19.1多边形内角和
1.填空
(1)已知:n边形的内角和为720°,则n=______.
(2)五边形的内角和与外角和的比值是______.
(3)过六边形的每一个顶点都有______条对角线.
(4)过七边形的一个顶点的所有对角线把七边形分成______个三角形.
2.选择题
(1)一个五边形有三个内角是直角,另两个内角都等于n,则n的值是( ).
A.30° B.120° C.135° D.108°
(2)n边形与m边形内角和度数差为720°,则n与m的差为( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
(3)一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数为( ).
A.7 B.8 C.9 D.11
(4)下列角度中,不是多边形内角和的只有( ).
A.540° B.720° C.960° D.1080°
(5)下面哪一个度数是某个多边形的内角和( ).
A.270° B.630° C.1920° D.720°
(6)一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( ).
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
(7) 若一个正多边形的每一个内角都等于120°,则它是( ).
A.正方形 B.正五边形 C.正六边形 D.正八边形
(8)三角形一个外角小于与它相邻的内角,这个三角形是( ).
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.属于哪一类不能确定
(9)一个多边形的内角和是三角形外角和的3倍,则这个多边形为( ).
A.五边形 B.六边形 C.八边形 D.九边形
(10)若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是( ).
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
(11)若三角形三个外角的比为4:2:3,则这个三角形是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形
(12)一个多边形除一个内角外,其余各个内角的和为20300,则这个多边形的边数( ).
A.12 B.13 C. 14 D.15 .
(13)一个五边形的五个外角的度数比是1∶2∶3∶4∶5,这个五边形的五个内角的度数比( ).
A. 1∶2∶3∶4∶5 B. 5∶4∶3∶2∶1
C. 13∶11∶9∶7∶5 D. 11∶9∶7∶5∶3
(14)已知∠ABC的边BA、BC分别与∠DEF的边ED、EF垂直,垂足分别是M、N,且∠ABC=700,则∠DEF的度数( ).
A. 700 B.1100 C. 700 或1100 D.1400
3.已知:多边形外角和是内角和的,求多边形的边数.
?
4.已知:一个多边形的每个外角都等于30°,求:这个多边形的内角和.
5.一个多边形的内角和是外角和的n倍(n是正整数),求这个多边形的边数.
?
6.一个多边形除了一个内角外,其余各内角的和为1700°,求这个多边形的边数.
7.试求:n边形对角线的数量.
8.一个n边形,它的每条对角线都相等,试画出这样的n边形.
9.已知:如图4-5,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值.
参考答案:
1.(1)6 (2) (3)3 (4)5
2.(1)C (2)C (3)B (4)C
(5)知识点:多边形的内角和
知识点的描述:n边形的内角和是(n-2)180°,多边形的内角和一定是180°的整数倍
答案:D
详细解答:270°、630°、1920°、720°中只有D.720°是180°的整数倍,所以选D.
(6).知识点:多边形的外角和
知识点的描述:多边形的外角和360°,是一个不变的常数,与边数无关,也就是说不管是几边形,他的外角和总是360°
答案:D
详细解答:多边形的外角和360°,因此一个多边形的外角中,钝角的个数不可能超过3个,如果是4个钝角,那么外角和大于360°,这是不可能的。所以选D。
(7)知识点:正多边形的内角
知识点的描述:正多边形的每个内角都相等,正多边形的内角和也是(n-2)180°.
答案:C
详细解答:若一个正多边形的每一个内角都等于120°,那么他的每一个外角都等于60°,由于多边形的外角和360°,所以边数就是360°÷60°=6.
另一种解法:假设正n边形,(n-2)180°=n×120°,解得n=6。
(8)知识点:三角形的外角和与他相邻的内角的关系.
知识点的描述:三角形的外角和与他相邻的内角互补.
答案:C
详细解答: 三角形的外角和与他相邻的内角互补, 又三角形一个外角小于与它相邻的内角,那么外角是锐角而内角是钝角,所以这个三角形是钝角三角形.
(9)知识点:多边形的内角和与多边形的外角和.
知识点的描述: 多边形的内角和为(n-2)180°,多边形的外角和为360°.
答案:C
详细解答: 多边形的内角和是三角形外角和的3倍,则(n-2)180°=3×360°,解得n=8.
(10)知识点:多边形的对角线总数
知识点的描述: n边形的每一个顶点都有(n-3)个和他不相邻的顶点,从n边形的每一个顶点可以引出(n-3)条对角线,所以n边形共有条对角线
答案:A
详细解答: 因为从n边形的每一个顶点可以引出(n-3)条对角线,所以n-3=10,得n=13.
(11)知识点:三角形的内角和、三角形的外角和
知识点的描述:三角形的内角和180°,三角形外角和360°
答案:D
三角形三个外角的比为4:2:3,所以假设三角形的三个外角分别为4k、2k、3k,又因为三角形的外角和360°,所以4k+2k+3k=360°,解得k=40°,所以最小外角是80°,那么最大内角100°,因此这个三角形是钝角三角形.
(12)知识点:多边形的内角和
知识点的描述:n边形的内角和是(n-2)180°,多边形的内角和一定是180°的整数倍
答案:C
详细解答:设边数为n,这个内角为x,则00根据题意,得(n-2)×1800=x+20300
∵(n-2)×1800是1800的倍数 ∴x+20300必是1800的倍数
∵20300÷1800=11…50 ∴x=1800-500=1300 ∴(n-2)×1800=1800×11+1800
∴n-2=12 ∴n=14
∴这个多边形的边数为14.
点拨:本题在利用多边形的内角和计算公式得到方程后,又借助数的整除,通过讨论得这个内角的度数,这是解决有关多边形的内角和与外角和问题的一种常用的方法.
(13)知识点:多边形的外角和相邻的内角的关系,多边形的外角和。
知识点的描述:多边形的外角和相邻的内角互补; 多边形的外角和360°。
答案:C
详细解答:五边形的五个外角的度数比是1∶2∶3∶4∶5,假设这五个外角的度数分别是k、2k、3k、4k、5k,因为外角和为360°,所以k+2k+3k+4k+5k=360°,求得k=24°.
五个外角的度数分别是24°、48°、72°、96°、120°,那么与它们相邻的五个内角的度数分别是156°、132°、108°、84°、60°,所以五个内角的度数比为156°∶132°∶108°∶84°∶60°=13∶11∶9∶7∶5
(14)知识点:多边形内角和定理的综合应用
知识点的描述:只要善于从复杂的图形中找到基本图形,利用三角形或多边形的内角和定理就可以解决问题
答案:C
点拨:本题已知了∠ABC和∠DEF的边的关系,没有给出图形,可先画出图形,再结合图形,利用相关知识求解.根据题意,符合条件的图形可画出两个,要考虑周全,不能漏解,两个图形:分别如图(1),图(2)
在图(1)中,求∠DEF,利用四边形内角和定理即可
在图(2)中,求∠DEF,利用三角形内角和等于1800,以及利用两个三角形中角的关系进行求解.
详细解答:(1)如图(1)∵DE⊥AB ∴∠BME=900
∵EF⊥BC ∴∠BNE=900
∵∠B+∠BME+∠BNE+∠DEF=3600
又∵∠B=700
∴∠DEF=1100
(2)如图(2)∵DE⊥AB ∴∠BME=900
∵EF⊥BC ∴∠BNE=900 ∴∠BME=∠BNE
∵∠DEF+∠BME+∠EOM=1800
又∵∠B+∠BNE+∠BON=1800
∴∠DEF+∠BME+∠EOM=∠B+∠BNE+∠BON
∴∠DEF+∠EOM=∠B+∠BON
∵∠EOM=∠BON ∴∠DEF=∠B
∵∠B=700 ∴∠DEF=700
∴∠DEF=700或1100
3.12
4.1800°
5.2n+2
6.12
7.
8.长方形或正方形 9.180°
A
B
F
C
E
D
M
N
(1)
(2)
A
E
O
B
C
D
M
N
F