人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 单元测试题（解析版）

人教版八年级数学下册 第16章 二次根式 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．矩形的面积为18，一边长为，则另一边长为（　　）
A． B． C． D．24
2．在根式、、、、中，可以与进行合并的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．计算﹣的结果是（　　）
A．25 B．2 C． D．5
4．二次根式的值等于（　　）
A．﹣2 B．±2 C．2 D．4
5．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≤ B．x≥ C．x≤2 D．x≥2
6．若a＜0，则的值为（　　）
A．3 B．﹣3 C．3﹣2a D．2a﹣3
7．下列各式中，，，，，，中，最简二次根式有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8．若a＝，b＝1﹣，则a、b两数的关系是（　　）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．互为负倒数
9．按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为，则最后输出的结果是（　　）
A．14 B．16 C．8+5 D．14+
10．已知（x﹣1）＝（x+1），则x＝（　　）
A．5﹣ B．5﹣2 C．5+2 D．5+
二．填空题（共8小题）
11．如果二次根式有意义，则x　 　．
12．已知矩形的长a＝，宽b＝，则这个矩形的面积是　 　．
13．计算：×﹣4×＝　 　．
14．分母有理化：＝　 　．
15．化简：＝　 　．
16．已知最简二次根式和是同类二次根式，则x+y＝　 　．
17．若是正整数，则整数n的最小值为　 　．
18．已知m＝1+，n＝1﹣，则代数式m2+n2+3mn的值为　 　．
三．解答题（共7小题）
19．计算：
（1）
（2）
20．若x，y都是实数，且y＝+1，求+3y的值．
21．实数a、b、C在数轴上的位置如图所示，化简：﹣|a+c|+﹣|﹣b﹣1|．

22．求最简根式与根式是同类二次根式，a为整数，求a+b．
23．阅读材料：
如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记p＝，那么这个三角形的面积S＝．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦秦﹣﹣﹣九韶公式”完成下列问题：
如图，在△ABC中，a＝7，b＝5，c＝6．
（1）求△ABC的面积；
（2）设AB边上的高为h1，AC边上的高为h2，求h1+h2的值．

24．全球气候变暖导致一些冰川融化并消失，在冰川消失12年后，一种植物苔藓就开始在岩石上生长，每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和冰川消失的年限，近似地满足如下的关系式：d＝7（t≥12），其中d代表苔藓的直径，单位为厘米，它代表冰川消失的时间，单位为年．
（1）计算冰川消失16年后苔藓的直径；
（2）如果测得一些苔藓的直径是14厘米，问冰川约在多少年前消失的？
25．先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得＝m，，那么便有：（a＞b）
例如：化简
解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：＝7，，
所以．
问题：
①填空：＝　 　，＝　 　；
②化简：（请写出计算过程）


参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．【分析】根据矩形的面积得出另一边为，再根据二次根式的运算法则进行化简即可．
【解答】解：∵矩形的面积为18，一边长为，
∴另一边长为＝3，
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的面积和二次根式的除法，能根据二次根式的运算法则进行化简是解此题的关键．
2．【分析】对各个二次根式化简，找出与是同类二次根式的项即可．
【解答】解：，，，
∴在根式、、、、中，可以与进行合并的有、共2个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
3．【分析】首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可．
【解答】解：﹣＝3﹣2＝，
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的加减，关键是正确把二次根式进行化简．
4．【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：原式＝|﹣2|＝2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题关键．
5．【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴2﹣4x≥0，
解得：x≤．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
6．【分析】利用二次根式的性质和绝对值的意义得到原式＝﹣（a﹣3）﹣|a|，然后去绝对值后合并即可．
【解答】解：∵a＜0，
∴原式＝﹣（a﹣3）﹣|a|
＝﹣a+3+a
＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简：熟练掌握二次根式的性质进行二次根式的化简与计算．
7．【分析】最简二次根式是指被开方数不含分母、不含还能再开方的数的二次根式，据此逐个式子分析即可．
【解答】解：中a的次数大于2，不是最简二次根式；
没法化简了，属于最简二次根式；
是最简二次根式；
根号下含义分母，不是最简二次根式；
其中的12＝22×3，还能化简，不是最简二次根式；
中含有分母，不是最简二次根式．
综上，是最简二次根式的有2个．
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的识别，明确最简二次根式的定义，是解题的关键．本题属于基础知识的考查，比较简单．
8．【分析】把a分母有理化化简后，判断即可．
【解答】解：化简得：a＝＝＝﹣1，b＝1﹣，
则a与b互为相反数，
故选：A．
【点评】此题考查了分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
9．【分析】根据给出的运算程序计算即可．
【解答】解：当n＝时，n（n+1）＝2+＜15，
当n＝2+时，n（n+1）＝8+5＞15，
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
10．【分析】根据一元一次方程的解法即可求出答案．
【解答】解：∵（x﹣1）＝（x+1），
∴x﹣＝x+，
∴x﹣x＝+，
∴x＝＝5+2，
故选：C．
【点评】本题考查一元一次方程，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解法，本题属于基础题型．
二．填空题（共8小题）
11．【分析】根据二次根式被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2≥0，
解得，x≥2，
故答案为：≥2．
【点评】本题考查的是二次根式应用的条件，掌握二次根式被开方数是非负数是解题的关键．
12．【分析】根据矩形的面积公式列出算式，根据二次根式的乘法法则计算，得到答案．
【解答】解：矩形的面积＝ab
＝×
＝×4××3
＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查的是二次根式的应用，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
13．【分析】先利用二次根式的乘法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣4×
＝2﹣
＝．
故答案为．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
14．【分析】根据分母有理化法则计算．
【解答】解：＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．
15．【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：∵﹣a3≥0，
∴a≤0，
∴原式＝|a|＝﹣a，
故答案为：﹣a
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
16．【分析】根据同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．进行解答即可．
【解答】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：x＝4，y＝4，
∴x+y＝4+4＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了同类二次根式，解答本题的关键在于熟练掌握同类二次根式的定义：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
17．【分析】先化简二次根式，然后依据化简结果为整数可确定出n的值．
【解答】解：∵是正整数，n是整数，
∴n的最小值是3．
故答案是：3．
【点评】本题主要考查的是二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．
18．【分析】直接将原式变形进而把已知代入求出答案．
【解答】解：∵m＝1+，n＝1﹣，
∴m2+n2+3mn
＝（m+n）2+mn
＝（1++1﹣）2+（1+）（1﹣）
＝4+1﹣3
＝2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确将原式变形是解题关键．
三．解答题（共7小题）
19．【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】解：（1）原式＝
＝；
（2）原式＝
＝18+6+1+3﹣2
＝20+6．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20．【分析】首先根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x＝4，然后再代入y＝+1可得y的值，进而可得+3y的值．
【解答】解：由题意得：，
解得：x＝4，
则y＝1，
+3y＝2+3＝5．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
21．【分析】根据数轴得出c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，再根据二次根式的性质和绝对值的意义进行计算，最后合并同类项即可．
【解答】解：从数轴可知：c＜a＜0＜b，|c|＞|b|＞|a|，
所以﹣|a+c|+﹣|﹣b﹣1|
＝b﹣a+（a+c）﹣（c﹣b）﹣（b+1）
＝b﹣a+a+c﹣c+b﹣b﹣1
＝b﹣1．
【点评】本题考查了数轴，二次根式的性质和绝对值，能正确根据二次根式的性质和绝对值进行计算是解此题的关键．
22．【分析】化简二次根式＝|b|，由3a﹣b＝2知b＝3a﹣2，根据求得≤a≤8，结合是最简二次根式，且a为整数知a＝1或a＝3或a＝4或a＝5或a＝7，进一步检验可得答案．
【解答】解：化简得：＝|b|，
∵3a﹣b＝2，
∴b＝3a﹣2，
∵，即，
解得≤a≤8，
∵是最简二次根式，且a为整数，
∴a＝1或a＝3或a＝4或a＝5或a＝7，
当a＝1时，b＝1，此时a+b＝2；
当a＝3时，b＝7，此时第1个根式为，第2个根式为，不是同类二次根式，舍去；
当a＝4时，b＝10，此时第1个根式为，第2个根式化简后是2，舍去；
当a＝5时，b＝13，此时第1个根式为，第2个根式是，舍去；
当a＝7时，b＝19，此时第1个根式为，第2个根式化简后是1，舍去；
综上a+b的值为2．
【点评】此题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键．
23．【分析】（1）根据题意先求p，再将p，a，b，c的值代入题中所列面积公式计算即可；
（2）按照三角形的面积等于×底×高分别计算出h1和h2的值，再求和即可．
【解答】解．（1）根据题意知p＝＝9
所以S＝＝＝6
∴△ABC的面积为6；
（2）∵S＝ch1＝bh2＝6
∴×6h1＝×5h2＝6
∴h1＝2，h2＝
∴h1+h2＝．
【点评】本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
24．【分析】（1）根据题意可知分别是求当t＝16时，d的值，直接把对应数值代入关系式即可求解；
（2）根据题意可知是求当d＝14时，t的值，直接把对应数值代入关系式即可求解．
【解答】解：（1）当t＝16时，d＝7×＝7×2＝14cm；
（2）当d＝14时，＝2，即t﹣12＝4，解得t＝16年．
答：冰川消失16年后苔藓的直径为14cm，冰川约是在16年前消失的．
【点评】本题主要考查了平方根、算术平方根概念的运用．会根据题意把数值准确的代入对应的关系式中是解题的关键．
25．【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解答】解：①＝＝＝+1，
＝＝＝+2，
故答案为： +1； +2；
②＝＝＝﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．