2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第1章1.31.3.2　空间几何体的体积word版含解析

1.3.2　空间几何体的体积
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解球、柱、锥和台的体积的计算公式(不要求记忆公式)．(重点)
2.会求柱、锥、台和球的体积．(重点、易错点)
3.会求简单组合体的体积及表面积．(难点)
通过学习本节内容来提升学生的直观想象、数学运算核心素养.
1．柱体、锥体、台体的体积
几何体
体积
柱体
V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)，
V圆柱＝πr2h(r为底面半径)
锥体
V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)，
V圆锥＝r2h(r为底面半径)
台体
V台体＝h(S＋＋S′)(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)，V圆台＝πh(r′2＋rr′＋r2)(r′，r分别为上、下底面半径)
思考：柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．
提示：V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.
2．球的体积和表面积
若球的半径为R，则
(1)球的体积V＝πR3．
(2)球的表面积S＝4πR2．
1．若正方体的体对角线长为a，则它的体积为________．
a3　[设正方体的边长为x，
则x＝a，
故x＝，V＝a3.]
2．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方体，则此圆柱的体积为__________．
　[设圆柱的底面半径为r，高为h，则有2πr＝2，即r＝，故圆柱的体积为V＝πr2h＝π×2＝.]
3．如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1∶V2＝________．
1∶24　[设三棱柱A1B1C1-ABC的高为h，底面三角形ABC的面积为S，则V1＝×S·h＝Sh＝V2，即V1∶V2＝1∶24.]
4．若球的表面积为36π，则该球的体积等于________．
36π　[设球的半径为R，由题意可知4πR2＝36π，
∴R＝3.∴该球的体积V＝πR3＝36π.]
多面体的体积
【例1】　如图，已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，点D是AB的中点，求三棱锥A1-B1CD的体积．
思路探究：法一：VA1-B1CD＝V柱－VA1-ADC－VB1-BDC－VC-A1B1C1.
法二：利用等体积法求解，VA1-B1CD＝VC-A1B1D.
[解]　∵AA1＝AC＝4，BC＝3，AC⊥BC，∴AB＝A1B1＝5.
法一：由题意可知VA1B1C1-ABC＝S△ABC×AA1
＝×4×3×4＝24.
又VA1-ADC＝×S△ABC×AA1＝S△ABC×AA1＝4.
VB1-BDC＝×S△ABC×BB1＝S△ABC×BB1＝4.
VC-A1B1C1＝S△A1B1C1×CC1＝8，
∴VA1-B1CD＝VA1B1C1-ABC－VA1-ADC－VB1-BDC－VC-A1B1C1
＝24－4－4－8＝8.
法二：在△ABC中，过C作CF⊥AB，垂足为F，
由平面ABB1A1⊥平面ABC知，CF⊥平面A1B1BA.
又S△A1B1D＝A1B1·AA1＝×5×4＝10.
在△ABC中，CF＝＝＝.
∴VA1-B1CD＝VC-A1B1D＝S△A1B1D·CF
＝×10×＝8.
几何体的体积的求法
(1)直接法：直接套用体积公式求解．
(2)等体积转移法：在三棱锥中，每一个面都可作为底面．为了求解的方便，我们经常需要换底，此法在求点到平面的距离时也常用到．
(3)分割法：在求一些不规则的几何体的体积时，我们可以将其分割成规则的、易于求解的几何体．
(4)补形法：对一些不规则(或难求解)的几何体，我们可以通过补形，将其补为规则(或易于求解)的几何体．
1．如图，在三棱锥P-ABC中，PA＝a，AB＝AC＝2a，∠PAB＝∠PAC＝∠BAC＝60°，求三棱锥P-ABC的体积．
[解]　∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC为正三角形，设D为BC的中点，连结AD，PD，作PO⊥平面ABC.
∵∠PAB＝∠PAC且AB＝AC，
∴O∈AD.
作PE⊥AB于点E，连结OE，
则OE⊥AB.
在Rt△PAE中，PE＝asin 60°
＝a，AE＝.
在Rt△AEO中，OE＝tan 30°＝a.
∴OP＝＝a.
又S△ABC＝BC·AD＝a2.
∴VP-ABC＝·S△ABC·OP＝a3.
旋转体的体积
【例2】　圆台上底的面积为16π cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么圆台的侧面积和体积各是多少？
思路探究：解答本题作轴截面可以得到等腰梯形，为了得到高，可将梯形分割为直角三角形和矩形，利用它们方便地解决问题．
[解]　如图，由题意可知，圆台的上底圆半径为4 cm，
于是S圆台侧＝π(r＋r′)l＝100π(cm2)．
圆台的高h＝BC
＝
＝＝4(cm)，
V圆台＝h(S＋＋S′)
＝×4×(16π＋＋36π)＝(cm3)．
求台体的体积关键是求高，为此常将有关计算转化为平面图形(三角形或特殊四边形)来计算．对于棱台往往要构造直角梯形和直角三角形；在旋转体中通常要过旋转轴作截面得到直角三角形、矩形或等腰梯形．
2.如图，△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．
[解]　如图所示，所得的旋转体是两个底面重合的圆锥的组合体，高的和AB＝5，
底面半径DC＝＝，
故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π，
V＝π·CD2·DA＋π·CD2·BD
＝π·CD2·(DA＋BD)＝π.
几何体的外接圆内切球的问题
[探究问题]
1．如果两个球的体积之比为8∶27，那么两个球的表面积之比为多少？
[提示]　V1∶V2＝8∶27＝R∶R，∴R1∶R2＝2∶3，
S1∶S2＝R∶R＝4∶9.
2．一底面边长为4的正六棱柱，高为6，则它的外接球(正六棱柱的顶点都在此球面上)的表面积是多少？
[提示]　因为正六棱柱的底面边长为4，所以它的底面圆的半径为4，所以球的半径为＝5，故球的表面积为4πr2＝4π×25＝100π.
【例3】　已知正四面体的棱长为a，四个顶点都在同一个球面上，试求这个球的表面积和体积．
思路探究：正四面体的顶点都在同一个球面上，球心和正四面体的中心是同一个点，球心与正四面体各顶点的距离即球的半径．
[解]　如图所示，设正四面体P-ABC的高为PO1，球的球心为O，半径为R，则
AO1＝AB＝a.
在Rt△PO1A中，
PO1＝
＝＝a，
在Rt△OO1A中，AO2＝AO＋OO，
即R2＝＋，
解得R＝a.
所以球的表面积S＝4πR2＝4π＝πa2，
体积V＝πR3＝π＝πa3.
处理有关几何体外接球的问题时，要注意球心的位置与几何体的关系，一般情况下，由于球的对称性，球心总是在几何体的特殊位置，比如中心、对角线中点等．该类问题的求解就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径．
3．已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．
[解]　如图，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于点O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心，设M是AB的中点，由于AC＝BC，则O1∈CM.
设O1M＝x，易知O1M⊥AB，
则O1A＝，O1C＝CM－O1M＝－x.
又O1A＝O1C，∴＝－x，
解得x＝.∴O1A＝O1B＝O1C＝.
在Rt△OO1A中，O1O＝，∠OO1A＝90°，OA＝R，
由勾股定理得＋＝R2，解得R＝，
则S球＝4πR2＝54π，V球＝πR3＝27π.
1．本节课的重点是通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体、球体积的求法，难点是会求组合体的体积．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求空间几何体体积的常用方法．
(2)求与组合体有关的体积的方法．
3．本节课的易错点是求几何体体积时易把相关数据弄错．
1．球的体积是，由此球的表面积是(　　)
A．12π　　　　　　 B．16π
C. D.
B　[则设球的半径为R，则由已知得πR3＝，解得R＝2.故球的表面积S表＝4πR2＝16π.]
2．已知一个长方体共顶点的三个面的面积为，，，这个长方体的对角线长是________．
　[设ab＝，bc＝，ac＝，则abc＝，c＝，a＝，b＝1.
∴l＝＝.]
3．(2019·全国卷Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.
[答案]　118.8
4．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，若这个球的体积是，求此三棱柱的体积．
[解]　由πR3＝，得R＝2，
∴正三棱柱的高h＝4.
设其底面边长为a，
则·a＝2，
∴a＝4，
∴V＝(4)2·4＝48.