2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修3学案：第2章2.3总体特征数的估计word版含解析
文档属性
| 名称 | 2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修3学案：第2章2.3总体特征数的估计word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 309.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-12 10:51:45 | ||
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文档简介
2.3 总体特征数的估计
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例理解样本的数字特征，如平均数、方差、标准差．
2．会计算所给样本的平均数、方差、标准差．(重点)
3．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．(难点)
1.通过求平均数、方差、标准差，提高学生的数学运算核心素养．
2．通过对平均数、方差、标准差的分析比较来解决问题，培养学生的数据分析核心素养.
1．众数
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数．
2．中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．
3．平均数
(1)若给定一组数据a1，a2，…，an，则称a＝i＝为这n个数据的平均数或均值．
(2)若一组数据中取值为a1，a2，…，an的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为a1p1＋a2p2＋…＋anpn.
4．方差与标准差
一般地，设样本数据分别是x1，x2，…，xn，样本的平均数为，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这个样本的方差，其算术平方根s＝为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．
5．极差
一组数据的最大值与最小值的差称为极差．
1．下面是高一(8)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99, 101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．
98 [将这组数据从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99, 101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数为98.]
2．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：
80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.
在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟．
68 [平均每天所需时间为＝68.]
3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.
3．2 [5个数据的平均数
＝＝7.
所以s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]
4．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________．
[平均数＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以s＝
＝.]
平均数、众数、中位数
【例1】 (1)一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：
178,178,182,182,178,180,178,180,181,180,181,180,180,182.则这个球队的队员平均身高是________cm(精确到1 cm)．
(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：
[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08.
则该样本数据的平均数为________．
(1)180 (2)19.42 [(1)法一：利用平均数的定义计算：
平均身高＝(178＋178＋182＋182＋178＋180＋178＋180＋181＋180＋181＋180＋180＋182)＝×2 520＝180(cm)．
法二：利用加权平均数公式计算：
平均身高＝(178×4＋182×3＋180×5＋181×2)＝×2 520＝180(cm)．
法三：利用新数据法进行计算：
取a＝180，将各数据同时减去180，得到一组新数据：
－2，－2,2,2，－2,0，－2,0,1,0,1,0,0,2.
这组新数据的平均数为′＝(－2×4＋2×3＋0×5＋1×2)＝0，所以平均身高＝a＋′＝180＋0＝180(cm)．
(2)利用频率平均数公式计算：
样本数据平均数＝13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.]
1．一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数公式＝(x1＋x2＋…＋xn)来计算．
2．如果x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋A．
当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，本例中“法三”可以减少运算量，故此法比较简便．
3．一般地，如果在n个数中，x1出现的频数为f1，x2出现的频数为f2，…，xk出现的频数为fk(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么＝(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)＝ifi叫做这n个数的频数平均数，也称加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
4．一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，那么其平均数为＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.如本例(2)中求平均数方法．
提醒：当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求平均数．
1．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________．
149．8克 [平均数为
＝
＝149.8(克)．]
2．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为，则新数据的平均数是________．
－3.1 [设原来数据为a1，a2，…，an，则a1＋a2＋…＋an＝n，从而新数据的平均数为
＝＝－3.1.]
极差、方差与标准差
【例2】 求一组数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的：
(1)极差；(2)方差；(3)标准差．
[解] (1)该组数据中最大值为9，最小值为5，故该组数据的极差为9－5＝4.
(2)求方差可以有三种方法：
法一：因为＝(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，
所以s2＝×[(7－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝1.2，
法二：同“法一”，求得＝7，
所以s2＝[(72＋62＋82＋…＋72)－10×72]＝1.2，
法三：将各数据减去7，得一组新数据：0，－1,1,1，－2,2,0,0，－1,0，则′＝0，所以＝′＋7＝7.
所以s2＝[02＋(－1)2＋12＋…＋02]－10×02＝1.2.
(3)由(2)知，标准差s＝＝＝.
1．极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．
2．方差的计算
(1)s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]；
(2)s2＝(x＋x＋…＋x－n2)；
(3)s2＝(x＋x＋…＋x)－2.
3．方差的性质
(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2(a，b∈R)．
(3)标准差、方差的范围为[0，＋∞)．
4．标准差的计算
方差的算术平方根即标准差，要求标准差先求出方差，再开方取其算术平方根即可．
提醒：方差、标准差的单位不一致要注意区别．
3．若一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，则该组数据的标准差s＝________.
[由平均数为5，得a＝5×5－(2＋3＋7＋8)＝5，则s2＝(32＋22＋22＋32＋02)＝，s＝＝.]
4．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则样本4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的标准差是________．
4 [根据方差的性质知
4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的方差为42×3＝48.
所以其标准差为＝4.]
平均数、方差与标准差的应用
【例3】 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，成绩超过1.65 m就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m方可获得冠军呢？
思路点拨：
[解] 甲的平均成绩和方差：
甲＝×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s＝×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差：
乙＝×(1.60＋1.73＋…＋1.75)＝1.68，s＝×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m方可获得冠军时，应派乙参加比赛．
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差)，方差(标准差)越大，说明取值分散性越大，方差(标准差)越小，说明取值分散性越小，取值比较集中、稳定．
5．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：
甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；
乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.
根据以上数据估计两个供货商的交货情况：哪个供货商交货时间短一些？哪个供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商？
思路点拨：先分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，再作判断．
[解] 甲＝(10＋9＋…＋10)＝10.1，s＝(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49；乙＝(8＋10＋…＋12)＝10.5，s＝(82＋102＋…＋122)－10.52＝6.05>s.
从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货时间短一些；从方差来看，甲供货商的交货时间较稳定．因此甲供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商．
6．从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
思路点拨：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．
[解] (1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)，
因为甲<乙．故乙种玉米苗长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2(cm2)．
s＝[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝128.8(cm2)．
因为s所以甲种玉米的苗长得齐．
1．本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．
2．本节课要掌握以下几类问题
(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值．
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
1．已知1,2,3,4，x1，x2，x3的平均数是8，那么x1＋x2＋x3的值是( )
A．56 B．48
C．46 D．24
C [由条件知，1＋2＋3＋4＋x1＋x2＋x3＝8×7，
所以x1＋x2＋x3＝46.]
2．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
(1)7 (2)2 [(1)＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.
(2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以s＝＝＝2.]
3．已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________．
[＝＝3，
∴x＝4.
由方差公式有：
s2＝[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，
∴s＝.]
4．有两位射击运动员在一起射击，测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：8,7,9,7,5,4,10,9,7,4；
乙：5,9,8,7,7,6,6,8,7,7.
如果这是一次选拔性考核，应当选择谁？
思路点拨：平均数反映总体的平均水平，而方差反映了总体的稳定程度，我们可用平均数与方差从不同的方面估计总体．
[解] 甲＝(8＋7＋9＋7＋5＋4＋10＋9＋7＋4)＝7，
乙＝(5＋9＋8＋7＋7＋6＋6＋8＋7＋7)＝7.
s＝[(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(10－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4.
s＝[(5－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2.
由甲＝乙知两个射击运动员的平均成绩是一样的．
由s>s知，甲的成绩不如乙的成绩稳定．
综合考虑，应选择乙．
学 习 目 标
核 心 素 养
1.通过实例理解样本的数字特征，如平均数、方差、标准差．
2．会计算所给样本的平均数、方差、标准差．(重点)
3．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征，并作出合理的解释．(难点)
1.通过求平均数、方差、标准差，提高学生的数学运算核心素养．
2．通过对平均数、方差、标准差的分析比较来解决问题，培养学生的数据分析核心素养.
1．众数
一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数．
2．中位数
把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于中间位置的那个数称为这组数据的中位数．当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大的顺序排列的中间的那个数．当数据个数为偶数时，中位数是按从小到大的顺序排列的最中间两个数的平均数．
3．平均数
(1)若给定一组数据a1，a2，…，an，则称a＝i＝为这n个数据的平均数或均值．
(2)若一组数据中取值为a1，a2，…，an的频率分别为p1，p2，…，pn，则其平均数为a1p1＋a2p2＋…＋anpn.
4．方差与标准差
一般地，设样本数据分别是x1，x2，…，xn，样本的平均数为，则称s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]为这个样本的方差，其算术平方根s＝为样本的标准差，分别简称样本方差、样本标准差．
5．极差
一组数据的最大值与最小值的差称为极差．
1．下面是高一(8)班十位同学的数学测试成绩：82,91,73,84,98,99, 101,118,98,110，则该组数据的中位数是________．
98 [将这组数据从小到大排列为73,82,84,91,98,98,99, 101,110,118，则最中间的两个数为98,98，故中位数为98.]
2．在一段时间里，一个学生记录了其中10天他每天完成家庭作业所需要的时间(单位：分钟)，结果如下：
80,70,70,70,60,60,80,60,60,70.
在这段时间里，该学生平均每天完成家庭作业所需时间是________分钟．
68 [平均每天所需时间为＝68.]
3．某老师从星期一到星期五收到的信息数分别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.
3．2 [5个数据的平均数
＝＝7.
所以s2＝[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.]
4．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________．
[平均数＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，所以s＝
＝.]
平均数、众数、中位数
【例1】 (1)一个球队所有队员的身高如下(单位：cm)：
178,178,182,182,178,180,178,180,181,180,181,180,180,182.则这个球队的队员平均身高是________cm(精确到1 cm)．
(2)有容量为100的样本，数据分组及各组的频数、频率如下：
[12.5,14.5)，6,0.06；[14.5,16.5)，16,0.16；[16.5，18.5)，18,0.18；[18.5,20.5)，22,0.22；[20.5,22.5)，20,0.20；[22.5,24.5)，10,0.10；[24.5,26.5]，8,0.08.
则该样本数据的平均数为________．
(1)180 (2)19.42 [(1)法一：利用平均数的定义计算：
平均身高＝(178＋178＋182＋182＋178＋180＋178＋180＋181＋180＋181＋180＋180＋182)＝×2 520＝180(cm)．
法二：利用加权平均数公式计算：
平均身高＝(178×4＋182×3＋180×5＋181×2)＝×2 520＝180(cm)．
法三：利用新数据法进行计算：
取a＝180，将各数据同时减去180，得到一组新数据：
－2，－2,2,2，－2,0，－2,0,1,0,1,0,0,2.
这组新数据的平均数为′＝(－2×4＋2×3＋0×5＋1×2)＝0，所以平均身高＝a＋′＝180＋0＝180(cm)．
(2)利用频率平均数公式计算：
样本数据平均数＝13.5×0.06＋15.5×0.16＋17.5×0.18＋19.5×0.22＋21.5×0.20＋23.5×0.10＋25.5×0.08＝19.42.]
1．一般情况下，要计算一组数据的平均数，可使用平均数公式＝(x1＋x2＋…＋xn)来计算．
2．如果x1，x2，…，xn的平均数为，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是m＋A．
当数据较大，且大部分数据在某一常数左右波动时，本例中“法三”可以减少运算量，故此法比较简便．
3．一般地，如果在n个数中，x1出现的频数为f1，x2出现的频数为f2，…，xk出现的频数为fk(其中f1＋f2＋…＋fk＝n)，那么＝(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)＝ifi叫做这n个数的频数平均数，也称加权平均数，其中f1，f2，…，fk叫做权．
4．一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，那么其平均数为＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.如本例(2)中求平均数方法．
提醒：当条件给出某几个范围内的数据的频率或频数时，可用组中值求平均数．
1．某商场买来一车苹果，从中随机抽取了10个苹果，其重量(单位：克)分别为150,152,153,149,148,146,151,150,152,147，由此估计这车苹果单个重量的平均值是________．
149．8克 [平均数为
＝
＝149.8(克)．]
2．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数为，则新数据的平均数是________．
－3.1 [设原来数据为a1，a2，…，an，则a1＋a2＋…＋an＝n，从而新数据的平均数为
＝＝－3.1.]
极差、方差与标准差
【例2】 求一组数据7,6,8,8,5,9,7,7,6,7的：
(1)极差；(2)方差；(3)标准差．
[解] (1)该组数据中最大值为9，最小值为5，故该组数据的极差为9－5＝4.
(2)求方差可以有三种方法：
法一：因为＝(7×4＋6×2＋8×2＋5＋9)＝7，
所以s2＝×[(7－7)2＋(6－7)2＋…＋(7－7)2]＝1.2，
法二：同“法一”，求得＝7，
所以s2＝[(72＋62＋82＋…＋72)－10×72]＝1.2，
法三：将各数据减去7，得一组新数据：0，－1,1,1，－2,2,0,0，－1,0，则′＝0，所以＝′＋7＝7.
所以s2＝[02＋(－1)2＋12＋…＋02]－10×02＝1.2.
(3)由(2)知，标准差s＝＝＝.
1．极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．
2．方差的计算
(1)s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]；
(2)s2＝(x＋x＋…＋x－n2)；
(3)s2＝(x＋x＋…＋x)－2.
3．方差的性质
(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等．
(2)若数据x1，x2，…，xn的方差为s2，则数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2(a，b∈R)．
(3)标准差、方差的范围为[0，＋∞)．
4．标准差的计算
方差的算术平方根即标准差，要求标准差先求出方差，再开方取其算术平方根即可．
提醒：方差、标准差的单位不一致要注意区别．
3．若一组样本数据2,3,7,8，a的平均数为5，则该组数据的标准差s＝________.
[由平均数为5，得a＝5×5－(2＋3＋7＋8)＝5，则s2＝(32＋22＋22＋32＋02)＝，s＝＝.]
4．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则样本4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的标准差是________．
4 [根据方差的性质知
4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的方差为42×3＝48.
所以其标准差为＝4.]
平均数、方差与标准差的应用
【例3】 某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对甲、乙两名跳高运动员进行了8次选拔比赛，他们的成绩(单位：m)如下：
甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67；
乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.
经预测，成绩超过1.65 m就很有可能获得冠军，该校为了获取冠军，可能选哪位选手参赛？若预测成绩超过了1.70 m方可获得冠军呢？
思路点拨：
[解] 甲的平均成绩和方差：
甲＝×(1.70＋1.65＋…＋1.67)＝1.69，s＝×[(1.70－1.69)2＋(1.65－1.69)2＋…＋(1.67－1.69)2]＝0.000 6.
乙的平均成绩和方差：
乙＝×(1.60＋1.73＋…＋1.75)＝1.68，s＝×[(1.60－1.68)2＋(1.73－1.68)2＋…＋(1.75－1.68)2]＝0.003 15.
显然，甲的平均成绩高于乙的平均成绩，而且甲的方差小于乙的方差，说明甲的成绩比乙稳定，由于甲的平均成绩高于乙，且成绩稳定，所以若成绩超过1.65 m就很可能获得冠军，应派甲参赛．在这8次选拔比赛中乙有5次成绩在1.70 m以上，虽然乙的平均成绩不如甲，成绩的稳定性也不如甲，但当成绩超过1.70 m方可获得冠军时，应派乙参加比赛．
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究其偏离平均值的离散程度(方差或标准差)，方差(标准差)越大，说明取值分散性越大，方差(标准差)越小，说明取值分散性越小，取值比较集中、稳定．
5．假定以下数据是甲、乙两个供货商的交货天数：
甲：10,9,10,10,11,11,9,11,10,10；
乙：8,10,14,7,10,11,10,8,15,12.
根据以上数据估计两个供货商的交货情况：哪个供货商交货时间短一些？哪个供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商？
思路点拨：先分别计算出甲、乙两组数据的平均数及方差，再作判断．
[解] 甲＝(10＋9＋…＋10)＝10.1，s＝(102＋92＋…＋102)－10.12＝0.49；乙＝(8＋10＋…＋12)＝10.5，s＝(82＋102＋…＋122)－10.52＝6.05>s.
从交货天数的平均值来看，甲供货商的交货时间短一些；从方差来看，甲供货商的交货时间较稳定．因此甲供货商是比较具有一致性与可靠性的供货商．
6．从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
思路点拨：看哪种玉米的苗长得高，只要比较甲、乙两种玉米的平均高度即可；要比较哪种玉米的苗长得齐，只要看两种玉米高的方差即可，因为方差是体现一组数据波动大小的特征数．
[解] (1)甲＝(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30(cm)，
乙＝(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝31(cm)，
因为甲<乙．故乙种玉米苗长得高．
(2)s＝[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2(cm2)．
s＝[(27－31)2＋(16－31)2＋(44－31)2＋(27－31)2＋(44－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2＋(40－31)2＋(16－31)2＋(40－31)2]＝128.8(cm2)．
因为s
1．本节课的重点是会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差，难点是理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法．
2．本节课要掌握以下几类问题
(1)当平均数大于中位数时，说明数据中存在较大的极端值；反之，说明数据中存在较小的极端值．
(2)标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小.
1．已知1,2,3,4，x1，x2，x3的平均数是8，那么x1＋x2＋x3的值是( )
A．56 B．48
C．46 D．24
C [由条件知，1＋2＋3＋4＋x1＋x2＋x3＝8×7，
所以x1＋x2＋x3＝46.]
2．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.
则：(1)平均命中环数为________；
(2)命中环数的标准差为________．
(1)7 (2)2 [(1)＝(7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋4)＝7.
(2)s2＝[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，所以s＝＝＝2.]
3．已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是________．
[＝＝3，
∴x＝4.
由方差公式有：
s2＝[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，
∴s＝.]
4．有两位射击运动员在一起射击，测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲：8,7,9,7,5,4,10,9,7,4；
乙：5,9,8,7,7,6,6,8,7,7.
如果这是一次选拔性考核，应当选择谁？
思路点拨：平均数反映总体的平均水平，而方差反映了总体的稳定程度，我们可用平均数与方差从不同的方面估计总体．
[解] 甲＝(8＋7＋9＋7＋5＋4＋10＋9＋7＋4)＝7，
乙＝(5＋9＋8＋7＋7＋6＋6＋8＋7＋7)＝7.
s＝[(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(10－7)2＋(9－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4.
s＝[(5－7)2＋(9－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2＋(6－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(7－7)2]＝1.2.
由甲＝乙知两个射击运动员的平均成绩是一样的．
由s>s知，甲的成绩不如乙的成绩稳定．
综合考虑，应选择乙．