第十章复数
10.2 复数的运算
10.2.2 复数的乘法与除法
课后篇巩固提升
基础巩固
1.复数1+ii的虚部是( )
A.1 B.-1
C.i D.-i
解析∵1+ii=(1+i)(-i)-i2=1-i,
∴1+ii的虚部为-1.故选B.
答案B
2.已知复数z=2+i,则z·z=( )
A.3 B.5
C.3 D.5
解析因为z=2+i,所以z=2-i,
所以z·z=(2+i)(2-i)=5.故选D.
答案D
3.设复数z1在复平面内对应的点为(x,y),z=(1+2i)z1,若复数z的实部为1,则( )
A.x+2y=1 B.2x-y=1
C.2x+y=1 D.x-2y=1
解析由题意,z1=x+yi(x,y∈R),
∴z=(1+2i)z1=(1+2i)(x+yi)=(x-2y)+(2x+y)i,由复数z的实部为1,得x-2y=1.故选D.
答案D
4.若复数z满足(3+2i)z=3i(i为虚数单位),则z= ( )
A.34?34i B.34+34i
C.32?32i D.32+32i
解析由(3+3i)z=3i,得
z=3i3+3i=3i(3-3i)(3+3i)(3-3i)=9+33i12=34+34i.故选B.
答案B
5.已知(1+ai)(2-i)=x+yi(a,x,y∈R),i是虚数单位),则( )
A.x-2y=0 B.2x+y-3=0
C.2x-y-5=0 D.2x+y+2=0
解析∵(1+ai)(2-i)=(2+a)+(2a-1)i=x+yi,
∴x=2+a,y=2a-1,
即2x-y-5=0.
故选C.
答案C
6.已知复数z=1-i(1+i)2.则z在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析∵z=1-i(1+i)2=1-i2i=(1-i)(-i)-2i2=-12?12i,
∴z=-12+12i,
∴z在复平面内对应的点的坐标为-12,12,位于第二象限.故选B.
答案B
7.若复数z满足z(1-i)=1+i,i为虚数单位,则z2 019=( )
A.-2i B.i
C.-i D.2i
解析由z(1-i)=1+i,得z=1+i1-i=(1+i)2(1-i)(1+i)=i,
∴z2 019=i2 019=i4×504+3=-i.故选C.
答案C
8.定义运算a bc d=ad-bc,若复数z满足1 -1z zi=2,其中i为虚数单位,则复数|z|= .?
解析由定义运算a bc d=ad-bc,
得1 -1z zi=zi+z=2,
即z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.
∴|z|=2.
答案2
9.已知复数z=2+6i,若复数m z+m2(1+i)为非零实数,求实数m的值 .?
解析∵z=2+6i,
∴mz+m2(1+i)=m(2-6i)+m2+m2i=(m2+2m)+(m2-6m),
由题意,m2-6m=0,m2+2m≠0,解得m=6.
答案6
10.设z+1为关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的虚根,i是虚数单位.
(1)当z=-1+i时,求p,q的值;
(2)若q=1,在复平面上,设复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,试求|MN|的取值范围.
解(1)∵z=-1+i,∴z+1=i,
则方程x2+px+q=0的两根分别为i,-i.
由根与系数的关系有i-i=-p,-i2=q,
∴p=0,q=1;
(2)设z=a+bi(a,b∈R),
若q=1,则z+1,z+1是方程x2+px+1=0的两虚数根.
则z+1=a+1+bi=a+1-bi.
由题意可得:(z+1)z+1=(a+1)2+b2=1.
令a+1=cos θ,b=sin θ,θ∈[0,2π).
∵复数z所对应的点为M,复数2-4i所对应的点为N,
∴|MN|=(cosθ-1-2)2+(sinθ+4)2
=10sin(θ+φ)+26∈[4,6].
能力提升
1.已知i是虚数单位,则复数z1=2+ai,z2=1-i,若z1z2是实数,则实数a的值为( )
A.-2 B.2
C.0 D.12
解析∵z1=2+ai,z2=1-i,
∴z1z2=2+ai1-i=(2+ai)(1+i)(1-i)(1+i)=2-a2+2+a2i,
由z1z2是实数,得2+a=0,
即a=-2.故选A.
答案A
2.设i为虚数单位,z表示复数z的共轭复数,若z=1+i,则z·zz-z=( )
A.-i B.2i
C.-1 D.1
解析由z=1+i,得
z·zz-z=|z|2(1+i)-(1-i)=22i=1i=-i-i2=-i.
故选A.
答案A
3.已知复数z的共轭复数z,若z=z-11+i,z在复平面内对应的点为( )
A.(-2,-1) B.(2,-1)
C.(-2,1) D.(2,1)
解析设z=x+yi(x.y∈R),
由z=z-11+i,得(x-yi)(1+i)=x+yi-1,
即(x+y)+(x-y)i=(x-1)+yi,
则x+y=x-1,x-y=y,
解得x=-2,y=-1.
∴z在复平面内对应的点为(-2,-1).
故选A.
答案A
4.设复数z1在复平面内对应的点为(x,y),z=-iz1,若复数z的实部与虚部的和为1,则( )
A.x+y=1 B.x+y=-1
C.x-y=-1 D.x-y=1
解析∵复数z1在复平面内对应的点为(x,y),
z=-iz1,
∴z=-i(x+yi)=-xi-yi2=y-xi,
∵复数z的实部与虚部的和为1,
∴y-x=1,∴x-y=-1.
故选C.
答案C
5.已知p,q∈R,1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则p·q=( )
A.-4 B.0
C.2 D.4
解析∵1+i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,
∴1-i也是方程x2+px+q=0的一个根,
则1+i+1-i=-p,
即-p=2,p=-2,
(1+i)(1-i)=q,即q=1+1=2,
则p·q=-2×2=-4.故选A.
答案A
6.已知复数z1=2-i2+i在复平面内对应的点为A,复数z2在复平面内对应的点为B,若向量AB与虚轴垂直,则z2的虚部为 .?
解析z1=2-i2+i=(2-i)2(2+i)(2-i)=35?45i,
∴A35,-45,
∵向量AB与虚轴垂直,且复数z2在复平面内对应的点为B,
∴z2的虚部为-45.
答案-45
7.若实数m,n满足i2 021·(4+mi)=(n+2i)2,且z=m+ni,则|z|= .?
解析由i2 021·(4+mi)=(n+2i)2,
得i(4+mi)=n2+4ni-4,
即-m+4i=n2+4ni-4,
∴-m=n2-4,4=4n,
即m=3,n=1.
∴|z|=|3+i|=10.
答案10
8.在下列命题中:①两个复数不能比较大小;②复数z=i-1对应的点在第四象限;③若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x=±1;④若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;⑤“复数a+bi(a,b,c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充要条件;⑥复数z1>z2?z1-z2>0;⑦复数z满足|z|=z2;⑧复数z为实数?z=z.其中正确命题的是 .(填序号)?
解析以下命题:
①错误,如复数2和复数3,显然2<3.
②错误,因为复数z对应点为(-1,1),在第二象限.
③错误,例如x=-1时,此复数为0.
④错误,例如z2=0,z1=i,z3=i2时,等式仍成立.
⑤“复数a+bi(a,b,c∈R)为纯虚数”是“a=0”的充分不必要条件,错误.
⑥错误,若z1=3+i,z2=2+i,则z1-z2>0z1>z2.
⑦错误,如z=i时,|z|=1,z2=-1,等式不成立.
⑧正确.
故答案为⑧.
答案⑧
9.四边形ABCD是复平面内的平行四边形,A,B,C,D四点对应的复数分别为1+3i,2i,2+i,z.
(1)求复数z;
(2)z是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,求实数p,q的值.
解(1)复平面内A,B,C对应的点坐标分别为(1,3),(0,2),(2,1),
设D的坐标为(x,y),由于AD=BC,
∴(x-1,y-3)=(2,-1),
∴x-1=2,y-3=-1,
解得x=3,y=2,故D(3,2),
则点D对应的复数z=3+5i;
(2)∵3+5i是关于x的方程2x2-px+q=0的一个根,
∴3-5i是关于x的方程2x2-px+q=0的另一个根,
则3+5i+3-5i=p2,(3+5i)(3-5i)=q2,
即p=12,q=68.
10.已知复数z=(a+i)2,w=4-3i其中a是实数.
(1)若在复平面内表示复数z的点位于第一象限,求a的范围;
(2)若zw是纯虚数,a是正实数,①求a,②求zw+zw2+zw3+…+zw2 019.
解(1)∵z=(a+i)2=a2+2ai+i2=a2-1+2ai在复平面内表示的点位于第一象限,
∴a2-1>0,2a>0,解得a>1;
(2)依题意得:
zw=(a+i)24-3i=(a+i)2(4+3i)(4-3i)(4+3i)
=4a2-6a-425+3a2+8a-325i是纯虚数,
∴4a2-6a-4=0,即(2a+1)(a-2)=0,
解得a1=-12(舍)或a2=2(a>0),
当a=2时,
zw=3×4+8×2-325i=i,
∴zw+zw2+zw3+…+zw2 019=i+(i)2+(i)3+…+(i)2 019=i-1-i+…-i=-1.
课件32张PPT。10.2.2 复数的乘法与除法一、复数的乘法
1.思考
如何规定两复数相乘?
提示:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),
两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并即可.即z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(bc+ad)i.2.填空
(1)复数的乘法法则
一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),称z1z2(或z1×z2)为z1与z2的积,并规定z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2
=(ac-bd)+(ad+bc)i,
(2)复数乘法的运算律
对任意复数z1,z2,z3∈C,有(3)常见结论: ③可以验证,当m,n均为正整数时,
④需要说明的是,以前我们所学过的完全平方公式、平方差公式等,对于复数来说也是成立的,即⑤等式两边同时乘上一个复数等式仍成立,即当z1=z2时,必定有z1z=z2z.⑥in的周期性与ωn(n∈N*)的性质
(i)in(n∈N*)的性质
根据复数乘法法则,容易得到i的n次幂的计算法则,(ii)ωn(n∈N*)的性质
1的三次虚数根ω的性质,由方程x3-1=0,得ω具有周期性,解题时要灵活应用,适当变形,巧用ω的性质,从而达到事半功倍的效果.3.做一做
(1)复数i(2-i)=( )
A.1+2i B.1-2i C.-1+2i D.-1-2i
答案:A
(2)若复数z1=1+i,z2=3-i,则z1z2=( )
A.4+2i B.2+i C.2+2i D.3+4i
答案:A(3)如果复数(m2+i)(1+mi)是实数,则实数m等于 ( )解析:∵(m2+i)(1+mi)=(m2-m)+(m3+1)i是实数,m∈R,得m3+1=0,即m=-1.
答案:B二、复数的除法
1.思考
如何规定两复数相除? 2.填空
(1)复数的除法法则
①如果复数z2≠0,则满足zz2=z1的复数z称为z1除以z2的商,并记作而且同以前一样,z1称为被除数,z2称为除数.
一般地,设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,c+di≠0),则点睛在进行复数除法时,分子、分母同乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母有理化很类似.(2)常见结论:
①当ω为非零复数时,有答案:B 答案:B 答案:C 三、实系数一元二次方程在复数范围内的解集
1.思考
方程x2+1=0在实数范围内没有根,但在复数范围内有两个根±i,那么关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)当Δ<0时是否也有两个复数根呢?
提示:有.
2.填空
当a,b,c都是实数且a≠0时,关于x的方程ax2+bx+c=0称为实系数一元二次方程,这个方程在复数范围内总是有解的,而且
(1)当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;
(2)当Δ=b2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;
(3)当Δ=b2-4ac<0时,方程有两个互为共轭的虚数根.3.做一做
(1)在复数范围内,方程x2+x+1=0的根为( ) 答案:C (2)在复数范围内,方程2x2-2x+3=0的根为 .? 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数的乘法运算
例1计算:(1)(2+i)(2-i);(2)(1+2i)2.
解:(1)(2+i)(2-i)=4-i2=4-(-1)=5;
(1+2i)2=1+4i+(2i)2=1+4i+4i2=-3+4i.
反思感悟(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.
(2)像3+4i和3-4i这样的两个复数叫做互为共轭复数,其形态特征为a+bi和a-bi,其数值特征为(a+bi)·(a-bi)=a2+b2.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测变式训练1计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);
(2)(3+4i)(3-4i);
(3)(1+i)2.
解:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i;
(2)(3+4i)(3-4i)=32-(4i)2=9-(-16)=25;
(3)(1+i)2=1+2i+i2=2i.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测复数的除法运算
例2计算:(1)(1+2i)÷(3-4i);反思感悟复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测虚数单位i乘幂的周期性
例3计算i+i2+i3+…+i2 020.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测2.记住以下结果,可提高运算速度
(1)(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i.延伸探究计算i+i2+i3+…+i2 021. 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测答案:0 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测在复数范围内解方程
例4(1)在复数范围内求方程x2-x+3=0的解集.
(2)已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
①求b,c的值;
②试判断x=1-i是否是方程的根.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)①∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,
∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,
即(b+c)+(2+b)i=0,故b的值为-2,c的值为2.
②由(1)方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
∴x=1-i也是方程的根.
反思感悟一元二次方程中,若判别式Δ<0,方程有两个互为共轭虚数的根,根与系数关系仍适用.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测代入①,得z2+(2-3i)z+1-3i=0,
即(z+1)(z+1-3i)=0,
∴z=-1或z=-1+3i.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测方程根中的“数学运算”
在复数范围内求方程的根或已知方程的根求解参数时,常常会涉及复数的平方运算、加减运算、复数相等的充要条件等,这时就会利用到“数学运算”的核心素养.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测(2)证明:原方程化为x2-ax+ab=0,
假设原方程有实数解,
那么Δ=(-a)2-4ab≥0,即a2≥4ab.探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.(1+3i)(1-i)=( )
A.4+2i B.2+4i C.-2+2i D.2-2i
解析:(1+3i)(1-i)=1-i+3i-3i2=4+2i.故选A.
答案:A答案:C 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测4.已知复数x满足x2-2x=-2,则x= .?
解析:由x2-2x=-2,得x2-2x+2=0,答案:1±I 探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测
