16.1二次根式
一、单选题
1．下列式子是二次根式的是
A． B． C． D．
2．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
3．把x根号外的因数移到根号内，结果是（ ）
A． B． C．- D．-
4．如果，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知下列各式，，， ，其中二次根式的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．若=0，则=( )
A． B． C． D．
二、填空题
7．若二次根式有意义，则的取值范围是_________.
8．计算：=____．
9．已知实数，满足，则的值为__________．
三、解答题
10．先化简，再求值：，其中x=4．
11．先化简，再求值：，其中a=2，．
试卷第1页，总3页
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参考答案
1．A
【解析】
【分析】
根据二次根式的被开方数是非负数对每个选项做判断即可．
【详解】
解：A、∵x2＋2≥2，∴符合二次根式定义，此选项正确；
B、当x＝?1时，无意义，此选项错误；
C、当x＝1时，?x?2＝?3＜0，无意义，此选项错误；
D、当x＝±1时，x2?2＝?1＜0，无意义，此选项错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的定义．一般形如（a≥0）的代数式叫做二次根式．
2．C
【解析】
【分析】
根据数轴上点的位置判断出a﹣4与a﹣11的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，去括号合并即可得到结果．
【详解】
解：根据数轴上点的位置得：5＜a＜10，
∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，
则原式＝|a﹣4|﹣|a﹣11|＝a﹣4+a﹣11＝2a﹣15，
故选：C．
【点睛】
此题考查了二次根式的性质与化简，以及实数与数轴，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．C
【解析】
解：由有意义，可知x＜0，∴==．故选C．
点睛：本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是求出x＜0．
4．B
【解析】
试题分析：根据二次根式的性质1可知：，即故答案为B..
考点：二次根式的性质.
5．D
【解析】
【分析】
根据二次根式的概念求解即可，二次根式中的被开方数既可以是一个数也可以是一个含有字母的式子，只需被开方数大于等于零即可．
【详解】
解：∵，∴是二次根式；
∵的值不一定大于等于0，∴不一定是二次根式；
∵，∴是二次根式；
∵，∴是二次根式；
∵，∴是二次根式．
∴二次根式的个数有4个．
故选：D．
【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义，比较基础，熟记定义内容即可．
6．B
【解析】
【分析】
由=0可得x=﹣6，y=﹣2，再代入中即可计算．
【详解】
解：∵=0，
∴x+6=0，2+y=0，
解得x=﹣6，y=﹣2，
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式的非负性以及二次根数的化简，解题的关键是得出x，y得值，并对二次根式进行正确的化简．
7．
【解析】
试题分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，列不等式求解．
试题解析：根据二次根式的意义，得2x－4≥0，
解得x≥2．
考点：二次根式有意义的条件．
8．4
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质化简即可.
【详解】
原式=.
故答案为：4.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解答本题的关键.
9．-1
【解析】
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．
【详解】
∵与都有意义，
∴x=3，则y=2，
故（y-x）2011=-1．
故答案为：-1．
【点睛】
此题考查二次根式有意义的条件，正确得出x的值是解题关键．
10． ，．
【解析】
【分析】
先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算可得．
【详解】
原式=
=
= ，
当x=4时，
原式=．
【点睛】
此题考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
11．，
【解析】
【分析】
利用整式的混合运算法则进行计算.
【详解】
解：原式=
=
=
当a=2，时，
原式==.
【点睛】
本题考查了整式的混合运算和二次根式的化简，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键.
答案第1页，总2页
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本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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16.2二次根式乘除
一、单选题
1．下列式子中，属于最简二次根式的是( )
A． B． C． D．
2．下列计算错误的是 ( )
A． B．
C． D．
3．能使成立的x的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥0 C．x≥2 D．x＞2
4．已知m＝，n＝，则代数式的值为 （ ）
A．3 B．3 C．5 D．9
5．设，用含、的式子表示，下列表示正确的是
A．2a B．2b C．a+b D．ab
6．计算 的结果为（ ）.
A． B． C． D．2
二、填空题
7．若ab<0,化简的结果是____.
8．计算=_______
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
试卷第1页，总3页
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三、解答题
9．先化简，再求值：÷（﹣），其中a＝+1，b＝﹣1．
10．计算：
（1）
（2）（4﹣3）×．
（3）
（4）
（5）
参考答案
1．D
【解析】
分析：检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
详解：A.被开方数含能开得尽方的因数或因式，故不符合题意；
B. 被开方数含分母，故不符合题意；
C.被开方数含分母，故不符合题意；
D. 被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故符合题意；
故选D.
点睛：此题考查了最简二次根式：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，满足这两个条件的二次根式才是最简二次根式.
2．D
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则即可计算，进行判断.
【详解】
，正确；
，正确；
，正确；
，故错误，
故选D.
【点睛】
此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则.
3．D
【解析】
【分析】
根据被开方数为非负数，且分式的分母不能为0，列不等式组求出x的取值范围即可．
【详解】
由题意可得：，解得：x＞2．
故选D．
【点睛】
二次根式的被开方数是非负数，分母不为0，是本题确定取值范围的主要依据．
4．B
【解析】
【分析】
由已知可得：，=.
【详解】
由已知可得：，
原式=
故选：B
【点睛】
考核知识点：二次根式运算.配方是关键.
5．D
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质变形得出答案．
【详解】
∵，
∴=ab．
故选：D．
【点睛】
此题考查算术平方根，正确将二次根式变形是解题关键．
6．D
【解析】
【分析】
根据二次根式的除法法则进行计算即可.
【详解】
原式=.
故选：D.
【点睛】
本题考查二次根式的除法，掌握二次根式的除法法则是解答本题的关键.
7．
【解析】
的被开方数a2b＞0，而a2＞0，所以b＞0．又因为ab＜0，所以a、b异号，所以a＜0，所以．
8．2
【解析】
【分析】
根据二次根式的除法法则进行计算即可.
【详解】
.
故答案为2
【点睛】
考核知识点：二次根式除法.掌握法则是关键.
9．，
【解析】
【分析】
先对原式进行分式的混合运算化简，再把a、b的值代入化简式中计算即可.
【详解】
解：÷（-）
＝÷
＝
＝，
当a＝+1，b＝-1时，原式＝＝．
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，及条件求值，掌握分式运算法则和顺序是基础，正确地进行因式分解是解题的关键.
10．（1）；（2）16﹣12；（3）；（4）20+6；（5）5+
【解析】
【分析】
（1）根据二次根式的性质化简即可求解；
（2）根据二次根式的运算法则即可求解；
（3）根据二次根式的运算法则即可求解；
（4）根据二次根式的运算法则即可求解；
（5）根据二次根式的运算法则即可求解；
【详解】
解：（1）
＝
＝；
（2）（4﹣3）×
＝4﹣3
＝16﹣12．
（3）原式＝（6+﹣4）÷
＝÷
＝．
（4）
＝
＝18+6+1+3﹣2
＝20+6．
（5）
＝+3﹣1
＝3++3﹣1
＝5+．
【点睛】
此题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟知二次根式的运算法则．
答案第1页，总2页
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16.2二次根式加减
一、单选题
1．在下列各式中，二次根式的有理化因式是( )
A． B． C． D．
2．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
3．下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知a＝，b＝，则a与b的关系是( )
A．a＝b B．ab＝1 C．a＝﹣b D．ab＝﹣5
5．下列算式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．估计的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
二、填空题
7．如图，从一个大正方形中裁去面积为8cm2和18cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分面积和为_____．
8．计算的结果是_____．
9．若m满足等式+|2019﹣m|＝m，则m﹣20192的值为__________．
三、解答题
10．计算：
（1） （2）
（3） （4）
11．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝﹣3．
12．观察下列各式
，，…
（1）猜想：
①；
②；
（2）请证明②式；
（3）计算：+++．
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参考答案
1．C
【解析】
【分析】
二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案．
【详解】
∵，
∴二次根式的有理化因式是：.
故选C.
2．C
【解析】
【分析】
根据合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方计算即可．
【详解】
A．，不能合并，故此选项错误；
B．，故此选项错误；
C．，故此选项正确；
D．，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了合并同类项的运算法则，同底数幂的除法的运算法则，幂的乘方的运算法则，掌握整式的运算法则是解题的关键．
3．C
【解析】
试题解析：A、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
B、与被开方数不同，故不是同类二次根式；
C、与被开方数相同，故是同类二次根式；
D、与被开方数不同，故不是同类二次根式．
故选C．
考点：同类二次根式．
4．A
【解析】
【分析】
将b进行分母有理化，然后进行比较即可．
【详解】
解：b＝＝＝，a＝，
所以a=b．
故选：A．
【点睛】
本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键．
5．C
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减法对A、B进行判断；根据完全平方公式对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【详解】
A、原式=2，所以A选项错误；
B、与不能合并，所以B选项错误；
C、原式=3-2+2=5-2，所以C选项正确；
D、原式= ，所以D选项错误．
故选：C．
【点睛】
此题考查二次根式的混合运算，解题关键在于掌握先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．
6．C
【解析】
【分析】
先将原式化简为2+，由于在4和5之间，那么2+就在6和7之间.
【详解】
解：=2+6=2+
又因为4＜＜5
所以6＜2+＜7
故答案为C.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简，其中明确化简方向和正确的估值是解题的关键.
7．24cm2
【解析】
【分析】
直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案．
【详解】
解：∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，
∴大正方形边长为：＝2+3＝5，
∴大正方形面积为（5）2＝50，
∴留下的阴影部分面积和为：50﹣8﹣18＝24（cm2）
故答案为：24cm2．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的应用，正确得出大正方形的边长是解题关键．
8．
【解析】
【分析】
直接化简二次根式，进而合并得出答案．
【详解】
解：原式
，
．
故答案为：．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
9．2020
【解析】
【分析】
先根据二次根式有意义的条件求出m的取值范围，继而将所给等式中的绝对值进行化简，将所得等式两边平方整理后即可求得答案．
【详解】
由题意得：m-2020≥0，
所以m≥2020，
所以2019-m<0，
则等式+|2019﹣m|＝m可转化为：+m-2019＝m，
所以=2019，
所以m-2020=20192，
所以m-20192=2020，
故答案为：2020．
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，绝对值的化简，正确求出m的取值范围，灵活运用相关知识是解题的关键．
10．（1）；（2）；（3）；（4）
【解析】
【分析】
（1）先计算乘方，再计算除法，最后算加减运算；（2）利用乘法的分配律计算即可；（3）先对二次根式化简，再进行二次根式的加减运算；（4）先计算负指数幂、零指数幂、去绝对值符号及乘法运算，再进行有理数的加减运算.
【详解】
（1）原式=
（2）原式=
（3）原式=
（4）原式=
【点睛】
此题考查了有理数的加减混合运算、二次根式的混合运算、去绝对值等，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
11．；1﹣2
【解析】
【分析】
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
【详解】
原式＝
=
＝，
当x＝﹣3时，原式＝.
【点睛】
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键.
12．（1）①；②；（2）证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】
（1）①根据已知等式的规律即可得出结论；
②根据已知等式的规律总结出公式即可；
（2）将②等式的左右两侧分别平方，利用多项式乘多项式法则化简，进行验证即可证明；
（3）利用②的等式逐一变形计算，并利用裂项相消计算即可．
【详解】
解：（1）①由题意可得，
，
故答案为：；
②，
故答案为：；
（2）证明：∵，
，
∴；
（3）+++
．
【点睛】
此题考查的是探索运算规律题，找出式子的运算规律并归纳公式是解决此题的关键．
答案第1页，总2页
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16.章单元检测
一、单选题
1．（4分）下列根式中，与是同类二次根式的是 （ ）
A． B． C． D．
2．（4分）如果，那么代数式的值为
A． B． C． D．
3．（4分）已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（4分）下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（4分）已知二次根式的值为3，那么的值是（ ）
A．3 B．9 C．－3 D．3或－3
6．（4分）若＝x﹣5，则x的取值范围是（ ）
A．x＜5 B．x≤5 C．x≥5 D．x＞5
7．（4分）如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：① ； ②＝1；③＝－b．其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
8．（4分）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）计算2×÷3的结果是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则下列大小关系正确的是( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．a＞c＞b
二、填空题
11．（5分）若式子有意义，则x的取值范围是 ．
12．（5分）计算______．
13．（5分）比较大小：（填“＞”或“＜”或“＝”）．
14．（5分）如果最简二次根式是同类二次根式，则a=___________。
15．（5分）如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a_____．
16．（5分）若，则二次根式化简的结果为________．
17．（5分）已知a，b，c为三角形的三边，则=_________.
18．（5分）观察下列各式：＝2；＝3；＝4，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来_____．
19．（5分）比较大小________．（填“>”，“＝”，“<”号）
20．（5分）化简的结果为_____．
三、解答题
21．（5分）若,则的值为______.
22．（5分）先化简，再求值：，其中a＝－1．
23．（10分）观察下列等式：
第1个等式：a1=-1，
第2个等式：a2=，
第3个等式：a3==2-，
第4个等式：a4=-2，
…
按上述规律,回答以下问题：
(1)请写出第n个等式：an=__________.
(2)a1+a2+a3+…+an=_________.
24．（10分）观察、发现：====﹣1
（1）试化简： ；
（2）直接写出：= ；
（3）求值：+++…+ ．
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参考答案
1．B
【解析】
【分析】
【详解】
解：A、 ，不是同类二次根式，故本选项错误；
B、，是同类二次根式，正确；
C、，不是同类二次根式，故本选项错误；
D、，不是同类二次根式，故本选项错误；
故选B.
2．A
【解析】
分析：根据分式混合运算的法则进行化简，再把整体代入即可.
详解：原式，
∵，
∴原式．
故选A.
点睛：考查分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键.
3．A
【解析】
试题解析：由，得
，
解得．
2xy=2×2.5×（-3）=-15，
故选A．
4．B
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减乘除运算法则逐一计算可得.
【详解】
A、与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；
B、 ===，此选项正确；
C、=（5-）÷=5-，此选项错误；
D、 =，此选项错误；
故选B
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则.
5．D
【解析】
试题分析：∵，∴．故选D．
考点：二次根式的性质．
6．C
【解析】
【分析】
因为=-a（a≤0），由此性质求得答案即可．
【详解】
∵=x-5，
∴5-x≤0
∴x≥5．
故选C．
【点睛】
此题考查二次根式的性质：=a（a≥0），=-a（a≤0）．
7．D
【解析】
【分析】
先根据ab＞0，a＋b＜0，判断出a、b的符号，再逐个式子分析即可.
【详解】
∵ab＞0，a＋b＜0，
∴a<0，b<0，
∴无意义，故①不正确；
，故②正确
，故③正确.
故选D.
【点睛】
本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键. ，， （a≥0，b>0）.
8．A
【解析】
【分析】
由二次根式的被开方数是非负数，可得-a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，可确定a、b的取值范围，即可得答案．
【详解】
∵有意义，
∴-a3b≥0，即a3b≤0，
∴a、b异号，
∵a∴a<0，b>0，
∴==-a，
故选A.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简与性质.二次根式的被开方数必须是非负数,从而必须保证开方出来的数也需要是非负数.
9．A
【解析】
【分析】
根据二次根式的运算法则，按照运算顺序进行计算即可．
【详解】
2=（23）．
故选A．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，根据运算顺序准确计算是解题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
先将a，b根据同分子比较法进行比较，然后把b、c变形后，再根据同分子比较法：分母大的反而小进行比较即可．
【详解】
∵a=，b=，b=, c=
根据同分子比较法：分母大的反而小进行比较可得：
＞ 即a>b;＞ 即b>c
∴a>b>c
故答案选:A.
【点睛】
本题考查了实数比较大小，将b，c进行适当的变形是解题的关键．
11．且
【解析】
【详解】
∵式子在实数范围内有意义，
∴x+1≥0，且x≠0，
解得：x≥-1且x≠0.
故答案为x≥-1且x≠0.
12．
【解析】
【分析】
先进行二次根式的化简，然后合并．
【详解】
解：原式．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次根式的加减法，正确化简二次根式是解题的关键．
13．
【解析】
试题分析：两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小.-3=-；-2=-，根据1812可得：--.
考点：二次根式的大小比较
14．5
【解析】
【分析】
根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．
【详解】
∵最简二次根式是同类二次根式，
∴3a?8=17?2a，解得：a=5.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查同类二次根式，最简二次根式.
15．2．
【解析】
【分析】
直接利用二次根式的性质以及结合数轴得出a的取值范围进而化简即可．
【详解】
由数轴可得：0＜a＜2，
则a+=a+=a+（2﹣a）=2．
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a的取值范围是解题的关键．
16．－
【解析】
【分析】
首先判断出x，y的符号，再利用二次根式的性质化简求出答案．
【详解】
∵，且有意义，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．即， （a≥0，b>0）.
17．
【解析】
解：∵a，b，c为三角形的三边，∴a+b＞c，c+a＞b，b+c＞a，∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，b+c﹣a＞0，∴原式=|a+b﹣c|+|b﹣c﹣a|+|b+c﹣a|=a+b﹣c+a+c﹣b+b+c﹣a=a+b+c．故答案为a+b+c．
点睛：本题考查了二次根式的性质．此题难度适中，注意掌握=|a|．
18．
【解析】
【分析】
根据题目中的式子的特点，找到等号左右两边被开方数中的数的规律即可得到第n个式子．
【详解】
解：题目中的第1个式子即为：＝,，
第2个式子即为：＝，
第3个式子即为：＝，
……
所以第n个式子为：．
故答案为：．
【点睛】
本题是二次根式的规律探求题，属于常考题型，根据题目的特点找到规律是解答的关键．
19．>
【解析】
试题解析：6=，7=，180>147，所以6>7
故答案为
20．+1
【解析】
【分析】
利用积的乘方得到原式＝[（﹣1）（+1）]2017?（+1），然后利用平方差公式计算．
【详解】
原式＝[（﹣1）（+1）]2017?（+1）＝（2﹣1）2017?（+1）＝+1．
故答案为：+1．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
21．1
【解析】
∵x=﹣3，∴====1．
22．；．
【解析】
【分析】
首先将括号里面的分式进行通分，然后将除法改成乘法进行约分化简，最后将a的值代入化简后的式子进行计算，得出答案．
【详解】
解：原式=
当a=－1时，原式=
【点睛】
本题考查分式的化简；二次根式的计算．
23．（1）=； （2）．
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知，，，，
，…由此得出第n个等式：an=；
（2）将每一个等式化简即可求得答案．
【详解】
解：（1）∵第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
∴第n个等式：an=；
（2）a1+a2+a3+…+an
=（
=．
故答案为；．
【点睛】
此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．
24．（1）；（2）（3）9
【解析】
试题分析：（1）仔细阅读，发现规律：分母有理化，然后仿照规律计算即可求解；
（2）根据规律直接写出结果；
（3）根据规律写出结果，找出部分互为相反数的特点，然后计算即可.
试题解析：（1）原式===；
（2）原式==；
故答案为
（3）由（2）可知：
原式=﹣1++﹣+…+﹣
=﹣1+
=9.
答案第1页，总2页
答案第1页，总2页
