1.2 有理数知识点总结学案（无答案）
文档属性
| 名称 | 1.2 有理数知识点总结学案（无答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 541.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-04-12 23:50:01 | ||
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文档简介
第一章 有理数
第一节 正数与负数
知识点1：正数与负数的判断
【知识要点】
正数:像3,1. 8% ,3.5这样大于0的数叫做正数.
负数:像-3,-2.7%，-4.5这样在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数。
说明：①正数前面的“+”(正)号，通常可略去不写，有时为了强调，也写上如“13.18% ”特别强调时分别写作“+13, +18% ...”； ②带有“+”号的数不一定是正数，带有“-”号的数也不一定是负数如+(-3)是负数，-(-7)是正数；③符号“-”的含义:作为运算符号是减号:作为数的性质符号是负号。“-”不可以省略。同理，“+”作为运算符号是加号,作为性质符号是正号；④若正数用字母a来表示则-a就表示负数；若负数用字母a来表示则-a就表示正数。
【典型例题1】
下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？请将它们填入相应的大括号里。
正数集合：{ }
负数集合：{ }
非负数集合：{ }
变式训练
1-1 四个数-3,0,1，中的负数是（ ）
A.-3 B.0 C.1 D.
1-2 在中，负数有 个。
知识点2：“0”的意义
【知识要点】
0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界线。
【典型例题2】
下列关于“0”的叙述,正确的有（ ）
①0是正数与负数的分界;
②0比任何负数都大;
③0只表示没有;
④0常用来表示某种量的基准.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式训练
2-1 下列判断正确的个数是( )
①带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数;
②任意一个正数,前面加上“-”号,就是一个负数;
③大于零的数是正数;
④一个数不是正数，就是负数.
A.0 B.1 C.2 D.4
2-2 在-3，-5，-1,0这四个数中，与其余三个数不同的是（ ）
A.-3 B.-5 C.3 D.0
知识点3：用正负数表示相反意义的量
【知识要点】
用正、负数表示两种相反意义的量，哪种意义为正，哪种意义为负，是可以任意选择的。
正、负数的基准通常为“0”，但并不是所有的基准都必须是“0”.
【典型例题3】
用正数负数表示下列问题中的数量，并指出在这些问题中数0表示的意义:
（1）上升400米,记为： ；下降300米记为： (规定上升为正);
（2）第一季度盈利12 万元,记为： ；第二季度亏损6万元记为： (盈利记为正);
（3）飞机平稳地在9000米高空飞翔，记为： ；潜艇在海平面下40米巡航记为： (高于海平面记为正)。
变式训练
3-1 在一次数学测验中，某班的平均分为85分，把高于平均分的高出部分记为正数。
小明得95分，应记为多少？
小亮被记作-10分，他实际得了多少分？
3-2 甲城海拔高度为-30米,乙城海拔高度为40米，丙城海拔高度为-10米，哪个城的地势最高?哪个城的地势最低?最高与最低两城相差多少?
知识点4：用正负数表示误差范围
【知识要点】
用正负是表示相反意义的量时，应先找到基准量，再规定相反意义的量中的一个为正，另一个为负。
【典型例题4】
一种零件的内径尺寸在图纸上标记为（单位：毫米），表示这种零件的标准尺寸是 ，误差最大不超过 ，最小又不小于 。
变式训练
4-1 大米包装袋上（10±0.1）kg的标识表示此袋大米重（ ）
A.（9.9~10.1）kg B.10.1kg C.9.9kg D.10kg
4-2 一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动±10%，想一想：
（1）±10%的含义是什么？
（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；
第二节 有理数
知识点1：有理数的概念及分类
有理数：整数和分数统称为有理数。
说明：任何有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此这些小数可以看作分数。
2.有理数的分类
（1）按定义分类
按性质符号“正”和“负”的分类
说明:①我们习惯上将“正有理数和零”称为非负有理数；将“负有理数和零”称为非正有理数;将“正整数和零”称为非负整数，也叫自然数;将“负整数和零”称为非正整数。
②0的特殊性:0是整数、自然数、有理数、非负数、非正数，但0既不是正数也不是负数。
③我们学过的数中,除了π和跟π有关的数,如等,其他的数都是有理数。
【典型例题1】
在有理数中，不存在( )
A.既是整数，又是负数的数
B.既不是正数，也不是负数的数
C.既是正数,又是负数的数
D.既是分数，又是负数的数
变式训练
1-1 下列说法错误的是( )
A.负整数和负分数统称为负有理数 B.正整数、负整数和0统称为整数
C.正有理数和负有理数统称为有理数 D.0是整数，但不是分数
【典型例题2】
已知下列各数：7，-9.25，，-301，，-3.5,0,2，，-7,1.25,,-3,.把它们填入相应的大括号内：
正整数：{ ...}；正分数：{ ...}；
负整数：{ ...}；负分数：{ ...}；
正数：{ ...}；负数：{ ...}。
变式训练
2-1 在数6,2.5，-3，中，不是有理数的是 。
2-2 所有大于-4的负整数是 ，所有小于3的不是负数的整数是 。
【典型例题3】
如图，下列两个圈内分别表示某个集合，重叠部分是这两个集合所共有的。
把有理数填入它们所属的圈内：
请你仿照（1）中重新给出两个数集，并在下面的三个区域内填入三个相应的有理数。
变式训练
3-1 观察下列几个圈，说出重叠部分所表示的数。
3-2 如图，有A,B,C三个数集，每个数集中所包含的数都写在下面的大括号内，请把这些数填入对应的三个圈内。
知识点2：数轴的概念
数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
说明:数轴是一条特殊的直线，可以向两方无限延伸，它必须同时具备三个要素:
①原点，即数轴上表示0的点，它是数轴的“基准点”；
②方向:数轴的方向具有规定性，习惯上规定从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；
③单位长度:单位长度的选取可为1 cm,0.5 cm等,同数轴上的单位长度必须统一。
【典型例题4】
下列数轴表示正确的是（ ）
变式训练
4-1 观察下列5个图形，指出哪个数轴画得正确，错的错在哪里？
4-2 数轴上的单位长度（ ）
A.只能取1cm作为单位长度
B.只能取0.5cm作为单位长度
C.根据实际情况取定
D.同一个数轴上的单位长度可以不同
4-3 下列结论正确的个数是（ ）
①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；
②同一数轴上的单位长度都必须一致；
③有理数都可以表示在数轴上；
④数轴上的点都表示有理数。
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
知识点3：数轴上点与有理数的对应关系
【知识要点】
（1）正数用数轴上原点右边的点表示;
（2）负数用数轴上原点左边的点表示;
（3）0用数轴上的原点表示。
数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边的点来表示，负有理数可以用原点左边的点来表示，但数轴上的点所表示的数不都是有理数。
【典型例题5】
a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.a,b,c都表示正数 B.a,b,c都表示负数
C.a,b表示正数，c表示负数 D.a,b表示负数，c表示正数
变式训练
5-1 在数轴上表示-2,0,6.3，的点中，在原点右边的点有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5-2 如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6
5-3 如图所示，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试确定墨迹盖着的整数共有哪几个。
5-4 数轴上A,B两点所表示的数如图所示，则A与B之间表示整数的点有（ ）
A.5个 B.6个 C.7 D.8个
知识点4：数轴上两点间的距离
【知识要点】
数轴上已知两点间的距离，确定的点的位置，要注意分情况讨论。
【典型例题6】
已知A,B,C是数轴上的三个点，且C在B的右侧，点A，B表示的数分别是1,3，如图所示，若BC=2AB，则点C表示的数是 。
变式训练
6-1 若数轴上表示-1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（ ）
-4 B.-2 C.2 D.4
6-2 若数轴上的点A对应的数是，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是（ ）
B. C.或 D.或
6-3 如图，点A表示的数是-4.
（1）在数轴上用0来标出原点；
（2）写出点B表示的数；
（3）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示什么数？
知识点6：数轴上点的移动问题
【知识要点】
数轴是有方向的，点在移动的过程中，不但要指明移动的单位大小，还要指明移动的方向。
【典型例题7】
如图,已知点A,B,C在数轴上表示的数分别是一1,-5,2,回答下列问题:
(1)将B点向右移动6个单位长度,此时B点表示的数是多少?
(2)将C点向左移动6个单位长度，此时C点表示的数是多少?
(3)移动A,B,C三点中的任意两个，能使三个点表示的数 相等吗?你能有几种移动方法?
变式训练
7-1 在数轴上A点和B点所表示的数分别是-2,和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应该将A点
A.向左移动5个单位 B.向右移动5个单位
C.向右移动4个单位 D.向左移动1个单位或向右移动5个单位
7-2 数轴上有一只蚂蚁在某一点，向左边走5个单位长度，再向右边走12个单位长度，再向左边走6个单位长度，这只蚂蚁最后的位置是-4，求这只蚂蚁最初的位置。
7-3 数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm，若在数轴上任意画一条长2006cm的线段，则线段盖住的整数点共有 个。
7-4 一只小虫在数轴的某点P0,第一次P0,向左跳了1个单位长度到P1，第二次从P1向右跳了2个单位长度到P2,第三次从P2向左跳了3个单位长度到P3，第四次从P3向右跳了4个单位长度到P4...按以上规律跳了100次，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2053.你能确定这只小虫的初始位置P0所表示的数吗?
知识点7：利用数轴比较大小
【知识要点】
利用数轴比较大小：数轴右边的数比数轴左边的数大。
【典型例题8】
在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们连接起来。
变式训练
8-1 在数轴上表示下列各数，并用“>”号把它们连接起来。
-1.2, 3.4,-,0,2,-
第三节 相反数与绝对值
知识点1：相反数的定义及求法
【知识要点】
相反数的概念
几何概念：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
代数定义：只有符号不同的两个数。
说明：
①任何一个数都有相反数，而且只有一个。0的相反数是0；
②相反数是成对出现的，不能单独存在；
③求一个具体的数字的相反数时，只需改变这个数字前面的符号,其它部分不变,即可得到该数的相反个字母或数。
一般地，数a的相反数是-a,这里a表示任意的一个数，可以是正数，负数,或者0。a还可代表任意一个代数式。
相反数的求法
求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上或去掉“-”即可。
【典型例题1】
写出下列各数的相反数：
（2）-3 （3）0 （4） （5）a+b
变式训练
1-1 一个数的相反数是3，那么这个数是 。
1-2 在1，-1,3，-2这四个数中，互为相反数的是（ ）
A.1与-1 B.1与-2 C.3与-2 D.-1与-2
1-3 A,B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
1-4 下面是一个正方体纸盒的展开图，请把-22,12,22，-2，-12,2分别填入六个正方形中，使得折成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数。
【典型例题2】
数轴上A点表示-5，B,C两点所表示的数互为相反数，且点B到A的距离为4，求点B和点C各对应什么数？
变式训练
2-1 如图，数轴上A,B表示的数互为相反数，则点B表示的数位（ ）
2-2 已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数，a和b（a
2-3 在数轴上点A表示的数为7，点B,C表示的数互为相反数，且C与点A的距离为2，求点B,C对应的数？
2-4 已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示：
在数轴上表示出数a的相反数的位置；
若数a与其相反数对应的点相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
在（2）的条件下，若数b对应的点与数a的相反数对应的点相距5个单位长度，则b表示的数是多少？
知识点2：相反数的性质
【知识要点】
互为相反数的两个数的和为0.
【典型例题3】
一个数的相反数等于它本身，这样的数一共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式训练
3-1 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.正数或零 D.负数或零
3-2 下列说法：
①m与-m互为相反数，因此它们一定不相等；
②相反数等于它本身的数只有0；
③正数和负数互为相反数；
④负数的相反数是正数；
⑤a的相反数一定是负数；
其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【典型例题4】
已知互为相反数，互为倒数，，求的值。
变式训练
4-1 若与互为相反数，互为倒数，，则：= 。
4-2 已知互为相反数，和互为倒数，c=-（+2），求的值。
知识点3：多重符号的化简
【知识要点】
在一个数的前面添加一个“+”号，仍然与原数相同,如+5=5.
在一个数的前面添加一个“一”号，就成为原数的相反数如:-( -3)就是-3的相反数。因此-（-3）=3。
多重符号的结果由“-”号的个数决定，与“+”号的个数无关，最后结果为正时，符号“+”可以省略不写。
【典型例题5】
化简下列各数的符号
（1） （2） （3）-[-(-9)] （4）-{+[-(+2)]}
变式训练
5-1 化简下列各式的符号，并回答问题
（2） （3）-[-(-5)]
-[-(+2)] （5）-{-[-(-3)]} （6）-{-[-(+3)]}
问题：当+2前面有2001个负号时，化简后的结果为 .
当+2前面有2002个负号时，化简后的结果为 .
知识点4：绝对值的定义
【知识要点】
1.绝对值的概念
（1）几何概念：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离，数的绝对值记作“”。
（2）代数概念：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
数学表达式为：
【典型例题6】
化简等于（ ）
A.15 B.-15 C.±15 D.
变式训练
6-1 7的绝对值是（ ）
A.-7 B.7 C.±7 D.
6-2 如图，数轴上点A表示数,则是（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
6-3 下列说法正确的是（ ）
A.是求-8的相反数
B.表示的意义是数轴上表示-8的点到原点的距离
C.的意义是表示-8的点到原点的距离是-8
D.以上都不对
知识点5：绝对值的性质
【知识要点】
任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论取任意有理数，具体表示为：；
绝对值相等的两个数相等或互为相反数，反之，互为相反数或相等的两个数的绝对值相等。
【典型例题7】
完成下列各题。
， ， ；
， ， 。
由以上看出：当是正数时， 0；当是负数时， 0； 当为任意有理数时， 0。
变式训练
7-1 如果一个数的绝对值是5，那么这个数是（ ）
A.5 B.-5 C.5或-5 D.0
7-2 下列说法正确的是（ ）
A.一个数的绝对值一定是正数
B.负数的绝对值等于它的相反数
C.一个数的绝对值一定是非正数
D.绝对值是它本身的数有两个，是0和1
知识点6：绝对值非负性在求字母值（范围）中的应用
【典型例题8】
若
变式训练
8-1 若，且 。
8-2 若 ，若 。
8-3已知等于（ ）
A.3 B.-3 C.0 D.±3
【典型例题9】
已知的值是（ ）
A.正数 B.负数 C.非整数 D.非负数
变式训练
9-1 若的取值范围是 。
9-2 如果，则的取值范围是 。
9-3 若，的取值范围是 。
知识点7：“0+0=0”型
【知识要点】
利用绝对值的非负性，使含有绝对值的每一项都为0，求出参数值。
【典型例题10】
已知，求的值。
变式训练
10-1 已知，求m、n的值.
10-2 已知与互为相反数，求m、n的值.
知识点8：通过数轴化简绝对值
【知识要点】
通过数轴判断正负，再根据绝对值的定义进行化简。
知识点9：绝对值非负性再求最值中的应用
【典型例题11】
式子的值随着的变化而变化，当为何值时，有最小值？最小值是多少？
当为何值时，式子有最大值？最大值时多少？
变式训练
11-1 根据这条性质，解答下列问题：
（1）当= 时，有最小值，此时最小值为 ；
（2）当为何值时，有最小值？这个最小值是多少？
（3）当为何值时，有最大值？这个最大值是多少？
11-2 当x为何值时，的值最小，并求其最小值.
11-3 当x为何值时，的值最小，并求其最小值.
知识点10：有理数大小比较
【知识要点】
利用数轴比较有理数的大小
(1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大上;
(2)正数大于0，负数小于0;
(3)正数大于一切负数.
两个负数大小比较：
先求出两个负数的绝对值；
比较绝对值的大小，绝对值大的反而小来进行判断。
【典型例题12】
比较下列每组数的大小：
-60和2
-（-2）和+（-3）
变式训练
12-1 把-（-1），，用“>”号连接，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
第一节 正数与负数
知识点1：正数与负数的判断
【知识要点】
正数:像3,1. 8% ,3.5这样大于0的数叫做正数.
负数:像-3,-2.7%，-4.5这样在正数前面加上符号“-”(负)的数叫做负数。
说明：①正数前面的“+”(正)号，通常可略去不写，有时为了强调，也写上如“13.18% ”特别强调时分别写作“+13, +18% ...”； ②带有“+”号的数不一定是正数，带有“-”号的数也不一定是负数如+(-3)是负数，-(-7)是正数；③符号“-”的含义:作为运算符号是减号:作为数的性质符号是负号。“-”不可以省略。同理，“+”作为运算符号是加号,作为性质符号是正号；④若正数用字母a来表示则-a就表示负数；若负数用字母a来表示则-a就表示正数。
【典型例题1】
下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？哪些是非负数？请将它们填入相应的大括号里。
正数集合：{ }
负数集合：{ }
非负数集合：{ }
变式训练
1-1 四个数-3,0,1，中的负数是（ ）
A.-3 B.0 C.1 D.
1-2 在中，负数有 个。
知识点2：“0”的意义
【知识要点】
0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界线。
【典型例题2】
下列关于“0”的叙述,正确的有（ ）
①0是正数与负数的分界;
②0比任何负数都大;
③0只表示没有;
④0常用来表示某种量的基准.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式训练
2-1 下列判断正确的个数是( )
①带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数;
②任意一个正数,前面加上“-”号,就是一个负数;
③大于零的数是正数;
④一个数不是正数，就是负数.
A.0 B.1 C.2 D.4
2-2 在-3，-5，-1,0这四个数中，与其余三个数不同的是（ ）
A.-3 B.-5 C.3 D.0
知识点3：用正负数表示相反意义的量
【知识要点】
用正、负数表示两种相反意义的量，哪种意义为正，哪种意义为负，是可以任意选择的。
正、负数的基准通常为“0”，但并不是所有的基准都必须是“0”.
【典型例题3】
用正数负数表示下列问题中的数量，并指出在这些问题中数0表示的意义:
（1）上升400米,记为： ；下降300米记为： (规定上升为正);
（2）第一季度盈利12 万元,记为： ；第二季度亏损6万元记为： (盈利记为正);
（3）飞机平稳地在9000米高空飞翔，记为： ；潜艇在海平面下40米巡航记为： (高于海平面记为正)。
变式训练
3-1 在一次数学测验中，某班的平均分为85分，把高于平均分的高出部分记为正数。
小明得95分，应记为多少？
小亮被记作-10分，他实际得了多少分？
3-2 甲城海拔高度为-30米,乙城海拔高度为40米，丙城海拔高度为-10米，哪个城的地势最高?哪个城的地势最低?最高与最低两城相差多少?
知识点4：用正负数表示误差范围
【知识要点】
用正负是表示相反意义的量时，应先找到基准量，再规定相反意义的量中的一个为正，另一个为负。
【典型例题4】
一种零件的内径尺寸在图纸上标记为（单位：毫米），表示这种零件的标准尺寸是 ，误差最大不超过 ，最小又不小于 。
变式训练
4-1 大米包装袋上（10±0.1）kg的标识表示此袋大米重（ ）
A.（9.9~10.1）kg B.10.1kg C.9.9kg D.10kg
4-2 一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，该商品的价格可浮动±10%，想一想：
（1）±10%的含义是什么？
（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；
第二节 有理数
知识点1：有理数的概念及分类
有理数：整数和分数统称为有理数。
说明：任何有限小数和无限循环小数都可以转化为分数，因此这些小数可以看作分数。
2.有理数的分类
（1）按定义分类
按性质符号“正”和“负”的分类
说明:①我们习惯上将“正有理数和零”称为非负有理数；将“负有理数和零”称为非正有理数;将“正整数和零”称为非负整数，也叫自然数;将“负整数和零”称为非正整数。
②0的特殊性:0是整数、自然数、有理数、非负数、非正数，但0既不是正数也不是负数。
③我们学过的数中,除了π和跟π有关的数,如等,其他的数都是有理数。
【典型例题1】
在有理数中，不存在( )
A.既是整数，又是负数的数
B.既不是正数，也不是负数的数
C.既是正数,又是负数的数
D.既是分数，又是负数的数
变式训练
1-1 下列说法错误的是( )
A.负整数和负分数统称为负有理数 B.正整数、负整数和0统称为整数
C.正有理数和负有理数统称为有理数 D.0是整数，但不是分数
【典型例题2】
已知下列各数：7，-9.25，，-301，，-3.5,0,2，，-7,1.25,,-3,.把它们填入相应的大括号内：
正整数：{ ...}；正分数：{ ...}；
负整数：{ ...}；负分数：{ ...}；
正数：{ ...}；负数：{ ...}。
变式训练
2-1 在数6,2.5，-3，中，不是有理数的是 。
2-2 所有大于-4的负整数是 ，所有小于3的不是负数的整数是 。
【典型例题3】
如图，下列两个圈内分别表示某个集合，重叠部分是这两个集合所共有的。
把有理数填入它们所属的圈内：
请你仿照（1）中重新给出两个数集，并在下面的三个区域内填入三个相应的有理数。
变式训练
3-1 观察下列几个圈，说出重叠部分所表示的数。
3-2 如图，有A,B,C三个数集，每个数集中所包含的数都写在下面的大括号内，请把这些数填入对应的三个圈内。
知识点2：数轴的概念
数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。
说明:数轴是一条特殊的直线，可以向两方无限延伸，它必须同时具备三个要素:
①原点，即数轴上表示0的点，它是数轴的“基准点”；
②方向:数轴的方向具有规定性，习惯上规定从原点向右(或上)为正方向，从原点向左(或下)为负方向；
③单位长度:单位长度的选取可为1 cm,0.5 cm等,同数轴上的单位长度必须统一。
【典型例题4】
下列数轴表示正确的是（ ）
变式训练
4-1 观察下列5个图形，指出哪个数轴画得正确，错的错在哪里？
4-2 数轴上的单位长度（ ）
A.只能取1cm作为单位长度
B.只能取0.5cm作为单位长度
C.根据实际情况取定
D.同一个数轴上的单位长度可以不同
4-3 下列结论正确的个数是（ ）
①规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴；
②同一数轴上的单位长度都必须一致；
③有理数都可以表示在数轴上；
④数轴上的点都表示有理数。
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
知识点3：数轴上点与有理数的对应关系
【知识要点】
（1）正数用数轴上原点右边的点表示;
（2）负数用数轴上原点左边的点表示;
（3）0用数轴上的原点表示。
数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边的点来表示，负有理数可以用原点左边的点来表示，但数轴上的点所表示的数不都是有理数。
【典型例题5】
a,b,c在数轴上对应的点的位置如图所示，下列说法正确的是（ ）
A.a,b,c都表示正数 B.a,b,c都表示负数
C.a,b表示正数，c表示负数 D.a,b表示负数，c表示正数
变式训练
5-1 在数轴上表示-2,0,6.3，的点中，在原点右边的点有（ ）
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
5-2 如图，数轴上点M所表示的数可能是（ ）
A.1.5 B.-2.6 C.-1.6 D.2.6
5-3 如图所示，小明在写作业时，不慎将两滴墨水滴在数轴上，根据图中的数值，试确定墨迹盖着的整数共有哪几个。
5-4 数轴上A,B两点所表示的数如图所示，则A与B之间表示整数的点有（ ）
A.5个 B.6个 C.7 D.8个
知识点4：数轴上两点间的距离
【知识要点】
数轴上已知两点间的距离，确定的点的位置，要注意分情况讨论。
【典型例题6】
已知A,B,C是数轴上的三个点，且C在B的右侧，点A，B表示的数分别是1,3，如图所示，若BC=2AB，则点C表示的数是 。
变式训练
6-1 若数轴上表示-1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是（ ）
-4 B.-2 C.2 D.4
6-2 若数轴上的点A对应的数是，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是（ ）
B. C.或 D.或
6-3 如图，点A表示的数是-4.
（1）在数轴上用0来标出原点；
（2）写出点B表示的数；
（3）在数轴上找一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，那么点C表示什么数？
知识点6：数轴上点的移动问题
【知识要点】
数轴是有方向的，点在移动的过程中，不但要指明移动的单位大小，还要指明移动的方向。
【典型例题7】
如图,已知点A,B,C在数轴上表示的数分别是一1,-5,2,回答下列问题:
(1)将B点向右移动6个单位长度,此时B点表示的数是多少?
(2)将C点向左移动6个单位长度，此时C点表示的数是多少?
(3)移动A,B,C三点中的任意两个，能使三个点表示的数 相等吗?你能有几种移动方法?
变式训练
7-1 在数轴上A点和B点所表示的数分别是-2,和1，若使A点表示的数是B点表示的数的3倍，应该将A点
A.向左移动5个单位 B.向右移动5个单位
C.向右移动4个单位 D.向左移动1个单位或向右移动5个单位
7-2 数轴上有一只蚂蚁在某一点，向左边走5个单位长度，再向右边走12个单位长度，再向左边走6个单位长度，这只蚂蚁最后的位置是-4，求这只蚂蚁最初的位置。
7-3 数轴上表示整数的点称为整点，某条数轴的单位长度为1cm，若在数轴上任意画一条长2006cm的线段，则线段盖住的整数点共有 个。
7-4 一只小虫在数轴的某点P0,第一次P0,向左跳了1个单位长度到P1，第二次从P1向右跳了2个单位长度到P2,第三次从P2向左跳了3个单位长度到P3，第四次从P3向右跳了4个单位长度到P4...按以上规律跳了100次，它落在数轴上的点P100所表示的数恰好是2053.你能确定这只小虫的初始位置P0所表示的数吗?
知识点7：利用数轴比较大小
【知识要点】
利用数轴比较大小：数轴右边的数比数轴左边的数大。
【典型例题8】
在数轴上表示下列各数，并用“<”号把它们连接起来。
变式训练
8-1 在数轴上表示下列各数，并用“>”号把它们连接起来。
-1.2, 3.4,-,0,2,-
第三节 相反数与绝对值
知识点1：相反数的定义及求法
【知识要点】
相反数的概念
几何概念：在数轴上原点的两旁，离原点距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。
代数定义：只有符号不同的两个数。
说明：
①任何一个数都有相反数，而且只有一个。0的相反数是0；
②相反数是成对出现的，不能单独存在；
③求一个具体的数字的相反数时，只需改变这个数字前面的符号,其它部分不变,即可得到该数的相反个字母或数。
一般地，数a的相反数是-a,这里a表示任意的一个数，可以是正数，负数,或者0。a还可代表任意一个代数式。
相反数的求法
求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上或去掉“-”即可。
【典型例题1】
写出下列各数的相反数：
（2）-3 （3）0 （4） （5）a+b
变式训练
1-1 一个数的相反数是3，那么这个数是 。
1-2 在1，-1,3，-2这四个数中，互为相反数的是（ ）
A.1与-1 B.1与-2 C.3与-2 D.-1与-2
1-3 A,B是数轴上两点，线段AB上的点表示的数中，有互为相反数的是（ ）
1-4 下面是一个正方体纸盒的展开图，请把-22,12,22，-2，-12,2分别填入六个正方形中，使得折成正方体后，相对的面上的两个数互为相反数。
【典型例题2】
数轴上A点表示-5，B,C两点所表示的数互为相反数，且点B到A的距离为4，求点B和点C各对应什么数？
变式训练
2-1 如图，数轴上A,B表示的数互为相反数，则点B表示的数位（ ）
2-2 已知数轴上点A和点B分别表示互为相反数的两个数，a和b（a
2-3 在数轴上点A表示的数为7，点B,C表示的数互为相反数，且C与点A的距离为2，求点B,C对应的数？
2-4 已知表示数a的点在数轴上的位置如图所示：
在数轴上表示出数a的相反数的位置；
若数a与其相反数对应的点相距20个单位长度，则a表示的数是多少？
在（2）的条件下，若数b对应的点与数a的相反数对应的点相距5个单位长度，则b表示的数是多少？
知识点2：相反数的性质
【知识要点】
互为相反数的两个数的和为0.
【典型例题3】
一个数的相反数等于它本身，这样的数一共有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
变式训练
3-1 若一个数的相反数不是正数，则这个数一定是（ ）
A.正数 B.负数 C.正数或零 D.负数或零
3-2 下列说法：
①m与-m互为相反数，因此它们一定不相等；
②相反数等于它本身的数只有0；
③正数和负数互为相反数；
④负数的相反数是正数；
⑤a的相反数一定是负数；
其中正确的个数是（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【典型例题4】
已知互为相反数，互为倒数，，求的值。
变式训练
4-1 若与互为相反数，互为倒数，，则：= 。
4-2 已知互为相反数，和互为倒数，c=-（+2），求的值。
知识点3：多重符号的化简
【知识要点】
在一个数的前面添加一个“+”号，仍然与原数相同,如+5=5.
在一个数的前面添加一个“一”号，就成为原数的相反数如:-( -3)就是-3的相反数。因此-（-3）=3。
多重符号的结果由“-”号的个数决定，与“+”号的个数无关，最后结果为正时，符号“+”可以省略不写。
【典型例题5】
化简下列各数的符号
（1） （2） （3）-[-(-9)] （4）-{+[-(+2)]}
变式训练
5-1 化简下列各式的符号，并回答问题
（2） （3）-[-(-5)]
-[-(+2)] （5）-{-[-(-3)]} （6）-{-[-(+3)]}
问题：当+2前面有2001个负号时，化简后的结果为 .
当+2前面有2002个负号时，化简后的结果为 .
知识点4：绝对值的定义
【知识要点】
1.绝对值的概念
（1）几何概念：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离，数的绝对值记作“”。
（2）代数概念：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
数学表达式为：
【典型例题6】
化简等于（ ）
A.15 B.-15 C.±15 D.
变式训练
6-1 7的绝对值是（ ）
A.-7 B.7 C.±7 D.
6-2 如图，数轴上点A表示数,则是（ ）
A.2 B.1 C.-1 D.-2
6-3 下列说法正确的是（ ）
A.是求-8的相反数
B.表示的意义是数轴上表示-8的点到原点的距离
C.的意义是表示-8的点到原点的距离是-8
D.以上都不对
知识点5：绝对值的性质
【知识要点】
任何一个有理数的绝对值都是非负数，即无论取任意有理数，具体表示为：；
绝对值相等的两个数相等或互为相反数，反之，互为相反数或相等的两个数的绝对值相等。
【典型例题7】
完成下列各题。
， ， ；
， ， 。
由以上看出：当是正数时， 0；当是负数时， 0； 当为任意有理数时， 0。
变式训练
7-1 如果一个数的绝对值是5，那么这个数是（ ）
A.5 B.-5 C.5或-5 D.0
7-2 下列说法正确的是（ ）
A.一个数的绝对值一定是正数
B.负数的绝对值等于它的相反数
C.一个数的绝对值一定是非正数
D.绝对值是它本身的数有两个，是0和1
知识点6：绝对值非负性在求字母值（范围）中的应用
【典型例题8】
若
变式训练
8-1 若，且 。
8-2 若 ，若 。
8-3已知等于（ ）
A.3 B.-3 C.0 D.±3
【典型例题9】
已知的值是（ ）
A.正数 B.负数 C.非整数 D.非负数
变式训练
9-1 若的取值范围是 。
9-2 如果，则的取值范围是 。
9-3 若，的取值范围是 。
知识点7：“0+0=0”型
【知识要点】
利用绝对值的非负性，使含有绝对值的每一项都为0，求出参数值。
【典型例题10】
已知，求的值。
变式训练
10-1 已知，求m、n的值.
10-2 已知与互为相反数，求m、n的值.
知识点8：通过数轴化简绝对值
【知识要点】
通过数轴判断正负，再根据绝对值的定义进行化简。
知识点9：绝对值非负性再求最值中的应用
【典型例题11】
式子的值随着的变化而变化，当为何值时，有最小值？最小值是多少？
当为何值时，式子有最大值？最大值时多少？
变式训练
11-1 根据这条性质，解答下列问题：
（1）当= 时，有最小值，此时最小值为 ；
（2）当为何值时，有最小值？这个最小值是多少？
（3）当为何值时，有最大值？这个最大值是多少？
11-2 当x为何值时，的值最小，并求其最小值.
11-3 当x为何值时，的值最小，并求其最小值.
知识点10：有理数大小比较
【知识要点】
利用数轴比较有理数的大小
(1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大上;
(2)正数大于0，负数小于0;
(3)正数大于一切负数.
两个负数大小比较：
先求出两个负数的绝对值；
比较绝对值的大小，绝对值大的反而小来进行判断。
【典型例题12】
比较下列每组数的大小：
-60和2
-（-2）和+（-3）
变式训练
12-1 把-（-1），，用“>”号连接，正确的是（ ）
A. B.
C. D.