【备战2020】中考数学二轮专题：函数综合复习（相似）复习学案（上海地区专用）

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备战2020中考数学二轮专题复习学案
函数综合复习（相似）

函数基础知识点梳理：
反比例函数 一次函数 二次函数
最高次系 数符号
图象
性质 图象经过一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小。 1.图象经过二、四象限 2.在每一象限内，随的增大而增大。 1.图象经过一、三象限 2.随的增大而增大。 1.图象经过二、四象限 2.随的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直 3.顶点坐标： 1.开口向下 2.对称轴：直 3.顶点坐标：

二、典型例题

例1.已知：如图，抛物线与轴分别相交于、两点，将△AOB绕着点逆时针旋90°到△，且抛物线过点、。
（1）求、两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点在轴上，若以为顶点的三角形与△相似，求点的坐标。 （★★★）

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：点、、、可求；
2.注意每个函数经过的点。
二.求二次函数解析式：将、坐标代入，解方程组。
三.当与相似时：
1.可求得，；
2.分以下三个情况讨论：
①当时：由于，所以不可能；
②当时：由于，所以也不可能；
③当时：则点D在的右侧，则或。
3.计算求解。
【满分解答】
(1) B（0, －2）、 A (－4, 0)
(2) 由题意
代入得
(3)由题意有，，且
如果，由于,所以不可能；
如果，由于,所以也不可能；
若，则点D在的右侧
当或时, △与△相似
得或， ∴或。
对应练习：
1.已知二次函数。（★★★）
（1）求此二次函数图像与轴交点、（在的左边）的坐标；
（2）若此二次函数图像与轴交于点，且△∽△（字母依次对应）.
①求的值；
②求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标。
【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.二次函数与轴的交点已知；
二.当△∽△（字母依次对应）时：
1.求的值：用比例式直接计算求解；
2.求此时函数图像上关于原点中心对称的两个点的坐标：
①先求解二次函数的解析式；
②设对称点的坐标，利用对称点的性质求解。
【满分解答】
（1）令
解得，
所以A（，0），B（3,0）.
（2）①易知，由△AOC∽△COB，
则，即，
解得（舍负）.
②此时函数解析式为，
设函数图像上两点，，
由两点关于原点中心对称，得：
=
解得，
∴这两个点的坐标为与.
例2.已知：如图，抛物线的顶点为点，与y轴相交于点，直线y＝ax＋3与y轴也交于点，矩形的顶点B在此抛物线上，矩形面积为12。（★★★★）
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与轴相交，且在轴上两交点的距离为4时，求圆心的坐标；
（3）若线段DO与AB交于点E，以点 D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：、、；
2.二次函数经过点；
二.求解二次函数的对称轴：关于二次函数的对称轴对称可得；
三.求解点的坐标：
1.已知弦长，求圆心坐标，通常情况下过圆心作弦的垂线；
2.画图，计算求解，注意点的位置，有两个情况。
四.当与相似时：
1.寻找两个三角形中恒相等的角：为公共角；
2.分累讨论，分以下两个情况讨论：
①当△DAE∽△DAO时：则∠DAE＝∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立；
②当△DAE∽△DOA时：则∠DAE＝∠DOA，过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N，所以∠DAM＝∠DON，可得△DAM∽△DON ，则。
3.计算求解。
【满分解答】
（1）∵直线y＝ax＋3与y轴交于点A，
∴点A坐标为（0，3）
∴AO＝3，∵矩形ABCO的面积为12，∴AB＝4
∴点B的坐标为（4，3）∴抛物线的对称轴为直线x＝2

（2）∵⊙P经过A、B两点，
∴点P在直线x＝2上，即点P的坐标为（2，y）
∵⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4
又∵AB＝4，
∴点P到AB的距离等于点P到y轴的距离为2
∴点P的坐标为（2，1）或（2，5）

（3）当与相似时：
①设△DAE∽△DAO，则∠DAE＝∠DAO，与已知条件矛盾，此情况不成立．
过点D作DM⊥y轴，垂足为点M，DN⊥x轴，垂足为点N．
设点D坐标为（2，y），则ON＝DM＝2，DN＝OM＝y，AM＝y－3

②设△DAE∽△DOA，则∠DAE＝∠DOA，∴∠DAM＝∠DON
∵∠DMA＝∠DNO＝90°，∴△DAM∽△DON
∴，∴， ∴ ∴（舍），
∴点D坐标为（2，4）
设抛物线解析式为
∵顶点坐标为（2，4），∴m＝ －2，k＝4，则解析式为
将（0，3）代入，得a＝，∴抛物线解析式为．

三、巩固练习：

【备注】本部分为巩固训练，时间为7分钟，学生独立完成后再讲解。
1.已知一个二次函数的图象经过A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）三点。
(1)求这个二次函数的解析式及其图象的顶点D的坐标；
(2)这个函数的图象与x轴有两个交点，除点A外的另一个交点设为点E，点O为坐标原点．在△BOE、△ABE和△BDE中，是否存在与△AOB相似的三角形？如果有，指出并加以证明；如果没有，试说明理由．（★★★★）

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：A（-1，0）、B（0，3）、C（4，-5）；
2.二次函数经过三点。
二.求解二次函数解析式：将三点代入函数解析式，解方程组可得。
三.求解相似三角形：
1.结论：△AOB∽△DBE；
2.用边之比计算，可得==。
【满分解答】
（1）设二次函数的解析式为
根据题意，得，解得a=-1, b=2, c=3
∴二次函数的解析式为
由
得顶点D的坐标为(1, 4)

（2）答：△AOB∽△DBE．
证：∵OA=1，OB=3，AB=
BD=，BE=3，DE=
得===
∴△AOB∽△DBE

回顾总结：
函数综合题目考点分析：
求解函数解析式，以二次函数为主；
求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；
以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需要及时画图观察。










x

1

1

0

y



x

1

1

O

y

E

D

B

A






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