解:(１)设每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜分别为 ｘ 元?ｙ 元.
由题意?得
８ｘ＋５ｙ＝２２０?
４ｘ＋６ｙ＝１５２.{ 解得
ｘ＝２０?
ｙ＝１２.{
答:每个 Ａ 型放大镜和每个 Ｂ 型放大镜分别为 ２０ 元?１２ 元.
(２)设购买 Ａ 型放大镜 ａ 个.
根据题意?得 ２０ａ＋１２×(７５－ａ)≤１ １８０.解得 ａ≤３５.
答:最多可以购买 ３５ 个 Ａ 型放大镜.
分式方程与一元一次不等式的应用
【例 ６】 某蔬菜店第一次用 ４００ 元购进某种蔬菜?由于销售状况良好?该店又用 ７００ 元购进这种蔬菜?所购数量
是第一次购进数量的 ２ 倍?但进货价每千克少了 ０.５ 元.
(１)第一次所购这种蔬菜的进货价是每千克多少元?
(２)该蔬菜店在销售中?两次售价均相同?且第一次购进的蔬菜有 ２％ 的损耗?第二次购进的蔬菜有 ３％ 的损
耗?若该蔬菜店售完这种蔬菜获利不低于 ９４４ 元?则这种蔬菜每千克售价至少为多少元?
解:(１)设第一次所购这种蔬菜的进货价是每千克 ｘ 元.
根据题意?得４００
ｘ
????２＝ ７００
ｘ－０.５
.解得 ｘ＝４.经检验?ｘ＝４ 是原方程的根.
答:第一次所购这种蔬菜的进货价是每千克 ４ 元.
(２)由(１)知?第一次所购这种蔬菜数量为 ４００÷４＝１００(千克)?第二次所购这种蔬菜数量为 １００×２＝２００(千克) .
设这种蔬菜每千克售价至少为 ｙ 元.
根据题意?得[１００(１－２％)＋２００(１－３％)]ｙ－４００－７００≥９４４.解得 ｙ≥７.
答:这种蔬菜每千克售价至少为 ７ 元.
不等式与一元二次方程的应用
【例 ７】 放风筝是民间传统游戏之一?也是清明时节人们所喜爱的活动.小李打算抓住这一机遇?以每个 ２０ 元的
成本制作了 ３０ 个风筝?再以每个 ４０ 元的价格售出?很快就被一抢而空?于是小李计划加紧制作第二批风筝.
(１)预计第二批风筝的成本是每个 １５ 元?仍以原价出售?若两批风筝的总利润不低于 ２ ８５０ 元?则第二批至少
应该制作多少个风筝?
(２)在实际制作过程中?小李按照(１)中风筝的最低数量进行制作?但制作风筝的成本比预期的 １５ 元多了
１０％?于是小李决定将售价也提高 ａ
１０
.附近的商户受到小李的启发?也纷纷卖起了风筝?在市场冲击下?小李实际
还剩下
ａ
２０
的风筝没卖出去?但仍然比第一次获利多 １ ５１５ 元.求 ａ 的值.
—５２—
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????????巅峰对决第二轮复习 . 数学
解题点拨:本题考查一元一次不等式和一元二次方程?根据题意建立一元二次方程?对分数的准确处理及正确
求解是难点.
解:(１)设第二批应该制作 ｘ 个风筝.
由题意?得(４０－２０)×３０＋(４０－１５)ｘ≥２ ８５０.
整理?得 ２５ｘ≥２ ２５０.解得 ｘ≥９０.
答:第二批至少应该制作 ９０ 个风筝 .
(２)由题意?得 ４０ １＋ ａ
１０( ) ????９０ １－ ａ２０( ) －１５(１＋１０％)×９０＝６００＋１ ５１５.
整理?得 ａ２－１０ａ＝０.解得 ａ１ ＝０(舍去)?ａ２ ＝１０.
答:ａ 的值为 １０.
方法总结:对于应用题?一定要仔细审题?如果题目中出现“最多”“至少”等表示不等关系的字眼?那么就用不
等式来解决问题?对于求未知数的值?找出等量关系?列出方程是解题的关键.
一元一次不等式、一次方程与一元二次方程的应用
【例 ８】 重庆的主城区种植了大量的小叶榕和银杏树?根据林业专家的分析?树叶在进行光合作用后产生的分泌
物能在空气中吸附悬浮颗粒?这样就起到了滞尘和净化空气的作用.
(１)若重庆主城区内某小区今年要种植银杏树和小叶榕共 ３００ 株?且小叶榕的数量不超过银杏树数量的 ３
倍?则今年该小区小叶榕最多可以种植多少株?
(２)已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 １０ ｍｇ?一株银杏树去年有 ４ ５００ 片树叶?冬季树叶全部掉落后?
今年新长出了树叶?这株银杏今年的滞尘量是去年滞尘量的 １.１ 倍还多 ５００ ｍｇ.已知一片小叶榕树叶的滞尘量
比一片银杏树叶多 ２ａ％?一株小叶榕今年的树叶总量比今年的这株银杏还要多１０ａ
９
％?明年这株小叶榕的树叶
将在今年的基础上掉落
１
５
?但又会新长出 ２ ０００ 片树叶.若今明两年这株小叶榕共滞尘量为 １４４ ０００ ｍｇ?求 ａ
的值.
解题点拨:本题考查了一元一次不等式、一元一次方程与一元二次方程的应用?解题的关键是从题目中整理出
等量关系?难点是先要建立一元一次方程求出今年这株银杏长多少片树叶?再由一元二次方程求解?题目本身
难度较大.
解:(１)设今年该小区小叶榕种植 ｘ 株.
由题意?得 ｘ≤３(３００－ｘ) .解得 ｘ≤２２５.
答:今年该小区小叶榕最多可以种植 ２２５ 株.
(２)设今年这株银杏长 ｙ 片树叶.
由题意?得 １０ｙ＝４ ５００×１０×１.１＋５００.解得 ｙ＝５ ０００.∴ 今年这株银杏长 ５ ０００ 片
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