2019-2020学年高中数学新同步苏教版必修4学案：第1章1.31.3.3第2课时　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象与性质Word版含解析

第2课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
学 习 目 标
核 心 素 养(教师独具)
1.能由三角函数的图象求出解析式．(重点、易错点)
2.掌握y＝Asin(ωx＋φ)的图象和性质．(重点)
通过学习本节内容提升学生的直观想象和数学运算的核心素养.
y＝Asin(ωx＋φ)的性质
函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质如下：
定义域
R
值域
[－A，A]
周期性
T＝
奇偶性
φ＝kπ，k∈Z时是奇函数；φ＝＋kπ，k∈Z时是偶函数；当φ≠(k∈Z)时是非奇非偶函数
单调性
单调增区间可由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到，单调减区间可由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ，k∈Z得到
1．最大值为，周期为，初相为的函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)解析式可以为________．
y＝sin　[由题意可知A＝，＝，∴ω＝6，又φ＝，故其解析式可以为y＝sin.]
2．已知f(x)＝Asin(A＞0，ω＞0)在一个周期内，当x＝时，取得最大值2；当x＝时，取得最小值－2，则f(x)＝________.
2sin　[由题意可知，A＝2，又＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝2，
∴f(x)＝2sin.]
由图象求三角函数的解析式
【例1】　如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象，求A，ω，φ的值，并确定其函数解析式．
思路点拨：观察图象可知A＝3，对于ω，φ可由一个周期内的图象确定．
[解]　法一：(逐一定参法)
由图象知振幅A＝3，又T＝－＝π，
∴ω＝＝2.
由点，得－×2＋φ＝0，
得φ＝，∴y＝3sin.
法二：(待定系数法)
由图象知A＝3，又图象过点和，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有解得
∴y＝3sin.
若设所求解析式为y＝Asin?ωx＋φ?，则在观察函数图象的基础上，可按以下规律来确定A，ω，φ.
?1?由函数图象上的最大值、最小值来确定|A|.
?2?由函数图象与x轴的交点确定T，由，确定ω.
?3?确定函数y＝Asin?ωx＋φ?的初相φ的值的两种方法
①代入法：把图象上的一个已知点代入?此时A，ω已知?或代入图象与x轴的交点求解?此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上?.
②五点对应法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口.“五点”的ωx＋φ的值具体如下：
“第一点”?即图象上升时与x轴的交点?为ωx＋φ＝0；
“第二点”?即图象的“峰点”?为
“第三点”?即图象下降时与x轴的交点?为ωx＋φ＝π；
“第四点”?即图象的“谷点”?为
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
③图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移规律确定相关的参数.
已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的函数图象，如图所示，求该函数的一个解析式．
[解]　法一：(最值点法)由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，∴A＝.
由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.
又＝，∴图象上的最高点为，
∴＝sin，即sin＝1，则＋φ＝＋2kπ，φ＝－＋2kπ，可取φ＝－，
∴函数的一个解析式为y＝sin.
法二：(五点对接法)由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得解得∴函数的一个解析式为y＝sin.
法三：(图象变换法)由图可知A＝，＝－＝，
∴T＝π＝，∴ω＝2.
∴该函数的图象可由y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度得到，
∴所求函数的一个解析式为y＝sin 2，
即y＝sin.
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
[探究问题]
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与哪个量有关？当其取何值时为偶函数？当其取何值时为奇函数？
提示：函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的奇偶性与参数φ有关，当φ＝＋kπ，k∈Z时，其为偶函数，当φ＝kπ，k∈Z时，其为奇函数．
2．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的对称轴方程如何表示，对称中心呢？
提示：由ωx＋φ＝＋kπ，k∈Z，求对称轴方程，由ωx＋φ＝kπ，k∈Z，求对称中心．
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，相邻对称轴之间相差多少个周期？相邻零点呢？
提示：均相差半个周期．
【例2】　已知函数y＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的图象过点P，图象上与P点最近的一个最高点的坐标为.求函数解析式．
思路点拨：由图象过P和离P最近的最高点可求A、ω，由是最高点及|φ|<可求得φ的值．
[解]　(1)∵图象最高点的坐标为，
∴A＝5.
∵＝－＝，∴T＝π，
∴ω＝＝2，∴y＝5sin(2x＋φ)．
代入点，得sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z.
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又∵|φ|<，∴k＝0，则φ＝－，
∴y＝5sin.
1．(变结论)本例条件不变，指出函数的单调增区间．
[解]　∵函数的单调增区间满足2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调增区间为(k∈Z)．
2．(变结论)本例条件不变，求使y≤0的x的取值范围．
[解]　∵5sin≤0，
∴2kπ－π≤2x－≤2kπ(k∈Z)，
∴kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)．
故所求x的取值范围是(k∈Z)．
有关函数y＝Asin?ωx＋φ?的性质的问题，要充分利用正弦曲线的性质，要特别注意整体代换思想.
提醒：熟知y＝Asin?ωx＋φ?的图象和性质是解决y＝Asin?ωx＋φ?类综合题的关键.
教师独具
1．由函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确定解析式关键在于确定参数A，ω，φ的值．
(1)一般可由图象上的最大值、最小值来确定|A|.
(2)因为T＝，所以往往通过求周期T来确定ω，可通过已知曲线与x轴的交点从而确定T，即相邻的最高点与最低点之间的水平距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的水平距离为T.
(3)从寻找“五点法”中的第一个零点(也叫初始点)作为突破口，以y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)为例，位于单调递增区间上离y轴最近的那个零点最适合作为“五点”中的第一个点．
2．在研究y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质时，注意采用整体代换的思想．例如，它在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最大值，在ωx＋φ＝＋2kπ(k∈Z)时取得最小值．
1．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数图象(　　)
A．关于点对称　 B．关于直线x＝对称
C．关于点对称 D．关于直线x＝对称
A　[由T＝＝π，解得ω＝2，则f(x)＝sin，
则该函数图象关于点对称．]
2．如图是函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的一部分，那么ω＝________，φ＝________.
　　[∵点在函数图象上，∴sin φ＝.
又∵|φ|<，∴φ＝，∴y＝sin.
又∵点(π，0)在y＝sin上，且该点是“五点”中的第五个点，
∴sin＝0，∴πω＋＝2π，∴ω＝.]
3．函数y＝sin的图象的一条对称轴方程是________．
x＝(答案不唯一)　[由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，令k＝0，得x＝.]
4．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
[解]　(1)由题意知A＝ ，
T＝4×＝π，
ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，
∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，
∴φ＝，
∴y＝sin.
(2)列出x，y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点、连线，如图所示：