人教版八年级数学下册：18.2 特殊的平行四边形 重难点、易错题汇编讲义

18.2 特殊的平行四边形 重难点、易错题汇编讲义
矩形、菱形、正方形是三类特殊的平行四边形，有关性质与判定是其重要内容，初学时，不少同学会出现错误．本文将分类对常见判定误区进行剖析，供同学们学习时参考．
一、有关矩形判定的误区
例1　判断下列说法是否正确：
（1）有三个角相等的四边形是矩形；
（2）对角线相等的四边形是矩形．
错解：（1）正确；
（2）正确．
剖析：（1）是把矩形的判定方法记错了，应是“有三个角是直角的四边形是矩形”，其中的条件是“三个角是直角”而不是“三个角相等”；
（2）中错误地认为“对角线相等的四边形是矩形”，对矩形的判定方法理解不透彻．我们知道只有在平行四边形中加上“对角线相等”的条件，得到的才是矩形．
正解：（1）错误；
（2）错误．
跟踪训练1　下列说法中，错误的是【 　】
A．矩形的四个角都是直角　　
B．矩形的对角线相等　　　　
C．对角线垂直平分的四边形是矩形
D．四个角都是直角的四边形是矩形
二、有关菱形判定的误区
例2　已知线段AB，试求作两点C、D，使四边形ADBC是菱形．
错解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使C、D在线段AB的两侧，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC是菱形．
剖析：错解错在对菱形的判定方法理解不透．在对角线垂直的条件下，必须说明四边形ADBC是平行四边形，才能保证四边形ADCB为菱形．作图过程只反映出CD平分AB，但AB是否平分CD就不一定了，故四边形ADBC不一定为平行四边形，也就不一定为菱形了．
正解：在线段AB的垂直平分线EF上取两点C、D，并且使AB平分CD，连接CA、CB、DA、DB，则四边形ADBC为菱形．
跟踪训练2 如图，已知在平行四边形ABCD中，∠A的平分线与BC交于点E，∠B的平分线与AD交于点F，AE与BF交于点O．试说明四边形ABEF是菱形．



三、有关正方形判定的误区
例3　判断下列说法是否正确：
（1）四条边相等的四边形是正方形；
（2）两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形；
（3）两条对角线分别平分一组对角的四边形是正方形．
错解：（1）正确；（2）正确；（3）正确．
剖析：（1）虽有四条边相等，但只能判定它是菱形，要判定它是正方形，还缺少一个条件，这个条件是一角是直角，或其他判定既是菱形又是矩形的条件；
（2）此题的错误是对正方形的判定方法不清楚造成的，对角线相等且互相垂直，但对角线不一定互相平分，故不能判定它是正方形；
（3）片面应用了正方形的性质，虽然正方形的每一条对角线都平分每一组对角，但反过来就不成立了，它只能判定是菱形，还缺少一个再判断它是矩形的条件．
正解：（1）错误；（2）错误；（3）错误．
跟踪训练3　下列四边形一定是正方形的是【 　】
A．有一个角是直角的菱形　　
B．有一个角是直角的平行四边形
C．对角线相等的平行四边形
D．对角线互相垂直的平行四边形
答案
1.C　
2．理由：先得到AE⊥BF，再得到四边形ABEF是平行四边形，即可得四边形ABEF是菱形．
3．A


利用旋转妙解正方形问题
正方形是最特殊的四边形，具有高度的对称性。因此，在正方形中的线段证明和计算等问题上，利用旋转变换可巧妙地拼接图形，使条件发生转化并相对集中，可达到化难为易的目的。现举例如下。

如图 正方形ABCD中，E、F分别是AD、CD边上两点，
BF平分∠EBC。求证：BE=AE+CF。

分析：四边形ABCD是正方形，AB=BC，∠A=∠C=90°，
把△BCF绕点B逆时针旋转90°到△BAG的位置，如图，
此时AG=CF，只需再证BE=GE即可，由于∠GBE=∠FBE=∠GBA，
所以∠GBE=∠ABF=∠BFC=∠G。因而BE=GE。证明略。

评注：本题将△BCF绕点B进行旋转变换，使线段CF与AE巧妙
拼接，并与BE组成三角表，从而利用等腰三角形的知识解题。

如图P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，
∠APB=135°，求PC的长。

分析：由AB=BC，∠ABC=90°，可将△BAP绕点B按顺时针方向旋转90°，得△BCP′，如图连结PP′，则△BPP′是等腰直角三角形。因为PB=P′B==2，根据勾股定理，得PV′2。又因为∠CP′B=∠APB=135°，∠PP′B=45°，所以∠CP′P=90°，即△CP′P是直角三角形，从而PC= EQ \R(,（2）2+12) =3。

评注：本题通过旋转变换，将线段PC、P′与PP′巧妙构成直角三角形，且使已知条件相对集中，并与结论沟通起来，达到了化难为易的目的。
以下两题供同学们练习：
1、如图，在正方形ABCD中，E、F是BC、CD边上的两点，
∠EAF=45°。求证：EF=BE=DF。

2、如图，正方形ABCD的边长为1，BC、CD边上各角
一点E、F，若△CEF的周长为2，求∠EAF的度数。


中考矩形开放题荟萃
矩形是一种特殊的平行四边形,也是中考的必考内容.为考查同学们分析能力、想象能力、探究能力和创新能力,矩形开放题便成了各地中考命题的热点，现仅就2008年中考题有关矩形开放题精选几例解析如下,供同学们鉴赏：
一、条件开放型
例1 如图，在平行四边形中，为的中点，连接并延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由．




分析 要证AB=CF,可通过平行四边形的性质和三角形全等的判定,证△ABE≌△CFE得到;
由△ABE≌△CFE,可得EA=EF,EB=EC,从而四边形ABFC是平行四边形,再根据矩形的判定,要平行四边形ABFC是矩形则只要对角线相等或有一角为直角,根据题设,显然是BC=AF.
证明 (1)由平行四边形ABCD,得到AB∥CD,则∠ABE=∠FCE,
又EB=EC, ∠AEB=∠FEC,∴△ABE≌△CFE(ASA).∴AB=CF.
(2) 当=时，四边形是矩形.
由△ABE≌△CFE,得到EA=EF,EB=EC,所以四边形ABFC是平行四边形.
又BC=AF, 四边形ABFC是矩形.
例2如图，在△ABC 中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．



分析 通过角平分线和平行线的性质,可以推得EO=CO,及FO=CO,从而EO=FO；
要四边形AECF是矩形,则必是平行四边形,现已有EO=FO,故还需OA=OC,
即点O为AC的中点.
证明（1）∵CE平分，∴，又∵MN∥BC， ∴，
则，∴．　同理, ∴ ．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
∵，点O是AC的中点．即OA=OC ∴四边形AECF是平行四边形.
又∵, , ∴，即, ∴四边形AECF是矩形．



评注 条件开放型,是指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分,解决这类问题的基本思路是:执果索因逆向思维,从已有条件和结论入手,逐步分析探索结论成立的条件,从而使问题得以解决.
二、结论开放型
例3如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，过C作CF⊥DE，垂足为F. （1）猜想：AD与CF的大小关系；（2）请证明上面的结论.



分析 由图可以直观看出,AD=CF;根据矩形的性质和三角形全等的判定,
可以得到AD,CF所在的两个三角形△ADE≌△FCD,从而 AD=CF.
解 （1）．
（2）四边形是矩形，
又 ∴△ADE≌△FCD,
例4如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，且，连接．
（1）求证：是的中点；
（2）如果，试猜测四边形的形状，并证明你的结论．




分析 要证D是BC的中点,即DB=DC,现已有AF=DC,故只需AF=DB,所以只要证△AEF≌△DEB;
已知AF∥DC,又AF=DC,所以四边形ADCF为平行四边形.
如果AB=AC,D是BC的中点,则有AD⊥BC,从而得到四边形ADCF为矩形.
证明 （1）， ．
是的中点， ．
又， (AAS)．．
，．即是的中点．
（2）四边形是矩形，
，，四边形是平行四边形．
，是的中点，．
即． 四边形是矩形．
评注 结论开放型,是指问题的结论不确定或答案不唯一的开放型问题,解决这类问题的基本思路是:根据条件,联想定理,寻求结论.

中考数学“点在特殊平行四边形的边上运动”
点在运动，同学们一点也不觉得稀奇，可点运动进中考试卷中，同学们不免有点惊奇，不仅如此，点在特殊的平行四边形的边上运动，已成为中考的一个热点，现分别举一例说明.
一、点在矩形边上运动
例1、如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿N→P→Q→M方向运动至点M处停止.设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则当x＝9时，点R应运动到（ ）
A.N处 　　B.P处 　　　　C.Q处 D.M处




分析　依题意，结合图象可知，当点R从N运动到P时，△MNR的面积在逐渐增大，当点R从P运动到Q时，△MNR的面积始终保持不变，当点R从Q运动到M时，△MNR的面积在逐渐减小，由此可以求解.
解　依题意，得当x＝4时，点R应运动到P处，当x＝9时，点R应运动到Q处.故应选C.
说明　研究此类问题时，一定注意观察图形随点运动的变化情况，及时捕捉有用信息.
二、点在菱形边上运动
例2、如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在＿＿＿点.　



分析　微型机器人由A点开始，每向前行走1米就转换一个菱形的顶点，由于2009米可以分成2009个1米，即可以转换2009个菱形的顶点，由此可以求解.
解　因为有两个全等菱形，则周长和等于8，所以微型机器人由A点开始行走，每运动8米，则又回到A点，而2009÷8＝251…1，所以微型机器人由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米时则在点B处停下.
说明　求解本题时一要注意菱形的边长相等，二是每运动8米一个循环.
三、点在正方形边上运动
例3、如图，正方形ABCD边长为1，动点P沿正方形的边按逆时针方向运动，当它的运动路程为2009时，点P所在位置为＿＿＿；当点P所在位置为D点时，点P的运动路程为＿＿＿（用含自然数n的式子表示）.

　　


分析　由题意知，点P运动一周路程为4，点P从A点出发，当运动的路程是2008时，点P恰好回到点A，所以当运动路程为2009时，点P所在位置是点B，点P从点A运动到点D运动的路程是3，由此可进一步获解.
解　因为正方形的边长等于1，所以点P运动一周路程为4，
又因为2008×4＝502，所以点P从A点出发，当运动的路程是2008时，点P恰好回到点A，所以当运动路程为2009时，点P所在位置是点B.
又因为点P从点A运动到点D运动的路程是3，当运动n圈后，点P走的路程为4n+3.
说明　本题考查以动点为背景，在正方形中的探索规律问题，求解时必须注意正方形边长的特点和动点运动情况.