人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 有关四边形解题方法、规律探究讲义
文档属性
| 名称 | 人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 有关四边形解题方法、规律探究讲义 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 112.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-12 12:50:20 | ||
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文档简介
有关四边形解题方法、规律探究讲义
一、平行四边形中的思想方法
学习了平行四边形以后你一定体会到了其中蕴涵着许多的数学思想方法，若在具体求解有关平行四边形的问题时能灵活运用这些思想方法，就会使问题避繁就简.现举例说明.
一、分类思想
【例1】 在ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于点E，若点E分BC为3和4两部分，则ABCD的周长为（ ）
A.20 B.22 C.20和22 D.20或22
【思考与分析】要求ABCD的周长，可以先画出如图１的图形，依条件AE平分∠BAD交BC边于点E，由于点E分BC为3和4两部分，所以分两种情况讨论求解.
解：如图１，在ABCD中，因为AE平分∠BAD交BC边于点E，所以可知∠AEB＝∠BAE，即BA＝BE.
因为点E分BC为3和4两部分，所以分两种情况讨论．
①若BE＝3，则EC＝4，所以AB＝3，即ABCD的周长为20；
②若BE＝4，则EC＝3，所以AB＝4，即ABCD的周长为22.
即ABCD的周长为20或22.
故应选D.
二、整体思想
【例2】如图２，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，BN，NM上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，ABCD的周长是（ ）
A.24 B.18 C.16 D.12
【思考与分析】要求ABCD的周长，若能求出AB+AD，即可从整体上求解.而事实上，由已知条件即可求得.
解： ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，
∴ ∠MDA＝∠DMA，即AD＝AM．
∴ AB+AD＝AB+AM＝BM.
又∵ BM＝6，
∴ ABCD的周长＝2×6＝12
三、对称思想
【例3】如图，ABCD是王老六家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田平均分给两个儿子,为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由.
【思考与分析】 我们说只要满足所分的两块地面积相等，且都与水井相邻就可以.那么可以考虑利用平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题.找到两条对角线的交点，则交点和水井所在的直线将田地分成面积相等的两块.
解：设对角线AC，BD交于O，如下图，过O、P作直线交BC，AD于E、F，则线段EF分割的这两块田地符合要求.理由如下：易证OE=OF，BE=ＤF，AF=CE（把证线段相等转化为证三角形全等），四边形ABEF绕点O旋转180°，就与四边形CDFE重合，这两部分面积相等,又点P（井）在EF上，符合水井和两块地相邻的要求，故此种分法符合要求.
【反思】实际生活中有很多需要直接或间接用平行四边形的性质来解决的问题，我们要牢牢把握住性质以便可以灵活地运用它来解题.
二、以四边形为背景的问题
四边形是初中数学中最基础、最重要的一部分内容，特别是有关特殊的四边形知识是中考热点内容，现选取几例分类简析如下，供同学们参考.
一、与平行四边形有关的问题
例1 如图1，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE＝BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）.
（1）连接________；（2）猜想：____________；
（3）证明：
（说明：写出证明过程的重要依据）
分析：用图中已有的点为端点构成线段，其结果是与图
中某一线段相等（或线段所在的三角形与图中某一个三角形全等）.
如连接CF，可以猜想CF=AE，然后通过证明△ADE≌△CBF实现.当然答案是不惟一的.
解：(1)CF；
(2)CF=AE；
(3)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC （平行四边形对边平行且相等）
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行内错角相等）
∴∠ADE=∠CBF(等角的补角相等)
∵ DE=BF
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴CF =AE（全等三角形的对应边相等）.
二、与矩形有关的问题
例2 如图2，AB=CD=DE，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△EDB.
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
分析：（1）由“SSS”很容易证明这两个三角形全等.
（2）这是一道条件开放题，添加的条件不惟一，可
依据矩形的判定定理，从边、角多角度地进行考虑，添加
条件，然后再给予证明.
解：(1)证明：在△ABD和△EDB中
∵，∴△ABD≌△EDB（SSS）.
（2）可以添加条件：AB∥CD或∠ABD=∠BDC等.
从中选取AB∥CD，证明如下：
∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵BE⊥DE，∴∠BED=90?.又由上证知△ABD≌△EDB，∴∠BAD=∠BED=90?，∴四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
三、与正方形有关的问题
例3 如图4，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.
求证：PM = QM.
分析：不在同一个三角形中要证明PM=QM，可以通过证明
△MEQ≌△MFP得到.可以证明△EBC≌△FDC，得到CE=CF.
所以PF=QE.又∠P=∠Q，∠QME=∠PMF即可得证.
证明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，
∴∠QCB = ∠PCD = 30°.又∵BC = CD，∠PBC = ∠QDC，
∴△EBC≌△FDC.∴CE = CF.又∵CQ = CD = BC = CP，∴PF = QE.又∵∠P = ∠Q， ∠QME = ∠PMF，∴△MEQ≌△MFP，∴PM = QM.
点评：本题抓住正方形边相等和直角的性质，通过证明得到PF=QE，则有△MEQ≌△MFP.其实E、F是BP、QD的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质也可以得出CE=CF，PF=QE.
四、与菱形有关的问题
例4 如图4，在菱形中，分别是上的点，
是延长线上一点，且．试说明．
分析：连接，由于是菱形的对角线上一点，所以由图中基本图形的结论，知，于是．又由题设可得，所以．又已知，所以四边形是平行四边形．故．解答过程请同学们完成．
三、转化思想在四边形中的应用
数学是思维的世界，有着众多的思维技巧，所以每道题在解题过程中，都会反映出一定的思维方法，如果我们有意识的注重这些思维方法，时间长了就会在头脑中对每一题的题感，即正确的思维方式。转化思想是“四边形的性质”这一重要内容中的典型的数学思想，灵活运用这一思维方法，会大大提高我们的解题能力。
1、三角形转化为平行四边形
例1、如图1，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是__________.
分析：延长AD到E，使ED=AD，连结BE、CE，则四边形ABEC是平行四边形，∴BE=AC，在△ABC中，
，即，
∴.
2、梯形转化为平行四边形和三角形
例2、如图2，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD=1，BC=2，求梯形ABCD的面积。
分析：将对角线AC平移到DE的位置，过D作DF⊥BC,、垂足为F，则△BDE为等腰直角三角形，DF是斜边上的高，又是斜边上的中线。
∴
∴
∴
3、将多边形转化为三角形
例3、如图3，在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，AB=1，BC=CD=3，DE=2，求六边形ABCDEF的周长。
分析：延长六边形不相邻的两边，得到△GIH，在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，
∴∠G=∠I=∠H=60°，∴△GIH是等边三角形。
∵AB=1，BC=CD=3，DE=2，
∴CH=BC=3，GB=AB=GA=1, ∴GH=7，
∴GI=GA+AF+FI=GH=7，
∵△FIE是等边三角形，∴FI=EF=IE，
∴六边形ABCDEF的周长=AF+EF+ED+DC+CB+BA=GI+CB+CD+DE=7+3+3+2=15.
F
E
C
A
B
D
A
B
E
C
D
图1
A
D
B
C
F
E
图2
G
A
B
C
D
E
F
I
H
图3
一、平行四边形中的思想方法
学习了平行四边形以后你一定体会到了其中蕴涵着许多的数学思想方法，若在具体求解有关平行四边形的问题时能灵活运用这些思想方法，就会使问题避繁就简.现举例说明.
一、分类思想
【例1】 在ABCD中，AE平分∠BAD交BC边于点E，若点E分BC为3和4两部分，则ABCD的周长为（ ）
A.20 B.22 C.20和22 D.20或22
【思考与分析】要求ABCD的周长，可以先画出如图１的图形，依条件AE平分∠BAD交BC边于点E，由于点E分BC为3和4两部分，所以分两种情况讨论求解.
解：如图１，在ABCD中，因为AE平分∠BAD交BC边于点E，所以可知∠AEB＝∠BAE，即BA＝BE.
因为点E分BC为3和4两部分，所以分两种情况讨论．
①若BE＝3，则EC＝4，所以AB＝3，即ABCD的周长为20；
②若BE＝4，则EC＝3，所以AB＝4，即ABCD的周长为22.
即ABCD的周长为20或22.
故应选D.
二、整体思想
【例2】如图２，在△MBN中，BM＝6，点A，C，D分别在MB，BN，NM上，四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，ABCD的周长是（ ）
A.24 B.18 C.16 D.12
【思考与分析】要求ABCD的周长，若能求出AB+AD，即可从整体上求解.而事实上，由已知条件即可求得.
解： ∵ 四边形ABCD为平行四边形，∠NDC＝∠MDA，
∴ ∠MDA＝∠DMA，即AD＝AM．
∴ AB+AD＝AB+AM＝BM.
又∵ BM＝6，
∴ ABCD的周长＝2×6＝12
三、对称思想
【例3】如图，ABCD是王老六家的一块平行四边形田地，P为水井，现要把这块田平均分给两个儿子,为了方便用水，要求两个儿子分到的地都与水井相邻，请你来设计一下，并说明你的理由.
【思考与分析】 我们说只要满足所分的两块地面积相等，且都与水井相邻就可以.那么可以考虑利用平行四边形的性质（平行四边形的对角线互相平分）来解题.找到两条对角线的交点，则交点和水井所在的直线将田地分成面积相等的两块.
解：设对角线AC，BD交于O，如下图，过O、P作直线交BC，AD于E、F，则线段EF分割的这两块田地符合要求.理由如下：易证OE=OF，BE=ＤF，AF=CE（把证线段相等转化为证三角形全等），四边形ABEF绕点O旋转180°，就与四边形CDFE重合，这两部分面积相等,又点P（井）在EF上，符合水井和两块地相邻的要求，故此种分法符合要求.
【反思】实际生活中有很多需要直接或间接用平行四边形的性质来解决的问题，我们要牢牢把握住性质以便可以灵活地运用它来解题.
二、以四边形为背景的问题
四边形是初中数学中最基础、最重要的一部分内容，特别是有关特殊的四边形知识是中考热点内容，现选取几例分类简析如下，供同学们参考.
一、与平行四边形有关的问题
例1 如图1，E、F分别是平行四边形ABCD对角线BD所在直线上两点，DE＝BF，请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只需研究一组线段相等即可）.
（1）连接________；（2）猜想：____________；
（3）证明：
（说明：写出证明过程的重要依据）
分析：用图中已有的点为端点构成线段，其结果是与图
中某一线段相等（或线段所在的三角形与图中某一个三角形全等）.
如连接CF，可以猜想CF=AE，然后通过证明△ADE≌△CBF实现.当然答案是不惟一的.
解：(1)CF；
(2)CF=AE；
(3)证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC （平行四边形对边平行且相等）
∴∠ADB=∠CBD（两直线平行内错角相等）
∴∠ADE=∠CBF(等角的补角相等)
∵ DE=BF
∴△ADE≌△CBF（SAS）
∴CF =AE（全等三角形的对应边相等）.
二、与矩形有关的问题
例2 如图2，AB=CD=DE，AD=EB，BE⊥DE，垂足为E．
(1)求证：△ABD≌△EDB.
(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.
分析：（1）由“SSS”很容易证明这两个三角形全等.
（2）这是一道条件开放题，添加的条件不惟一，可
依据矩形的判定定理，从边、角多角度地进行考虑，添加
条件，然后再给予证明.
解：(1)证明：在△ABD和△EDB中
∵，∴△ABD≌△EDB（SSS）.
（2）可以添加条件：AB∥CD或∠ABD=∠BDC等.
从中选取AB∥CD，证明如下：
∵AB=CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.∵BE⊥DE，∴∠BED=90?.又由上证知△ABD≌△EDB，∴∠BAD=∠BED=90?，∴四边形ABCD为矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
三、与正方形有关的问题
例3 如图4，在正方形ABCD中，△PBC、△QCD是两个等边三角形，PB与DQ交于M，BP与CQ交于E，CP与DQ交于F.
求证：PM = QM.
分析：不在同一个三角形中要证明PM=QM，可以通过证明
△MEQ≌△MFP得到.可以证明△EBC≌△FDC，得到CE=CF.
所以PF=QE.又∠P=∠Q，∠QME=∠PMF即可得证.
证明：在正方形ABCD中，△PBC、△QCD都是等边三角形，
∴∠QCB = ∠PCD = 30°.又∵BC = CD，∠PBC = ∠QDC，
∴△EBC≌△FDC.∴CE = CF.又∵CQ = CD = BC = CP，∴PF = QE.又∵∠P = ∠Q， ∠QME = ∠PMF，∴△MEQ≌△MFP，∴PM = QM.
点评：本题抓住正方形边相等和直角的性质，通过证明得到PF=QE，则有△MEQ≌△MFP.其实E、F是BP、QD的中点，由等腰三角形“三线合一”的性质也可以得出CE=CF，PF=QE.
四、与菱形有关的问题
例4 如图4，在菱形中，分别是上的点，
是延长线上一点，且．试说明．
分析：连接，由于是菱形的对角线上一点，所以由图中基本图形的结论，知，于是．又由题设可得，所以．又已知，所以四边形是平行四边形．故．解答过程请同学们完成．
三、转化思想在四边形中的应用
数学是思维的世界，有着众多的思维技巧，所以每道题在解题过程中，都会反映出一定的思维方法，如果我们有意识的注重这些思维方法，时间长了就会在头脑中对每一题的题感，即正确的思维方式。转化思想是“四边形的性质”这一重要内容中的典型的数学思想，灵活运用这一思维方法，会大大提高我们的解题能力。
1、三角形转化为平行四边形
例1、如图1，在△ABC中，AB=10，AC=6，那么BC边上的中线AD的取值范围是__________.
分析：延长AD到E，使ED=AD，连结BE、CE，则四边形ABEC是平行四边形，∴BE=AC，在△ABC中，
，即，
∴.
2、梯形转化为平行四边形和三角形
例2、如图2，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC⊥BD，且AD=1，BC=2，求梯形ABCD的面积。
分析：将对角线AC平移到DE的位置，过D作DF⊥BC,、垂足为F，则△BDE为等腰直角三角形，DF是斜边上的高，又是斜边上的中线。
∴
∴
∴
3、将多边形转化为三角形
例3、如图3，在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，AB=1，BC=CD=3，DE=2，求六边形ABCDEF的周长。
分析：延长六边形不相邻的两边，得到△GIH，在六边形ABCDEF中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°，
∴∠G=∠I=∠H=60°，∴△GIH是等边三角形。
∵AB=1，BC=CD=3，DE=2，
∴CH=BC=3，GB=AB=GA=1, ∴GH=7，
∴GI=GA+AF+FI=GH=7，
∵△FIE是等边三角形，∴FI=EF=IE，
∴六边形ABCDEF的周长=AF+EF+ED+DC+CB+BA=GI+CB+CD+DE=7+3+3+2=15.
F
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A
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图1
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