(共20张PPT)
——仙女座星系
椭圆及其标准方程
数学这门学科不仅需要观察，还需要实验。
—欧拉
尝试实验，形成概念
[1]取一条细绳；
[2]把它的两端固定在板上的两点F1、F2；
[3]用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。
观察做图过程，思考：
绳长有没有改变？说明了什么？
动手画：
动画演示
文字表述：
平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距（一般用2c表示）。
M
F
2
F
1
（2a>|F1F2|=2c）
1.椭圆定义：
思考：2.改变两点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图形还是椭圆吗？
思考：3.当绳长小于两点之间的距离呢？
求曲线方程的一般步骤？
2、 椭圆的标准方程
2、 椭圆的标准方程
一、建系：
O
x
y
O
x
y
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
O
x
y
(对称、“简洁”)
x
F1
F2
M
0
y
解：建系：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).
设点： 设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭
圆的焦距2c(c>0)，M与F1和F2的距
离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则
F1、F2的坐标分别 是(?c,0)、(c,0) .
如何推导焦点在y轴上的椭圆的标准方程呢？
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
练习1.判断下列动点M的轨迹。
(1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。
(3)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
夯实基础 灵活运用
认真思考，举手抢答，并说明依据。
答：在 x 轴。（-3，0）和（3，0）
答：在 y 轴。（0，-5）和（0，5）
答：在y 轴。（0，-1）和（0，1）
例1:判断下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标。
例题精析
判断椭圆标准方程的焦点在哪个轴上的准则：
分母哪个大，焦点就在哪个轴上。
夯实基础 灵活运用
请举手回答
例2、填空：自由发言
已知椭圆的标准为： ，则a=_____，b=_______，c=_______，焦点坐标为____________，焦距等于______;若CD为过左焦点F1的弦，则△F2CD的周长为________
5
4
3
(3,0)、(-3,0)
6
20
F1
F2
C
D
x
y
O
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不 同 点
相 同 点
图 形
焦点坐标
定 义
a、b、c 的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
小结：
数与形,本是相倚依,
焉能分作两边飞.
数缺形时少直观,
形少数时难入微.
数形数结合百般好,
隔裂分家万事休.
华罗庚
P69习题3.1的1、2
课后作业
谢谢大家!
课题：椭圆及其标准方程
教材：北师大版选修 2-1 第三章第一节
授课教师：陕西咸阳中学 张登峰
教学目标：
（一）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．
（二）能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际
问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．
（三）情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇
于探索，敢于创新的精神．
教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．
教学难点：椭圆标准方程的推导．
教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学
生直观观察→归纳抽象→总结规律．
教具准备：多媒体课件和自制教具：绘图板、图钉、细绳．
教学过程：
（一）设置情景，引出课题
多媒体展示图片，观察这几张图片有什么共同几何图形，引出课题：椭圆及
其标准方程．
（二）小组合作，形成概念
实验步骤：
(1)取一条细绳；
(2)把它的两端固定在板上的两点 F1、F2；
(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动看看画出的图形。
下面请同学们在绘图板上作图，思考问题：
在作图时，视笔尖为动点，两个图钉为定点，动点到两定点距离之和符合什
么条件？其轨迹如何？
动画演示椭圆形成过程．
问题：1．改变两点之间的距离，使其与绳长相等，画出的图还是椭圆吗？
2．当绳长小于两点之间的距离时，还能画出图形吗？
学生经过动手操作→独立思考→小组讨论→共同交流的探究过程，得出这样
三个结论：
1 2 1 2| | | | | |MF MF FF+ > 椭圆
1 2 1 2| | | | | |MF MF FF+ = 线段
1 2 1 2| | | | | |MF MF FF+ < 不存在
并归纳出椭圆的定义：平面内与两个定点 1F 、 2F 的距离的和等于常数（大
于 || 21FF ）的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫
做椭圆的焦距．
（三）椭圆标准方程的推导：
1．回顾：求曲线方程的一般步骤：建系、设点、列式、化简．
2．提问：如何建系，使求出的方程最简？
①建系：取过焦点 21 ,FF 所在直线为 x轴，以线段 21FF 的垂直平分线为 y轴，
建立直角坐标系。
②设点：设 ),( yxM 是椭圆上任意一点，为了使 21 ,FF 的坐标简单及化简过程
不那么繁杂，设 1 2| | 2 ( 0)F F c c= > ，则 1 2( ,0), ( ,0)F c F c-
设M 与两定点 21 ,FF 的距离的和等于 a2
③列式： 1 2| | | | 2MF MF a+ = ∴
2 2 2 2( ) ( ) 2 ,x c y x c y a+ + + - + =
④化简：（这里，教师为突破难点，进行设问：我们怎么化简带根式的式子？
对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？）
2 2 2 2( ) 2 ( )x c y a x c y+ + = - - +
两边平方，得： 2 2 2 2 2 2 2( ) 4 4 ( ) ( )x c y a a x c y x c y+ + = - - + + - +
即 2 2 2( )a cx a x c y- = - +
两边平方，得： 4 2 2 2 2 2 2 22 ( )a a cx c x a x c a y- + = - +
整理，得： 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )a c x a y a a c- + = -
令 2 2 2 ( 0)a c b b- = > ，则方程可简化为： 222222 bayaxb ??
整理成： )0(12
2
2
2
???? ba
b
y
a
x
指出：方程 )0(12
2
2
2
???? ba
b
y
a
x
叫做椭圆的标准方程，焦点在 x轴上，焦
点是 22221 ),0,(),0,( baccFcF ???
问题：如何推导焦点在 y轴上的椭圆的标准方程呢？
教师指出按照同样方式推导椭圆标准方程得出： )0(12
2
2
2
???? ba
b
x
a
y
为椭
圆的另一标准方程，而其他建系方案得出的椭圆方程没有标准方程形式简单．
引导学生思考：如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
讨论得出：看 2x ， 2y 的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上．
（四）例题讲解
例 1 判断下列椭圆的焦点在哪个轴上，并写出焦点坐标：
（1） 1
1625
22
??
yx
；（2） 1
916144
22
??
yx
；（3） 1
1
22
?
?
?
m
y
m
x .
例 2 已知椭圆的标准方程为 1
1625
22
??
yx
，则 ?a , ?b ,
?c ,焦点坐标为 ，焦距等于 ，若 CD为过左焦点
1F 的弦，则△ 2F CD的周长为________
（五）课堂练习
判断下列动点M的轨迹。
(1)到 1F (-2,0)、 2F (2,0)的距离之和为 6的点的轨迹。
(2)到 1F (-2,0)、 2F (2,0)的距离之和为 4的点的轨迹。
(3)到 1F (-2,0)、 2F (2,0)的距离之和为 3的点的轨迹。
（六）课堂小结
（1）椭圆的定义及其标准方程；
（2）标准方程中 cba ,, 的关系；
（3）焦点所在的轴与标准方程形式之间的关系.
（4）数学思想：数形结合思想和方程思想
（七）作业布置
P69习题 3.1的 1、2
[板书设计]
椭圆及其标准方程
一 椭圆的定义
二 椭圆的标准方程
椭圆标准方程的推导 例一
例二
结束语
学习的过程是一个将外界的新信息不断搭建在已有知识上的过程，是认知结
构发生重组和改造的过程。本课在设计中充分考虑到了学生的这一实际情况及学
生的认知规律。本节课设计旨在让学生掌握数学中的方程思想和数形结合思想，
从而提高数学核心素养。
尊敬的各位评委、各位老师：
大家好！我说课的题目是北师大版普通高中课程选修2-1第三章第一节第一小节《椭圆及其标准方程》。下面我就教材分析、教学目标、教学程序、教法与学法、板书设计、教学评价这六个方面进行阐述。
一、教材分析?
1.教材的地位及作用
《椭圆及其标准方程》是继学习圆以后运用 "曲线和方程"理论解决具体的二次曲线的又一实例，也是圆锥曲线这一章的一节入门课。从知识上说，它是对前面所学的运用坐标法研究曲线的几何性质的又一次实际演练，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上说，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础。因此，这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点。另外，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合的重要思想。而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习。
2.教学目标及确立的依据
根据上述对教材内容的分析和课标要求，教学目标制定如下：
（1）知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法。
（2）能力目标：通过对椭圆的认识及其方程的推导，培养学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力，加强用坐标法解决圆锥曲线问题的能力。
（3）情感目标：通过课堂活动参与，激发学生学习数学的兴趣，提高学生审美情趣，培养学生勇于探索的精神。
教学目标确立的依据：知识的学习和能力的培养是同步的，本课在教学中要学生上黑板合作画椭圆并观看动画演示，通过画去探究椭圆的条件、归纳椭圆的定义，符合新课程所追求的"以知识为载体、注重学生的能力、良好的意志品质及合作学习的精神培养"的一个重要教学理念。
3.教学重点、难点
教学重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程
教学难点：椭圆标准方程的建立和推导。
在学习本课《椭圆及其标准方程》前，学生已学习了直线与圆的方程，对曲线和方程的概念有了一些了解与运用的经验，用坐标法研究几何问题也有了初步的认识。但由于学生学习解析几何时间还不长、学习程度也较浅，加上受高二这一年龄段学习心理和认知结构的影响，在学习过程中难免会遇到困难。如：学生对含有两个根式之和等式化简的运算还比较生疏，因此去根式的策略选择不当等是导致"标准方程的推导"成为学习难点的直接原因。
根据以上对教材及学情的分析，确定椭圆的定义及其标准方程为本课的教学重点；椭圆标准方程的推导为本课的难点。
4.教材处理
根据新大纲的要求，结合本节课的内容特点，我把本节内容分2个课时进行教学。?
5.教学方法和学法指导
为了使学生更主动地参加到课堂教学中，激发学生主动的发现问题解决问题，充分调动学生学习的主动性、积极性，这是本节课的教学原则 。根据这样的原则及所要完成的教学目标 ，我采用如下的教学方法和教学手段：
教学方法：我采用的是引导发现法、探索讨论法等。
1.引导发现法：用课件演示动点的轨迹，启发学生归纳、概括椭圆定义。
2.探索讨论法：由学生通过联想、归纳把原有的求轨迹方法迁移到新情况中，有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突破难点，发挥其创造性。
引导发现法和探索讨论法是适应新课程体系的一种全新教学模式，它能更好地体现学生的主体性，实现师生、生生交流，体现课堂的开放性与公平性。
教学手段：由于圆锥曲线对同学们来说比较陌生，还有用动点到两定点距离和为定值而形成动点的轨迹这些方法都比较抽象，因此利用多媒体课件教学，化抽象为具体，降底学生学习难度，增强动感及直观感，增大教学容量，提高教学质量。
学法指导?
在教学过程中，要充分调动学生的积极性和主动性，为学生提供自主学习的时间和空间。让他们经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识；而且指导学生归纳椭圆定义时要注意条件，体现概念引入的严密性。
二、教学程序
教学程序设计：认识椭圆→画椭圆→定义椭圆→推导椭圆方程→椭圆方程知识运用→本课小结→课后作业
1.观察图片
意图：（1）从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际，激发学生探求实际问题的兴趣。
（2）借助多媒体生动、直观的演示使学生更形象地了解后面要学的内容。
画椭圆
教师组织学生在黑板画椭圆并用课件动态演示椭圆的形成过程，同时指点归纳椭圆定义时注意定义中常量与变量的关系，即哪些量发生了变化，哪些量没有变？
学生回答："两定点间的距离没变，绳子的长度没变，点在运动。
意图：（1）以活动为载体给学生提供一个动手操作、合作学习的机会；调动学生学习的积极性。
（2）通过画椭圆，让学生经历知识的形成过程，同时也让学生成为学习的主人，给他们提供一个自主探索学习的机会。?
3.椭圆的定义及有关概念
（1）引导学生归纳定义时要注意：
a.强调椭圆是个平面图形
b.引导学生观察变量（动点）与常量（绳长和两定点之间的距离大小关系）
c.条件：常数大于|F1F2|
学生认真听讲并仔细观察课件演示，深刻理解椭圆定义中的条件。
意图：（1）学生自己通过观察、讨论，归纳概括出椭圆的定义，这样培养了学生抽象思维、归纳概括的能力。
（2）让学生了解归纳概念的严密性；
（3）通过动画演示，让学生深刻地理解椭圆定义中含有的内在条件，突破了重点。
4.椭圆标准方程的推导
（教师引导）
设问1：利用坐标法求曲线方程的一般方法是什么？
设问2：本题中可以怎样建立直角坐标系？
（教师引导）：根据建系的一般原则是使点的坐标、几何量的表达式尽可能简单化，并使得到的方程具有"对称美""简洁美"的特点，因此可以类比利用圆的对称性建系，我们也可以利用椭圆的对称性建系，得到建系方案：
启发学生按照方案1建系、设点（使焦点及长轴两个端点的坐标不出现分数形式，方便计算），再根据椭圆的定义，写出动点M满足的集合，即：
P＝｛M |│MF1│+│MF2│| =2a｝
在设点的基础上将上述关系式用坐标表示出来。?
（1）引导学生自己去推导椭圆的标准方程，给学生较多的思考问题的时间；
（2）训练学生的观察能力、运算能力和推理能力；
（3）让学生感受椭圆方程、图形的对称美和谐美并且方便记忆。
（4）按照曲线方程的定义说明所得的方程是椭圆的方程，让学生有所体会即可。
5.方程推导中的化简：
问题1：推导椭圆的方程中：如何化简？
问题2：化简后得到的方程为何要令？
教师引导设问：
①化简含有根号的式子时，我们通常有什么方法？
②对于本式是直接平方好呢，还是恰当整理后再平方？让学生自己通过实践，发现对于这个方程，直接平方不利于化简，而整理后再平方，最能简化计算过程并得到结果。?
6.知识应用
第一小题培养学生运用椭圆的定义解决问题的能力。
第二题让学生学会利用椭圆的标准方程解决问题
教学反思
本节课按新课标的要求创设情境激发了学生求知欲，调动了学生主体参与的积极性；课题的引入以及例题均采用投影仪、多媒体等现代教学手段，加大课堂容量和教学直观性。
在学习方法上主要使学生能很好的做到数形结合，启发他们利用已学的知识迁移到新知中，如椭圆定义的数学语言叙述，以及标准方程的推导。通过实验研究细心观察、认真分析、学会归纳、抽象的能力和语言表达能力，从而让学生的数学的能力完成不同层次的提升。本节课椭圆定义的形成过程十分重要，实际教学中学生很难做到能用精确的数学语言来描述椭圆定义，或许正是这种不完整的描述引来的一些易错点会加深学生印象。在推导标准方程时，对含有两个根式的代数式的化简一般采取将一个根式保留在等号一边然后两边平方的方法，这种方法更具有一般性（学生对此运算技巧不熟悉，而且运算能力不高），在教学中应提高学生代数运算的能力.同时求轨迹方程的验证一项教材是以小字形式出现，对初学圆锥曲线的学生理解难度较大，在课堂不要做太多要求，要合理的处理。
本节课的不足之处：课堂容量较大，从而导致学生归纳总结这个环节较仓促。因此今后要合理地安排每一节课的课堂容量，给学生更多的思考时间和空间，提高课堂的效率。一部分学生的计算能力还不够熟练，缺乏简化计算的能力，今后还要继续加强对学生这方面能力的培养。
总之，本节课我将自己的想法融入课件之中，展示知识的形成过程，并通过学生的自主探究，使其感受到获得知识的乐趣。在以后的教学中，我要不断的努力，不断总结经验，提高自己的教学水平。
