人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 探索四边形开放题汇编讲义
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 探索四边形开放题汇编讲义 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 49.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-12 12:49:11 | ||
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文档简介
探索四边形开放题汇编讲义
随着新课改的逐步深入，数学开放性问题为培养同学的创新思维能力创设了一个有利的环境，下面就平行四边形的性质及判别的创新应用及常见题型例述如下：
一、探索条件型
例1 如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个什么条件？ （只需添加一个条件）
解析：解这类问题，应从分析题中己有条件，（包括从图形中找的条件）和结论着手，通过分析、联想找出结记成立的必备条件，然后根据己知条件，加以补充、完善、验证．添加的条件是BE=DF或BF=DE或BCE=DAF或AF//EC等．
评注：这种题中己有条件和结论入手，探索补充完善结论成立的条件，且条件往往不惟一为条件开放题．
例2 在△ABC中，ABAC，D是BC上一点，DE//CA交AB于点E，DF//BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A、AD⊥BC
B、∠BAD=∠CAD
C、BD=DC
D、AD=BD
解析：这类题目中的条件不完善，需从结论入手，探索条件，补充和完善条件，使结论成立．如图由DE//CA，DF//BA，知四边形AEDF为平行四边形．要使四边形AEDF为菱形，必须AE=DE，故需添加条件∠BAD=∠CAD 可易知AE=DE故应选B．
二、探索结论型
例3 如图在平行四边形ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则图中除平行四边形ABCD外的平行四边形为 （写出一个即可）
解析：从己知条件和和平行四边形定义与判定知，四边形DEOH，HOFC，EADO，OGBF，DAGH，HGBC，DEFC，EABF均为平行四边形，故选择其中一个即可．
评注：这类问题的特征：问题的结论不确定，需从题目己知的条件入手，充分挖掘、分析、推理去确定结论，这样的结论也是不惟一的．
例4 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
解析：这类题目是条件己具备，由这些条件推出的结论末确定，需要依据条件去探索从而确定结论．因为边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形可能是菱形或正方形，又因所拼成的四边形的内角只可能是6或12，故所拼四边形不可能是正方形，只能是菱形，故应选D．
三、探索条件与结论型
例5 如图两平面镜的夹角为，入射光线AO平行于入射到上，经过两次反射后的光线为O′B,请你为反射光线O′B补充一个条件，然后根据补充的条件便可求出图中某个角的度数？
（1）补充的条件是
（2）猜想要求的角是 这个角的度数为
解析：（1）补充的条件是O′B平行于
（2）可求出角的度数为，说明过程请同学们自己完成．
评注：解这类问题，要从分析题中提供的部分条件和问题的情境入手，通过分析、探索、对比，合理补充条件，找出由这些条件可以导出的结论，选择其中的一个结论进行说明．
例6 如图四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，请以F为一端点，和图中己标字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中己有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）
（1）连结
（2）猜想=
（3）证明：
解析：这类题目中的条件或结论都不完善，不确定，需要去补充条件，猜想并确确由这些条得出结论，并进行说理证明．（1）连结AF（2）猜想：AE=AF（3）证明：由四边形ABCD是菱形，知AB=AD，∠1=∠2，得∠ABF=∠ADE，又DE=BF，故△ADE≌△ABF即AE=AF．
四、探索作图型
例7 己知直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在的位置需满足的条件是 （只需填上一个你认为合适的条件）
解析：直线l过AC与BD的交点或经过AD、BC的中点或经过A、C两点等．
评注：这类作图题的答案多种多样，转换不同角度即可得出多种答案．
五、阅读理解探索型创新题
例8 先阅读下面题目及解题过程再根据要求回答问题：
己知如图在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线BC交于E，∠ABD的平分线交AD于F，AE，BF相交于O，则四边形ABEF为菱形，说明理由．
理由：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，
（2）所以AD//BC
（3）所以∠ABE+∠BAF=18
（4）因为AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的平分线
（5）所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE
（6）所以∠1+∠3=（∠BAF+∠ABE）==9
（7）所以∠AOB=
（8）所以AE⊥BF
（9）所以四边形ABEF是菱形
问：（1）上述理由是否充分？回答：
（2）如有错误，指出其错误的原因是 应在第 步后添加如下说理过程
解析：这是一通纠错探索型阅读题．关注知识形成过程，考查阅读、分析能力，通过阅读再现菱形的判定方法，在分析过程中培养作题的主动性．（1）不充分（2）错误的原因是设有说明四边形ABEF是否为平行四边形，而仅靠对角线互相垂直，不足以说明其为菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．
随着新课改的逐步深入，数学开放性问题为培养同学的创新思维能力创设了一个有利的环境，下面就平行四边形的性质及判别的创新应用及常见题型例述如下：
一、探索条件型
例1 如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，要使△ADF≌△CBE，还需添加一个什么条件？ （只需添加一个条件）
解析：解这类问题，应从分析题中己有条件，（包括从图形中找的条件）和结论着手，通过分析、联想找出结记成立的必备条件，然后根据己知条件，加以补充、完善、验证．添加的条件是BE=DF或BF=DE或BCE=DAF或AF//EC等．
评注：这种题中己有条件和结论入手，探索补充完善结论成立的条件，且条件往往不惟一为条件开放题．
例2 在△ABC中，ABAC，D是BC上一点，DE//CA交AB于点E，DF//BA交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加条件（ ）
A、AD⊥BC
B、∠BAD=∠CAD
C、BD=DC
D、AD=BD
解析：这类题目中的条件不完善，需从结论入手，探索条件，补充和完善条件，使结论成立．如图由DE//CA，DF//BA，知四边形AEDF为平行四边形．要使四边形AEDF为菱形，必须AE=DE，故需添加条件∠BAD=∠CAD 可易知AE=DE故应选B．
二、探索结论型
例3 如图在平行四边形ABCD中，EF//AB，GH//AD，EF与GH交于点O，则图中除平行四边形ABCD外的平行四边形为 （写出一个即可）
解析：从己知条件和和平行四边形定义与判定知，四边形DEOH，HOFC，EADO，OGBF，DAGH，HGBC，DEFC，EABF均为平行四边形，故选择其中一个即可．
评注：这类问题的特征：问题的结论不确定，需从题目己知的条件入手，充分挖掘、分析、推理去确定结论，这样的结论也是不惟一的．
例4 用两个边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形是（ ）
A．等腰梯形 B．正方形 C．矩形 D．菱形
解析：这类题目是条件己具备，由这些条件推出的结论末确定，需要依据条件去探索从而确定结论．因为边长为a的等边三角形纸片拼成的四边形的四条边都相等，而四条边都相等的四边形可能是菱形或正方形，又因所拼成的四边形的内角只可能是6或12，故所拼四边形不可能是正方形，只能是菱形，故应选D．
三、探索条件与结论型
例5 如图两平面镜的夹角为，入射光线AO平行于入射到上，经过两次反射后的光线为O′B,请你为反射光线O′B补充一个条件，然后根据补充的条件便可求出图中某个角的度数？
（1）补充的条件是
（2）猜想要求的角是 这个角的度数为
解析：（1）补充的条件是O′B平行于
（2）可求出角的度数为，说明过程请同学们自己完成．
评注：解这类问题，要从分析题中提供的部分条件和问题的情境入手，通过分析、探索、对比，合理补充条件，找出由这些条件可以导出的结论，选择其中的一个结论进行说明．
例6 如图四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF，请以F为一端点，和图中己标字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中己有的某一条线段相等（只需证明一组线段相等即可）
（1）连结
（2）猜想=
（3）证明：
解析：这类题目中的条件或结论都不完善，不确定，需要去补充条件，猜想并确确由这些条得出结论，并进行说理证明．（1）连结AF（2）猜想：AE=AF（3）证明：由四边形ABCD是菱形，知AB=AD，∠1=∠2，得∠ABF=∠ADE，又DE=BF，故△ADE≌△ABF即AE=AF．
四、探索作图型
例7 己知直线l把平行四边形ABCD分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线l所在的位置需满足的条件是 （只需填上一个你认为合适的条件）
解析：直线l过AC与BD的交点或经过AD、BC的中点或经过A、C两点等．
评注：这类作图题的答案多种多样，转换不同角度即可得出多种答案．
五、阅读理解探索型创新题
例8 先阅读下面题目及解题过程再根据要求回答问题：
己知如图在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线BC交于E，∠ABD的平分线交AD于F，AE，BF相交于O，则四边形ABEF为菱形，说明理由．
理由：（1）因为四边形ABCD为平行四边形，
（2）所以AD//BC
（3）所以∠ABE+∠BAF=18
（4）因为AE，BF分别是∠BAD，∠ABC的平分线
（5）所以∠1=∠2=∠BAF，∠3=∠4=∠ABE
（6）所以∠1+∠3=（∠BAF+∠ABE）==9
（7）所以∠AOB=
（8）所以AE⊥BF
（9）所以四边形ABEF是菱形
问：（1）上述理由是否充分？回答：
（2）如有错误，指出其错误的原因是 应在第 步后添加如下说理过程
解析：这是一通纠错探索型阅读题．关注知识形成过程，考查阅读、分析能力，通过阅读再现菱形的判定方法，在分析过程中培养作题的主动性．（1）不充分（2）错误的原因是设有说明四边形ABEF是否为平行四边形，而仅靠对角线互相垂直，不足以说明其为菱形，（8）又在△ABE中∠3=∠4，BO⊥AE所以OA=OE，同理可得OB=OF．