【备战2020】中考数学二轮专题：函数综合复习（面积）复习学案（上海地区专用）

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备战2020中考数学二轮专题复习学案
函数综合复习（面积）

函数基础知识点梳理：
反比例函数 一次函数 二次函数
最高次系 数符号
图象
性质 图象经过一、三象限 在每一个象限内，随的增大而减小。 1.图象经过二、四象限 2.在每一象限内，随的增大而增大。 1.图象经过一、三象限 2.随的增大而增大。 1.图象经过二、四象限 2.随的增大而减小。 1.开口向上 2.对称轴：直 3.顶点坐标： 1.开口向下 2.对称轴：直 3.顶点坐标：

二、典型例题

【备注】本部分为2个例题+1个练习，每题讲解时间大概为7分钟左右，讲解过程中注意边讲边练
例1.如图，在平面直角坐标系中，己知抛物线经过，两点，顶点为。（★★★★）
（1）求、的值；
（2）将△绕点顺时针旋转90°后，点落到点的位置，该抛物线沿轴上下平移后经过点，求平移后所得抛物线的表达式；
（3）设（2）中平移后所得的抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足△的面积是△面积的3倍，求点的坐标。


【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，点坐标可求；
2.二次函数经过，两点；
二.求、的值：将，两点代入函数解析式，解方程组。
三.求平移后所得抛物线的表达式：
1.先求解点的坐标：可得；
2.在根据点的坐标求解函数解析式。
四.当△的面积是△面积的3倍时，求点的坐标：
1.求解相关点的坐标和线段的长度：可得；
2.设点坐标，再用面积关系列等式：；
3.计算求解。（详细过程见后面满分解答）
【满分解答】
（1）已知抛物线 经过，．
∴ 解得
∴、的值分别为－4，3．
（2）∵， ，∴，．
可得旋转后点的坐标为．
当时，由得，
可知抛物线过点(4，3) ．
∴将原抛物线沿y轴向下平移2个单位后过点．
∴平移后的抛物线解析式为：．

（3）∵点在上，可设点坐标为，
将配方得，
∴其对称轴为x =2．
∵，，∴．
①当时，
∵，
∴．
∴，此时．
∴点的坐标为．
②当时，同理可得．
∴，此时．
∴点的坐标为．
综上所述，点的坐标为 或．

对应练习：
1已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线顶点为D，联结AD，AC，CD。（★★★★）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）△ACD与△COB是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由；
（3）抛物线的对称轴与线段AC交于点E，求△CED的面积。





【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，；
2.二次函数经过三点；
二.求抛物线的解析式：将三点代入函数解析式，解方程组。
三.判定△ACD与△COB是否相似？ 相似：因为点的坐标都知道，则通过计算三边是否成比例来证明相似。求解三边的长度，发现三边对应成比例。
四.求△CED的面积：
1.写出点的坐标；
2.用面积关系求解：，，。
3.计算求解。
【满分解答】
（1）设抛物线解析式为
根据题意，得，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）相似．
由配方得，∴．
由两点间距离公式得 ， ，．
又∵，， ，
∴．
∴△ACD∽△COB．
(3) 由（2）可知∠ACD＝90°，∴，
∵，又，
∴．

例2.在直角系中，点A的坐标为（1，0），点B、C的坐标分别为（–1，0）、（0，b），且0（1）求点D、O之间的距离；
（2）如果，试求：a与b的函数关系式及a的取值范围；
（3）当∠ADO的余切值为2时，求直线l的解析式；
（4）（在3）的条件下求△ABD与△BOC重叠部分的面积。

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：，，；
2.其它条件：直线l经过B、C两点，AD⊥l 。
二.求点D、O之间的距离：可得，为中点，则“垂直+中点”联想到直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，所以。
三.求a与b的函数关系式及a的取值范围：
1.条件：；
2.有面积比先联想到相似三角形，分析得出△ABD∽△CBO ，则；
3.计算求解，注意利用的范围求解的范围。
四.当，求直线l的解析式：因为，则；
所以可以求解点坐标，再求解直线方程。
五.当，求△ABD与△BOC重叠部分的面积：设与轴交于点，则，直接计算求解。
【满分解答】
（1）连结DO.
∵点A、B的坐标为（1，0）、（–1，0），
∴，.
∵AD⊥l交于点D ，
∴∠ADB=90°.
∴，
即点D、O之间的距离是1.
（2）∵∠ADB=∠COB =90°，
∠ABD=∠CBO ，
∴△ABD∽△CBO.
∴.
∵点C的坐标为（0，b），
∴.
∵，∴.
∵0 ∴.
（3）∵DO=AO=1，
∴∠1=∠2，
∵△ABD∽△CBO，
∴∠3=∠2.
∴∠3=∠1.
∵∠1的余切值为2，
∴∠3的余切值为2，
∴.
∴.
∵0∴点C的坐标为（0，2），
设直线l的解析式为∶，
∵直线l过点B，代入解析式，解得：.
直线l的解析式为∶.

（4）∵∠2的余切值为2，
∴点E的坐标为（0，），
∴直线AD的解析式为.
∴ 解得：
即点D的坐标为（，），
∴
==。


三、巩固练习：

【备注】本部分为巩固训练，时间为8分钟，学生独立完成后再讲解。
1.如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴正半轴上，边在轴的正半轴上，且，矩形绕点逆时针旋转后得到矩形，且点落在轴上的点，点的对应点为点，点的对应点为点。（★★★★）
（1）求、、三点的坐标；
（2）若抛物线经过点、、，求此抛物线的解析式；
（3）在轴上方的抛物线上求点Q的坐标，使得三角形的面积等于矩形的面积？

【解法点拨】可参考以下方法引导学生分析问题、解决问题
一.寻找题目中的已知量和特殊条件：
1.点的坐标：坐标可直接写出，点、、坐标可求；
2.二次函数经过、、三点。
二.求解、、点的坐标：
1.相等的边：，,；
2.过点作轴于，则利用相似看求的点的坐标；同理也可以求得点坐标。
三.求解二次函数解析式：将、、代入，解方程组可得。
四.当三角形的面积等于矩形的面积时，求解点Q的坐标：
1.点Q的位置：点在轴上方的抛物线上；
2.条件：三角形的面积等于矩形的面积；
3.利用面积相等求解求解出点的纵坐标，在利用点在函数图象上求解坐标。
【满分解答】
（1）联结,矩形
矩形绕点逆时针旋转后得到矩形,落在轴上的点

过D点作DH⊥X轴于H，，
∽




同理求得
（2）因为抛物线经过点、、

求得：
所求抛物线为：
（3）因为在轴上方的抛物线上有点Q，使得三角形的面积等于矩形的面积
设三角形的OB边上的高为，则，所以
因为点Q在轴上方的抛物线上,
所以Q的坐标是或

回顾总结：
函数综合题目考点分析：
求解函数解析式，以二次函数为主；
求解相关点的坐标，二次函数中一般考察求对称轴、顶点坐标；
以函数为背景，考察相似、等腰、相切、平行四边形、面积等相关知识点；该类题型综合性很强，需要及时画图观察。


















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