集合问题的类型与解法（Word版 学案 练习无答案）
文档属性
| 名称 | 集合问题的类型与解法（Word版 学案 练习无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 700.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-24 12:48:22 | ||
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文档简介
集合问题的类型与解法
我们知道，集合问题是近几年高考的热点问题之一，基本上是每卷必有集合问题的一个五分小题；从题型上看为选择题或填空题，难度系数较低。纵观近几年的高考试题，集合问题归结起来主要包括：①集合元素的问题；②集合与集合的关系问题；③集合的运算问题；④集合的新概念问题等几种类型。各种类型结构上具有各自的特征，解答方法也各不相同，那么在解答集合问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（1）已知集合A=｛（x，y）|+=1｝，B=｛（x，y）|y=x｝，则A∩B中元素的个数为（ ）
A 3 B 2 C 1 D 0
（2）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，则A∩B中元素的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】（1）运用交集的运算方法，结合集合的表示方法，通运算求出A∩B，利用元素的性质就可得出选项；（2）运用交集的运算方法，结合集合的表示方法，通运算求出A∩B，利用元素的性质就可得出选项。 y
【详细解答】（1）如图，由+=1，得x=， y=x
y=x， y=， x
或 x=-，A∩B={（，），（-，-）}，
y=-， B正确，选B；（2）A∩B={2，4}，B正确，选B。
2、已知集合A=｛1，2｝，B=｛a，+3｝，若A∩B=｛1｝，则实数a的值为 ；
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合相等的定义与性质；④方程的定义与解法。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可知1B，由+3 3，从而得到a=1。
【详细解答】 A∩B=｛1｝，1B， +3 3， a=1。
3、设集合A=｛x|1≤x≤5｝，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A 6 B 5 C 4 D 3
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件通过运算求出A∩Z，利用元素的性质就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x|1≤x≤5｝，Z为整数集，A∩Z={1，2，3，4，5}，B正确，选B。
4、设集合A=｛1,2,3｝，B=｛4,5｝，M=｛x|x=a+b,a∈A,b∈B｝,则M中元素的个数为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合元素的定义与性质。
【解题思路】运用集合的表示方法，结合问题条件，求出集合M，利用元素的性质就可得出选项。
【详细解答】1+4=5，1+5=6，2+4=6，2+5=7，3+4=7，3+5=8， M=｛x|x=a+b,a∈A,b∈B｝={5，6，7，8}，B正确，选B。
5、（1）已知集合M=｛1,2，zi｝,i为虚数单位，N=｛3,4｝,M∩N=｛4｝，则复数z=（）
A -2i B 2i C -4i D 4i
（2）若集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝中只有一个元素，则a=（）
A 4 B 2 C 0 D 0或4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③复数的定义与运算；④一元二次方程的定义与解法；⑤参数分类的原则与方法。
【解题思路】（1）设Z=a+bi，运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可得zi=4，利用复数的运算方法，结合问题条件求出a，b的值就可得出选项；（2）运用集合的表示方法，结合问题条件可知方程a+ax+1=0只有一个根，利用参数分类的原则和方法，分情况求出a的值就可得出选项。
【详细解答】（1）Z=a+bi，集合M=｛1,2，zi｝,i为虚数单位，N=｛3,4｝,M∩N=｛4｝，
zi=（a+bi）i=ai+b=-b+ai=4，-b=4，a=0，b=-4，a=0，Z=-4i，C正确，选C；（2）集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝中只有一个元素，方程a+ax+1=0只有一个根，①当a=0时，a+ax+1=0 1=0，显然等式不成立，此时无解；②当a0时，方程a+ax+1=0只有一个根，=-4a=0， a=0或a=4， a0， a=4，综上所述，当集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝中只有一个元素时，a=4，A正确，选A。
6、设常数a∈R，集合A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝,B=｛x |x≥a-1｝,若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A （-∞，2) B （-∞，2〕 C （2，+∞） D 〔2,+∞）
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②并集的定义，性质与运算方法；③不等式的定义与解法；④参数分类的原则与基本方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法，结合问题条件，得到关于参数a的不等式，利用参数分类原则与基本方法分别求解不等式就可得出选项。
【详细解答】①当a>1时，如图， A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝
=｛x|x 1或x≥a｝, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R， 0 a-1 1 a
a-11，1≥0｝= R, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R显然成立；③当a<1 a-1 a 0 1
时，如图 A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝= A=｛x|x a或x≥1｝, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R显然成立，综上所述，当A∪B=R时，实数a的取值范围是 a2，B正确，选B。
7、已知集合A=｛1,3，｝，B=｛1，m｝，A∪B=A，则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②并集的定义，性质与运算方法；③集合与集合的关系。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法，结合问题条件，得到集合B是集合A的子集，利用子集的性质可得m=3或m=，求解方程就可得出选项。
【详细解答】 A=｛1,3，｝，B=｛1，m｝，A∪B=A，BA，mA， m=3或m=， m=3或m=0，B正确，选B。
8、（1）已知集合A=｛x∈R||x+2|＜3｝,B=｛x∈R|(x-m)(x-2)＜0｝,且A∩B=(-1,n),则m= ,n= ；
（2）集合A=｛x∈R||x-2|≤5｝中的最小整数为 ；
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③不等式的定义与解法；④参数分类的原则与方法。
【解题思路】（1）运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可得到关于参数m，n的方程，利用参数分类的原则与方法分别求解方程就可得出m，n的值；（2）运用集合的表示方法和不等式的解法，结合问题条件求出集合A，就可得出集合A中的最小整数。
【详细解答】（1）①当m<2时，如图， A=｛x||x+2|＜3｝
=｛x|-5A∩B=(-1,n), m=-1，n=1 ；②当m=2时， A=｛x|
|x+2|＜3｝=｛x|-5 A∩B=, 与题意不符合 ；③当m>2时，如图， A=｛x| -5 -1 0 1 2 m
|x+2|＜3｝= A=｛x|-5『思考问题1』
（1）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用表示；
（2）要确定集合的元素或集合元素的个数都必须确定集合，这是由集合元素的特性决定的，集合的元素具有确定性，互异性和无序性。
〔练习1（理）〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1,2,3｝，B=｛2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为 ；
2、已知互异的复数a，b满足ab0，集合｛a，b｝ = ｛，｝，则a+b= ；
3、若集合｛a，b，c，d｝=｛1，2,3,4｝ ，且下列四个关系：①a=1 ；②b1；③c=2；
④d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组｛a，b，c，d｝的个数是 ；
4、含有三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝.
求：的值；
5、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|a∈P,b∈Q｝,则集合P+Q中元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
6、已知集合P=｛x|≤1｝, M=｛a｝,若 P∪M=P, 则实数a的取值范围是（ ）
A (-∞,-1〕 B 〔1，+∞〕 C 〔-1，1〕 （-∞，-1〕∪〔1，+∞）
7、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别是26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的也4人，则同时参加数学和化学小组的有 人；
8、已知集合A=｛-1，1，3｝, B=｛a+2，+4｝, A∩B=｛3｝，则实数a= ；
9、设全集U=｛0,1,2,3｝,集合A=｛x∈U|+mx=0｝, 若 A=｛1,2｝ 则 实数m= ；
10、设集合A=｛x||x-a|＜1,x∈R｝，B=｛x||x-b|＞2｝,若A B, 则实数a、b必满足（ ）
A |a+b|≤3 B |a+b|≥3 C |a-b|≤3 D|a-b|≥3
11、设A=｛4,5，7,9｝，B=｛3,4,7,8,9｝,全集U= A∪B，则 集合（A∩B）中的元素共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
12、已知集合A=｛x|x≤1｝，B=｛x|x≥a｝,且A∪B =R,则实数a的取值范围是 ；
13、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓运动的人数为 ；
14、已知全集U=R,集合M=｛x|-2≤x-1≤2｝和 N=｛x|x=2k-1,k∈N*｝
的关系的韦恩氏图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A 2个 B 3个 C 1个 D 无穷多个
15、集合A=｛0,2,a｝,B=｛1, ｝,若A∪B=｛0,1,2,4,16｝，则实数a的值为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 4
16、已知全集U=｛1，2，3，4，5｝,集合A=｛x|-3x+2=0｝, B=｛x|x=2a,a∈A｝,则 （A∪ B）中元素的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
〔练习1（文）〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1,2,3｝，B=｛2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为 ；
2、设M=｛1,2,4,6,8｝，N=｛1,2,3,5,6,7｝，则M∩N中元素的个数为（ ）
A 2 B 3 C 5 D 7
3、已知集合A=｛x|x=3n+2，n∈N｝，B=｛6，8,10,12,14｝，则集合A∩B中元素的个数为 （）
A 5 B 4 C 3 D 2
4、若集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝,其中只有一个元素，则a=（ ）
A 4 B 2 C 0 D 0或4
5、已知集合A=｛（x,y）|x、y∈R,且+=1｝, B=｛（x,y）|x、y∈R,且x+y=1｝,则 A∩B的元素个数为 （ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
6、已知集合A=｛1,3，m｝, B=｛3,4｝, A∪B=｛1,2,3,4｝,则a= ；
7、已知集合A=｛-1，1，3｝, B=｛a+2，+4｝, A∩B=｛3｝，则实数a= ；
8、设集合A=｛x||x-a|＜1,x∈R｝，B=｛x|1＜x＜5｝,若A∩B= , 则实数a的取值范围是（ ）
A ｛a|0≤a≤6 ｝ B ｛a|a≤2或a≥4｝ C ｛a|a≤0或a≥6｝ D｛a|2≤a≤4｝
9、已知集合A=｛-1，1，3｝, B=｛a+2，+4｝, A∩B=｛3｝，则实数a= ；
10、设集合A=｛4,5,7,9｝, B=｛3,4,7,8,9｝全集U=A∪B,则 集合 （A∩B）中的元素共有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
11、集合A=｛0,2,a｝,B=｛1,a2｝,若A∪B=｛0,1,2,4,16｝，则实数a的值为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 4
12、已知集合A=｛x|x≤1｝，B=｛x|x≥a｝,且A∪B =R,则实数a的取值范围是 ；
13、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别是26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的也4人，则同时参加物理和化学小组的有 人；
14、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓运动的人数为 。
【典例2】解答下列问题：
1、已知集合A=｛x|-2x ＞0｝,B=｛x|-＜x＜｝,则（）
A A∩B= B A∪B=R C A B D B A
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③不等式的解法；④并集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和不等式的解法，结合问题条件化简集合A，利用集合与集合的关系就可得出选项。
【详细解答】如图， A=｛x|-2x ＞0｝=｛x|x<0 - 0 1 2
或x ＞2｝，B=｛x|-＜x＜｝, A∪B=R，B正确，选B。
2、已知集合A=｛x|x是平行四边形｝，B=｛x|x是矩形｝，C=｛x|x是正方形｝，D=｛x|x是菱形｝，则（）
A AB B CB C DC D AD
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③平行四边形，菱形，矩形和正方形之间的关系。
【解题思路】运用集合的表示方法和平行四边形，矩形和正方形之间的关系，结合问题条件就可得出选项。
【详细解答】正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，菱形是特殊的平行四边形，但不一定是矩形， CB ，B正确，选B。
3、已知集合A=｛x| -x-2＜0｝,B=｛x|-1＜x＜1｝,则（）
A A B B B A C A=B D A∩B=
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③不等式的解法；④交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和不等式的解法，结合问题条件化简集合A，利用集合与集合的关系就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x| -x-2＜0｝=｛x|-1＜x＜2｝,
B=｛x|-1＜x＜1｝ B A ，B正确，选B。 -1 0 1 2
4、已知集合M=｛0，1,2,3,4｝， N=｛1,3,5｝,P= M∩N,则P的子集共有（）
A 2个 B 4个 C 6个 D 8个
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和交集的运算方法，结合问题条件求出集合P，利用子集的性质就可得出选项。
【详细解答】集合M=｛0，1,2,3,4｝， N=｛1,3,5｝, P= M∩N={1，3},P的子集有4个，B正确，选B。
5、设集合M=｛1,2｝, N=｛｝,则 “a=1”是“N M”的（）
A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与判定方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和子集的性质，结合问题条件对命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=1时，N=｛｝={1}， N M，“a=1”是“N M”的充分条件，当 N M时，=1或=2，a=1或a=，“a=1”不是“N M”的必要条件，A正确，选A。
6、设集合A=｛(x,y)| =1｝, B=｛(x,y)|y=3｝,则 A∩B的子集的个数是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③子集的定义与性质。
【解题思路】运用集合的表示方法和交集的运算方法，结合问题条件求出A∩B，利用子集的性质可得出选项。 y
【详细解答】如图， A=｛(x,y)| =1｝, y=3
B=｛(x,y)|y=3｝, A∩B={（，3），（- ， x
3）}， A∩B的子集有4个，A正确，选A。
7、已知全集U=R，则正确表示集合M=｛-1,0,1｝和 N=｛x|+x=0｝关系的韦恩氏图是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③韦恩氏图的定义与运用。
【解题思路】运用集合的表示方法，结合问题条件化简集合N，利用子集的性质，结合韦恩氏图就可得出选项。
【详细解答】 N=｛x|+x=0｝={-1，0}，M∩N=N，B正确，选B。
8、满足M ｛｝,且M∩｛｝=｛｝的集合M的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，结合问题条件化简集合N，利用子集的性质，结合韦恩氏图就可得出选项。
【详细解答】 M ｛｝，M∩｛｝=｛｝，M=｛｝，或M={，}，满足条件的集合M有2个，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）设A、B是两个集合，如果对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，
子集用符号“”，读作包含于或符号“”读作包含来表示；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；
③子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；④ 含有n个元素的集合，它的子集个数为个；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的x∈A，都有x∈B，且存在∈B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符号“”读作真包含于或符号“”读作真包含来表示；
（4）真子集的性质有：①空间是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；③含有n个元素的集合，它的真子集个数为（-1）个。
（5）如果集合A、B满足：AB,且BA,则称集合A与集合B相等，表示为A=B.
〔练习2（理）〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1，a｝,B=｛1，2，3｝,则“a=3”是“A B”的（ ）
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、集合｛-1，0,1｝共有 个子集；
7、设集合P=｛x|x＜4｝, Q=｛x|＜4｝,则 （）
A P Q B Q P C P Q D Q P
〔练习2（文）〕解答下列问题：
1、集合｛-1，0,1｝共有 个子集；
2、若集合A=｛1,2,3｝,B=｛1,3,4｝,则A∩B的子集个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 16
3、已知集合A=｛x|-3x+2=0,x∈R｝，B=｛x|0＜x＜5,x∈N｝，则满足条件ACB的集合C的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
10、若A、B、C为三个集合，A ∪ B =B∩C ，则一定有（ ）.
A A C B C A C A≠C D A=
11、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A=｛参加北京奥运会比赛的运动员｝，集合B=｛参加北京奥运会比赛的男运动员｝，集合C=｛参加北京奥运会比赛的女运动员｝，则下列关系正确的是（ ）
A A B B B A C A∩B=C D B∪C=A
【典例3】解答下列问题：
1、（1）已知集合A=｛x| x＞-2｝，B=｛x| x 1｝，则A∪B=（ ）
A ｛x|x＞-2} B｛x|-2＜x≤1｝ C｛x|x≤-2｝ D｛x|x1｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②并集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图，集合A=｛x| x＞-2｝，B=｛x| x 1｝，
A∪B=｛x| x＞-2｝，A正确，选A。 -2 -1 0 1
2、设集合P={-2，-1,0,1,2}，Q={x|2+x-＞0},则P∩Q=（ ）
A ｛-1，0｝ B ｛0，1｝ C ｛-1，0，1｝ D ｛0，1，2｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图， P={-2，-1,0,1,2}，Q={x|2+x-＞0}
={x|-13、设集合U=｛1，2，3，4，5，6｝，A=｛1，2，3｝,则A=（ ）
A ｛1，2，3｝ B ｛4，5，6｝ C ｛1，2｝ D ｛5，6｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和补集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】集合U=｛1，2，3，4，5，6｝，A=｛1，2，3｝, A={4，5，6}，B正确，选B。
4、设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3},B={x|x≤-2或x1},则A∩（B）=（ ）
A ｛x|-1＜x＜1} B｛x|-2＜x＜3｝ C｛x|-2≤x＜3｝ D｛x|x≤x-2或x＞-1｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法；③交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，补集，交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图，全集U=R， B={x|x≤-2或x1}, -2 -1 0 1
B=｛x|-2＜x＜1｝， A={x|-1＜x＜3},A∩（B）
={x|-1＜x＜1},A正确，选A。 -2 -1 0 1 2 3
5、设全集U={xZ |≤2x+3}，集合A={0，1，2}，则A=（ ）
A ｛-1，3｝ B ｛-1，0｝ C ｛0，3｝ D ｛-1，0，3｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，补集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】全集U={xZ |(x+1)(x-3)≤0}={-1，0，1，2，3}， A={0，1，2},
A=｛-1，3｝，A正确，选A 。
6、已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|1}，则AB=（ ）
A {-1，0，1} B {0，1} C {-1，1} D {0，1，2}
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图， B={x|1}={x|-1x1}，
AB={-1，0，1}，A正确，选A 。 -1 0 1
7、（1）已知集合M={x|-4＜x＜2}，N={x|-x-6＜0}，则MN=（ ）
A {x|-4＜x＜3} B {x|-4＜x＜-2} C {x|-2＜x＜2} D {x|2＜x＜3}
（2）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B（A）=（ ）
A {1，6} B {1，7} C {6，7} D {1，6，7}
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】（1）运用集合的表示方法，交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项；（2）运用集合的表示方法，交集，补集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】（1）如图， N={x|-x-6＜0} -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
={x|-2＜x＜3}，M={x|-4＜x＜2}， MN={x|-2＜x＜2}，C正确，选C；（2）
集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，A={1，6，7}， B={2，3，6，7}， B（A）={6，7}，C正确，选C。
『思考问题3』
（1）集合的运算包括：①集合的并集；②集合的交集；③集合的补集三种基本运算；
（2）设A，B是两个集合，由A，B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号“”表示，读作并；
（3）并集有如下性质：①任何集合与空集的并集等于这个集合本身；②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身；③两个集合的并集具有交换性，即AB=BA；④若A B，则A∪B=B；
（4）设A，B是两个集合，由A，B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号“”表示，读作交；
（5）交集有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与自身的交集等于它本身；③两个集合的交集具有交换性，即AB=BA；④若A B，则A∩B=A；
（6）研究对象的所有元素构成的集合，称为全集，一般用符号“U”表示；
（7）设U为全集，A为集合，由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合，称为集合A在全集U的补集，用符号“”表示，读作在全集U的补集；
（8）补集有如下性质：①任何集合与补集的并集等于全集；②任何集合与补集的交集等于空集；③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集；④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集；
（9）在进行集合的运算时，如果集合是用描述法表示的应该先把集合解析化简，再进行运算；
（10）如果集合涉及到不等式的解集，在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行；
（11）如果集合涉及到函数，在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行，这样可以使问题更直观更简便。
〔练习3（理）〕解答下列问题：
1、（1）已知集合A=｛x| -x-2＞0｝，则A=（ ）
A ｛x|-1＜x＜2} B｛x|-1＜x≤2｝C｛x|x＜-1｝｛x|x＞2｝D｛x|x≤-1｝｛x|x2｝
（2）已知集合A=｛0，2｝,B=｛-2，-1，0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0，2｝ B ｛1，2｝ C ｛0｝ D ｛-2，-1，0，1，2｝
2、（1）已知集合A=｛（x，y）| + ≤3，xZ，yZ｝，则A中元素的个数为（ ）
A 9 B 8 C 5 D 4
（2）已知集合A=｛1，3，5，7｝,B=｛2，3，4，5｝，则A∩B=（ ）
A ｛3｝ B ｛5｝ C ｛3，5｝ D ｛2，3，4，5，7｝
3、已知集合A=｛x|x-10｝,B=｛0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0｝ B ｛1｝ C ｛1，2｝ D ｛0，1，2｝
4、已知集合A=｛x|x＜2｝,B=｛-2，0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0，1｝ B ｛-2，0，1｝ C ｛-2，0，1，2｝ D ｛-1，0，1，2｝
5、已知集合A=｛0，1，2，8｝,B=｛-1，1，6，8｝，则A∩B= ；
6、设集合P=｛x|0＜x＜2｝，Q=｛x|-1＜x＜1｝，则P∩Q=（ ）
A ｛x|x＜1｝ B ｛x|0＜x＜1｝ C ｛x|-1＜x＜1｝ D ｛0｝
7、设集合P=｛x||x-1|＜1｝，Q=｛x|-1＜x＜2｝，则P∩Q=（ ）
A (-1，） B （-1，2) C （1，2） D （0，2）
8、设全集U=R，集合A=｛x|x≤-2｝,B=｛x|x-1｝，则（A∪B）=（ ）
A (-2，-1) B ［-2，-1］ C （-，-2］∪［-1，+) D （-2，1)
9、（1）设集合A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|+x-2＞0｝，则A∩B=（ ）
A (2，3） B （1，3) C （-，-2）∪（1，3) D （-，-2）∪（1，+)
（2）设集合A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x1｝，若A∩B=（ ）
A (-1，1］ B ［1，3) C ［-1，3］ D （-1，+)
10、（1）已知集合A=｛x|x＜1｝，B=｛x|＜1｝，则（ ）
A A∩B=｛x|x＜0｝ B A∪B=R C A∪B=｛x|x＞1｝D A∩B=
（2）已知集合A=｛x|x＜2｝，B=｛x|3-2x＞0｝，则（ ）
A A∩B=｛x|x＜｝B A∩B= C A∪B=｛x| x＜｝D A∪B=R
11、（1）设集合A=｛1，2，4｝,B=｛x|-4x+m=0｝，若A∩B=｛1｝
A ｛1，-3｝ B ｛1，0｝ C ｛1,3｝ D ｛1，5｝
（2）设集合A=｛1，2，3｝,B=｛2，3，4｝，则A∪B=（ ）
A ｛1，2，3，4｝ B ｛1，2，3｝ C ｛2,3，4｝ D ｛1，3，4｝
12、（1）若集合A=｛x|-2＜x＜1｝，B=｛x|x＜-1或x＞3｝，则A∩B=（ ）
A｛x|-2＜x＜1｝ B｛x|-2＜x＜3｝ C｛x|-1＜x＜1｝， D｛x|1＜x＜3｝
（2）已知集合U=R，A=｛x|x＜-2或x＞2｝，则A=（ ）
A (-2，2) B （-，-2) ∪（2，+) C［-2，2］ D（-，-2］∪［2，+)
13、（1）设集合U=R，A=｛x|-x-2＞0｝，则A=（ ）
A （-，-1）∪（2，+) B ［-1，2］ C（-，-1) ∪［2，+) D (-1，2)
（2）设集合U=R，A=｛x|（x+1）（x-2）＞0｝，则A=（ ）
A （-，-1）∪（2，+) B ［-1，2］ C（-，-1) ∪［2，+) D (-1，2)
14、设集合A=［-1，2］，B=｛y|y=，x∈A｝，则A∩B=（ ）
A ［1，4］ B ［1,2］ C ［-1,0］ D ［0,2］
15、（1）设集合A=｛0，1｝，B=｛x|（x+2）(x-1)＜0,x∈Z｝，则A∪B=（ ）
A ｛-2，-1，0,1｝ B ｛-1，0,1｝ C ｛0,1｝ D ｛0｝
（2）设集合A=｛0，1｝，B=｛x|+x-2=0｝，则A∪B=（ ）
A B ｛1｝ C ｛-2，0,1｝ D ｛-1，0,1，2｝
16、（1）设集合A=｛x|-4x+3＜0｝，集合B=｛x|2x-3＞0｝，则A∩B=（ ）
A （-3，-） B （-3,） C （1,） D （,3）
（2）设集合A=｛1，3，5,7｝，B=｛x|2≤x≤5｝，则A∩B=（）
A ｛1，3｝ B ｛3，5｝ C ｛5,7｝ D ｛1，7｝
17、（1）已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛x|＜9｝，则A∩B=（ ）
A ｛-2，-1,0,1,2,3｝ B ｛-2，-1，0，1，2｝ C ｛1,2，3｝ D ｛1，2｝
（2）设集合A=｛0，2，4,6,8,10｝，B=｛4,8｝，则B=（）
A ｛4,8｝ B ｛0，2，6｝ C ｛0,2，6,10｝ D ｛0，2,4,6,8,10｝
18、（1）设集合S=｛x|(x-2)(x-3)0｝，T=｛x|x＞0，｝，则S∩T=（）
A ［2,3］ B (-，2］∪［3，+) C ［3，+) D (0，2］∪［3，+)
（2）已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛x|（x+1）（x-2）＜0，xZ｝，则A∪B=（）
A ｛1｝ B ｛1，2｝ C ｛0，1,2，3｝ D ｛-1，0,，1，2，3｝
19、 已知集合A=｛x|2＜x＜4｝，B=｛x|x＜3或x＞5｝，则A∩B=（ ）
A ｛x|2＜x＜5｝ B ｛x|x＜4或x＞5｝ C ｛x|2＜x＜3｝ D ｛x|x＜2或x＞5｝
20、已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛y|y=2x-1，x∈A｝，则A∩B=（ ）
A ｛1,3｝ B ｛1，2｝ C ｛2，3｝ D ｛1，2，3｝
21、已知集合A=｛-1，2，3，6｝，B=｛x|-2＜x＜3｝，则A∩B= ；
【典例4】解答下列问题：
1、若对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ；
【解析】
【知识点】①集合的新概念的理解；②集合的表示法；③子集的定义与性质。
【解题思路】根据“伙伴关系集合”的定义，确定集合M={-1，0，，1，2}中具有“伙伴关系”的元素组为：-1，1，和2共3组，这三组元素中的任意一组构成的集合{-1}，{1}，{，2}满足“伙伴关系集合”的定义；任意两组构成的集合{-1，1}，{-1，，2}，{1，，2}满足“伙伴关系集合”的定义；三组构成的集合{-1，1，，2}满足“伙伴关系集合”的定义，从而得到具有“伙伴关系集合”的非空子集有7个。
【详细解答】对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”， 集合M={-1，0，，1，2}中具有“伙伴关系”的元素组为：-1，1，和2共3组，这三组元素中的任意一组构成的集合{-1}，{1}，{，2}是“伙伴关系集合”，任意两组构成的集合{-1，1}，{-1，，2}，{1，，2}是“伙伴关系集合”，三组构成的集合{-1，1，，2}也是“伙伴关系集合”，集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有“伙伴关系集合”的非空子集有3+3+1=7个。
2、设A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”。给定S=｛x∈N|y=lg(36-)｝,设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解；②集合的表示法；③子集的定义与性质；④对数函数的定义与性质。
【解题思路】根据 A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”的定义，结合问题条件确定集合S中的 “酷元”，从而得到满足条件的可能集合M就可得出选项。
【详细解答】A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是集合A的一个“酷元”， S=｛x∈N|y=lg(36-)｝={0，1，2，3，4，5},集合S的元素中，0，1不是“酷元”，2，4不能同时在集合M中，3，5是“酷元”， MS ，集合M中的两个元素都是“酷元”，集合M可能是：{3，5}，{2，3}，{2，5}，{3，4}，{3，5}共5个C正确，选C。
3、在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论：（1）2011〔1〕；（2）-3〔3〕；（3）Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕；（4）“整数a，b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解；②集合的表示法；③数的整除性质；④充分条件，必要条件，充分必要条件的判定方法；⑤命题真假判断的基本方法。
【解题思路】根据在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,（K=0,1,2,3,4）的定义，运用判断命题真假的基本方法分别对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,（K=0,1,2,3,4），对（1），2011=4025+1，k=1，（1）正确；对（2），-3=（-1）5+2，k=,2，（2）错误；对（3），对任意的整数Z，Z=5m+0或Z=5m+1或Z=5m+2或Z=5m+3或Z=5m+4，（3）正确；对（4），设a=5 +k，b=5+k，a-b=5（-）{0},同时a-b{0}可得a=5 +k，b=5+k属于
同一“类”， （4）正确，C正确，选C。
4、已知集合A=｛（x，y）|+≤1，x，y∈Z｝，B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，y∈Z｝，定义集合A B=｛（+，+）|（，）∈A，（， ）∈B｝，则AB中元素的个数为（ ）
A 77 B 49 C 45 D 30
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解；②集合的表示法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】根据集合的表示方法，结合问题条件把集合A，B化为列举法表示的集合，运用集合A B=｛（+，+）|（，）∈A，（， ）∈B｝的定义求出集合A B就可得出选项。 y
【详细解答】如图， A=｛（x，y）|+≤1， 3
x，y∈Z｝中有9个元素（即9个整数坐标点）， 2
B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，y∈Z｝中有25
个元素（即25个整数坐标点），A B=｛（+，-3 -2 -1 1 2 3x
+）|（，）∈A，（， ）∈B｝的元素
可看作是最大正方形的整数坐标点，除去4个顶点，即 -3
77-4=45，C正确，选C。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与集合有关的新概念问题，它属于信息迁移类问题，是化归思想的具体运用，也是近几年的高考热点问题；它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向，常见的类型有：①定义新概念；
②定义新公式；③定义新运算；④定义新法则；
（2）解答这类问题的基本思路是：①理解问题中新概念，新公式，新运算，新法则；②利用学过的数学知识进行逻辑推理；③对选项进行筛选，验证，得出结论。
〔练习4〕按要求解答下列各题：
1、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|a∈P,b∈Q｝,则集合P+Q中元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
2、设集合P=｛1,2,3｝,Q=｛0,2,4｝,定义集合P×Q=｛a.b|a∈P,b∈Q｝,则集合P×Q中的元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
O
O
M
N
N
M
M M
N
M
N
O
我们知道，集合问题是近几年高考的热点问题之一，基本上是每卷必有集合问题的一个五分小题；从题型上看为选择题或填空题，难度系数较低。纵观近几年的高考试题，集合问题归结起来主要包括：①集合元素的问题；②集合与集合的关系问题；③集合的运算问题；④集合的新概念问题等几种类型。各种类型结构上具有各自的特征，解答方法也各不相同，那么在解答集合问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地解答问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、（1）已知集合A=｛（x，y）|+=1｝，B=｛（x，y）|y=x｝，则A∩B中元素的个数为（ ）
A 3 B 2 C 1 D 0
（2）已知集合A=｛1，2，3，4｝，B=｛2，4，6，8｝，则A∩B中元素的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】（1）运用交集的运算方法，结合集合的表示方法，通运算求出A∩B，利用元素的性质就可得出选项；（2）运用交集的运算方法，结合集合的表示方法，通运算求出A∩B，利用元素的性质就可得出选项。 y
【详细解答】（1）如图，由+=1，得x=， y=x
y=x， y=， x
或 x=-，A∩B={（，），（-，-）}，
y=-， B正确，选B；（2）A∩B={2，4}，B正确，选B。
2、已知集合A=｛1，2｝，B=｛a，+3｝，若A∩B=｛1｝，则实数a的值为 ；
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合相等的定义与性质；④方程的定义与解法。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可知1B，由+3 3，从而得到a=1。
【详细解答】 A∩B=｛1｝，1B， +3 3， a=1。
3、设集合A=｛x|1≤x≤5｝，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ ）
A 6 B 5 C 4 D 3
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件通过运算求出A∩Z，利用元素的性质就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x|1≤x≤5｝，Z为整数集，A∩Z={1，2，3，4，5}，B正确，选B。
4、设集合A=｛1,2,3｝，B=｛4,5｝，M=｛x|x=a+b,a∈A,b∈B｝,则M中元素的个数为（ ）
A 3 B 4 C 5 D 6
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合元素的定义与性质。
【解题思路】运用集合的表示方法，结合问题条件，求出集合M，利用元素的性质就可得出选项。
【详细解答】1+4=5，1+5=6，2+4=6，2+5=7，3+4=7，3+5=8， M=｛x|x=a+b,a∈A,b∈B｝={5，6，7，8}，B正确，选B。
5、（1）已知集合M=｛1,2，zi｝,i为虚数单位，N=｛3,4｝,M∩N=｛4｝，则复数z=（）
A -2i B 2i C -4i D 4i
（2）若集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝中只有一个元素，则a=（）
A 4 B 2 C 0 D 0或4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③复数的定义与运算；④一元二次方程的定义与解法；⑤参数分类的原则与方法。
【解题思路】（1）设Z=a+bi，运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可得zi=4，利用复数的运算方法，结合问题条件求出a，b的值就可得出选项；（2）运用集合的表示方法，结合问题条件可知方程a+ax+1=0只有一个根，利用参数分类的原则和方法，分情况求出a的值就可得出选项。
【详细解答】（1）Z=a+bi，集合M=｛1,2，zi｝,i为虚数单位，N=｛3,4｝,M∩N=｛4｝，
zi=（a+bi）i=ai+b=-b+ai=4，-b=4，a=0，b=-4，a=0，Z=-4i，C正确，选C；（2）集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝中只有一个元素，方程a+ax+1=0只有一个根，①当a=0时，a+ax+1=0 1=0，显然等式不成立，此时无解；②当a0时，方程a+ax+1=0只有一个根，=-4a=0， a=0或a=4， a0， a=4，综上所述，当集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝中只有一个元素时，a=4，A正确，选A。
6、设常数a∈R，集合A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝,B=｛x |x≥a-1｝,若A∪B=R，则a的取值范围为（ ）
A （-∞，2) B （-∞，2〕 C （2，+∞） D 〔2,+∞）
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②并集的定义，性质与运算方法；③不等式的定义与解法；④参数分类的原则与基本方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法，结合问题条件，得到关于参数a的不等式，利用参数分类原则与基本方法分别求解不等式就可得出选项。
【详细解答】①当a>1时，如图， A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝
=｛x|x 1或x≥a｝, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R， 0 a-1 1 a
a-11，1
时，如图 A=｛x|(x-1)(x-a)≥0｝= A=｛x|x a或x≥1｝, B=｛x |x≥a-1｝, A∪B=R显然成立，综上所述，当A∪B=R时，实数a的取值范围是 a2，B正确，选B。
7、已知集合A=｛1,3，｝，B=｛1，m｝，A∪B=A，则m=（ ）
A 0或 B 0或3 C 1或 D 1或3
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②并集的定义，性质与运算方法；③集合与集合的关系。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法，结合问题条件，得到集合B是集合A的子集，利用子集的性质可得m=3或m=，求解方程就可得出选项。
【详细解答】 A=｛1,3，｝，B=｛1，m｝，A∪B=A，BA，mA， m=3或m=， m=3或m=0，B正确，选B。
8、（1）已知集合A=｛x∈R||x+2|＜3｝,B=｛x∈R|(x-m)(x-2)＜0｝,且A∩B=(-1,n),则m= ,n= ；
（2）集合A=｛x∈R||x-2|≤5｝中的最小整数为 ；
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③不等式的定义与解法；④参数分类的原则与方法。
【解题思路】（1）运用交集的运算方法和集合的表示方法，结合问题条件可得到关于参数m，n的方程，利用参数分类的原则与方法分别求解方程就可得出m，n的值；（2）运用集合的表示方法和不等式的解法，结合问题条件求出集合A，就可得出集合A中的最小整数。
【详细解答】（1）①当m<2时，如图， A=｛x||x+2|＜3｝
=｛x|-5
|x+2|＜3｝=｛x|-5
|x+2|＜3｝= A=｛x|-5
（1）集合中的每一个个体，称为集合的元素；元素与集合的关系有两种：①元素是集合中的元素称为元素属于集合，用表示；②元素不是集合中的元素称为元素不属于集合，用表示；
（2）要确定集合的元素或集合元素的个数都必须确定集合，这是由集合元素的特性决定的，集合的元素具有确定性，互异性和无序性。
〔练习1（理）〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1,2,3｝，B=｛2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为 ；
2、已知互异的复数a，b满足ab0，集合｛a，b｝ = ｛，｝，则a+b= ；
3、若集合｛a，b，c，d｝=｛1，2,3,4｝ ，且下列四个关系：①a=1 ；②b1；③c=2；
④d4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组｛a，b，c，d｝的个数是 ；
4、含有三个元素的集合可以表示为｛a,,1｝,也可以表示为｛,a+b,0｝.
求：的值；
5、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|a∈P,b∈Q｝,则集合P+Q中元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
6、已知集合P=｛x|≤1｝, M=｛a｝,若 P∪M=P, 则实数a的取值范围是（ ）
A (-∞,-1〕 B 〔1，+∞〕 C 〔-1，1〕 （-∞，-1〕∪〔1，+∞）
7、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别是26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的也4人，则同时参加数学和化学小组的有 人；
8、已知集合A=｛-1，1，3｝, B=｛a+2，+4｝, A∩B=｛3｝，则实数a= ；
9、设全集U=｛0,1,2,3｝,集合A=｛x∈U|+mx=0｝, 若 A=｛1,2｝ 则 实数m= ；
10、设集合A=｛x||x-a|＜1,x∈R｝，B=｛x||x-b|＞2｝,若A B, 则实数a、b必满足（ ）
A |a+b|≤3 B |a+b|≥3 C |a-b|≤3 D|a-b|≥3
11、设A=｛4,5，7,9｝，B=｛3,4,7,8,9｝,全集U= A∪B，则 集合（A∩B）中的元素共有（ ）（2009全国高考I卷）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
12、已知集合A=｛x|x≤1｝，B=｛x|x≥a｝,且A∪B =R,则实数a的取值范围是 ；
13、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓运动的人数为 ；
14、已知全集U=R,集合M=｛x|-2≤x-1≤2｝和 N=｛x|x=2k-1,k∈N*｝
的关系的韦恩氏图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A 2个 B 3个 C 1个 D 无穷多个
15、集合A=｛0,2,a｝,B=｛1, ｝,若A∪B=｛0,1,2,4,16｝，则实数a的值为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 4
16、已知全集U=｛1，2，3，4，5｝,集合A=｛x|-3x+2=0｝, B=｛x|x=2a,a∈A｝,则 （A∪ B）中元素的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
〔练习1（文）〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1,2,3｝，B=｛2，4，5｝，则集合A∪B中元素的个数为 ；
2、设M=｛1,2,4,6,8｝，N=｛1,2,3,5,6,7｝，则M∩N中元素的个数为（ ）
A 2 B 3 C 5 D 7
3、已知集合A=｛x|x=3n+2，n∈N｝，B=｛6，8,10,12,14｝，则集合A∩B中元素的个数为 （）
A 5 B 4 C 3 D 2
4、若集合A=｛x∈R|a+ax+1=0｝,其中只有一个元素，则a=（ ）
A 4 B 2 C 0 D 0或4
5、已知集合A=｛（x,y）|x、y∈R,且+=1｝, B=｛（x,y）|x、y∈R,且x+y=1｝,则 A∩B的元素个数为 （ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
6、已知集合A=｛1,3，m｝, B=｛3,4｝, A∪B=｛1,2,3,4｝,则a= ；
7、已知集合A=｛-1，1，3｝, B=｛a+2，+4｝, A∩B=｛3｝，则实数a= ；
8、设集合A=｛x||x-a|＜1,x∈R｝，B=｛x|1＜x＜5｝,若A∩B= , 则实数a的取值范围是（ ）
A ｛a|0≤a≤6 ｝ B ｛a|a≤2或a≥4｝ C ｛a|a≤0或a≥6｝ D｛a|2≤a≤4｝
9、已知集合A=｛-1，1，3｝, B=｛a+2，+4｝, A∩B=｛3｝，则实数a= ；
10、设集合A=｛4,5,7,9｝, B=｛3,4,7,8,9｝全集U=A∪B,则 集合 （A∩B）中的元素共有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
11、集合A=｛0,2,a｝,B=｛1,a2｝,若A∪B=｛0,1,2,4,16｝，则实数a的值为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 4
12、已知集合A=｛x|x≤1｝，B=｛x|x≥a｝,且A∪B =R,则实数a的取值范围是 ；
13、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别是26、15、13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的也4人，则同时参加物理和化学小组的有 人；
14、某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓运动的人数为 。
【典例2】解答下列问题：
1、已知集合A=｛x|-2x ＞0｝,B=｛x|-＜x＜｝,则（）
A A∩B= B A∪B=R C A B D B A
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③不等式的解法；④并集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和不等式的解法，结合问题条件化简集合A，利用集合与集合的关系就可得出选项。
【详细解答】如图， A=｛x|-2x ＞0｝=｛x|x<0 - 0 1 2
或x ＞2｝，B=｛x|-＜x＜｝, A∪B=R，B正确，选B。
2、已知集合A=｛x|x是平行四边形｝，B=｛x|x是矩形｝，C=｛x|x是正方形｝，D=｛x|x是菱形｝，则（）
A AB B CB C DC D AD
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③平行四边形，菱形，矩形和正方形之间的关系。
【解题思路】运用集合的表示方法和平行四边形，矩形和正方形之间的关系，结合问题条件就可得出选项。
【详细解答】正方形是特殊的矩形，矩形是特殊的平行四边形，菱形是特殊的平行四边形，但不一定是矩形， CB ，B正确，选B。
3、已知集合A=｛x| -x-2＜0｝,B=｛x|-1＜x＜1｝,则（）
A A B B B A C A=B D A∩B=
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②集合与集合的关系；③不等式的解法；④交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和不等式的解法，结合问题条件化简集合A，利用集合与集合的关系就可得出选项。
【详细解答】 A=｛x| -x-2＜0｝=｛x|-1＜x＜2｝,
B=｛x|-1＜x＜1｝ B A ，B正确，选B。 -1 0 1 2
4、已知集合M=｛0，1,2,3,4｝， N=｛1,3,5｝,P= M∩N,则P的子集共有（）
A 2个 B 4个 C 6个 D 8个
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和交集的运算方法，结合问题条件求出集合P，利用子集的性质就可得出选项。
【详细解答】集合M=｛0，1,2,3,4｝， N=｛1,3,5｝, P= M∩N={1，3},P的子集有4个，B正确，选B。
5、设集合M=｛1,2｝, N=｛｝,则 “a=1”是“N M”的（）
A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③充分条件，必要条件，充分必要条件的定义与判定方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和子集的性质，结合问题条件对命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=1时，N=｛｝={1}， N M，“a=1”是“N M”的充分条件，当 N M时，=1或=2，a=1或a=，“a=1”不是“N M”的必要条件，A正确，选A。
6、设集合A=｛(x,y)| =1｝, B=｛(x,y)|y=3｝,则 A∩B的子集的个数是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③子集的定义与性质。
【解题思路】运用集合的表示方法和交集的运算方法，结合问题条件求出A∩B，利用子集的性质可得出选项。 y
【详细解答】如图， A=｛(x,y)| =1｝, y=3
B=｛(x,y)|y=3｝, A∩B={（，3），（- ， x
3）}， A∩B的子集有4个，A正确，选A。
7、已知全集U=R，则正确表示集合M=｛-1,0,1｝和 N=｛x|+x=0｝关系的韦恩氏图是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③韦恩氏图的定义与运用。
【解题思路】运用集合的表示方法，结合问题条件化简集合N，利用子集的性质，结合韦恩氏图就可得出选项。
【详细解答】 N=｛x|+x=0｝={-1，0}，M∩N=N，B正确，选B。
8、满足M ｛｝,且M∩｛｝=｛｝的集合M的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②子集的定义与性质；③交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，结合问题条件化简集合N，利用子集的性质，结合韦恩氏图就可得出选项。
【详细解答】 M ｛｝，M∩｛｝=｛｝，M=｛｝，或M={，}，满足条件的集合M有2个，B正确，选B。
『思考问题2』
（1）设A、B是两个集合，如果对任意的x∈A，都有x∈B，则称集合A是集合B的子集，
子集用符号“”，读作包含于或符号“”读作包含来表示；
（2）子集的性质有：①空集是任何集合的子集；②任何集合是它自身的子集；
③子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；④ 含有n个元素的集合，它的子集个数为个；
（3）设A、B是两个集合，如果对任意的x∈A，都有x∈B，且存在∈B，但A，则称集合A是集合B的真子集，真子集用符号“”读作真包含于或符号“”读作真包含来表示；
（4）真子集的性质有：①空间是任何非空集合的真子集；②真子集具有传递性，即若AB，BC，则AC；③含有n个元素的集合，它的真子集个数为（-1）个。
（5）如果集合A、B满足：AB,且BA,则称集合A与集合B相等，表示为A=B.
〔练习2（理）〕解答下列问题：
1、已知集合A=｛1，a｝,B=｛1，2，3｝,则“a=3”是“A B”的（ ）
A 充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件
2、集合｛-1，0,1｝共有 个子集；
7、设集合P=｛x|x＜4｝, Q=｛x|＜4｝,则 （）
A P Q B Q P C P Q D Q P
〔练习2（文）〕解答下列问题：
1、集合｛-1，0,1｝共有 个子集；
2、若集合A=｛1,2,3｝,B=｛1,3,4｝,则A∩B的子集个数为（ ）
A 2 B 3 C 4 D 16
3、已知集合A=｛x|-3x+2=0,x∈R｝，B=｛x|0＜x＜5,x∈N｝，则满足条件ACB的集合C的个数为（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
10、若A、B、C为三个集合，A ∪ B =B∩C ，则一定有（ ）.
A A C B C A C A≠C D A=
11、第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A=｛参加北京奥运会比赛的运动员｝，集合B=｛参加北京奥运会比赛的男运动员｝，集合C=｛参加北京奥运会比赛的女运动员｝，则下列关系正确的是（ ）
A A B B B A C A∩B=C D B∪C=A
【典例3】解答下列问题：
1、（1）已知集合A=｛x| x＞-2｝，B=｛x| x 1｝，则A∪B=（ ）
A ｛x|x＞-2} B｛x|-2＜x≤1｝ C｛x|x≤-2｝ D｛x|x1｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②并集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和并集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图，集合A=｛x| x＞-2｝，B=｛x| x 1｝，
A∪B=｛x| x＞-2｝，A正确，选A。 -2 -1 0 1
2、设集合P={-2，-1,0,1,2}，Q={x|2+x-＞0},则P∩Q=（ ）
A ｛-1，0｝ B ｛0，1｝ C ｛-1，0，1｝ D ｛0，1，2｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图， P={-2，-1,0,1,2}，Q={x|2+x-＞0}
={x|-1
A ｛1，2，3｝ B ｛4，5，6｝ C ｛1，2｝ D ｛5，6｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法和补集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】集合U=｛1，2，3，4，5，6｝，A=｛1，2，3｝, A={4，5，6}，B正确，选B。
4、设全集U=R，集合A={x|-1＜x＜3},B={x|x≤-2或x1},则A∩（B）=（ ）
A ｛x|-1＜x＜1} B｛x|-2＜x＜3｝ C｛x|-2≤x＜3｝ D｛x|x≤x-2或x＞-1｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法；③交集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，补集，交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图，全集U=R， B={x|x≤-2或x1}, -2 -1 0 1
B=｛x|-2＜x＜1｝， A={x|-1＜x＜3},A∩（B）
={x|-1＜x＜1},A正确，选A。 -2 -1 0 1 2 3
5、设全集U={xZ |≤2x+3}，集合A={0，1，2}，则A=（ ）
A ｛-1，3｝ B ｛-1，0｝ C ｛0，3｝ D ｛-1，0，3｝
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，补集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】全集U={xZ |(x+1)(x-3)≤0}={-1，0，1，2，3}， A={0，1，2},
A=｛-1，3｝，A正确，选A 。
6、已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|1}，则AB=（ ）
A {-1，0，1} B {0，1} C {-1，1} D {0，1，2}
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】运用集合的表示方法，交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】如图， B={x|1}={x|-1x1}，
AB={-1，0，1}，A正确，选A 。 -1 0 1
7、（1）已知集合M={x|-4＜x＜2}，N={x|-x-6＜0}，则MN=（ ）
A {x|-4＜x＜3} B {x|-4＜x＜-2} C {x|-2＜x＜2} D {x|2＜x＜3}
（2）已知集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，B={2，3，6，7}，则B（A）=（ ）
A {1，6} B {1，7} C {6，7} D {1，6，7}
【解析】
【知识点】①集合表示的基本方法；②交集的定义，性质与运算方法；③补集的定义，性质与运算方法。
【解题思路】（1）运用集合的表示方法，交集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项；（2）运用集合的表示方法，交集，补集的运算方法，结合问题条件通过运算就可得出选项。
【详细解答】（1）如图， N={x|-x-6＜0} -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
={x|-2＜x＜3}，M={x|-4＜x＜2}， MN={x|-2＜x＜2}，C正确，选C；（2）
集合U={1，2，3，4，5，6，7}，A={2，3，4，5}，A={1，6，7}， B={2，3，6，7}， B（A）={6，7}，C正确，选C。
『思考问题3』
（1）集合的运算包括：①集合的并集；②集合的交集；③集合的补集三种基本运算；
（2）设A，B是两个集合，由A，B的所有元素组成的集合，称为集合A与集合B的并集，用符号“”表示，读作并；
（3）并集有如下性质：①任何集合与空集的并集等于这个集合本身；②任何集合与它自身的并集等于这个集合本身；③两个集合的并集具有交换性，即AB=BA；④若A B，则A∪B=B；
（4）设A，B是两个集合，由A，B的公共元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集，用符号“”表示，读作交；
（5）交集有如下性质：①任何集合与空集的交集等于空集；②任何集合与自身的交集等于它本身；③两个集合的交集具有交换性，即AB=BA；④若A B，则A∩B=A；
（6）研究对象的所有元素构成的集合，称为全集，一般用符号“U”表示；
（7）设U为全集，A为集合，由属于集合U但不属于集合A的所有元素构成的集合，称为集合A在全集U的补集，用符号“”表示，读作在全集U的补集；
（8）补集有如下性质：①任何集合与补集的并集等于全集；②任何集合与补集的交集等于空集；③两个集合并集的补集等于这两个集合补集的交集；④两个集合交集的补集等于这两个集合补集的并集；
（9）在进行集合的运算时，如果集合是用描述法表示的应该先把集合解析化简，再进行运算；
（10）如果集合涉及到不等式的解集，在进行集合的运算时应该借助于数学工具数轴来进行；
（11）如果集合涉及到函数，在进行集合的运算时应该借助于函数的图像来进行，这样可以使问题更直观更简便。
〔练习3（理）〕解答下列问题：
1、（1）已知集合A=｛x| -x-2＞0｝，则A=（ ）
A ｛x|-1＜x＜2} B｛x|-1＜x≤2｝C｛x|x＜-1｝｛x|x＞2｝D｛x|x≤-1｝｛x|x2｝
（2）已知集合A=｛0，2｝,B=｛-2，-1，0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0，2｝ B ｛1，2｝ C ｛0｝ D ｛-2，-1，0，1，2｝
2、（1）已知集合A=｛（x，y）| + ≤3，xZ，yZ｝，则A中元素的个数为（ ）
A 9 B 8 C 5 D 4
（2）已知集合A=｛1，3，5，7｝,B=｛2，3，4，5｝，则A∩B=（ ）
A ｛3｝ B ｛5｝ C ｛3，5｝ D ｛2，3，4，5，7｝
3、已知集合A=｛x|x-10｝,B=｛0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0｝ B ｛1｝ C ｛1，2｝ D ｛0，1，2｝
4、已知集合A=｛x|x＜2｝,B=｛-2，0，1，2｝，则A∩B=（ ）
A ｛0，1｝ B ｛-2，0，1｝ C ｛-2，0，1，2｝ D ｛-1，0，1，2｝
5、已知集合A=｛0，1，2，8｝,B=｛-1，1，6，8｝，则A∩B= ；
6、设集合P=｛x|0＜x＜2｝，Q=｛x|-1＜x＜1｝，则P∩Q=（ ）
A ｛x|x＜1｝ B ｛x|0＜x＜1｝ C ｛x|-1＜x＜1｝ D ｛0｝
7、设集合P=｛x||x-1|＜1｝，Q=｛x|-1＜x＜2｝，则P∩Q=（ ）
A (-1，） B （-1，2) C （1，2） D （0，2）
8、设全集U=R，集合A=｛x|x≤-2｝,B=｛x|x-1｝，则（A∪B）=（ ）
A (-2，-1) B ［-2，-1］ C （-，-2］∪［-1，+) D （-2，1)
9、（1）设集合A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|+x-2＞0｝，则A∩B=（ ）
A (2，3） B （1，3) C （-，-2）∪（1，3) D （-，-2）∪（1，+)
（2）设集合A=｛x|-1＜x＜3｝,B=｛x|x1｝，若A∩B=（ ）
A (-1，1］ B ［1，3) C ［-1，3］ D （-1，+)
10、（1）已知集合A=｛x|x＜1｝，B=｛x|＜1｝，则（ ）
A A∩B=｛x|x＜0｝ B A∪B=R C A∪B=｛x|x＞1｝D A∩B=
（2）已知集合A=｛x|x＜2｝，B=｛x|3-2x＞0｝，则（ ）
A A∩B=｛x|x＜｝B A∩B= C A∪B=｛x| x＜｝D A∪B=R
11、（1）设集合A=｛1，2，4｝,B=｛x|-4x+m=0｝，若A∩B=｛1｝
A ｛1，-3｝ B ｛1，0｝ C ｛1,3｝ D ｛1，5｝
（2）设集合A=｛1，2，3｝,B=｛2，3，4｝，则A∪B=（ ）
A ｛1，2，3，4｝ B ｛1，2，3｝ C ｛2,3，4｝ D ｛1，3，4｝
12、（1）若集合A=｛x|-2＜x＜1｝，B=｛x|x＜-1或x＞3｝，则A∩B=（ ）
A｛x|-2＜x＜1｝ B｛x|-2＜x＜3｝ C｛x|-1＜x＜1｝， D｛x|1＜x＜3｝
（2）已知集合U=R，A=｛x|x＜-2或x＞2｝，则A=（ ）
A (-2，2) B （-，-2) ∪（2，+) C［-2，2］ D（-，-2］∪［2，+)
13、（1）设集合U=R，A=｛x|-x-2＞0｝，则A=（ ）
A （-，-1）∪（2，+) B ［-1，2］ C（-，-1) ∪［2，+) D (-1，2)
（2）设集合U=R，A=｛x|（x+1）（x-2）＞0｝，则A=（ ）
A （-，-1）∪（2，+) B ［-1，2］ C（-，-1) ∪［2，+) D (-1，2)
14、设集合A=［-1，2］，B=｛y|y=，x∈A｝，则A∩B=（ ）
A ［1，4］ B ［1,2］ C ［-1,0］ D ［0,2］
15、（1）设集合A=｛0，1｝，B=｛x|（x+2）(x-1)＜0,x∈Z｝，则A∪B=（ ）
A ｛-2，-1，0,1｝ B ｛-1，0,1｝ C ｛0,1｝ D ｛0｝
（2）设集合A=｛0，1｝，B=｛x|+x-2=0｝，则A∪B=（ ）
A B ｛1｝ C ｛-2，0,1｝ D ｛-1，0,1，2｝
16、（1）设集合A=｛x|-4x+3＜0｝，集合B=｛x|2x-3＞0｝，则A∩B=（ ）
A （-3，-） B （-3,） C （1,） D （,3）
（2）设集合A=｛1，3，5,7｝，B=｛x|2≤x≤5｝，则A∩B=（）
A ｛1，3｝ B ｛3，5｝ C ｛5,7｝ D ｛1，7｝
17、（1）已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛x|＜9｝，则A∩B=（ ）
A ｛-2，-1,0,1,2,3｝ B ｛-2，-1，0，1，2｝ C ｛1,2，3｝ D ｛1，2｝
（2）设集合A=｛0，2，4,6,8,10｝，B=｛4,8｝，则B=（）
A ｛4,8｝ B ｛0，2，6｝ C ｛0,2，6,10｝ D ｛0，2,4,6,8,10｝
18、（1）设集合S=｛x|(x-2)(x-3)0｝，T=｛x|x＞0，｝，则S∩T=（）
A ［2,3］ B (-，2］∪［3，+) C ［3，+) D (0，2］∪［3，+)
（2）已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛x|（x+1）（x-2）＜0，xZ｝，则A∪B=（）
A ｛1｝ B ｛1，2｝ C ｛0，1,2，3｝ D ｛-1，0,，1，2，3｝
19、 已知集合A=｛x|2＜x＜4｝，B=｛x|x＜3或x＞5｝，则A∩B=（ ）
A ｛x|2＜x＜5｝ B ｛x|x＜4或x＞5｝ C ｛x|2＜x＜3｝ D ｛x|x＜2或x＞5｝
20、已知集合A=｛1，2，3｝，B=｛y|y=2x-1，x∈A｝，则A∩B=（ ）
A ｛1,3｝ B ｛1，2｝ C ｛2，3｝ D ｛1，2，3｝
21、已知集合A=｛-1，2，3，6｝，B=｛x|-2＜x＜3｝，则A∩B= ；
【典例4】解答下列问题：
1、若对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为 ；
【解析】
【知识点】①集合的新概念的理解；②集合的表示法；③子集的定义与性质。
【解题思路】根据“伙伴关系集合”的定义，确定集合M={-1，0，，1，2}中具有“伙伴关系”的元素组为：-1，1，和2共3组，这三组元素中的任意一组构成的集合{-1}，{1}，{，2}满足“伙伴关系集合”的定义；任意两组构成的集合{-1，1}，{-1，，2}，{1，，2}满足“伙伴关系集合”的定义；三组构成的集合{-1，1，，2}满足“伙伴关系集合”的定义，从而得到具有“伙伴关系集合”的非空子集有7个。
【详细解答】对任意xA，A，则称A是“伙伴关系集合”， 集合M={-1，0，，1，2}中具有“伙伴关系”的元素组为：-1，1，和2共3组，这三组元素中的任意一组构成的集合{-1}，{1}，{，2}是“伙伴关系集合”，任意两组构成的集合{-1，1}，{-1，，2}，{1，，2}是“伙伴关系集合”，三组构成的集合{-1，1，，2}也是“伙伴关系集合”，集合M={-1，0，，1，2}的所有非空子集中，具有“伙伴关系集合”的非空子集有3+3+1=7个。
2、设A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”。给定S=｛x∈N|y=lg(36-)｝,设MS，且集合M中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M有（ ）
A 3个 B 4个 C 5个 D 6个
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解；②集合的表示法；③子集的定义与性质；④对数函数的定义与性质。
【解题思路】根据 A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是A的一个“酷元”的定义，结合问题条件确定集合S中的 “酷元”，从而得到满足条件的可能集合M就可得出选项。
【详细解答】A是自然数集的一个非空子集，如果kA，A，且A，那么k是集合A的一个“酷元”， S=｛x∈N|y=lg(36-)｝={0，1，2，3，4，5},集合S的元素中，0，1不是“酷元”，2，4不能同时在集合M中，3，5是“酷元”， MS ，集合M中的两个元素都是“酷元”，集合M可能是：{3，5}，{2，3}，{2，5}，{3，4}，{3，5}共5个C正确，选C。
3、在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,
K=0,1,2,3,4给出如下四个结论：（1）2011〔1〕；（2）-3〔3〕；（3）Z=〔0〕∪〔1〕∪〔2〕∪〔3〕∪〔4〕；（4）“整数a，b属于同一“类“的充要条件是a-b〔0〕”其中正确结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解；②集合的表示法；③数的整除性质；④充分条件，必要条件，充分必要条件的判定方法；⑤命题真假判断的基本方法。
【解题思路】根据在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,（K=0,1,2,3,4）的定义，运用判断命题真假的基本方法分别对各命题的真假进行判断就可得出选项。
【详细解答】在整数集Z中，被5除余数为k的所有整数组成一个“类”，记为〔k〕 ，即〔k〕=｛5m+k|mZ｝,（K=0,1,2,3,4），对（1），2011=4025+1，k=1，（1）正确；对（2），-3=（-1）5+2，k=,2，（2）错误；对（3），对任意的整数Z，Z=5m+0或Z=5m+1或Z=5m+2或Z=5m+3或Z=5m+4，（3）正确；对（4），设a=5 +k，b=5+k，a-b=5（-）{0},同时a-b{0}可得a=5 +k，b=5+k属于
同一“类”， （4）正确，C正确，选C。
4、已知集合A=｛（x，y）|+≤1，x，y∈Z｝，B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，y∈Z｝，定义集合A B=｛（+，+）|（，）∈A，（， ）∈B｝，则AB中元素的个数为（ ）
A 77 B 49 C 45 D 30
【解析】
【知识点】①集合新概念的理解；②集合的表示法；③集合元素的定义与性质。
【解题思路】根据集合的表示方法，结合问题条件把集合A，B化为列举法表示的集合，运用集合A B=｛（+，+）|（，）∈A，（， ）∈B｝的定义求出集合A B就可得出选项。 y
【详细解答】如图， A=｛（x，y）|+≤1， 3
x，y∈Z｝中有9个元素（即9个整数坐标点）， 2
B=｛(x,y)||x|≤2,|y|≤2，x，y∈Z｝中有25
个元素（即25个整数坐标点），A B=｛（+，-3 -2 -1 1 2 3x
+）|（，）∈A，（， ）∈B｝的元素
可看作是最大正方形的整数坐标点，除去4个顶点，即 -3
77-4=45，C正确，选C。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与集合有关的新概念问题，它属于信息迁移类问题，是化归思想的具体运用，也是近几年的高考热点问题；它的结构特点是通过给出新的数学概念或新的运算方法，在新的情景下完成某种推理证明是集合命题的一个新方向，常见的类型有：①定义新概念；
②定义新公式；③定义新运算；④定义新法则；
（2）解答这类问题的基本思路是：①理解问题中新概念，新公式，新运算，新法则；②利用学过的数学知识进行逻辑推理；③对选项进行筛选，验证，得出结论。
〔练习4〕按要求解答下列各题：
1、设集合P=｛0，2,5｝，Q=｛1,2,6｝定义集合P+Q=｛a+b|a∈P,b∈Q｝,则集合P+Q中元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
2、设集合P=｛1,2,3｝,Q=｛0,2,4｝,定义集合P×Q=｛a.b|a∈P,b∈Q｝,则集合P×Q中的元素的个数是（ ）
A 9 B 8 C 7 D 6
O
O
M
N
N
M
M M
N
M
N
O
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