2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修2学案：第2章2.32.3.2　空间两点间的距离Word版含解析

2.3.2　空间两点间的距离
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程．(重点)
2.会应用空间两点间的距离公式求空间中的两点间的距离．(难点)
通过学习本节内容提升学生的直观想象、数学运算核心素养.
1．空间两点间的距离公式
(1)平面直角坐标系中，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离为P1P2＝．特别地，点A(x，y)到原点距离为OA＝．
(2)空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的距离公式是P1P2＝．特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为OA＝．
2．空间两点的中点坐标公式
连结空间两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)的线段P1P2的中点M的坐标为．
1．点P(－2，－1，1)到原点的距离为________．
　[PO＝＝.]
2．给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为，则该点的坐标为__________．
(9，0，0)或(－1，0，0)　[设点P的坐标是(x，0，0)，由题意得，P0P＝，即＝，∴(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.
∴点P的坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．]
3．若O为原点，P点坐标为(2，－4，－6)，Q为OP中点，那么Q点的坐标为________．
(1，－2，－3)　[设Q(x，y，z)，
则x＝＝1，y＝＝－2，
z＝＝－3，
∴Q(1，－2，－3)．]
4．如图，在长方体OABC-O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点的坐标是________．
　[∵OA＝2，AB＝3，AA1＝2，∴O(0，0，0)，B1(2，3，2)．
又∵M为OB1的中点，∴M.]
空间中两点间距离的计算
【例1】　如图，已知正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且A′N＝3NC′，试求MN的长．
思路探究：解答本题关键是先建立适当坐标系，把M，N两点的坐标表示出来，再利用公式求长度．
[解]　以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，C′(0，a，a)，D′(0，0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′的中点O′，
所以M，O′.
因为A′N＝3NC′，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点，故N，根据空间两点距离公式，可得
MN＝＝a.
利用空间两点间的距离公式求空间两点间距离的步骤
(1)建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；
(2)代入空间两点间的距离公式求值．
1．已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．
(1)求△ABC中最短边的边长；
(2)求AC边上中线的长度．
[解]　(1)由空间两点间距离公式得
AB＝＝3，
BC＝＝，
AC＝＝，
∴△ABC中最短边是BC，其长度为.
(2)由中点坐标公式得，AC的中点坐标为.
∴AC边上中线的长度为
＝.
确定空间点的坐标
[探究问题]
1．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是什么？
[提示]　设M(0，a，0)，由已知得MA＝MB，即＝，解得a＝－1，故M(0，－1，0)．
2．方程(x－1)2＋(y－2)2＋(z－3)2＝25的几何意义是什么？
[提示]　依题意＝5，点(x，y，z)是空间中到点(1，2，3)距离等于5的点，即以点(1，2，3)为球心，以5为半径的球面．
【例2】　已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)，求AB取最小值时A，B两点的坐标，并求此时的AB的长度．
思路探究：解答本题可由空间两点间的距离公式建立AB关于x的函数，由函数的性质求x，再确定坐标．
[解]　由空间两点间的距离公式得AB＝
＝
＝，
当x＝时 ，AB有最小值＝，
此时A，B.
解决这类问题的关键是根据点的坐标的特征，应用空间两点间的距离公式建立已知与未知的关系，再结合已知条件确定点的坐标．
2.如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
[解]　以B为坐标原点，BA，BE，BC所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
∵正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且CM＝BN＝a(0∴易得点M，N的坐标分别为
M，
N.
(1)|MN|＝
＝(0(2)∵MN＝＝，
∴当a＝时，MN的长最小，且最小值为.
1．本节课的重点是理解空间两点间距离公式的推导过程和方法，掌握空间两点间的距离公式和中点坐标公式及其简单应用．难点是空间直角坐标系的恰当建立及求相关点的坐标．
2．本节课要重点掌握的规律方法
(1)求空间中对称点坐标的规律．
(2)空间两点间距离公式的应用．
3．本节课的易错点是空间两点间距离的求解运算．
1．已知A(1，1，1)，B(－3，－3，－3)，则线段AB的长为(　　)
A．4　　　　　　　 B．2
C．4 D．3
A　[AB＝＝4.]
2．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，1，2)，B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为________．
　[∵B(4，－2，－2)，C(0，5，1)，
∴BC的中点为，
∴BC边上的中线长为
＝.]
3．已知点A(x，1，2)和点B(2，3，4)，且AB＝2，则实数x的值是________．
－2或6　[由题意得
＝2，
解得x＝－2或x＝6.]
4．已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．
[证明]　由空间两点间的距离公式得
AB＝＝，
BC＝＝，
AC＝＝，
∵AB2＝BC2＋AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠C为直角．