2020年数学中考专题复习六：阅读理解（2）新方法 （PDF教师版）

1

中考专题复习六：阅读理解（2）——新方法型
典型例题：
例 1．阅读下列材料：解形如 4 4( ) ( )x a x b c+ + + = 的一元四次方程时，可以先求常数 a 和 b 的均值
2
a b+
，然后设
2
a b
y x
+
= + ．再把原方程换元求解，用种方法可以成功地消去含未知数的奇次项，使方程转化成易于求解的双二
次方程，这种方法叫做“均值换元法”．
例：解方程： 4 4( 2) ( 3) 1x x? + ? =
解：因为 2? 和 3? 的均值为
5
2
?
，所以，设
5
2
y x= ? ，原方程可化为 4 4
1 1
( ) ( ) 1
2 2
y y+ + ? = ，
去括号，得： 2 2 2 2
1 1
( ) ( ) 1
4 4
y y y y+ + + ? + =
4 2 3 2 4 2 3 21 1 1 1 1 12 2 1
16 2 2 16 2 2
y y y y y y y y y y+ + + + + + + + ? + ? =
整理，得： 4 2
7
2 3 0
8
y y+ ? = （成功地消去了未知数的奇次项）
解得： 2
1
4
y = 或 2
7
4
y = ? （舍去）
所以
1
2
y = ? ，即
5 1
2 2
x ? = ? ．所以 3x = 或 2x = ．
（1）用阅读材料中这种方法解关于 x 的方程 4 4( 3) ( 5) 1130x x+ + + = 时，先求两个常数的均值为 ．
设 y x= + ．原方程转化为： (y ? 4) (y+ + 4) 1130= ．
（2）用这种方法解方程 4 4( 1) ( 3) 706x x+ + + =
【解答】：（1）因为 3 和 5 的均值为 4，所以，设 ，原方程可化为 ，
故答案为 4，4，1，1；
（2）因为 1 和 3 的均值为 2，所以，设 ，原方程可化为 ，
去括号，得： ，
，
整理，得： （成功地消去了未知数的奇次项）
解得： 或 （舍去）
所以 ，即 ．所以 或


例 2．（2019?沙坪坝区校级二模）阅读下列材料：
消元求值作为解决代数式求值时一种常用方法，在实际解题过程中应用非常广泛，常见的消元方法有：代入消元
法，加减消元法、比值消元法等方法，下面介绍一种倒数消元法．
例：已知
1
1a
b
+ = ，
1
1b
c
+ = ．求
1
c
a
+ 的值
4y x= +
4 4( 1) ( 1) 1130y y? + + =
2y x= +
4 4( 1) ( 1) 706y y? + + =
2 2 2 2( 2 1) ( 2 1) 706y y y y? + + + + =
4 2 3 2 4 2 3 24 1 4 2 4 4 1 4 2 4 706y y y y y y y y y y+ + ? + ? + + + + + + =
4 22 12 704 0y y+ ? =
2 16y = 2 22y = ?
4y = ? 2 4x + = ? 2x = 6x = ?
2

分析：已知条件中是关于 a 与 b 、 b 与 c 的关系式，要求关于 a 、 c 的代数式的值，则需要消去b
解：（倒数消元法）由
1
1a
b
+ = 得：
1
1 a
b
= ? ；由
1
1b
c
+ = 得：
1 1
1
c
b
c c
?
= ? =

\bi
1
b
= (1- a) i
c -1
c
= 1
整理得 1a ac= + ，则
1 1
1
ac
c
a a
+
+ = =
利用上述材料解决下列问题：（1）已知
1
1a
b
+ = ? ，
1
1b
c
+ = ? ，则
1
c
a
+ = ；
（2）已知
9
3x
z
= ? ，
9
3y
x
= ? ，求证：
9
3z
y
= ? ；
（3）已知
2 2 2
a b c t
b c a
+ = + = + = （其中 a 、 b 、 c 互不相等），求 t 的值．
【解答】：(1)由
1
1a
b
+ = ? 得：
1
1 a
b
= ? ? ，由
1
1b
c
+ = ? 得：
1 1
1
c
b
c c
? ?
= ? ? = ，

\bi
1
b
= (-1- a) i
-c -1
c
= 1，整理得 1a ac= ? ? ，两边同时除以 a? ，得：
1
1c
a
+ = ? ；
（2）证明：由
9
3y
x
= ? 得：
9
3 y
x
= ? ，
9
3
x
y
=
?
，
9 9
3
3z y
? ? =
?
，
9 9 3(3 ) 9 3
3
3 3 3
y y
y z y y
? ? ?
? = = =
? ? ?
，
9(3 ) 9( 3) 9 27
3 3 3
y y y
z
y y y
? ? ?
? = = =
?
，
9
3z
y
? = ? ；
（3）解：由
2
a t
b
+ = 得： 2ab bt+ = ①，由
2
b t
c
+ = 得：
2
b t
c
= ? ②，
把②代入①得： 2
2 2
2 ( )
t
ab t t t
c c
+ = ? = ? ， 22 2abc c ct t+ = ? ， 22 ( 2)abc t c t+ = ? ，
同理得： 22 ( 2)abc t a t+ = ? ， 22 ( 2)abc t b t+ = ? ， 2 2 2( 2) ( 2) ( 2)a t b t a t? ? = ? = ? ，
∵a、 b 、 c 互不相等，
2 2 0t? ? = ， 2t? = ? ．



例 3．（2019?重庆模拟）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数 x 、 y 、 z 满足
y z z x x y
x y z
+ + +
= = ，求 2x y z? ? 的值”时，采用了引入参数法 k ，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的
基本性质求出参数 k 的值，进而得出 x 、 y 、 z 之间的关系，从而解决问题．过程如下：
解：设
y z z x x y
k
x y z
+ + +
= = = ，则有 y z kx+ = ， z x ky+ = ， x y kz+ = ，
将以上三个等式相加，得 2( ) ( )x y z k x y z+ + = + +
∵x、 y 、 z 都为正数 2k? = ，即 2
y z
x
+
= 2 0x y z? ? ? = ．
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
3

（1）若正数 x 、 y 、 z 满足
2 2 2
x y z
k
y z z x x y
= = =
+ + +
，求 k 的值；
（2）已知
2( ) 3( )
a b b c c a
a b b c c a
+ + +
= =
? ? ?
， a 、 b 、 c 互不相等．求证：8 9 5 0a b c+ + = ．
【解答】：（1） ∵正数 x 、 y 、 z 满足
2 2 2
x y z
k
y z z x x y
= = =
+ + +
，
(2 )x k y z? = + ， (2 )y k z x= + ， (2 )z k x y= + ， 3 ( )x y z k x y z? + + = + + ，
∵x、 y 、 z 均为整数，
1
3
k? = ；
（2）证明：设
2( ) 3( )
a b b c c a
k
a b b c c a
+ + +
= = =
? ? ?
，则 ( )a b k a b+ = ? ， 2 ( )b c k b c+ = ? ， 3 ( )c a k c a+ = ? ，
6( ) 6 ( )a b k a b? + = ? ，3( ) 6 ( )b c k b c+ = ? ， 2( ) 6 ( )c a k c a+ = ? ，
6( ) 3( ) 2( ) 0a b b c c a? + + + + + = ， 8 9 5 0a b c? + + =

例 4.(2019?沙坪坝区模拟）一个大于 1 的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数，否则
称为合数．其中，1 和 0 既不是质数也不是合数．数学家欧几里得在《几何原本》中对此进行过详细论述．一个较
大自然数是质数还是合数通常用“ N 法”来判断，主要分为三个步骤：第一步，找出大于 N 且最接近 N 的平方数 2k ；
第二步，用小于 k 的所有质数去除 N ；第三步，如果这些质数都不能整除 N ，那么 N 是质数；如果这些质数中至
少有一个能整除 N ，那么 N 就是合数．如判断 239 是质数还是合数？第一步， 2239 256 16? = ：第二步，小于 16
的质数有：2、3、5、7、11、13，用 2、3、5、7、11、13 依次去除 239；第三步，发现没有质数能整除 239，所
以 239 是质数．
分解质因数就是把一个合数分解成若干个质数的乘积的形式，通过分解质因数可以确定该合数的约数的个数．若
(m n pN a b c a= ? ? ? ， b ， c?是不相等的质数， m ， n ， p?是正整数），则合数 N 共有 ( 1)( 1)( 1)m n p+ + + ?个
约数．如 38 2= ， 3 1 4+ = ，则 8 共有 4 个约数；又如 2 112 2 3= ? ， (2 1)(1 1) 6+ + = ，则 12 共有 6 个约数．
请用以上方法解决下列问题：
（1）请用“ N 法”判断 619 是质数还是合数？
（2）求有 18 个约数的最小自然数．

【解答】：（1）第一步， 2619 625 25? = ；
第二步，小于 25 的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19，23，用 2、3、5、7、11、13、17、19，23，依次
去除 619；
第三步，发现没有质数能整除 619，所以 619 是质数；
（2）18 2 9 1 18 3 6= ? = ? = ? ，
∵2?9 = (1+1)(8+1) = (1+1)(2+1)(2+1)，
1 18 (0 1)(17 1)? = + + ，
3 6 (2 1)(5 1)? = + + ，
?自然数可以是 1 82 3? ， 83 2? ， 2 2 12 3 5? ? ， 173 ， 172 ， 2 52 3? ， 5 22 3? ，
?最小的是 180．


4

例 5．阅读材料题：
《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维，
知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法．
阅读材料一：
利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途
径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等．
例如， 1ab = 求证：
1 1
1
1 1a b
+ =
+ +

证明：原式
1 1
1
1 1 1
ab b
ab a b b b
= + = + =
+ + + +

波利亚在《怎样解题》中指出：“当你找到第一个藤菇或作出第一个发现后，再四处看看，他们总是成群生长”类
似问题，我们有更多的式子满足以上特征．
阅读材料二：
基本不等式 ( 0, 0)
2
a b
ab a b
+
? ? ，当且仅当 a b= 时等号成立，它是解决最值问题的有力工具．
例如：在 0x ? 的条件下，当 x 为何值时，
1
x
x
+ 有最小值，最小值是多少？
解： ∵x > 0， ，即 ，?
1
2x
x
+
当且仅当
1
x
x
= ，即 1x = 时，
1
x
x
+ 有最小值，最小值为 2．
请根据阅读材料解答下列问题：
（1）已知 1ab = ，求下列各式的值：
2 2
1 1
1 1a b
+ =
+ +
① ； ②
1 1
1 1n na b
+ =
+ +
．
（2）若 1abc = ，解方程
5 5 5
1
1 1 1
ax bx cx
ab a bc b ca c
+ + =
+ + + + + +

（3）若正数 a 、 b 满足 1ab = ，求
1 1
1 1 2
M
a b
= +
+ +
的最小值．
【解答】：（1）①
原式
②
原式
（2） ，且 ，
1ab =
1
a
b
? = ?
2
2 2 2
2
1 1 1
1
1 1 1 1
1
b
b b b
b
= + = + =
+ + +
+
1ab =
1
a
b
? =
1 1
1
1 1
1
n
n
b
b
= + =
+
+
5 5 5
1
1 1 1
ax bx cx
ab a bc b ca c
+ + =
+ + + + + +
1abc =
5





（3） 正数 、 满足
， ， ，

当 时，M 的值最小， M? 最小值
1
1 2 2 2
2 2 3
= ? = ?
+


例 6．（2019 春?沙坪坝区校级月考）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结
构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．”
阅读下列两则材料，回答问题
材料一：平方运算和开方运算是互逆运算，如： 2 2 22 ( )a ab b a b? + = ? ，那么 2 22 | |a ab b a b? + = ? ，那么如何将
双重二次根式 2 ( 0a b a? ? ， 0b ? ， 2 0)a b? ? 化简呢？如能找到两个数 m ， ( 0, 0)n m n? ? ，使得
2 2( ) ( )m n a+ = 即m n a+ = ，且使 m i n = b即m n b= ，
那么 a ± 2 b = ( m)
2 + ( n)2 ± 2 m i n = ( m ± n)2
? 22 ( ) | |a b m n m n? = ? = ? ，双重二次根式得以化简：
例如化简： 3 2 2+ ； ∵3=1+ 2且 2 1 2= ? ，
2 23 2 2 ( 1) ( 2) 2 1 2? + = + + ?
? 23 2 2 (1 2) 1 2+ = + = +
材料二：在直角坐标系 xoy中，对于点 ( , )P x y 和点 ( , )Q x y? 出如下定义：
若
( 0)
( 0)
y x
y
y x
?
? = ?
? ??
，则称点Q 为点 P 的“横负纵变点”
例如，点 (3,2) 的“横负纵变点”为 (3,2)
点 ( 2,5)? 的“横负纵变点”为 ( 2, 5)? ?
问题：（1）请直接写出点 ( 3 3? ， 2)? 的“横负纵变点”为 ；化简， 9 2 14? = ；
?
5 5 5
1
1
ax bx cx
ab a abc bc b ca c abc
+ + =
+ + + + + +
5 5 5
1
1 1
x bx x
bc b a ab
+
+ =
+ + + +
(5 5 ) 5
1
( 1) ( 1)
a x bx x
a bc b a bc b
+
+ =
+ + + +
5 ( 1)
1
( 1)
x a ba
a bc b
+ +
=
+ +
5 1x =
1
5
x =
a b 1ab =
1
b
a
? = 0a ? 0b ?
22 2( ) 2 2 2 2a a
a a
? + = ? +
1 1 1 2 1 2 2 1 1
1 1
21 1 2 (1 )(1 2 ) 1 2 2 2 3
3
b a b a
M
a b a b ab a b a b
a
a
+ + + + +
= + = = = ? = ?
+ + + + + + + + +
+ +
?
2
2 2a
a
+ =
6

（2）点 M 为一次函数 1y x= ? + 图象上的点， M ?为点 M 的横负纵变点，已知 (1,1)N ，若 13M N? = ，求点M 的
坐标．
（3）已知 b 为常数且1 2b ，点 P 在函数 的图象上，其“横负
纵变点”的纵坐标 y?的取值范围是 ，若 a 为偶数，求 a 的值．
【解答】：（1） ∵-3 3 < 0，根据“横负纵变点”的定义，
( 3 3? ? ， 2)? 的“横负纵变点”为 ( 3 3? ， 2) ；
9 2 14 7 2 2 14 7 2? = + ? = ? ；故答案为 ( 3 3? ， 2) ； 7 2? ；
（2）设点 ( ,1 )M a a? ，当 时， ( ,1 )M a a? ? ， ∵N(1,1)， 13M N? = ，
2 2(1 ) 13a a? ? + = ， 3a? = 或 2a = ? （舍 ) ， (3, 2)M ?? ? ；
当 0a ? 时， ( , 1)M a a? ? ， ∵N(1,1)， 13M N? = ，
2 2(1 ) (2 ) 13a a? ? + ? = ，
1a? = ? 或 4a = （舍 ) ， ( 1, 2)M ?? ? ? ；
（3） ， ，
∵ 2 1 2 1 1 1 1 1 2b b b b b b+ ? + ? ? = ? + + ? ? = ，
2 32y x? = ? + ，
，当 时， ；当 时， ；
令 2 32 17x? + = ，解得
1 15x = 或 2 15x = ? （舍 ) ；
令 2 32 32x? + = ? ，解得
1 8x = 或 2 8x = ? （舍 ) ；
? ， ∵a 是偶数， 4a? = 或 6a = ．













7

课后作业：

【解答】(1)① ∵x
3 - 2x2 - x + 2 = 0
2( 2) ( 2) 0x x x? ? ? ? =

( 2)( 1)( 1) 0x x x? ? + ? =

2, 1, 1x x x? = = ? =
② ∵x
4 + 2x3 - 7x2 -8x +12 = 0

3 2( 2) (7 8 12) 0x x x x? + ? + ? =

3( 2)( 6 6) 0x x x x? + ? ? + =

( 2)( 1)( 3)( 2) 0x x x x? + ? + ? =

2, 1, 3, 2x x x x? =? = = ? =
（2）① ∵x
3 -5x2 + (4+ k)x - k = 0

3 2 2[4 (4 ) ] 0x x x k x k? ? ? ? + + =
2( 1)( 4 ) 0x x x k? ? ? + =

21 4 0x x x k? = ? + =或
若等腰三角形的腰长为 1，则 k=3，此时方程的三个根为 1，1，3，不能构成三角形，故舍
若等腰三角形的腰长不为 1，则 16 4 0k? = ? = ，得 k=4，此时三根为 1，2，2，合题意
综上，k=4
②原方程可以化为： 2 2( 2)( ) 0x x x x m+ + + + =
8

由于 2 22 ( 1) 1 0x x x+ + = + + ? ，所以 2 0x x m+ + =
因为所有实数根之积为 2?
所以， 2m = ?
将 2m = ? 代回原方程解得： 2 1x x= ? =或 ，所以所有实数根的和=5

2．阅读与应用：同学们：你们已经知道（a﹣b）2≥0，即 a2﹣2ab+b2≥0．
∴a2+b2≥2ab（当且仅当 a＝b 时取等号）．
阅读 1：若 a、b 为实数，且 a＞0，b＞0，∵（√???? ? √????）2≥0，∴a﹣2√???????? +b≥0
∴a+b≥2√????????（当且仅当 a＝b 时取等号）．
阅读 2：若函数 y＝x+
????
????
（m＞0，x＞0，m 为常数），由阅读 1 结论可知：
x+
????
????
≥2√???? ?
????
????
即 x+
????
????
≥2√????，
∴当 x=
????
????
，即 x2＝m，∴x= √????（m＞0）时，函数 y＝x+
????
????
的最小值为 2√????．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题 1：若函数 y＝a﹣1+
9
?????1
（a＞1），则 a＝ 4 时，函数 y＝a﹣1+
9
?????1
（a＞1）的最小值为 6 ；
问题 2：已知一个矩形的面积为 4，其中一边长为 x，则另一边长为
4
????
，周长为 2（x+
4
????
），求当 x＝ 2 时，
周长的最小值为 8 ；
问题 3：求代数式
????2+2????+5
????+1
（m＞﹣1）的最小值．
【解答】：问题 1，由阅读 2 知，a﹣1= √9时，
即：a＝4 时，函数 y＝a﹣1+
9
?????1
（a＞1）的最小值是 2√9 =6，
答案为 4，6；
问题 2，由阅读 2 知，x= √4 =2 时，
周长为 2（x+
4
????
）的最小值是 2×2√4 =8，
故答案为 2，8；
9

（3）
????2+2????+5
????+1
=
????2+2????+1+4
????+1
=
(????+1)2+4
????+1
=m+1+
4
????+1
，
∴当 m+1= √4时，即 m＝1 时，
????2+2????+5
????+1
（m＞﹣1）最小值是 2√4 =4．

3．（2019 年重庆巴蜀模拟）阅读下列材料：
已知实数 m，n满足(2m2＋n2＋1)(2m2＋n2－1)＝80，试求 2m2＋n2的值．
解：设 2m2＋n2＝t，则原方程变为(t＋1)(t－1)＝80，整理得 t2－1＝80，t2＝81，∴t＝±9，因为 2m2＋n2＞0，
所以 2m2＋n2＝9.
上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，
若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．
解决问题：
(1)已知实数 x，y满足(2x2＋2y2＋3)(2x2＋2y2－3)＝27，求 x2＋y2的值；
(2)若四个连续正整数的积为 11880，求这四个连续正整数．
【解答】(1)令 2x2＋2y2＝t，
则原方程变为(t＋3)(t－3)＝27，
整理得，t2－9＝27，
t＝±6.
∵2x2＋2y2≥0，∴2x2＋2y2＝6，∴x2＋y2＝3.
(2)设四个连续正整数为 k－1，k，k＋1，k＋2(k≥2 且 k为整数)．
由题得(k－1)k(k＋1)(k＋2)＝11880，
∴(k－1)(k＋2)k(k＋1)＝11880，
∴(k2＋k－2)(k2＋k)＝11880.
令 t＝k2＋k，
则(t－2)·t＝11880，t2－2t－11880＝0，
∴t1＝110，t2＝－108(舍去)，
则 k2＋k＝110，得 k1＝10，k2＝－11(舍去)．
综上，四个连续正整数为 9,10,11,12.


4.先阅读，再解答问题．
恒等变形，是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次
数较高的代数式转化为次数较低的代数式．如
当 3 1x = + 时，求 3 2
1
2
2
x x x? ? + 的值，为解答这题，若直接把 3 1x = + 代入所求的式中，进行计算，显然很麻
烦．我们可以通过恒等变形，对本题进行解答．
方法一 将条件变形．因 3 1x = + ，得 1 3x ? = ．再把所求的代数式变形为关于 ( 1)x ? 的表达式．
原式 3 2
1
( 2 2 ) 2
2
x x x= ? ? +
10

21[ ( 1) ( 1) 3 ] 2
2
x x x x x= ? ? ? ? + 2
1
[ ( 1) 3 ] 2
2
x x x= ? ? +
1
(3 3 ) 2
2
x x= ? + 2=
方法二 先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算．由 1 3x ? = ，可得
2 2 2 0x x? ? = ，即， 2 2 2x x? = ， 2 2 2x x= + ．
原式 2
1
(2 2) 2
2
x x x x= + ? ? +
2 2 2x x x x= + ? ? +
2=
请参以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题：
（1）若 2 3 1 0a a? + = ，求 3 2
2
3
2 5 3
1
a a
a
? ? +
+
的值；
（2）已知 2 3x = + ，求
4 3 2
2
9 5 5
4 3
x x x x
x x
? ? ? +
? +
的值．
【解答】：（1） ∵a
2 - 3a +1= 0，
2 3 1a a? ? = ? ， 2 1 3a a+ = ，
1
3a
a
+ = ，
3 2
2
3
2 5 3
1
a a
a
? ? ? +
+
2 2 32 ( 3 ) ( 3 ) 3 3
3
a a a a a a
a
= ? + ? + ? +
1
2 ( 1) ( 1) 3 3a a
a
= ? ? + ? + ? +
1
2 1 3 3a a
a
= ? ? + ? +
1
4a
a
= ? + 3 4= ? 1= ? ；
（2） 2 3x = + ，
2 3x? ? = ，
?
4 3 2
2
9 5 5
4 3
x x x x
x x
? ? ? +
? +

3 2
2
( 2) ( 2) 7 ( 2) 19( 2) 33
( 2) 1
x x x x x x x
x
? + ? ? ? ? ? ?
=
? ?

3 23 3 7 3 19 3 33
3 1
x x x+ ? ? ?
=
?

23 ( 2) 3 3 ( 2) 3( 2) 21 3 33
2
x x x x x? + ? ? ? ? ?
=
23 9 3 21 3 33
2
x x+ ? ? ?
=
3 ( 2) 15( 2) 6 21 3
2
x x x? + ? ? ?
=
3 3 15 3 6 21 3
2
x + ? ?
=
3 3( 2) 6
2
x ? ?
=
9 6
2
?
=
3
2
= ．