2020北师大版九上数学第二章一元二次方程第4、5小节习题讲解课件（2课时26张 ）

课件26张PPT。4　
用因式分解法求解一元二次方程1.因式分解法的定义:
将一元二次方程因式分解化为两个_________的乘积等于__的形式,再使这两个一次因式分别等于__,从而求出方程的解的
方法.一次因式002.因式分解法的理论依据:
如果a·b=0,那么a=__或b=__.
3.因式分解法的数学思想:
体现了_____的思想,即将二次方程利用因式分解转化为一次
方程.00转化【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.因式分解法解一元二次方程时,因式分解的主要方法是提公
因式法和公式法.　( )
2.方程2x2+x=0的解是x=- .　( )
3.方程(x-2)(x-1)=2的解是x1=2,x2=1.　( )√××知识点一 用因式分解法解一元二次方程
【示范题1】用因式分解法解方程(x-1)2=2-2x.
【思路点拨】方程右边化为0→方程左边因式分解→得到两个一次方程→得到原方程的解.【自主解答】移项,得(x-1)2+2x-2=0,
∴(x-1)2+2(x-1)=0,
∴(x-1)(x-1+2)=0,
∴(x-1)(x+1)=0,
∴x-1=0,或x+1=0,∴x1=1,x2=-1.【想一想】
下列解方程-2x2=5x的解法正确吗?为什么?
解:两边都除以x,得
-2x=5,所以x=- ,
提示:不正确,因为方程两边若同时除以x,结果就把x=0这个根遗漏了,所以不正确.【备选例题】用因式分解法解方程(3x-1)2=16.
【解析】移项,得(3x-1)2-16=0,
∴(3x-1+4)(3x-1-4)=0,
∴3x-1+4=0,或3x-1-4=0,
∴x1=-1, 【方法一点通】
因式分解法解一元二次方程的“四个步骤”
1.转化:把方程化为右边为0的形式.
2.分解:将方程的左边分解成两个一次因式乘积的形式.
3.降次:令每个因式分别等于0,得到两个一元一次方程.
4.求解:解这两个一元一次方程,得到原方程的解.知识点二 一元二次方程解法的选择
【示范题2】我们已经学习了一元二次方程的四种解法:因式分解法,直接开平方法,配方法和公式法.请选择你认为适当的方法解下列方程.
(1)x2-3x+1=0.　　　　 (2)(x-1)2=3.
(3)x2=3x. (4)x2-2x=4.
【思路点拨】根据方程特点,选择适当的方法解方程.【自主解答】(1)a=1,b=-3,c=1,由求根公式得


(2)开平方,得x-1=± ,∴x1=1+ ,x2=1- .
(3)移项,得x2-3x=0,
因式分解,得x(x-3)=0,
于是得x=0或x-3=0,∴x1=0,x2=3.
(4)配方,得(x-1)2=5,∴x-1=± ,∴x1=1+ ,x2=1- .【想一想】
张明觉得解方程(x-1)(x+2)=1,最恰当的办法是因式分解法,因为左边不用分解了.你觉得呢?这个题目选择怎样的解法最合适?
提示:张明的想法是错误的.虽然左边不用分解,但等号的右边不是0,不能直接用因式分解的办法求解.
原方程可化为:x2+x-3=0,该方程用公式法求解最合适.【微点拨】
(1)解方程若没有具体的要求,我们通常选择较简便的方法求解.
(2)一般解方程最后的选择是公式法和配方法,因为它适合任意的一元二次方程.【方法一点通】
解一元二次方程的方法选择
(1)若给定的方程为x2=n或者(x+m)2=n(n≥0)型时,选用直接开平方法.
(2)若给定的方程(或者变形后)右边为0,左边能因式分解时,选用因式分解法.
(3)若给定的方程右边为0,左边不能因式分解时,一般选用公式法.
(4)配方法过程较烦琐,没有特别说明一般不选用.﹡5　
一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程根与系数的关系:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0):当b2-4ac≥0时,

则

综上可知:如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1,x2,
那么x1+x2=_____,x1x2=_______.2.一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件:
一元二次方程根与系数的关系成立的条件是方程_________,
即Δ___0.有实数根≥【思维诊断】(打“√”或“×”)
1.一元二次方程的根与系数的关系适用于所有的一元二次方
程.　( )
2.一元二次方程的两根之和一定是负数.　( )
3.一元二次方程x2+2x+3=0的两根之积等于3.　( )
4.一元二次方程-2x2+3x+6=0的两根之积等于-3. ( )×××√知识点 一元二次方程根与系数的关系及应用
【示范题】已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+2k=0有两个实数根x1,x2.
(1)求实数k的取值范围.
(2)是否存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立?若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.【思路点拨】(1)有两个实数根→Δ≥0→k的取值范围.
(2)根与系数的关系→x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k→k的值→验证得结论.
【自主解答】(1)∵原方程有两个实数根,∴[-(2k+1)]2-4(k2+2k)≥0,
∴4k2+4k+1-4k2-8k≥0.∴1-4k≥0,
∴k≤ .∴当k≤ 时,原方程有两个实数根.(2)假设存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.
∵x1,x2是原方程的两根,∴x1+x2=2k+1,x1·x2=k2+2k.
由x1·x2-x12-x22≥0,得3x1·x2-(x1+x2)2≥0.
∴3(k2+2k)-(2k+1)2≥0,整理得:-(k-1)2≥0,
∴只有当k=1时,上式才能成立.
由(1)知k≤ ,∴不存在实数k使得x1·x2-x12-x22≥0成立.【想一想】
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两根符号相同,那么系数b,c的符号是什么?
提示:两根同正,b<0,c>0,两根同负,b>0,c>0.【备选例题】已知关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m,求m,n的值.
【解析】∵关于x的方程x2+x+n=0有两个实数根-2,m,
∴
解得即m,n的值分别是1,-2.【微点拨】
1.应用一元二次方程根与系数的关系的前提是:方程是一元二次方程,且有实数根.所以必须满足二次项系数a≠0,判别式b2-4ac≥0的条件.
2.关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,则有x1+x2=-p, x1·x2=q.【方法一点通】
根与系数的关系的应用
1.已知一个根,求方程的另一个根.
2.已知方程的根,确定方程中的未知系数.
3.求与方程的两个根有关的代数式的值.
4.证明等式或不等式.
5.根据方程的根,求符合要求的一元二次方程.