2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章2.22.2.1 圆的一般方程Word版含解析
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| 名称 | 2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章2.22.2.1 圆的一般方程Word版含解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 320.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-13 09:21:19 | ||
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第2课时 圆的一般方程
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)
通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
1．圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点．
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
思考：圆的一般方程具有怎样的特点？
提示：(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F>0.
2．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
1.思考辨析
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程． ( )
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． ( )
(3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. ( )
(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0化为标准形式为________________________．
(x－1)2＋(y＋2)2＝2 [由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.]
3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是________．
(－∞，1) [由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1.]
4．点A(4，1)在圆x2＋y2－2y－19＝0________(填“内”，“外”“上”)．
内 [当x＝4，y＝1时，x2＋y2－2y－19＝42＋12－2×1－19＝－4＜0，故点A在圆内．]
二元二次方程的曲线与圆的关系
【例1】 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－4y＝0；
(5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．
思路探究：根据二元二次方程表示圆的条件判断．
[解] (1)∵A≠B，∴不能表示圆．
(2)∵方程中含有xy项，∴不能表示圆．
(3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0，
∴不能表示圆．
(4)方程变形为x2＋y2－2y＝0.
配方得x2＋(y－1)2＝1，
故方程表示圆，其圆心为(0，1)，半径为1.
(5)法一：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0，
即＋＝.
∵>0，∴原方程表示圆，
此时圆心坐标为，
半径r＝.
法二：∵a≠0，∴原方程可化为
x2＋y2－x＋y＝0.
∵D2＋E2－4F＝＋
＝>0，
∴原方程表示圆，
此时圆心坐标为，
半径r＝.
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状．
[解] 当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)，半径为的圆；
当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)；
当－1圆的一般方程的求法
【例2】 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系．
思路探究：解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．
[解] (1)法一：设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
∵此圆过A，B，C三点，
∴
解得
∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
②－①，③－①得
解得a＝－2，b＝2.
∴r2＝10.
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法三：AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，
BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2)，
联立解得圆心坐标为(－2，2)．
设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法四：由于kAB＝＝2，kAC＝＝－，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，
半径r＝|BC|＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)∵M(1，2)，
∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0，
∴点M(1，2)在圆内．
∵N(4，5)，
∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0，
∴点N(4，5)在圆外．
∵Q(2，3)，
∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，
∴点Q(2，3)在圆外．
本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显．
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．
(3)
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
[解] 圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又r＝＝，
∴D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴－<0，即D>0，
∴
∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
轨迹问题
[探究问题]
1．若|AB|＝2，C为AB的中点，动点P满足|PC|＝2，那么P点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？
[提示] 以AB所在直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，则C(0，0)，P点的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆的方程为x2＋y2＝4.
2．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．
[提示] 设点M(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有：＝2.
两边平方，得x2＋(y－2)2＝4.
因为曲线在x轴上方，y>0，
所以曲线方程应是x2＋(y－2)2＝4(y>0)．
曲线是圆心为(0，2)，半径为2的圆在x轴上方的部分．
【例3】 (1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是__________________．
(2)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足PA＝2PB.若点P的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为__________．
思路探究：(1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．(2)设出点P的坐标，利用PA＝2PB得点P坐标的关系，化简即可．
(1)(x－2)2＋(y＋1)2＝1 (2)(x－5)2＋y2＝16
[(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，它与点P连线的中点坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，
所以x1＝2x－4，y1＝2y＋2，
又(x1，y1)在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．]
求与圆有关的轨迹问题常用的方法
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例(2)．
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．如上例(1)．
3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
[解] 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)．
∵CM⊥AM，∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25.
1．本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法．难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法．
(2)应用待定系数法求圆的方程的方法．
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．
3．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(－4，6) B．(－2，3)
C．(4，－6) D．(2，－3)
D [x0＝－＝2，y0＝－＝－3，故圆心坐标为(2，－3)．]
2．经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程为__________．
x2＋y2－7x－3y＋2＝0 [设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A，B，C三点代入，整理得方程组
解得
∴所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.]
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为________．
(－a，－b) [原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b)．]
4．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？
[解] 设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意，得AC＝AB.由两点间距离公式，得
＝，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．
因为点B，C不能重合，所以点C不能为(3，5)．
又因为点B，C不能为一直径的两个端点，
所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．
学 习 目 标
核 心 素 养
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(易错点)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点、难点)
通过学习本节内容来提升学生的数学运算和逻辑推理核心素养.
1．圆的一般方程的定义
(1)当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其圆心为，半径为．
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示点．
(3)当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形．
思考：圆的一般方程具有怎样的特点？
提示：(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F>0.
2．点与圆的位置关系
已知点M(x0，y0)和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则其位置关系如下表：
位置关系
代数关系
点M在圆外
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
点M在圆上
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0
点M在圆内
x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0
1.思考辨析
(1)圆的一般方程可以化为圆的标准方程． ( )
(2)二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定是某个圆的方程． ( )
(3)方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0. ( )
(4)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆应满足的条件是①A＝C≠0；②B＝0；③D2＋E2－4F>0. ( )
[答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)√
2．圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0化为标准形式为________________________．
(x－1)2＋(y＋2)2＝2 [由x2＋y2－2x＋4y＋3＝0，得(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
故圆的标准形式为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.]
3．方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆，则m的取值范围是________．
(－∞，1) [由题意可知，16＋(－2)2－20m＞0，解得m＜1.]
4．点A(4，1)在圆x2＋y2－2y－19＝0________(填“内”，“外”“上”)．
内 [当x＝4，y＝1时，x2＋y2－2y－19＝42＋12－2×1－19＝－4＜0，故点A在圆内．]
二元二次方程的曲线与圆的关系
【例1】 下列方程能否表示圆？若能，求出圆心坐标和半径．
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－2xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－4y＝0；
(5)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．
思路探究：根据二元二次方程表示圆的条件判断．
[解] (1)∵A≠B，∴不能表示圆．
(2)∵方程中含有xy项，∴不能表示圆．
(3)∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10<0，
∴不能表示圆．
(4)方程变形为x2＋y2－2y＝0.
配方得x2＋(y－1)2＝1，
故方程表示圆，其圆心为(0，1)，半径为1.
(5)法一：∵a≠0，∴原方程可化为x2＋y2－x＋y＝0，
即＋＝.
∵>0，∴原方程表示圆，
此时圆心坐标为，
半径r＝.
法二：∵a≠0，∴原方程可化为
x2＋y2－x＋y＝0.
∵D2＋E2－4F＝＋
＝>0，
∴原方程表示圆，
此时圆心坐标为，
半径r＝.
形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时有如下两种方法：
(1)由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正．若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆．
(2)将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆．
1．讨论方程x2＋y2＋2ay＋1＝0(a∈R)表示曲线的形状．
[解] 当a<－1或a>1时，此方程表示的曲线是圆心为(0，－a)，半径为的圆；
当a＝±1时，此方程表示的曲线是一个点，坐标为(0，－a)；
当－1
【例2】 已知△ABC三个顶点的坐标为A(1，3)，B(－1，－1)，C(－3，5)，求这个三角形外接圆的一般方程，并判断点M(1，2)，N(4，5)，Q(2，3)与圆的位置关系．
思路探究：解答本题，可设出圆的一般方程，用待定系数法求解．也可根据圆的性质，求圆心、半径，再写方程．
[解] (1)法一：设所求圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)．
∵此圆过A，B，C三点，
∴
解得
∴圆的方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则
②－①，③－①得
解得a＝－2，b＝2.
∴r2＝10.
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法三：AB的中垂线方程为y－1＝－(x－0)，
BC的中垂线方程为y－2＝(x＋2)，
联立解得圆心坐标为(－2，2)．
设圆的半径为r，则r2＝(1＋2)2＋(3－2)2＝10，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10，
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
法四：由于kAB＝＝2，kAC＝＝－，
∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，
∴△ABC是以∠A为直角的直角三角形，
∴外接圆圆心为BC的中点，即(－2，2)，
半径r＝|BC|＝，
∴圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
即圆的一般式方程为x2＋y2＋4x－4y－2＝0.
(2)∵M(1，2)，
∴12＋22＋4×1－4×2－2＝－1<0，
∴点M(1，2)在圆内．
∵N(4，5)，
∴42＋52＋4×4－4×5－2＝35>0，
∴点N(4，5)在圆外．
∵Q(2，3)，
∴22＋32＋4×2－4×3－2＝7>0，
∴点Q(2，3)在圆外．
本题法一、法二中采用了待定系数法．用待定系数法求圆的方程时：
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
法三则是充分利用了圆的性质：“弦的中垂线过圆心”．通过求两条弦的中垂线的交点求出圆心，再求出半径后写出圆的标准方程，再将标准方程化成一般方程．圆的标准方程和一般方程有如下关系：
(1)由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，可以直接看出圆心坐标(a，b)和半径r，圆的几何特征明显．
(2)由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程，圆的代数特征明显．
(3)
2．已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为，求圆的一般方程．
[解] 圆心C，
∵圆心在直线x＋y－1＝0上，
∴－－－1＝0，即D＋E＝－2， ①
又r＝＝，
∴D2＋E2＝20， ②
由①②可得或
又圆心在第二象限，∴－<0，即D>0，
∴
∴圆的方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
轨迹问题
[探究问题]
1．若|AB|＝2，C为AB的中点，动点P满足|PC|＝2，那么P点轨迹是什么曲线？求出曲线方程？
[提示] 以AB所在直线为x轴，以C为原点建立直角坐标系，则C(0，0)，P点的轨迹是以C为圆心，半径为2的圆的方程为x2＋y2＝4.
2．已知一条曲线在x轴的上方，它上面的每一点到点A(0，2)的距离都是2，求这条曲线的方程，并说明是什么曲线．
[提示] 设点M(x，y)是曲线上任意一点，根据题意，有：＝2.
两边平方，得x2＋(y－2)2＝4.
因为曲线在x轴上方，y>0，
所以曲线方程应是x2＋(y－2)2＝4(y>0)．
曲线是圆心为(0，2)，半径为2的圆在x轴上方的部分．
【例3】 (1)点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是__________________．
(2)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足PA＝2PB.若点P的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为__________．
思路探究：(1)设出中点坐标和圆上点的坐标，用圆上点的坐标表示中点坐标，再代入圆的方程，化简即可．(2)设出点P的坐标，利用PA＝2PB得点P坐标的关系，化简即可．
(1)(x－2)2＋(y＋1)2＝1 (2)(x－5)2＋y2＝16
[(1)设圆上任意一点为(x1，y1)，它与点P连线的中点坐标为(x，y)，
则x＝，y＝，
所以x1＝2x－4，y1＝2y＋2，
又(x1，y1)在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，
即(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(2)设点P的坐标为(x，y)，则＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，此即为所求．]
求与圆有关的轨迹问题常用的方法
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．如上例(2)．
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程．
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)的运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．如上例(1)．
3．已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求过点A(－3，－5)的直线交圆的弦PQ的中点M的轨迹方程．
[解] 设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3，3)．
∵CM⊥AM，∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25.
1．本节课的重点是了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径，会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题，初步掌握求动点的轨迹方程的方法．难点是会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)二元二次方程表示圆的判定方法．
(2)应用待定系数法求圆的方程的方法．
(3)代入法求轨迹方程的一般步骤．
3．本节课的易错点是忽略二元二次方程表示圆的条件．
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )
A．(－4，6) B．(－2，3)
C．(4，－6) D．(2，－3)
D [x0＝－＝2，y0＝－＝－3，故圆心坐标为(2，－3)．]
2．经过三点A(1，－1)，B(1，4)，C(4，－2)的圆的方程为__________．
x2＋y2－7x－3y＋2＝0 [设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.将A，B，C三点代入，整理得方程组
解得
∴所求圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.]
3．方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为________．
(－a，－b) [原方程可化为：(x＋a)2＋(y＋b)2＝0.所以它表示点(－a，－b)．]
4．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？
[解] 设另一端点C的坐标为(x，y)，依题意，得AC＝AB.由两点间距离公式，得
＝，整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.
这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图所示，又因为A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且B，C不能为圆A的一直径的两个端点．
因为点B，C不能重合，所以点C不能为(3，5)．
又因为点B，C不能为一直径的两个端点，
所以≠4，且≠2，即点C不能为(5，－1)．
故端点C的轨迹方程是(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．